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3. NEWTON: LA ACCIÓN A DISTANCIA
La posición intelectual de Newton
Isaac Newton (1642-1727) toma en la historia de la ciencia el
relevo de Galileo puesto que nace justo en el año en que aquel desaparece. Si hubiera que señalar a una sola figura como el comienzo
de la ciencia moderna, esta sería la de Newton con toda certeza. Los
trabajos que comprende su obra maestra “Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica”, publicada en 1687 tras veinte años de estudio de la mecánica celeste, eclipsan los meritos de cualquiera de sus
contemporáneos. Con ella puso unos cimientos tan sólidos al conocimiento científico, que su sistema iba a reinar indiscutido durante
más de dos siglos y, de hecho, aún sigue vigente en el mundo actual.
Newton contó para la edificación de su obra con el precedente de
Galileo, aunque su estudio de la dinámica de los cuerpos no fuera
para Newton más que un punto de partida, ya que Galileo sólo llegó
a definir imperfectamente el concepto de aceleración al final de su
obra, y es, precisamente, la relación entre la fuerza y el cambio de
velocidad, y no entre la fuerza y la velocidad misma como nos indica
la intuición, lo que constituiría la base de la nueva mecánica que
Newton iba a formular.
El enfoque científico de Newton es antes que nada positivista
en el pleno sentido actual de la palabra. Actúa como un positivista en
la medida en que afirmó que su sistema era aceptable por ser capaz
de establecer predicciones correctas, aunque la causa y modo de
transmisión de la gravitación universal, su gran descubrimiento, le
fuera siempre desconocida. Su actitud de prescindir de hipótesis para
explicar los hechos observados, en tanto éstos pudieran ser correctamente medidos y predichos, fue generalmente adoptada por los
científicos que le sucedieron.
Sólo después de finalizar la construcción de su sistema y de
comprobar que funcionaba, se puso a meditar en por qué el mundo
funcionaba como él ya había delimitado y medido. Aunque sentía
curiosidad por la causa intrínseca de la gravitación universal, