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Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Tema 1
José R. Narro
1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Números reales
Números complejos
Función real de variable real
Límite y continuidad
Derivabilidad
Concavidad-convexidad
Gráficas de funciones
Integral de Riemann.
Integral impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Números reales
José R. Narro
2
• Los números mas usuales son los enteros: 0,±1,±2,±3,…
• Llamamos números racionales a los que tienen la forma
a/b, donde a y b son enteros con b≠0. Se caracterizan
porque tienen una expresión decimal periódica.
• Los números irracionales son aquellos cuya expresión
decimal no es periódica.
• Al conjunto que resulta de unir los racionales con los
irracionales le llamamos conjunto de los números reales y
lo representamos por R, se suelen representar en una
recta, que llamarémos recta real, de tal forma que a cada
número real le corresponde un punto de la recta y a la
inversa.
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Números reales
Tema 1: Conceptos básicos
•
José R. Narro
3
Podemos separar los números reales distintos de cero en
dos conjuntos disjuntos: los números reales positivos y los
números reales negativos.
•
Se definen en R las operaciones usuales: suma y producto.
•
Los números reales se pueden ordenar mediante la relación
<, que se define de la forma:
a  b  b  a es positivo
a
b
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Números reales
Tema 1: Conceptos básicos
Propiedades de la relación de orden:
José R. Narro
4
1.
Si a y b son números, una y solo una de las siguientes
afirmaciones es cierta:
ab o ab o ba
2. Si
ab
y bc  ac
3.
a  b  ac  bc
4. Si c es positivo,
a  b  ac  bc
Si c es negativo
a  b  ac  bc
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Números reales
José R. Narro
5
La relación de orden “≤” se define de forma análoga a “<“, poniendo:
a ≤ b ⇔ b - a es positivo o cero
Las propiedades de la relación ≤ son las mismas que las de la relación “<“
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Números reales
Tema 1: Conceptos básicos
Valor absoluto
José R. Narro
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El valor absoluto de un número real es un concepto de frecuente
utilización en cálculo.
Si x es un número real, su valor absoluto |x| se define así:
x
x =
 -x
si
si
x0
x0
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Números reales
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Propiedades del valor absoluto
José R. Narro
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1. |xy| = |x| |y|
2. |x/y| = |x| / |y|
3. |x+y| ≤ |x| + |y|
4. |x-y| ≥ | |x| -|y| |
5. |x| < a  -a < x < a
6. |x| > a  x <-a ó x >a
7. |x|=
x2
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Números reales
Tema 1: Conceptos básicos
Algunas de estas propiedades son útiles en la
resolución de inecuaciones (desigualdades con
incógnitas).
Ejemplo. Un vaso cilíndrico de 500 centímetros cúbicos tiene un
radio interno de 4 centímetros.¿Con qué precisión debemos medir
la altura h del agua en el vaso para asegurar que tenemos ½ litro
de agua con un error de menos de 5 centímetros cúbicos.
Solución: El volumen V del agua en el vaso es V=16πh.
Queremos que: |V-500|<5 o lo que es igual:
|16h-500|<5|16(h-500/16)|<516|h500/16|<5|h-500/16  |< 5/16  |h-9.947|< 0.0947≈0.1.
Luego, se debe medir la altura con una precisión de un milímetro.
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Números reales
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Intervalos
José R. Narro
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Definición de intervalo: Un subconjunto I de números reales es un
intervalo, si dados x, y  I con x < y; para todo z que verifica x < y <
z, se tiene que z  I.
Definición de intervalos acotados:
Siendo a, b  R se define
(a, b)={x Є R /a < x < b } intervalo abierto
[a, b]={x Є R /a ≤ x ≤ b } intervalo cerrado
(a, b]={x Є R /a < x ≤ b } intervalo semiabierto o semicerrado
[a, b)={x Є R /a ≤ x < b } intervalo semiabierto o semicerrado
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Números reales
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(a,b)
a
a
a
a
b
[a,b]
(a,b]
[a,b)
b
b
b
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Números reales
Definición de intervalos no acotados o semirrectas:
Si a  R definimos
(a, ∞) = { x Є R / x > a }
[a, ∞) = { x Є R / x ≥ a }
(-∞, a) = { x Є R / x < a }
(-∞, a] = { x Є R / x ≤ a }
Luego se puede escribir R = (-∞, ∞)
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Números reales
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Definición de conjuntos acotados
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1) Un subconjunto A de R se dice que está acotado
superiormente si para cualquier x de A se cumple x ≤ M, para
algún M  R. Se dice que M es una cota superior de A.
2) Un subconjunto A de R se dice que está acotado
inferiormente si para cualquier x de A se cumple m ≤ x, para
algún m  R. Se dice que m es una cota inferior de A.
3) Un subconjunto A de R se dice que está acotado si para
cualquier x de A se cumple |x| ≤ M, para algún M  R. Se
dice que M es una cota de A.
4) Luego A está acotado sí y sólo sí lo está superior e
inferiormente.
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Números complejos
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Una ecuación que no puede resolverse en R: x 2  1  0 . Su
solución debería ser x  1 .
Llamemos i  1 (unidad imaginaria), siendo i  R.
Usando i podemos resolver ecuaciones mas complicadas, como
por ejemplo x 2  x  1  0 , cuya solución es
x
1  1  4 1  3 1  3i 1
3




i.
2
2
2
2
2
Los números obtenidos son dos ejemplos de lo que
llamaremos “números complejos”.
Un número complejo es una expresión de la forma a+bi,
llamada forma binómica, siendo i  1 , a y b son números
reales; al conjunto de los números complejos lo designamos
por C.
Sea z=a+bi, a se llama parte real de z y b se llama parte
imaginaria de z, que simbolizamos: Re(z)=a, Im(z)=b.
Los complejos con parte imaginaria cero se identifican con los
números reales: a+0i=a.
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Números complejos
El número z = a+bi se puede representar en el plano por el punto
P(a,b), que se denomina afijo de z. (a,b) es otra forma de escribir el
complejo z como un par ordenado de números reales; de esta forma
estamos identificando con 2 : a+bi=(a,b).
La representación geométrica conduce a los conceptos de módulo y
argumento:
 =|a+bi|= a2 + b2 , α = arg(a+bi)=arctg
Y
Forma polar: a
El módulo es único y existe siempre
P(a,b)
El argumento solo está definido
cuando ≠0, y entonces hay infi
nitos argumentos: +2k

b
a
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b
a
b
=arcsen =arccos
a
ρ
ρ
o
Si 
[0,2], se le llama
argumento principal.
a
X
Números complejos
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Introducción al Cálculo Infinitesimal
Paso de polar a binómica
Y
P(a,b)

b
cosα =
a
 a =ρcosα
ρ
sen α =
b
 b = ρsen α
ρ
a
o
a
X
Luego: a+bi = ρcosα +ρsenαi = ρ(cosα +isenα)
José R. Narro
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Números complejos
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Paso de binómica a polar
José R. Narro
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Y
ρ = a2  b2 

b 
α = arctg 
a 
P(a,b)

b
a
o
a
X
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Números complejos
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Resumiendo, se tienen las distintas formas de escribir un
número complejo:
Binómica: a + bi
Par ordenado: (a,b)
Polar o módulo argumental: a
Trigonométrica: ρ(cosα + isenα)
Luego: a + bi = (a,b) = a = ρ(cosα + isenα)
Números complejos
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Igualdad entre complejos. Suma y producto
José R. Narro
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Sobre la igualdad de números complejos se obtienen conclusiones distintas según la
forma de escribirlos:
En forma binómica a+bi=c+di a=c, b=d
En forma polar a  ´a '    ´, a  a '  2k , k  0, 1, 2,...
Se pueden definir en C las mismas operaciones que en R, con análogas
propiedades, utilizamos, en principio, la forma binómica .
Sean u=a+bi, v=c+di dos complejos
Suma: u+v=(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i
Se ha definido como si todos los números que intervienen fuesen reales. Usamos la
misma idea para definir el producto, recordando que i 2  1 .
Producto: uv=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd i 2 =ac-bd+(ad+bc)i
El elemento nulo de la suma es 0+0i=0, la unidad para el producto es 1+0i=1, el
1
opuesto de a+bi es –a-bi, el inverso a+bi lo representamos por (a+bi)-1 =
, que
a+bi
lógicamente debe cumplir (a+bi)(a+bi)-1 =1+0i .
Números complejos
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Restar y dividir
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La resta y la división, al igual que con los reales, son casos particulares de la suma
y el producto y, se tiene por tanto:
u-v=(a+bi)-(c+di)=a-c+(b-d)i
u a+bi
1

 (a  bi )
v c+di
c  di
Luego para dividir se precisa obtener
mas práctico para dividir.
1
. Más adelante daremos un método
c  di
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Números complejos
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EJERCICIOS:
1. Obtener todas las formas del número -2+2i.
2. Obtener un número complejo sabiendo que al multiplicarlo por
1-2i se obtiene 1+i.
3. Calcular el inverso de 2-3i. ¿Existe siempre el inverso de un
complejo? Dar las condiciones para que exista.
4. Calcular el valor de x para que el número complejo (-2+i)(x-i)
sea:
a) real (parte imaginaria nula)
b) imaginario puro (parte real nula)
Números complejos
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Conjugado de un número complejo
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Dado un complejo z=x+yi, a veces, es necesario considerar el complejo de igual
parte real y parte imaginaria opuesta que representamos por z =x-yi, y que
llamamos conjugado de z.
Las propiedades mas usuales del conjugado son:
1. Si z  C  z  z
2. Si u, v  C  u  v  u  v
3. Si z  C  Re( z ) 
zz
2
u
u
y uv  uv . Si v  0  ( ) 
v
v
zz
y Im( z ) 
2i
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Números complejos
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Propiedades del módulo:
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a) | z | 0 z  C .
b) | z | 0 
c) zz | z |2
z  0.
z  C .
d) | z1  z2 | | z1 |  | z2 | z1 , z2 C .
e) | z1z2 |  | z1 || z2 | z1 , z2  C
Números complejos
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Uso del conjugado para dividir
La propiedad c) se puede utilizar para calcular el inverso de un complejo y el
cociente de complejos:
zz | z |2
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z
z
1 
| z |2
u uv uv
1
=
= 2 = 2 uv
v vv |v| |v|
Ejercicios
1) Obtener el inverso de 3-i
2) Calcular
José R. Narro

2  i
1  2i
z 1 
1
z

z | z |2
Números complejos
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Multiplicación y división en forma polar
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Determinados cálculos se pueden simplificar si se utiliza la forma conveniente del
número complejo, así para productos y cocientes, se puede usar la forma polar
como muestran las siguientes fórmulas:
a) 1a1 2a2  12 a1 a2
b)
1a

 ( 1 )a a
 2a
2
1
1
2
2
Ejercicios:
1) Calcular (3  3i )( 1  3i ) , usando la forma polar.
 3i
, usando la forma polar.
1  i
3) Demostrar el resultado a)
2) Calcular
Números complejos
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Potencias de números complejos
Al igual que ocurre con los números reales, podemos considerar potencias de
números complejos:
zn =z...z, donde aparecen n factores, para n entero positivo
Análogamente se define z -n =
1
zn
Si n es un número grande el cálculo puede resultar muy laborioso si se utiliza la
forma binómica y el binomio de Newton; sin embargo, si se tiene la forma polar del
complejo el trabajo se simplifica notablemente si se emplea la fómula:
( a )n   n na , o lo que es igual z n  (  (cos a sena i ))n   n (cos( na )  sen( na )i
Fórmula que recibe el nombre de De Moivre, y además es útil en la obtención de
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ciertas fórmulas trigonométricas.
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Números complejos
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Ejercicios
1) Calcular (1  i )50
2) Obtener las formulas que expresan cos( 4a ) y sen( 4a ) , en función de sen a y
cos a .
3) Demostrar la fórmula de De Moivre.
Números complejos
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Raíz cuadrada en forma binómica
Se puede obtener a partir de la forma binómica, directamente ó
aplicando una fórmula de fácil obtención:
Calculemos a+bi , siendo a+bi un número complejo conocido:
a+bi=x+yi  (x+yi)2 =a+bi  x2 -y 2 +2xyi=a+bi
 x2 -y 2 =a
Luego 
elevando al cuadrado
2xy=b

4
4
2 2
2

 x +y -2x y =a
sumando
 2 2 2

4x y =b
x4 +y4 +2x2y2 =a2 +b2 , llamando r =|a+bi|  a2 +b2  r 2 =a2 +b 2 ,
Luego se tiene:
x4 +y4 +2x2y 2 =r2  (x2 +y2 )2 =r2  x2 +y 2 =r .
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Números complejos
 x2 -y 2 = a
Se tienen las igualdades (*)  2 2
sumándolas
 x +y = r
2x2 = r+a  x2 =
Luego x=±
r+a
2
r+a
.
2
r-a
.
2
Para asignar los signos correctos usamos 2xy =b  sig(xy)=sig(b) .
Restando las igualdades de (*)  2y 2 =r-a  y=±
Luego si b>0  sig(x)=sig(y) y si b<0  sig(x)  sig(y) .
Todas estas posibilidades se resumen en la fórmula:
a  bi  (
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ra
r a
 sig(b)
i)
2
2
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Números complejos
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Ejercicio
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a) Calcular 1-2i resolviendo el sistema del que se parte para
obtener la fórmula y, comprobando el resultado obtenido
mediante la fórmula.
16-30i .
b) Calcular
c) Resolver la ecuación z 2 +(-1-3i)z+2i-2=0 .
Función real de una variable real
Tema 1: Conceptos básicos
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Definición de: función, dominio e imagen
Se define una función f : A  , como una aplicación de un subconjunto
A  en , en consecuencia a cada x  A , le corresponde un valor f(x)  .
x 3 +7
Algunos ejemplos son: f(x)=x -1, f(x)=e , f(x)= 2
x +5
2
Se denomina dominio de f, que simbolizamos por Dom f, el conjunto de números
reales x para los que tiene sentido f(x).
Si Dom f = A, representaremos la función de la forma f : A 
30
.
La imagen o recorrido de f, que representamos por Im f, es el conjunto de números
reales “y” para los que existe x 
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x
, con y = f(x).
Función real de una variable real
Tema 1: Conceptos básicos
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Gráfica
Una función real de variable real se representa normalmente por una grafica o
curva en el plano XY, representando en el eje de abscisas la variable independiente
x, y en el eje de ordenadas la variable dependiente y=f(x).
Y
y = f(x)
Im f
X
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Dom f
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Función real de una variable real
Monotonía: crecimiento, decrecimiento
Sea f: A 
una función real de variable real, y B  A
a) Se dice que f es creciente en B si para  x1 , x2  B con x1 < x2  f(x1 )  f(x2 ) .
(Si f(x ) )<f(x 2 ) , f se dice estrictamente creciente en B)
b) Se dice que f es decreciente en B si para x1 , x2  B con x1 < x2  f(x1 )  f(x2 ) .
(Si f(x ) )>f(x 2 ) , f se dice estrictamente decreciente en B)
La función f se dice monótona en B si es creciente o decreciente en B.
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Función real de una variable real
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplo de crecimiento-decrecimiento
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33
Y
B
C
Creciente
en B
Decreciente
en C
X
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Función real de una variable real
Tema 1: Conceptos básicos
Definición: función par e impar
José R. Narro
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Si f es una función con dominio A 
verificando: x  A  -x  A .
Se dice que f es una función par si f(-x)=f(x) x  A
Se dice que f es una función impar si f(-x)=-f(x) x  A
Luego la gráfica de una función par es simétrica respecto al eje OY, y la de una
impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Función real de una variable real
Tema 1: Conceptos básicos
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Ejemplos
f ( x)  x  x
4
Función par
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35
2
f ( x)  x3  x
Función impar
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Función real de una variable real
Tema 1: Conceptos básicos
Definicion de función acotada
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Una función f se dice acotada superiormente, si existe H  R , tal que f(x)  H para
todo x de Dom f.
Una función f se dice acotada inferiormente, si existe K  R , tal que K  f(x) para
todo x de Dom f.
Una función se dice acotada si lo está superior e inferiormente, o lo que es igual, si
existe un M tal que |f(x)|  M para todo x de Dom f.
Función real de una variable real
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplos
José R. Narro
37
f ( x)  x 2
Acotada
inferiormente
No acotada
superiormente
f ( x)  cos x
Función acotada
Función real de una variable real
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Definición de función periódica
José R. Narro
38
Se dice que f es periódica si existe un p  R, p>0 tal que se verifica: f(x)=f(x+p)
para x  Dom f.
Se llama período de f al menor valor de p con la propiedad anterior.
f ( x)  sen x
Función periódica
El período es 2π
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Función real de una variable real
Tema 1: Conceptos básicos
Definición de inversa de una función
Una de las operaciones usuales entre funciones es la composición:
Consideremos dos funciones f : A  R y g: B  R, verificándose f(A)  B,
definímos la función compuesta g o f : A  R así (g o f)(x) = g[f(x)]  x  A.
Si la función f es inyectiva existe una función h : Im f  R, tal que (hof)(x)=x
 x  Dom f
También se cumple que h es inyectiva y se verifica (f o h)(x) = x  x Dom h .
Esta función h se denomina inversa de f y se denota por h = f 1 , por lo tanto
José R. Narro
39
también se cumple h 1 = f.
Función real de una variable real
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Gráficas de funciones inversas
José R. Narro
40
Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto a la bisectriz del
primer- tercer cuadrante.
Algunos ejemplos de funciones inversas son:
Si f(x) = log x, f 1 (x) = e x .
Si f(x) = sen x, f 1 (x) = arcsen x.
y=ex
y=x
y=log x
Función real de una variable real
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Definición de función elemental: ejemplos
José R. Narro
41
La mayor parte de las funciones que utilizamos se denominan funciones
elementales y son aquellas que pueden obtenerse a partir de polinomios,
exponenciales, funciones trigonométricas mediante un número finito de pasos en
los que intervengan las operaciones de suma, producto, composición y cálculo de
inversas.
Las llamadas funciones hiperbólicas son un ejemplo más de funciones elementales,
que se definen a partir de la exponencial , de la siguiente forma:
e x - e-x
.
Seno hiperbólico, senh x =
2
e x  e-x
.
Coseno hiperbólico, cosh x =
2
senh x e x - e-x
Tangente hiperbólica, tgh x =
=
cosh x e x +e-x
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Función real de una variable real
José R. Narro
42
Ejemplos de funciones elementales
Análogamente al caso trigonométrico se definen las funciones:
Cotangente hiperbólica, coth x =
Secante hiperbólica, sech x =
1
tgh x
1
cosh x
Cosecante hiperbólica, cosech x =
1
senh x
Función real de una variable real
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Gráficas de coseno y seno hiperbólicos
y=cosh x
José R. Narro
43
y=senh x
Función real de una variable real
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Funciones inversas de las hiperbólicas
José R. Narro
44
Análogamente al caso de las funciones trigonométricas, se tienen las
funciones inversas de las hiperbólicas, que se denominan anteponiendo
la palabra “argumento”.
Así, por ejemplo, la función inversa del seno hiperbólico se llama
“argumento seno hiperbólico”, y se escribe argsh x, con lo que se tiene:
y = argsh x  x = senh y.
La inversa del coseno hiperbólico es el ”argumento coseno hiperbólico”
simbólicamente: argch x, luego: y = argch x  x = cosh y.
Se procede de igual forma para las restantes funciones.
Ejercicio
Obtener las funciones inversas del seno y del coseno hiperbólicos, o lo
que es igual las fórmulas que definen argsh x y argch x.
Límite y continuidad
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45
Con lenguaje poco preciso, se dice que la función f : A  R, tiene por límite l  R,
para x tendiendo a “a”, (a R), si al darle a la variable x valores muy próximos a “a”, los
valores correspondientes de f(x) también son muy próximos a “l”.
De forma más precisa, lo anterior, se puede escribir en la forma:
lim f(x) = l ⇔ ( ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 <| x - a |< δ ⇒ | f(x) - l |< ε )
x a
→
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Definición de límite
Hay que destacar que  depende de y de “a”.
La condición 0 |x-a|  , indica que no es necesario que la función esté definida en el
número “a”.
La condición |x-a|
 , equivale a -
x-a
  a - δ  x  a + δ  x  (a-δ,a+δ)
Al intervalo (a- , a+ ) se le llama entorno de centro “a” y radio  , y se simboliza por
E(a).
Análogamente se tendría: |f(x)-l|
  f(x) E(l)
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Límite
José R. Narro
46
lim f(x)=I
y
xa
l+
l
y=f(x)
l
a- a
a+
x
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Límites
Utilizando el lenguaje de entornos la definición de límite diría: Para todo entorno
de centro l y radio  , Eε (l) , existe un entorno de centro “a” y radio , E(a), de
forma que si x (E(a)-{a}) entonces f(x) Eε (l) .
En esta definición x se aproxima a “a”, tomando tanto valores superiores a “a” (a
la derecha de “a”), como valores inferiores a “a” (a la izquierda de “a”). Si
imponemos que x se aproxime a “a” solo por la izquierda o solo por la derecha
llegamos al concepto de límite lateral.
Se dice que el límite por la derecha de la función f en a es igual a l y escribimos
lim f(x) = l
x a+
si ε>0 δ>0 / 0<x-a<δ  |f(x)-l|<ε
.
Se dice que el límite por la izquierda de la función f en a es igual a l y escribimos
lim- f(x) = l
x a
si ε>0 δ>0 / 0<a-x<δ  |f(x)-l|<ε
.
Una condición necesaria y suficiente para que exista lim f(x) , es que existan los
xa
José R. Narro
47
límites laterales y que coincidan lim+ f(x)= lim- f(x) .
xa
x a
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Límites
También podemos definir los límites infinitos. Se dice que el límite de f para x ten
diendo a “a” es  , si al tomar x valores muy próximos a “a” f(x) puede superar a
cualquier número y escribimos lim f(x) =  .
xa
De forma mas precisa escribímos:
lim f(x) =+∞  (M  R δ>0 / 0<|x-a|<δ  f(x)>M)
xa
Análogamente definimos lim f(x) =   (M  R δ>0 / 0<|x-a|<δ  f(x)<M)
x a
De la misma forma se definen los límites laterales infinitos:
lim f(x)=+  (M  R δ>0 / 0<x-a<δ  f(x)>M)
x a+
lim- f(x)=+  (M  R δ>0 / 0<a-x<δ  f(x)>M)
xa
José R. Narro
48
Análogamente se definen para  .
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Asíntotas
José R. Narro
49
Decimos que la recta x = a es una asíntota vertical de la función f(x) si al menos
uno de los límites laterales en a es +∞ o -∞.
También se pueden considerar límites finitos en el infinito si f(x) es una función
cuyo dominio contiene un intervalo de la forma (a, +∞). Se dice que f tiende a l
cuando x tiende a +∞, y se escribe lim f(x)=l , si ε>0 N  R / si x>N  |f(x)-l|<ε
x + 
Análogamente si el dominio de la función f contiene a un intervalo de la forma (-∞,
a), se dice que f tiende a l cuando x tiende a -∞, y se escribe lim f(x)=l , si
x 
ε>0 N  R / si x<N  |f(x)-l|<ε .
Se dice que la recta y = b es una asíntota horizontal de la función f si
limf(x) =b o
x + 
lim f(x)=b .
x- 
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Asíntotas
Y
lim f ( x )   
x a
x = a, es una asíntota vertical,
tanto a la izquierda como a la
derecha
lim f ( x )   
x a
X
José R. Narro
50
x=a
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplo
José R. Narro
51
y
1
x2
X=2 es una asíntota
1
vertical de f(x)=
x-2
Tanto a la izquierda
como a la derecha.
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplo
José R. Narro
52
1
 
x 3 ( x  3) 2
lim
y
1
( x  3)2
x=-3, es una asíntota
1
vertical de f ( x )  ( x  3)2
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplo
José R. Narro
53
2
 
x  5 ( x  5) 2
lim
x=5, es una asíntota vertical de
2
y
( x  5) 2
y
2
( x  5) 2
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplo
José R. Narro
54
2 x2  1
f ( x)  2
x  3x  7
2 x2  1
y 2
x  3x  7
lim f ( x )  lim f ( x )  2
x 
x 
y=2, es una asíntota
horizontal de f(x)
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplo
José R. Narro
55
f ( x) 
3
x5
lim f ( x )  lim f ( x )  0
x 
y
3
x5
x 
y=0, es una asíntota
horizontal
lim f ( x )   , lim f ( x )  
x  5
x 5
x=5,es una asíntota
vertical
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Asíntotas
Otro tipo de asíntota, distinta de las anteriores, es la asíntota oblicua de la función
f(x), que tiene por ecuación: y = mx+n, con m  0, siendo
f(x)
y n= lim (f(x)-mx) , con m , n  R, m  0 . Se llama asíntota oblicua
x + 
x +  x
m= lim
a la derecha.
Análogamente se tendría para x   , y se llama asíntota oblicua a la izquierda.
En el caso de funciones racionales ambas coinciden.
Ejercicio
Obtener las asíntotas de las siguientes funciones
a) f(x) = log(x2+3x+2)
b) g(x) = xe1/x
c) h(x) =
José R. Narro
56
x3
(x + 1)2
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplo
José R. Narro
57
2 x2  7 x  2
f ( x) 
x3
lim f ( x)  , lim f ( x)  
2x  7x  2
y
x3
2
x 
lim
x 
x 
f ( x)
 2, lim ( f ( x)  2 x)  1
x 
x
y = 2x+1,es una asíntota
oblicua de f(x)
lim f ( x)  , lim f ( x)  
x 3
x 3
x = -3, es una asíntota
Vertical de f(x)
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Límites
José R. Narro
58
Algunas propiedades fundamentales sobre límites son:
Si lim f ( x )  l1
x a
y lim g( x )  l2
x a
con l1 , l 2  R , a puede ser real ó 
1) lim[ f ( x )  g( x )]  l1  l 2
xa
2) lim[ f ( x ) g( x )]  l1l 2
x a
3) Si l2  0, lim
x a
f ( x ) l1
 .
g( x ) l2
Si algunos de los límites l1 y l2 o ambos es infinito se cumplen resultados análogos y
pueden presentarse indeterminaciones que recordaremos más adelante.
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Infinitos e infinitésimos
Casos interesantes se presentan cuando el límite de una función es infinito o cero.
Se dice que una función f es un infinito para x  a , si lim f ( x )   , a puede ser
x a
real o  . Vale la misma definición para x  a  .
Por ejemplo la función
1
es infinita para x  0 , pero no lo es para x  1.
x
Análogamente diremos que una función f es un infinitésimo para
lim f ( x )  0 , suponiendo para a las mismas hipótesis anteriores.
xa
Por ejemplo la función
1
es un infinitésimo para x   pero no lo es para
x
x  7.
Luego una función f es un infinito para x  a si y solo si
José R. Narro
59
x  a , si
para
x a.
1
es un infinitésimo
f
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Infinitos e infinitésimos
José R. Narro
60
Podemos comparar infinitésimos entre si e infinitos entre si. Diremos que dos infini
tésimos f y g para x  a , son comparables si existe lim
xa
f ( x)
, diremos que f y g
g( x )
son del mismo orden si dicho límite no es nulo y que f es de orden mayor que g si el
límite es nulo. Esto último indica que f se acerca a 0 mucho más “rápidamente”
que g.
De forma análoga procedemos con los infinitos. Diremos que dos infinitos f y g
para x  a , son comparables si existe lim
xa
f ( x)
, diremos que f y g son del mismo
g( x )
orden si dicho límite no es nulo y que f es de orden inferior a g si el límite es nulo.
Esto último indica que g crece mucho más “rápidamente” que f.
Por ejemplo x2 y x son infinitésimos para x  0 , siendo x2 de orden superior a g ,
x2
0.
pues lim
x 0 x
x
Estas mismas funciones son infinitos para x   , y se tiene: lim 2  0 , luego
x  x
2
x es de orden superior a x.
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Infinitos e infinitésimos (ejemplo)
José R. Narro
61
x2 es un infinito
de orden superior
a x para x  
x2 es un infinitésimo
de orden superior a
x para x  0
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Infinitos e infinitésimos
Entre las funciones elementales consideramos cuatro infinitos, para x   , que
llamamos fundamentales y que son:
logarítmico
(log x)m
(m>0)
62
xp
(p>0)
exponencial
potencial-exponencial
ax
xkx
(a>1)
(k>0)
Se verifica que cada uno de los infinitos anteriores son de orden inferior a los
siguientes, pues se verifica:
(log x)m
=0,
lim
x + 
xp
José R. Narro
potencial
xp
=0,
lim
x+  ax
ax
=0.
lim
x  +  xkx
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Infinitos para x  
José R. Narro
63
azúl:xx
amarilla: ex
roja: x
verde: log x
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Infinitos e infinitésimos
José R. Narro
64
Si tomamos los inversos de los infinitos fundamentales para x   , se tienen los
llamados infinitésimos fundamentales y que son:
logarítmico
(log x)-m
(m>0)
potencial
x-p
(p>0)
exponencial
potencial-exponencial
a-x
x-kx
(a>1)
(k>0)
Análogamente se cumple que cada uno de estos infinitésimos es de orden inferior a
los que le siguen, pues teniendo en cuenta los resultados anteriores se cumpliría:
x-kx
a-x
x-p
= lim -p = lim -x =0 .
lim
x +  a
x +  x
x  +  (log x)-m
Límite y continuidad
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Funciones equivalentes
Tema 1: Conceptos básicos
En el cálculo de ciertos límites resulta útil el manejo
José R. Narro
65
de las funciones
“equivalentes”.
Las funciones f y g se dicen equivalentes en “a” si se verifica lim
xa
f(x)
=1 . Por
g(x)
sen x
=1 .
x0
x
ejemplo sen x y x son funciones equivalentes en 0, ya que lim
La utilidad mencionada se basa en la siguiente propiedad:
Si en una expresión se reemplaza el factor o divisor f(x) por otro equivalente F(x)
el limite de la expresión no se modifica.
Para comprobarlo supongamos que se quiere calcular el lim f(x)g(x), el cual no
xa
cambiará si se multiplica por una función con limite igual a 1: lim
xa
F(x)
f(x)g(x) , es
f(x)
decir, se tiene el limite lim F(x)g(x).
xa
g(x)
f(x)
, multiplicando por
que tiene por limite 1, se
x  a f(x)
F(x)
g(x) f ( x )
g(x)
 lim
tendrá lim
.
x  a f(x) F ( x )
x  a F(x)
Si se tuviese un cociente lim
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Funciones equivalentes
tg x-x
, que es una indeterminación
x0
x3
Como ejemplo apliquémoslo al cálculo de lim
de forma
0
, por lo que podemos aplicar L’Hopital
0
1
-1
2
1-cos 2 x
sen 2 x
cos
x
lim
 lim 2 2  lim 2 2
x 0
x  0 3x cos x
x  0 3x cos x
3x 2
que de nuevo está indeterminado, se podría seguir aplicando L’Hopital, pero esto
conduce a derivadas cada vez más complicadas. Sin embargo el límite del último
cociente puede calcularse mucho más fácilmente sustituyendo sen x por su equiva-
x2
1
 .
lente x, lim 2
2
x  0 3 x cos x
3
Dado que tg x también es equivalente a x en 0, ¿se puede sustituir tg x por x en la
primera expresión del límite? Esto es un error, pues se obtendría que el límite es 0.
El error consiste en haber sustituido un “sumando” por otro equivalente.
José R. Narro
66
La equivalencia de f(x) y g(x) en “a” la indicamos así: f(x) ~ g(x), para x=a.
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Funciones equivalentes
Algunas equivalencias de uso frecuente son:
sen x ~ x, para x=0
x2
1 – cos x ~
, para x=0
2
tg x ~ x, para x=0
arc sen x ~ x, para x=0
arc tg x ~ x, para x=0
ax-1 ~ x log a, para x=0
ex-1~ x, para x=0
log(1+x) ~ x, para x=0
(1+x)-1 ~ x, para x=0
x-1~ (x-1), para x=1
José R. Narro
67
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Funciones equivalentes
José R. Narro
68
Ejercicio
Demostrar las equivalencias anteriores.
Las dos últimas equivalencias son útiles en el cálculo de límites donde intervienen
raíces.
Veamos algunos ejemplos:
1
( x  1)
x 1 0
x 1
1
3
  lim
 lim

a) lim
x 1 x  1
0 x 1 x  1 x 1 x  1
3
1
3
3
b)
1
1 14
1 1
lim ( x  1  x )      lim x ( 1  4  1)  lim x[(1  4 )  1]  lim x ( 4 ) 
x 
x 
x 
x 
x
x
4x
1
lim
0
x  4 x 3
4
4
4
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Continuidad
La mayor parte de las funciones que estudiamos
continuas. De forma intuitiva esto significa, para y = f(x), que pequeños cambios de
x dan lugar a variaciones pequeñas de y, es decir, la grafica de una función
continua no debe presentar “agujeros”.
Precisando más, diremos que la función f(x), es continua en x = a, si se cumplen las
condiciones siguientes
1) Existe f(a)
2) Existe lim f(x)
xa
3) lim f(x) = f(a)  lim f(x) = f( lim x)
xa
José R. Narro
69
tienen la propiedad de ser
xa
xa
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Continuidad
Como la existencia de límite equivale a la existencia de los límites laterales y a su
coincidencia, también se tendrá el concepto de continuidad lateral :
Se dice que f es continua a la izquierda de a si:
1) Existe f(a)
2) Existe lim f(x)
xa
3) lim f(x) = f(a)  lim f(x) = f( lim x)
xa
xa
xa
Se dice que f es continua a la derecha de a si:
1) Existe f(a)
2) Existe lim f(x)
xa
3) lim f(x) = f(a)  lim f(x) = f( lim x)
xa 
xa 
xa 
Luego una condición necesaria y suficiente para que f sea continua en a es que sea
continua a la izquierda y a la derecha de a.
José R. Narro
70
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Continuidad
José R. Narro
71
Para la composición de funciones y la continuidad se tienen los resultados:
1) Si f : A  R es continua en a y g : f(A)  R, es continua en b = f(a), entonces
g o f : A  R es continua en a.
2) Si f y g son dos funciones tales que existe lim f(x) = l  R y g es una función
xa
continua en l, entonces lim g(f(x)) = g(l).
xa
Respecto a las operaciones elementales se tiene el resultado:
Si f,g :A  R son dos funciones continuas en a, entonces las funciones f  g y fg son
también continuas en a. Si además g(a)  0, entonces
f
es también continua en a.
g
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Continuidad
José R. Narro
72
Si f no es continua en a, se le llama discontinua en a. Se pueden dar los siguientes
casos:
1) Existe lim f(x) , pero no coincide con f(a), o bien no existe f(a). en este caso la
xa
discontinuidad en a se llama evitable , y es posible conseguir que f sea continua
en a.
2) No existe lim f(x) . En este caso la discontinuidad en a se dice inevitable,
xa
llamándose de salto (finito o infinito) si existen lim f(x) y lim f(x), siendo
xa
xa
evidentemente distintos.
3) Si alguno de los limites laterales no existe la discontinuidad se llama esencial.
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Continuidad
Veamos algunos ejemplos:
x2  9
Sea f(x) =
, no está definida en x = 3, pero lim f ( x )  lim( x  3)  6 .por
x 3
x 3
x3
tanto en x = 3, hay una discontinuidad evitable. Se puede eliminar esta
discontinuidad definiendo f(3) = 6. Para los restantes puntos es continua por ser
cociente de funciones continuas.
f(x) = x+3, si x ≠ 3
y
y = x+3
José R. Narro
73
X=3
x
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Continuidad
José R. Narro
74
Sea
f(x)
=
1
x
e ,
1
no
existe
para
x=0,
1
x
y
se
tiene
lim e x  e    ,
x 0
1
 0 . Luego en x = 0, hay una discontinuidad inevitable de salto
x 0
e 
infinito. En los restantes puntos es continua por ser composición de funciones
continuas.
lim e  e  
y = e1/x
Límite y continuidad
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
1
x
José R. Narro
75
1
1

Sea f(x) = e sen , tampoco está definida en x = 0. Cuando x  0 , e x   ,
x
1
y, sen
oscila entre -1 y 1, por lo que no existe lim f ( x ) , con esto es suficiente para
x0
x
afirmar que f(x) tiene en x = 0 una discontinuidad esencial, aunque el otro limite lateral
1
1
valga 0, puesto que e x  0 para x  0 ,y sen
está acotado por 1.
x
y = e1/xsen(1/x)
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Continuidad
José R. Narro
76
El concepto de continuidad estudiado hasta ahora se refiere a un punto del
dominio de la función. Ampliamos el concepto de continuidad a todo un conjunto.
Decimos que la función f : A  R es continua en el conjunto A si es continua
para cada punto de A.
Si el conjunto A es un intervalo cerrado [a , b] , decimos que f es continua en [a , b]
si lo es en cada punto interior, es decir en (a , b), es continua a la derecha de a y a
la izquierda de b.
Los resultados mas interesantes respecto a la continuidad se obtienen
considerando funciones continuas en un intervalo cerrado.
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Continuidad
Teorema de Bolzano
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a , b ] y en los extremos del
intervalo toma valores de signo contrario (sig f(a)  sig f(b), entonces existe, al
menos, un punto c en (a , b), tal que f(c) = 0.
y
f(c) = f(d) =f(e) = 0
y = f(x)
a
José R. Narro
77
c
d
e
b
x
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Continuidad
Teorema de Darboux de los valores intermedios.
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a , b ], entonces f toma todos
los valores comprendidos entre f(a) y f(b).
y
f(b)
a
f(a)
José R. Narro
78
b
x
Límite y continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Continuidad
Teorema (de acotación)
Si f es continua en [a , b], entonces f está acotada en [a , b].
m  f(x)  M
M
a
m
José R. Narro
79
m es una cota inferior
de f(x) en [a, b]
M es una cota superior
de f(x) en [a, b]
b
Límite y continuidad
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Continuidad
Tema 1: Conceptos básicos
Teorema de Weierstrass
Si f es continua en [a , b], entonces f alcanza el máximo y el mínimo en el intervalo
[a , b], es decir, existen x1, x2  [a , b] tales que
f(x1)  f(x)  f(x2)  x  [a , b]
y
f(x) alcanza en x1 y x2
el mínimo y el máximo
absolutos, respectivamente,
en [a, b]
f(x2)
y = f(x)
f(x1)
x
José R. Narro
80
a
b
Derivabilidad
El concepto de derivada está relacionado con el problema de obtener la recta
tangente a la curva, que representa la grafica de la función f(x), en un punto (a ,
f(a)).
Sea f definida en un entorno del punto a, se dice que f es derivable en a si el
siguiente limite existe y es real
h 0
f(a + h) - f(a)
f(x) - f(a)
= lim
x a
h
x -a
→
lim
→
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
A este límite se le llama derivada de f en el punto a y se representa por f´(a).
Al definirse la derivada mediante un límite, tienen sentido las definiciones de
derivadas laterales.
Al número f ´ (a + ) = lim+
h 0
f(a + h) - f(a)
f(x) - f(a)
= lim+
x a
h
x -a
en caso de existir se llama derivada a la derecha en el punto a.
Análogamente, al número f ´ (a - ) = limh 0
José R. Narro
f(a + h) - f(a)
f(x) - f(a)
= limx a
h
x -a
en caso de existir, se le llama derivada a la izquierda en el punto a.
81
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
José R. Narro
82
Aplicando la condición de existencia de límite se tiene la siguiente propiedad:
La derivada f´(a) de una función f en un punto a existe si y sólo si existen las
derivadas laterales, son finitas y coinciden.
Ejercicios
1) Estudiar la derivabilidad de la función
1

 xsen( ), si x  0
f(x)= 
x
 0, si x=0
en el punto a=0.
2) Estudiar la derivabilidad de la función
1
 2
 x sen( ), si x  0
f(x)= 
x
 0, si x=0
en el punto a=0.
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
Estudiemos ahora el significado geométrico de la derivada.
Sea la curva y = f(x), y en ella los puntos A(a, f(a)) y B(a+h, f(a+h)); la recta
f(a+h)-f(a)
secante AB tiene por pendiente
, cuando h  0 , la recta secante AB
h
tiende a la recta tangente en A; luego si una curva admite recta tangente en un
punto, su pendiente debe coincidir con el valor de la derivada en dicho punto.
Luego admitimos que la existencia de tangente geométrica en un punto equivale a
la a la existencia de derivada en dicho punto.
y = f(x)
y
83
tg  =(f(a+h)-f(a))/h
B
f(a+h)
tg   tg, cuando
h0
A

José R. Narro
f´(a) = tg 
f(a)

x
a
a+h
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
La ecuación de la recta tangente en el punto A(a, f(a)) es
y – f(a) = f´(a)(x-a).
Luego la ecuación de la recta normal (perpendicular a la tangente en el mismo
punto) en A(a, f(a)) es
-1
y – f(a) =
(x-a) , si f´(a)  0 .
f´(a)
Tangente en A
y
y = f(x)
/2
A
Normal en A
José R. Narro
84
x
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivada infinita
José R. Narro
85
Si el límite que define la derivada existe pero es infinito, se dice que f tiene
derivada infinita en a, es decir, si f´(a) = +∞ o si f´(a) = -∞, entonces decimos que en
x = a, la curva y = f(x) tiene tangente vertical en x = a.
Así, por ejemplo la función f(x) = 3 x , tiene derivada +∞ en x = 0.
y=
3
x
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
José R. Narro
86
La función f(x) =- 3 x ,tiene derivada -∞ en x = 0.
y=- 3 x
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
José R. Narro
87
La función f(x) = 3 x 2 , tiene derivada por la izquierda -∞, y derivada por la
derecha +∞, en x=0.
y= 3 x 2
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
José R. Narro
88
Si ocurre, como en el ultimo ejemplo, f´(a-) = -∞ y f´(a+) = +∞, o bien, f´(a-) = +∞ y
f´(a+) = -∞, decimos que la fución f tiene un punto de retroceso en x = a.
Si en un punto a donde la función es continua existen las derivadas laterales finitas
y distintas, la grafica de f presenta un pico en el punto x = a y se dice que (a, f(a)) es
un punto anguloso, por ejemplo, la función f(x) = |x2-4|, presenta puntos angulosos
para x = 2, x = -2.
y = |x2-4|
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
José R. Narro
89
Ejercicios
1) Obtener las derivadas laterales de la función f(x) = |x2-4|, en los puntos x = 2,
x = -2.
2) Estudiar la derivabilidad en x = 0 de la función
 x
, si x  0
1

f(x)  1  e x

 0, si x  0
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
José R. Narro
90
La derivabilidad implica la continuidad, es decir, si f es derivable en a, también es
continua en a. El reciproco no es cierto, como se puede comprobar, por ejemplo,
con la función f(x) =|x|, en x = 0.
Ejercicios
1) Demostrar la afirmación anterior.
2) Obtener la derivada de la función constante y de la función identidad en un
punto arbitrario
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
Teorema
Si f y g son funciones derivables en el punto a y c  R, entonces tambien son
derivables en a las funciones f+g, cf, fg y se cumple:
(f+g)´(a) = f´(a) + g´(a)
(cf)´(a) = cf´(a)
(fg)´(a) = f´(a)g(a) + f(a)g´(a)
f
Si tambien se tiene g(a)  0 entonces también
es derivable en a y
g

´
f
g
(a)=
f´(a)g(a)-f(a)g´(a)
(g(a))2
Luego las funciones polinómicas son derivables en cualquier punto y las funciones
José R. Narro
91
racionales son derivables en los puntos donde el denominador no se anula.
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
José R. Narro
92
Teorema
Si f es una función derivable en a y g es derivable en f(a), entonces la función
compuesta es derivable en a y
(g o f)´(a) = g´(f(a))f´(a)
Como consecuencia de esta fórmula se obtiene el siguiente resultado para la
derivada de la función inversa:
Si f es derivable en a, siendo f´(a)  0, y existiendo f-1, entonces f-1 es derivable en
f(a) y se verifica
(f-1)´(f(a)) =
1
f´(a)
Ejercicio
Como aplicación de la fórmula anterior, obtener las derivadas de
1) arcsen x
2) arctg x
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
José R. Narro
93
Otra aplicación útil de la regla de la cadena es la llamada “derivación
logarítmica”, que se emplea para derivar funciones de la forma h(x) = (f(x)) g(x) ,
con f y g derivables en a y f(x)>0 en cierto entorno de a, tomando logaritmos y
derivando, para, finalmente despejar h´(a).
Ejercicio
Aplicando la derivación logarítmica, obtener las derivadas de:
1) f(x) = (x2+7)tg x
2) g(x) = [cos (2x)]arcsen x
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
José R. Narro
94
Recordemos ahora el concepto de función derivada: si f es una función derivable
en un conjunto A, se dice que f es derivable en A si lo es en cada uno de sus puntos.
Si f es derivable en A, la función que en cada punto x de A toma el valor f´(x) se
llama función derivada de f y se simboliza por f´.
Utilizando las propiedades de la derivada, se puede obtener la siguiente lista de
funciones derivables en su dominio con sus funciones derivadas:
1) (k)´= 0, k  R
2) (x)´= 1
3) (xk)´ = kxk-1, k  R
4) (log x)´=
5) (ax)´= ax log a
6) (sen x)´= cos x
7) (cos x)´= - sen x
8) (tg x)´= 1+tg2 x =
9) (arcsen x)´=
11) (arctg x)´=
1
1  x2
1
1  x2
1
x
10) (arcos x)´= -
1
cos 2 x
1
1  x2
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas (en forma implícita)
Las funciones consideradas hasta ahora están escritas en forma “explícita”, es
decir, y = f(x), como por ejemplo y = x2+x+7, pudiéndose obtener su derivada sin
dificultad.
Pero si consideramos la ecuación x2+y2 = 25, que representa una circunferencia,
“y” no está en forma explícita (despejada), aunque podemos despejarla y
obtenemos:
y =  25  x2
que representa dos funciones: y(x) = 25  x2 , y(x) =  25  x2 , que vienen
definidas “implícitamente” (sin despejar) por la ecuación x2+y2 = 25. La primera
función corresponde a la semicircunferencia situada por encima del eje OX, y la
otra a la semicircunferencia inferior. Si queremos obtener la pendiente de la
tangente en un punto de la curva, podemos derivar una de las funciones anteriores
(la que corresponda al punto en cuestión) por ejemplo si es el punto ( 21 , 2 ),
derivamos: y = 25  x2
obteniendo y´(x) =
José R. Narro
95
x
25-x2
 y´( 21 ) =
 21
25  21

 21
.
2
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas (en forma implicita)
Se podría haber obtenido y´de forma mas facil: derivando “implícitamente”, es
decir, derivando directamente en la ecuación sin despejar “y” considerada como
función de x: x2+y2 = 25
derivando ambos lados  2x+2yy´ = 0  y´=
x
, con lo que sustituyendo se
y
obtiene el mismo resultado anterior. Hay que hacer notar que y´ se obtiene en
función de x e y.
Este procedimiento consistente en derivar los dos lados de una ecuación con
respecto a x despejando a continuación y´ se denomina derivación implícita.
Ejercicio
Calcular y´(x) sabiendo que se verifica x2+y3-2y = 3. Obtener también las
José R. Narro
96
ecuaciones de la tangente y la normal a la curva ,que define la ecuación dada, en el
punto (2, 1).
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas (derivación sucesiva)
José R. Narro
97
Aplicando la derivación reiteradamente, se obtienen las derivadas sucesivas .
Si f es derivable en a, y si a su vez, la función f´es derivable en a, a la derivda de f´
en a se le llama derivada segunda de f en a, que se denota f´´(a), verificándose por
tanto
f´(a+h)-f´(a)
h0
h
f´´(a) = lim
dicho límite debe existir y ser finito.
Si f está definida en A, de forma que para cada x de A existe f´´(x), entonces a la
función que a cada x asigna f´´(x), se le llama derivada segunda de f, y se simboliza
por f´´.
Análogamente se definen las derivadas terceras, cuartas, quintas, …y en general la
derivada n-ésima f(n :
Si f es n-1 veces derivable en a, definimos
f (n-1 (a+h)-f (n-1 (a)
(n
f (a) = lim
h0
h
siempre que el límite anterior exista y sea finito.
Hay funciones que son indefinidamente derivables, como por ejemplo: las
funciones seno, coseno, polinómicas y exponenciales.
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
José R. Narro
98
Ejercicio
Estudiar la derivabilidad de la siguiente función f así como la continuidad de su
derivada f´:
1
 2
x
sen
si x  0

f(x)  
x
 0
si x  0
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
Enunciemos ahora los teoremas del valor medio, en los que se consideran funciones
definidas en un intervalo cerrado y acotado, continuas en dicho intervalo y
derivables en el correspondiente intervalo abierto.
Comenzamos recordando el concepto de extremo relativo o local.
Si f es una función con dominio A, decimos que
1) c es un mínimo relativo o local de f si existe un entorno de c, (c-  , c+  ), tal
que
f(c)  f(x)
x  (c-  , c+  )  A
2) c es un máximo relativo o local de f si existe un entorno de c, (c-  , c+  ), tal
que
f(x)  f(c)
x  (c-  , c+  )  A
A los máximos y mínimos relativos se les llama extremos relativos o locales.
José R. Narro
99
Derivabilidad
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
Tema 1: Conceptos básicos
Una condición necesaria de extremo en términos de derivada la da el:
José R. Narro
100
Teorema
Sea f : (a, b)  R y c  (a, b). Si f tiene un máximo (mínimo) en c y f es derivable
en c entonces f´(c) = 0.
Una función puede tener extremos relativos sin ser derivable. Así mismo la
anulación de la derivada no es una condición suficiente de extremo.
y = |x|
No existe f´(0)
y = (x-3)3 + 2
En x= 3, hay punto de inflexión
con tangente horizontal: f´(3) =0
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
Teorema de Rolle
Si f : [a, b]  R, es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) siendo
f(a) = f(b), entonces existe al menos un c  (a, b) tal que f´(c) = 0.
y
f´(c1) = f´(c2) = 0, pues,
(c1, f(c1)) y (c2,f(c2)) son
Puntos con tangente
horizontal
y = f(x)
f(a) = f(b)
c2
a
José R. Narro
101
c1
x
b
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
Teorema del valor medio de Lagrange
Si f : [a, b]  R, es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces
existe un c  (a, b) tal que
f(b) – f(a) = f´(c)(b – a)
(este teorema se llama también “teorema de los incrementos finitos” ).
Tiene la interpretación geométrica siguiente: si A = (a, f(a)) y B = (b, f(b)) entonces
f(b)-f(a)
el número
representa la pendiente de la cuerda AB. El teorema anterior
b-a
afirma que hay un punto c entre a y b en el que la tangente a la curva y = f(x) es
paralela a la cuerda AB.
y
B
f(b)
tg  = f´(c) = f(b)-f(a)
b-a
A
José R. Narro
102

f(a)
x
a
c
b
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
José R. Narro
103
Teorema del valor medio generalizado de Cauchy
Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un c  (a, b)
tal que
f´(c)(g(b) – g(a)) = g´(c)(f(b) – f(a))
Derivabilidad
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
Tema 1: Conceptos básicos
Regla de L´Hôpital
José R. Narro
104
Sea E un entorno del punto a  R, f y g derivables en E-{a}. Si lim f(x)= lim g(x)=0
xa
xa
´
f(x)
f (x)
, entonces también existe lim
, verificándose:
´
x  a g(x)
x  a g (x)
f(x)
f ´ (x)
lim
= lim ´
x  a g(x)
x  a g (x)
y existe lim
El teorema también es cierto cuando lim f(x)   y lim g(x)=   .
xa


xa
También es válido para x  a , x  a , x  , x   .
Por tanto la Regla de L´Hôpital puede ser útil para resolver indeterminaciones de
0 
la forma , .
0 
Recordemos ahora los casos de indeterminación en el cálculo de límites:
0 
, , 0 ,    .
0 
No existen reglas generales para resolverlos aunque todos ellos se pueden reducir a
0
la forma y aplicar entonces L´Hôpital.
0
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
José R. Narro
105
Por ejemplo si lim f ( x )  0 y lim g( x )   , basta poner f(x)g(x) = f(x)/(1/g(x)),
x a
x a
0
.
0
Si lim f ( x )  lim g( x )   , y hay que estudiar lim( f ( x )  g( x )) , se puede poner
para llevar la indete rminación 0 a la forma
x a
x a
x a
1
1

g(x) f(x)
f(x)-g(x) =
1
f(x)g(x)
0
.
0
Las indeterminaciones de la forma 00, ∞0, 1∞ se reducen a las anteriores utilizando
con lo que la indeterminación    se reduce a la forma
la identidad f(x)g(x) = eg(x)log f(x), suponiendo f(x)>0.
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Derivadas
José R. Narro
106
Ejercicio
Calcular los siguientes límites:
1
1) lim (cos ax)
x 0
2) lim xsen x
x  0
x2
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Extremos
Recordemos ahora algunas de las aplicaciones de la derivada para el estudio de
una función.
Las definiciones de extremos relativos, ya dadas, difieren de las de extremos
absolutos:
a) La función f tiene un máximo absoluto en c si f(x)  f(c) para todo x  Dom
f.
b) La función f tiene un mínimo absoluto en c si f(c)  f(x) para todo x  Dom
f.
Los máximos y mínimos absolutos se llaman extremos absolutos. Se definen de la
misma forma para cualquier subconjunto del dominio de la función
Teorema
Si f es derivable en un intervalo I, entonces se verifica:
1) f es creciente en I si y solo si f´(x)  0 x  I .
2) f es decreciente en I si y solo si f´(x)  0 x  I .
José R. Narro
107
3) Si f´(x)>0 para todo x  I entonces f es estrictamente creciente en I.
4) Si f´(x)<0 para todo x  I entonces f es estrictamente decreciente en I
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Extremos
Caracterizamos ahora los extremos relativos utilizando las derivadas. Recordemos
que una condición necesaria de extremo es:
Sea f : (a, b)  R y c  (a, b). Si f tiene un máximo (mínimo) en c y f es derivable
en c entonces f´(c) = 0.
Teorema (condiciones suficientes de extremo)
Sea c  (a, b) y f continua en c,
1) Si existe   R+ tal que
f´(x)>0
f´(x)<0
x  (c-  , c), ( f crece a la izquierda de c)
x  (c, c+  ), ( f decrece a la derecha de c)
entonces f tiene un máximo relativo en c (la función pasa de creciente a
decreciente)
2) Si existe   R+ tal que
f´(x)<0 x  (c-  , c), ( f decrece a la izquierda de c)
f´(x)>0 x  (c, c+  ), ( f crece a la derecha de c)
José R. Narro
108
entonces f tiene un mínimo relativo en c (la función pasa de decreciente a
creciente)
Derivabilidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Extremos
José R. Narro
109
f es creciente en (a, c)
f es decreciente en (c, b)
f es decreciente en (a, c)
f es creciente en (c, b)
f´(x)<0)
f´(x)>0
f´(x)>0
f´(x)<0
a
c
b
a
No existe f´(c).
En x=c hay max.
relativo
c
Existe f´(c).
En x = c hay min.
Relativo.
b
Derivabilidad
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Extremos
Tema 1: Conceptos básicos
Veamos ahora otra condición suficiente de extremo que se basa en la paridad de la
primera derivada que no se anula en elpunto considerado.
Teorema
Sea c  Dom f; f tiene n derivadas continuas en c, siendo n el orden de la primera
derivada que no se anula, es decir, f´(c) = … =f(n-1(c) = 0, f(n(c)  0.
Si n es par
f(n(c) >0  f tiene un mínimo relativo en c
f(n(c) <0  f tiene un máximo relativo en c
Si n es impar , f no tiene extremo en c (en c presenta un punto de inflexión con
tangente horizontal).
Si se quieren obtener los extremos absolutos de una función continua en un
intervalo cerrado [a, b], que siempre existen, se deben comparar los valores que
toma la función en los puntos:
1) Donde f no es derivable
2) Donde se anula f´(posibles extremos relativos)
José R. Narro
110
3) Los extremos del intervalo.
Concavidad-convexidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Conceptos:
Recordemos los conceptos de concavidad, convexidad y punto de inflexión. Sea f
una función derivable en el punto a, por tanto su gráfica admite tangente en dicho
punto, decimos que f es cóncava en a, cuando existe un entorno de a, para el cual
el arco de curva correspondiente está por encima de la recta tangente en el punto
(a, f(a)). Decimos que f es convexa en a, cuando existe un entorno de a, para el cual
el arco de curva correspondiente está por debajo de la recta tangente en el punto
(a, f(a)).
Convexa en x = a
Cóncava en x = a
a
José R. Narro
111
a
Concavidad-convexidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Punto de Inflexión
Cuando el arco de curva correspondiente a un entorno de a se encuentra, a la
derecha de a por encima de la recta tangente en (a, f(a)), y a la izquierda por
debajo (o viceversa), se dice que el punto (a, f(a)) es un punto de inflexión, es decir,
a un lado de un punto de inflexión la función es cóncava y al otro lado es convexa.
La recta tangente en un punto de inflexión debe cortar a la gráfica de la función.
y
A la izquierda de x = a es
convexa y a la derecha es
cóncava
(a, f(a)) es un punto
de inflexión
x
a
José R. Narro
112
Concavidad-convexidad
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Concavidad, convexidad en un intervalo.
José R. Narro
113
Decimos que una función es cóncava (o convexa) en un conjunto A  R, cuando lo
es en todos los puntos de dicho conjunto.
f es convexa en (a, b)
f es cóncava en (a, b)
a
b
a
b
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Concavidad-convexidad
José R. Narro
114
Teorema
Si f tiene derivada segunda en el intervalo I, siendo f´´>0 en I, entonces f es cóncava
en I (por ser f´estrictamente creciente). Si f´´<0 en I, entonces f es convexa en I (al ser
f´ estrictamente decreciente).
Luego si f tiene derivada segunda en I, en un punto de inflexión c debe ser f´´(c) = 0.
y = (x-2)4 + 5
y´´ = 12(x-2)2  0, x  R
f = (x-2)4+5, es cóncava en R
y = -(x-2)4 + 5
y´´ = -12(x-2)2  0,x  R
f = -(x-2)4+5, es cóncava en R
Gráficas de funciones
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Representación gráfica
La representación gráfica de una función f debe ser el reflejo del estudio que se
haya realizado sobre ella, y que puede resumirse en los siguientes apartados:
1. Estudio del dominio de f.
2. Obtención de los posibles cortes con los ejes coordenados.
3. Estudio de simetrías sencillas: respecto de eje OY y de origen de
coordenadas
4. Estudio de la periodicidad.
5. Obtención de las asíntotas y, de los posibles puntos de corte con la asíntota
oblícua.
6. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
José R. Narro
115
Gráficas de funciones
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Representación gráfica
José R. Narro
116
Ejercicio
x3
Obtener la gráfica de la función y =
(x  1) 2
Ejercicio
|x|
, estudiar:
e|x-1|
a) Dominio y continuidad.
Dada la función y =
b) Derivabilidad.
c) Crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos.
d) Extremos absolutos en el intervalo [-2, 3].
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Indefinida: Primitivas
Nos ocupamos ahora del problema inverso de la derivación: dada una función f(x),
obtener una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x), es decir
F´(x) = f(x).
Sea f: I  R , siendo I un intervalo cualquiera.
Decimos que una función F: I  R, es una primitiva de f, si existe F´en I, y se
verifica F´(x) = f(x) para todo x  I.

Si f admite una primitiva F en I, entonces f admite infinitas primitivas que
son todas las funciones de la forma F(x)+k, donde k es un número real
cualquiera, ya que se tiene (F(x)+k)´= F´(x)+k´= f(x)+0 = f(x).

El conjunto de todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f, y
se escribe
 f(x) dx = F(x) + C,
siendo F una primitiva cualquiera de f y C una constante arbitraria.
José R. Narro
117

El símbolo

se llama signo integral y, f(x) integrando
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Indefinida: Primitivas
No toda función admite primitiva en un intervalo I. Sin embargo se verifica el
siguiente
Teorema
Toda función continua f en el intervalo [a, b] tiene una función primitiva y, por
consiguiente integral indefinida.
Es importante resaltar que mientras que la derivada de una función elemental es
una función elemental, la primitiva de una función elemental puede no ser una
función elemental, es decir, no se puede expresar operando un número finito de
veces funciones elementales.
Así, por ejemplo, las siguientes integrales existen, pero no son funciones
elementales:
-x
e
 dx ,
2
José R. Narro
118

sen x
dx ,
x
cos x
 x dx ,
1
 ln x dx .
Integral de Riemann
Integral Indefinida: Integrales inmediatas
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Consecuencia inmediata de esta definición es
José R. Narro
119
(  f(x) dx)´= f(x).
Veamos una tabla de integrales inmediatas
xk 1
1. x dx =
+ C ,(k  -1).
k+1

k

2.
dx
= log |x|+C.
x
3.
 sen x dx = -cos x + C.
4. cos x dx = senx dx + C
5.

6.

7.
 tg x dx = -log |cos x| + C.
8.
 cotg x dx = log |sen x| + C.
9.
e
dx
=
cos 2 x
x
11.

13.

 (1 + tg x) dx = tg x + C.
2
x
dx = e + C.
dx
= arctg x + C.
1+x 2
dx
1-x 2
= arcsen x + C .

dx
= -cotg x + C.
sen 2 x
10.

ax
a dx =
+ C.
log a
12.

1
x
dx
=
+ C, a  0 .
arctg
a
a 2 +x 2 a
14.

x
dx
a 2 -x 2
= arcsen
x
+ C, a>0.
a
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Indefinida: Propiedades
José R. Narro
120
La integral indefinida es lineal, es decir se verifican las igualdades siguientes,
donde f y g son dos funciones que admiten primitivas y k  R:
a)
 (f(x) + g(x)) dx =  f(x) dx +  g(x) dx.
b)
 kf(x) = k  f(x) dx.
Estudiemos ahora algunos métodos que permiten transformar integrales difíciles
en otras más sencillas.
Integral de Riemann
Integral Indefinida: Cálculo de Primitivas
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integración por cambio de variable o sustitución.
José R. Narro
121
Si se quiere calcular la integral
 f(x) dx ,
se puede realizar el cambio de variable
x =  (t), suponiendo que f y  son funciones continuas, verificándose entonces la
igualdad:
 f(x) dx =  f(  (t)) ´(t) dt.
Entendiéndose que al variable t será sustituida después de la integración del
segundo miembro de la igualdad por su expresión en función de x.
A veces, es mas práctico elegir la sustitución de la variable en la forma t =  (x) y
no en x =  (t). Aclaremos esto con un ejemplo:

3x 2 +2x
dx
Supongamos que se quiere calcular la integral :
x 3 +x 2
haciendo el cambio x3 + x2 = t, se tiene (3x2 +2x) dx = dt, y la integral se convierte
dt
en
= log |t| + C = log |x3 + x2| + C.
t
dx
Otro ejemplo:
, haciendo el cambio x = at, dx = adt, sustituyendo queda
2
a +x 2
a
1 dt
1
1
x
=
arctg t + C =
arctg
+ C.
dt = 
2
2 2
2
a +a t
a 1+t
a
a
a



Integral de Riemann
Integral Indefinida: Cálculo de Primitivas
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integración por partes
Si f y g son dos funciones derivables se verifica
 f´(x)g(x) dx = f(x)g(x) -  g´(x)f(x) dx.
Este método convierte la integral en una parte ya integrada mas una integral por
calcular, tendrá éxito si esta última integral es mas facil de calcular que la inicial.
Veamos algunos ejemplos:
a) I =
x
2
log x dx
x3
1
Haciendo f´= x , y g = log x  f =
, g´= ; sustituyendo en la fórmula
x
3
3
2
3
3
x
x
x
x
log x log x queda I =
dx =
+C
3
3
3
9
2

b) I =
 arcsen x dx =
Haciendo f´= 1, y g = arcsen x  f = x, g´=
fórmula queda I = x arcsen x -
José R. Narro
122

x
1-x
2
1
1-x 2
; sustituyendo en la
dx = x arcsen x +
1-x 2 + C.
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Indefinida: Integración de funciones racionales
José R. Narro
123
Las funciones racionales son aquellas que se expresan mediante un cociente de
polinomios. Cualquier función racional se puede expresar como suma de un
polinomio mas una función racional propia (grado del numerador menor que el
grado del denominador) sin mas que realizar la división entre el numerador y el
denominador; luego la integración de una función racional se reduce a la
integración de un polinomio (que es inmediata) mas la integración de una función
racional propia, por tanto nos ocuparemos de la integración de funciones
racionales propias.
El procedimiento para integrar estas funciones se basa en la descomposición en
fracciones simples.
Integral de Riemann
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Indefinida: Integración de funciones racionales
Tema 1: Conceptos básicos
Distinguimos dos casos fundamentales:
a) El denominador solo tiene raíces reales.
En este caso descomponemos la función racional en tantas fracciones simples como
indica el grado del denominador: entendiendo por fracciones simples aquellas que
tienen la forma
las raíces del denominador.
Aclaremos lo anterior con algunos ejemplos, calculemos I =
124

x 3 +1
dx :
x 3 -x
Como la fracción a integrar no es propia efectuamos la división de x3+1 entre x3-x
obteniéndose 1 de cociente y x+1 de resto.
Luego I =
José R. Narro
A
A
o
, donde A es un número por determinar y a es una de
x-a (x-a)n
 (1 + xx+1-x )dx = x + 
3
x+1
dx
x 3 -x
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Indefinida: Integración de funciones racionales
Descompongamos la fracción
x+1
, que es propia, en fracciones simples, para lo
x 3 -x
cual descomponemos en factores el denominador, que equivale a calcular sus
raíces:
x3-x = x(x2-1) = x(x-1)(x+1), luego sus raices son 0, 1, -1, y la descomposición es:
x+1
=
x 3 -x
A B
C A(x2 -1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)
+
+
=
, luego se debe cumplir la
x x-1 x+1
x 3 -x
identidad: A(x2-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1) = x+1, cierta para todo x  R.
Las incógnitas A, B, C se calculan dando valores a x, lo mas cómodo es dar a x los
valores de las raíces del denominador
x = 0  -A = 1  A = -1
x = -1  2C = 0  C = 0
x = 1  2B = 2  B = 1
Luego se tiene:
José R. Narro
125

x+1
dx =
x 3 -x
1
) dx = - 
 ( -1x + x-1
1
dx +
x

1
dx = -log |x| + log |x-1| +C.
x-1
Integral de Riemann
Integral Indefinida:Integración de funciones racionales
Introducción al Cálculo Infinitesimal
En el ejemplo anterior todas las raíces del denominador eran simples, veamos
Tema 1: Conceptos básicos
ahora un ejemplo con alguna raíz múltiple:
Calculemos I =

x-3
dx
x -3x2 +2x
4
La fracción a integrar es propia por lo que ya podemos descomponerla en
fracciones simples; para ello descomponemos en factores el denominador
utilizando Ruffini:
x4-3x2+2x = (x-1)(x-1)(x+2)x = (x-1)2(x+2)x, luego las raices son 1(doble),- 2 y 0
(simples).
Descomponemos en 4 fracciones simples (como indica el grado):
A
B
C D A(x-1)(x+2)x+B(x+2)x+C(x-1)2 x+D(x-1)2 (x+2)
x-3
+
+
+ =
=
x4 -3x 2 +2x
x4 -3x2 +2x x-1 (x-1)2 x+2 x
Debe ser A(x-1)(x+2)x+B(x+2)x+C(x-1)2x+D(x-1)2(x+2) = x-3, cierta para todo x.
Dando valores a x:
x = 1  3B = -2  B =
x = 0  2D = -3  D =
José R. Narro
126
2
3
3
2
x = -2  -18C = -5  C =
5
18
x = -1  2A-B -4C+4D = -4  A =
11
9
Integral de Riemann
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Indefinida: Integración de funciones racionales
Tema 1: Conceptos básicos
Luego I =
11
9

2
1
dx +
3
x-1

1
5
dx +
2
(x-1)
18
127

1
dx =
x
2 1
5
3
11
log|x-1| +
+
log|x+2| - log|x| + C.
3 x-1 18
2
9
b) El denominador tiene al menos una raíz compleja (no real) .
En este caso las raíces aparecen por pares conjugadas (¿Por qué?), y en la
descomposición en fracciones simples aparecen fracciones de la forma:
Mx+n
,
x +px+q
2
siendo p2-4q < 0 (¿Por qué?).
Antes de calcular la integral de la fracción anterior calculemos otra más sencilla
Mx+N
 x +a
2
2
dx = M 
x
dx + N
x +a2
2
1
 x +a
N
M
x
log (x2 + a2) +
arctg
+ C.
a
2
a
José R. Narro
3
1
dx +
2
x+2

2
2
dx =
M
2
2x
 x +a
2
2
dx + N
1
x
arctg
=
a
a
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Indefinida: Integración de funciones racionales
La integral I =
el denominador:
Mx+N
Mx+N
=
dx
I= 
 p 2 4q-p 2 dx
p2
p p2
2
x +2 x+ +q(x+ ) +
4
4
2
4
2
4q-p 2
p
>0 (¿Por qué?), se convierte en una
Haciendo el cambio x + = t, y siendo
2
4
4q-p 2
= a2, y siendo dx = dt 
integral del tipo anterior. Llamando
4
p
p
N-M
M(t- )+N
2t
M
dt
p
Mt
2
dt =  2 22 dt +  2 2 dt = (N-M ) 2 2 +
I= 
dt
2
2
2

t +a
t +a
2 t +a 2
2 t +a
t +a
t
p 1
M
log( t 2 +a 2 ) + C, y sustituyendo t y a queda
I = (N-M ) arctg +
a
2 a
2
p 2 4q-p 2
M
2
2x+p
2
2N-Mp
)+ C 
log((x+ ) +
)+
arctg (
I=
4
2
2
2
2
4q-p 2
4q-p 2
I=
José R. Narro
128
Mx+N
dx, se reduce a la anterior completando un cuadrado en
2
+px+q
x
2N-Mp
4q-p2
arctg(
2x+p
4q-p2
)+
M
log(x2 +px+q) + C.
2
Integral de Riemann
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Indefinida: Integración de funciones racionales
Tema 1: Conceptos básicos
Luego se ha encontrado la fórmula:

Mx+N
2N-Mp
2x+p
dx =
arctg(
)+
2
2
x +px+q
4q-p
4q-p2
x 2 -2
 x3 +2x2 -2x+3 dx
Como la fracción es propia podemos descomponerla en fracciones simples.
Resolvemos un ejemplo numérico:I =
Descomponiendo el denominador en factores se obtiene:
x3+2x2-2x+3 = (x+3)(x2-x+1), el factor x2-x+1, tiene raíces no reales como
fácilmente se comprueba.
x 2 -2
A(x 2 -x+1)+(Mx+N)(x+3)
A
Mx+N
=
=

+
x 3 +2x 2 -2x+3
x 3 +2x 2 -2x+3
x+3 x2 -x+1
A(x2-x+1) + (Mx+N)(x+3) = x2-2, igualdad válida para todo x.
Obtenemos las incógnitas A, M y N, dando valores arbitrarios a x:
x = -3  13A = 7  A =
7
13
-2-A
11
=
13
3
-1-A-4N
6
x = 1  A + (M+N)4 = -1  M=
=
4
13
x = 0  A + 3N = -2  N =
José R. Narro
129
M
log(x2 +px+q) + C.
2
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Indefinida: Integración de funciones racionales
José R. Narro
130
6 11
x7
1
13
13 dx = 7 log |x+3| + 1
Por tanto I =
dx
+
 x2 -x+1
13  x+3
13
13
Calculamos
6x-11
 x2 -x+1 dx. + C
6x-11
 x2 -x+1 dx, completando un cuadrado en el denominador
6x-11
 x2 -x+1 dx =
6x-11
 2 1 1 1 dx =
x -2 x+ +12 4
4
6x-11
 1 2 3 dx;
(x- ) +
2
4
1
6(t+
)-11
1
2
hacemos el cambio x- = t  dx = dt, sustituyendo queda 
dt =
3
2
2
t +
4
2t
2
3
6t-8
2t
1
2
dt
=
dt
-8
dt
=
3log(
8
arctg(
)+C
t
+
)
3
 2 3
 2 3
 2 3
4
3
3
t +
t +
t 
4
4
4
Sustituyendo t por x -
1
, y el valor que se obtenga en I, se termina el cálculo.
2
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Indefinida: Integración de funciones racionales
José R. Narro
131
Las integrales de funciones trigonométricas, es decir, funciones racionales de seno
y coseno, simbólicamente I =
 R(sen x, cos x)dx ,
funciones racionales mediante el cambio tg
se reducen a integrales de
x
= t , llamado usualmente cambio
2
universal, ya que al aplicarlo siempre se obtiene la integral de una función
racional, aunque en algunos casos puede dar lugar a cálculos largos. Haciendo
dicho cambio obtenemos:
x
x
x
2tg
cos
2 = 2t
2 =
2
sen x =
1+t 2
2 x
2 x
2 x
1+tg
sen +cos
2
2
2
2 sen
x
x
x
1-tg 2
-sen 2
1-t 2
2
2
2
cos x =
=
=
1+t 2
2 x
2 x
2 x
1+tg
sen +cos
2
2
2
cos 2
Integral de Riemann
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Indefinida: Integración de funciones racionales
Tema 1: Conceptos básicos
tg
x
2
x
= arctg t  x = 2arctgt  dx =
=t 
dt
2
1+t 2
2
Sustituyendo en I se obtiene:
2t 1-t 2
2
I =  R(
,
)
dt
2
2
1+t 1+t 1+t 2
Apliquémoslo al cálculo de la integral
2
2
dx
1
I= 
=  1+t
dt=2 2
dt , resolvemos la última integral.
2t
1+2sen x
t +4t+1
1+2
1+t 2
Descomponiendo en factores el denominador:
t2+4t+1 = 0  t = -2  3  t2+4t+1 = (t + 2- 3)(t+2+ 3) 
A(t+2+ 3)+B(t+2- 3)
1
A
B
=
+
=
 A(t+2+ 3 )+ B(t+2- 3)  1
t 2 +4t+1 t+2- 3 t+2+ 3
t 2 +4t+1
dando valores adecuados a t
José R. Narro
132
t = -2- 3  -2 3 B = 1  B =
1
2 3
, t = -2 +
3  2 3A=1  A=
1
2 3
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Indefinida: Integración de funciones racionales
José R. Narro
133
Luego
1
2 3
I=
1
1
1
1
1
dt=
dt t 2 +4t+1 2 3  t+2- 3 2 3  t+2+ 3 dt =
log|t+2- 3|1
3
1
2 3
log|t+2- 3|-
I=
log|t+2+ 3| +C, sustituyendo en I 
1
3
1
log|t+2+ 3| + C, deshaciendo el cambio 
x
1
x
log|tg +2- 3|log|tg +2+ 3| + C
2
2
3
3
Integral de Riemann
Integral Definida
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
El concepto de integral definida (según Riemann) está fundamentalmente
relacionado con el cálculo de áreas de regiones planas, en particular el área
determinada por:el eje OX, la gráfica de la curva y = f(x), y las rectas x = a, y = b.
y
y = f(x)
José R. Narro
134
x
x=a
x=b
Integral de Riemann
Integral Definida: Partición
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Definimos en primer lugar el concepto de partición:
Sea el intervalo [a, b], llamamos partición de [a, b] a cualquier colección finita de
puntos del intervalo, P = {x0, x1, …, xn }, siendo x0 = a < x1 < … <xn = b.
Luego [a, b] queda dividido en n subintervalos [xi, xi+1], i = 0, …,n-1.
y
x
José R. Narro
135
a
x1
x2
…
Xn-1 b
Integral de Riemann
Integral Definida: Suma de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Si f : [a, b]  R, es una función acotada, definimos la “suma de Riemann” de f
José R. Narro
136
respecto de la partición P = {x0, x1, …, xn } de [a, b], como el número
n
S(P, f) =
 f(ξ )(x -x
i
i
i-1
) , siendo i  [xi-1, xi].
i=1
y
S(P, f) es una suma de áreas de rectángulos que aproxima el área
de la región limitada por: y = f(x), x = a, x = b y el eje OX.
y = f(x)
a
1 x 2 x
1
2
…
Xn-1
n b
x
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Definida: Definición
Consideremos la partición Pn, resultado de dividir [a, b] en n subintervalos de
igual longitud, o sea
b-a
b-a
b-a
,a+2
, …, a + n
=b}
n
n
n
Pn = { a, a +
Decimos que f es integrable si existe lim S(Pn, f) y es independiente de la elección
n 
de los puntos  i , entonces definimos

b
f(x) dx = lim S(Pn, f), siendo a  b.
a
f(x) dx = -  f(x) dx
a
b
así como:
a
a
137
a
Si b  a definimos:

José R. Narro

b
f(x) dx = 0.
n 
Integral de Riemann
Integral Definida: Propiedades
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Enunciemos ahora las principales propiedades de la integral:
José R. Narro
138
Linealidad
Si f, g :[a, b]  R son funciones integrables y a  R, entonces

1) f + g es integrable y
a

2) α f es integrable y
b
b
a
(f(x)+g(x)) dx=

αf(x) dx = α
b
a

b
a
f(x) dx +  g(x) dx
b
a
f(x) dx
Monotonía
Si f, g :[a, b]  R son funciones integrables y f(x)  g(x)  x  [a, b] 

b
a
f(x) dx 

b
a
g(x) dx
Acotación
Si f: [a, b]  R es una función integrable, existen m, M  R tales que
m(b-a) 

b
a
f(x) dx  M(b-a)
Aditividad respecto del intervalo
Si f: [a, b]  R es una función acotada y c  (a, b); entonces f es integrable en [a,
b] si y solo si lo es en [a, c] y en [c, b], y se verifica

b
a
f(x) dx =

c
a
f(x) dx +  f(x) dx
b
c
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Definida: Teoremas fundamentales
Teorema
a) Toda función f: [a, b]  R monótona es integrable .
b) Toda función f continua en [a, b] es integrable en [a, b].
Teorema
Si f: [a, b]  R es integrable, entonces | f | también lo es, y se verifica
|  f(x) dx | 
b
a
|f(x)| dx
Si f: [a, b]  R es una función continua, entonces existe un c  (a, b) tal que
b
a
139
a
Teorema del valor medio

José R. Narro

b
f(x) dx = f(c)(b-a).
Integral de Riemann
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Definida: Teoremas fundamentales
Tema 1: Conceptos básicos
Teorema fundamental del cálculo
Sean f, F : [a, b]  R, funciones continuas en [a, b]. Entonces F es derivable en (a,
b) y F´(x) = f(x)  x  (a, b) si y solo si

x
f(x) dx = F(x) – F(a), para todo x  [a, b].
a
Regla de Barrow
Si f es una función continua en [a, b] y F es continua en [a, b], derivable en (a, b) y
verificando F´(x) = f(x)  x  (a, b) entonces

b
a
f(x) dx = F(b) – F(a).
La Regla de Barrow permite calcular la integral definida a partir de los valores en
los extremos del intervalo de una primitiva de la función f, y que usualmente para
abreviar se escribe
José R. Narro

b
a
140
f(x) dx  [F(x)]ba
Integral de Riemann
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Definida: Teoremas fundamentales
Tema 1: Conceptos básicos
Veamos algunos ejemplos:

π
0
sen x dx = [-cos x]0π = 1 + 1 = 2
2
1 2
e 1 e -1
xex dx = [ ex ]10 = - =
0
2
2 2
2

1

2
1
dx
=[log x]12 = log 2 – log 1 = log 2
x
Teorema (Integración por partes)
Sean f, g:[a, b]  R, derivables y con derivada continua en[a, b], entonces se verifica:

b
a
f(x)g´(x) dx=[f(x)g(x)]ba -  f´(x)g(x) dx
b
a
Como ejemplo calculamos I =

π
0
xsen x dx .
Llamando f = x, g´= sen x  f´= 1, g = -cos x  sustituyendo en la fómula
π
José R. Narro
141
I = [-xcos x]oπ -  (-cos x) dx = (π-0)+[sen x]0π = π
0
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Definida: Teoremas fundamentales
Teorema (Cambio de variable o sustitución)
Sea j :[α, β]  R , una función derivable con derivada continua en [α, β] , si f es una
función continua en el intervalo  ([α, β]) , y siendo  (α) = a,  (β) = b , entonces
haciendo el cambio x=  (t) , se verifica

a
α
haciendo el cambio x = 2sen t  dx = 2cos t dt
π
x = 2  2 = 2 sent  sen t = 1  t =
2
x = 0  0 = 2 sen t  sen t = 0  t = 0

2
4 - x2 dx :
0
Luego:
I= 
142
β
f(x) dx =  f( (t))´(t) dt
Apliquemos el cambio de variable al cálculo de I =
π
2
0
José R. Narro
b
π
2
0
=2 
π
2
0
4 - 4sen t 2cos t dt = 4
2
π
2
0
π
2
0
1- sen t cos t dt = 4  cos t dt = 4 
2
π
1
π
(1 + cos 2t) dt = 2[t + sen 2t]02 = 2 = π
2
2
2
1 + cos 2t
dt =
2
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Definida: Aplicaciones geométricas
Estudiemos algunas aplicaciones geométricas de la integral definida:
Cálculo de áreas de regiones planas
Área entre una curva y el eje OX: si f es una función continua definida en el
intervalo [a, b], el área de la región limitada por la curva y = f(x), el eje OX y
las rectas x = a y x = b tiene por valor
A=
143
a
| f(x) | dx
Área encerrada entre dos curvas: si f y g son dos funciones continuas definidas
en [a, b], entonces el área de la región limitada por la curva y = f(x), la curva
y = g(x), la recta x = a y la recta x = b tiene por valor:
A=
José R. Narro

b

b
a
| f(x) - g(x) | dx
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Definida: Aplicaciones geométricas
Ejemplo: Obtener el area de la región encerrada entre las curvas y = x3 - x2 - 2x + 2
e y = x4 – 4x3 + x2 + 6x + 2.
Se puede tomar: f(x) = x3 - x2 - 2x + 2, g(x) = x4 – 4x3 + x2 + 6x + 2
Calculamos en primer lugar los puntos de corte de las dos curvas
f(x) = g(x)  x3 - x2 - 2x + 2 = x4 – 4x3 + x2 + 6x + 2  x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = 0 
x(x3 – 5x2 + 2x + 8) = 0  x = 0, o x3 – 5x2 + 2x + 8 = 0  x = -1,2, 4.
Luego los puntos de corte corresponden a los valores de x: -1, 0, 2, 4; por lo tanto a
= -1, b = 4.
Como en la fórmula aparece el valor absoluto es necesario obtener el signo de f-g
en cada subintervalo: [-1, 0], [0, 2], [2, 4], ya que dicho signo permanece constante
en cada uno de ellos; para ello basta con obtener el valor de f-g en un punto
interior de cada subintevalo
llamando h(x) = f(x) – g(x) = - x4 + 5x3 – 2x2 – 8x 
-1
2
José R. Narro
144
∈ (-1, 0) ⇒ h(
-1
2
)=
45
16
>0
1  (0, 2)  h(1) = -6 < 0
3  (2, 4)  h(3) = 12 > 0
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Definida: Aplicaciones geométricas
José R. Narro
145
Por tanto se tiene:



b
a
2
|f(x)-g(x)| dx =
0
0
1

4
1
| - x4 + 5x3 – 2x2 – 8x| dx =
|- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x| dx + 
4
1
|- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x| dx +
|- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x| dx =
2
(- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x) dx +

0

2
0
( x4 - 5x3 + 2x2 + 8x) dx +
x5
x 4 x3 x 2 0
x5 x 4
x3
x2 2
2 (- x + 5x – 2x – 8x) dx = [- 5 +5 4 -2 3 -8 2 ]1 + [ 5 -5 4 +2 3 +8 2 ]0
x5
x 4 x 3 x 2 4 113 116 244 1553


+ [- +5 -2 -8 ]2 =
=
60 15
15
60
5
4
3
2
4
4
3
2
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Definida: Aplicaciones geométricas
José R. Narro
146
Gráficas de las funciones
y = x4 - 4x3 + x2 + 6x + 2
y = x3 – x2 - 2x + 2
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Definida: Aplicaciones geométricas
Volumen de un cuerpo de revolución: el volumen engendrado por la región
encerrada por las curvas y = f(x) e y = g(x) para x  [a, b], con f(x)  g(x), al girar
dicha región alrededor del eje OX es:
b
V =   [g 2 (x)-f 2 (x)] dx .
a
Si se tratase del volumen generado por la región determinada por la curva y = g(x),
el eje OX, para x  [a, b], con g  0, su valor se obtendría poniendo f(x) = 0 en la
fórmula anterior, pues la ecuación de eje x es y = 0
b
José R. Narro
147
V =   g 2 (x) dx .
a
Integral de Riemann
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Definida: Aplicaciones geométricas
Ejemplo
Obtener el volumen de cuerpo de revolución que genera el circulo de centro C(0,
2), y radio 1, al girar alrededor del eje OX (la superficie formada se denomina
“toro”).
La ecuación de la circunferencia que delimita el círculo es: x2 + (y-2)2 = 1 
y – 2 =  1-x 2  y = 2  1-x 2 . Luego en este caso se tiene:
g(x) = 2 + 1-x 2 , f(x) = 2 - 1-x 2 , con lo que el volumen pedido será:
148
1
-1
-1
1-x 2 dx
Resolvemos la última integral con el cambio x = sen t  dx = cos t dt
π
3π
x =1  t = ; x = -1  t =
; 1-x 2 = 1-sen 2 t = cos 2 t  |cos t|,
2
2
luego 8π 
1
-1
José R. Narro
1
V = π  [(2+ 1-x 2 )2 -(2- 1-x 2 )2 ] dx = 8π 
3π
2
π
2
8π 
π
2
3π
2
3π
2
π
2
3π
2
π
2
1-x = 8π  |cos t| cos t dt = - 8π  (-cos t)cos t dt = 8π  cos 2 t dt =
2
3π
3π π
1+cos 2t
1
dt = 4π[t+ sen 2t] π2 = 4π( - ) = 4π 2 .
2 2
2
2
2
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Impropia: Introducción
Tema 1: Conceptos básicos
Ahora se trata de generalizar el concepto de integral de Riemann a aquellos casos
José R. Narro
149
donde el intervalo de integración no es acotado o bien la función a integrar no está
acotada.
En definitiva diremos que la integral

b
a
f(x) dx es impropia si se da al menos una
de las siguientes hipótesis:
1. El intervalo [a, b] no está acotado.
2. La función f(x) no está acotada en el intervalo [a, b].
Este tipo de integral tiene bastantes aplicaciones en otras áreas científicas: Física,
Economía, …, etc.
Ejemplos
1)


0
x dx , el intervalo [0, +∞] no está acotado.
1
1
,
no está acotada en cualquier entorno de x = 0.
dx
 1 x
x
5 1
1
3) 
dx , el intervalo (-∞, 5] no está acotado y, 2 no está acotada en
2
 x
x
cualquier entorno de x = 0.
2)
5
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Impropia
Integrales impropias en intervalos no acotados
(o con límites de integración infinitos)
También se les suele llamar de primera especie
Por ejemplo serían de la forma:


0
1
dx ,
1+x 2

-1
-
2
xe-x dx .

Consideremos ahora otro ejemplo e intentemos darle un significado:  e-x dx .
0
La integral

b
0
e-x dx , tiene sentido para cualquier b (por muy grande que sea este)
y podemos calcular:

b
0
e-x dx =   (-1)e-x dx = [e -x ]b0 = -[e-b-e0] = 1  e -b .
b
0
Se tiene lim (1-e-b ) = 1, luego parece lógico definir:
b 
José R. Narro
150


0
e-x dx = 1.
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Impropia
Interpretación geométrica
Se puede interpretar geométricamente diciendo que el área de la región (no acotada)
determinada por y = e-x, el eje OX, y la recta x= 0 , vale 1.
y=e-x
1
José R. Narro
151
Integral Impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Definición
José R. Narro
152
Utilizando la misma idea del ejemplo anterior podemos dar la definición general:
1)


a
f(x) dx  lim

b
b  a
f(x) dx
Donde se supone que f(x) es una función acotada e integrable en todo intervalo de
la forma [a, b], siendo a un valor fijo y b uno cualquiera verificando b  a.
2)

b
-
f(x) dx = lim  f(x) dx
b
a-  a
Donde se supone que f(x) es una función acotada e integrable en todo intervalo de
la forma [a, b], siendo b un valor fijo y a uno cualquiera verificando b  a.
Si los límites existen y tienen valores finitos, entonces decimos que las
correspondientes integrales impropias convergen y tienen estos valores. En otro
caso se dice que la integral diverge.
3)



c


c
f(x) dx   f(x) dx   f(x) dx = lim

c
a a
f(x) dx  lim  f(x) dx ,
b
b 
c
donde c es un número real cualquiera. Decimos que la primera integral es
convergente si existen y son finitos los dos límites, y su valor es la suma de estos
límites. En otro caso la integral se dice divergente.
Integral Impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplo
José R. Narro
153
Estudiar la siguiente integral calculándola en su caso:

1
I= 
dx , tomando c = 0, se tiene:
 1+x 2
b
1
1
dx

lim
dx  lim[arctg x]a0  lim [arctg x]b0 
a  a 1+x 2
b  0 1  x 2
a 
b 
[arctg 0 – arctga(- ∞)] + [arctg(+∞) – arctg 0] = [0 – (-/2)] + [/2 – 0] = .
I = lim
0
Se puede interpretar este resultado diciendo que el área determinada por la curva
1
, y el eje OX vale .
y=
1+x2
y=
π
1
1+x 2
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Ejemplo
José R. Narro
154

Estudiar la convergencia de la integral I =  sen x dx .
0
I = lim
b 

b
0
sen x dx  lim [-cos x]b0  lim (-cos b+1) , como este límite no existe se
b 
b 
concluye que I diverge.
y = sen x
Integral Impropia
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Interpretación geométrica
Tema 1: Conceptos básicos
y
José R. Narro
155
y
y = g(x)
y = f(x)
I=  f(x) dx
b
-
a  
x
b
Si I es convergente, entonces el área de
la región (no acotada) definida por y =f(x),
x = b y el eje OX, coincide con el valor de
la integral.
J=
+
a
a
g(x) dx
x
b  
Si J es convergente, entonces el área de
la región (no acotada) definida por y =f(x),
x = a y el eje OX, coincide con el valor de
la integral.
Integral Impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Interpretación geométrica
y
y = f(x)

I   f(x) dx

x
Si I es convergente, entonces el área de la región
(no acotada) definida por y = f(x) y el eje OY, coincide
con el valor de la integral.
José R. Narro
156
Integral Impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integrales Impropias con integrando infinito (no acotado)
José R. Narro
157
También se le suele llamar de segunda especie
1 1
Consideremos la integral I =  2 dx , si aplicamos la Regla de Barrow, se tiene
3 x
x-2+1 1
1 -4
I= [
,
]-3 = [-x-1 ]1-3 = -(1)-1 -(-(-3)-1 = -1- =
-2+1
3 3
pero este resultado es absurdo, pues el área determinada por una función positiva,
por encima del eje OX, no puede ser negativa. El error cometido está en la aplicación
1
de la regla de Barrow, que en este caso no puede aplicarse, puesto que la función 2
x
no está acotada en [-3, 1], y por tanto no es continua en dicho intervalo. Este es un
ejemplo de integral impropia con integrando no acotado.
y=
1
x2
Integral Impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Definición
Suponemos que f(x) no está acotada en un solo punto de [a, b].Consideramos los
siguientes casos:
1) f(x) no está acotada en el límite superior b solamente, y es integrable en
todo intervalo cerrado contenido en [a, b). Se define

b
a
f(x) dx  lim-  f(x) dx
t
t b
a
Si el límite existe y es finito , este es el valor de la integral, que se dice
convergente.
En otro caso se dice divergente.
2) f(x) no está acotada en el límite inferior a solamente, y es integrable en todo
intervalo cerrado contenido en (a, b]. Se define

b
a
f(x) dx  lim  f(x) dx
b
t a
t
Si el límite existe y es finito , este es el valor de la integral, que se dice
convergente.
En otro caso se dice divergente.
3) f(x) no está acotada en un solo punto interior c, a < c< b.
Definimos

b
a
f(x) dx   f(x) dx   f(x) dx .
c
b
a
c
Cada integral de segundo miembro corresponde a los casos 1 y 2; si cada una
de estas integrales es convergente se dice que
José R. Narro
158

b
a
f(x) dx es convergente y su
valor es la suma del segundo miembro. En otro caso se dice que
divergente.

b
a
f(x) dx es
Integral Impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Interpretación geométrica
José R. Narro
159
y
y
y = g(x)
y = f(x)
I   f(x) dx
b
b
a
a
Si I es convergente, entonces el área de
la región (no acotada) definida por x = a,
y = f(x), la asíntota x = b y el eje OX
coincide con el valor de la integral
J   g(x) dx
x
b
x
a
a
b
Si J es convergente, entonces el área de
la región (no acotada) definida por x = b,
y = f(x), la asíntota x = a y el eje OX
coincide con el valor de la integral
Integral Impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Interpretación geométrica
y
160
J=  f(x) dx
b
I=  f(x) dx
c
c
a
a
José R. Narro
2
1
c
x
b
Si I y J son convergentes entonces las sumas de las áreas de las
regiones (no acotadas) definidas por: 1) y = f(x), x = a y la asíntota
x = c; 2) y = f(x), x = b y x = c, vale I+J
Integral Impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplo
José R. Narro
161
Estudiar la convergencia de la integral I = 
2
0
Calculemos
t
dx
0
4-x 2

= [arcsen
dx
4-x
2
.
x t
t
0
t
]0 = arcse -arcsen =arcsen
2
2
2
2
t
π
π
Luego I = lim(arcsen
=
arcsen
1
=
,
por
tanto
I
es
convergente
con
valor
.
)
t  2
2
2
2
π
2
I representa el área de la región (no acotada)
definida por:
1
y=
4-x2
y x = 0, la asíntota x = 2, y el eje OX
Integral Impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplo
José R. Narro
162
Estudiar la convergencia de la integral I =

3
1
0 5
x
dx .
Se tiene:
1
5
I=  x dx  lim 
3
t 0
0
4
3
t
-1
5
-1
+1
5
4
5
4
x
x 3
5
5 3
x dx  lim [
]t3  lim[
]t  lim[x
]t 


t 0
t 0
-1
4
4 t 0
+1
5
5
4
5
5 5 34
5
5
 lim[
3 t ]
4 t  0
4
5 5 34
Luego la integral es convergente con valor
.
4
y=
5 5 34
4
3
1
5
x
Integral Impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplo
José R. Narro
163
Calcular, si es posible, I =
1
0 x dx
1
Por definición, se tiene
I= lim 
t 0
1
t
dx
1
 lim[log
x
]
1-log t]  0  ( )  
t  lim[log
t  0
x t  0
Luego la integral es divergente.
y=
1
x

1
Integral Impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplo
Obtener el área de la región del primer cuadrante debajo de la curva y = x-2/3 y, a
la izquierda de x = 1.
Hagamos un pequeño estudio de la curva:
-5
-2 3 -2 1
y´= x =
<0 , para x>0, es decir en el primer cuadrante; luego la curva es
3
3 53
x
decreciente en el primer cuadrante.
2
1
Además lim x 3     , por tanto x = 0 es una asuntota vertical.
x0
0
El área pedida viene dada por la integral:

1
0
2
3
x dx = lim 
t0
1
t
-2
3
2
1
3
1
3
1
-2
y=x 3
3
José R. Narro
164
1
x
x 1
x dx  lim[
]1t  lim[
]t  lim[
3x 3 ]1t  lim[
3  3t 3 ]  3



t  0 2
t0
t0
t0
1
1
3
3
1
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Impropia
José R. Narro
165
Ejercicio
Obtener el área de la región definida por la curva y=
1
(x-1)
2
3
, el eje OX y las
rectas x = 0 y x = 3.
Ejercicio
Estudiar la convergencia de la integral
 log x dx , calculándola en su caso y
1
0
dando una interpretación geométrica del resultado obtenido
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Impropia
José R. Narro
166
Integral Impropia: De tercera especie
También se pueden considerar integrales de funciones no acotadas en un
número finito de puntos sobre un intervalo no acotado: se llaman
integrales impropias de tercera especie. Para estudiar este tipo de
integrales se utiliza la propiedad de aditividad respecto del intervalo para
descomponerlas en suma de varias integrales
de primera y segunda
especie . Si todas las integrales, en las que se descompone la integral dada,
son convergentes, esta se dice convergente y, su valor es esa suma. En caso
contrario se dice divergente.
Integral Impropia
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Ejemplo


dx
, que está definida en el intervalo no acotado [0, ∞) y el integrando no
x( x  1)
está acotado para x = 0.
1

dx
dx
Siguiendo la idea señalada disponemos: I = 
+
.
0
1
x( x  1)
x( x  1)
dx
Calculemos I1= 
, mediante el cambio x = t2  dx = 2tdt 
x(x+1)
I=
0
I1 =

1
dx
2tdt
1

2
 t(t 2 +1)  t 2 +1 dt  2arctg t=2arctg x
= lim 
1
π π
1
= lim[2arctg
x]

lim[2arctg
1-2arctg
t]=2
=
t
+
t  o
4 2
x(x+1) t 0
dx
x( x  1) t 0 t

b
dx
dx
lim
[2arctg x]1b  lim [2arctg b  2arctg 1] 
=
1 x( x  1) b 1 x(x+1) = blim

b 
π π π
= 2 -2 =
2 4 2
0
Por lo tanto:
José R. Narro
167
I=
π π
+ =π
2 2
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Impropia
José R. Narro
168
La integral calculada tiene la siguiente interpretación geométrica:
Representa el área de la región definida, en el primer cuadrante, por la curva
1
y los ejes coordenados.
y=
x(x+1)
y=
π
1
x(x+1)
Tema 1: Conceptos básicos
Introducción al Cálculo Infinitesimal
Integral Impropia
José R. Narro
169
Ejercicio
Expresar la integral

x
5 x2 -9 dx como suma de integrales de primera y segunda
especie.
Estudiar su convergencia.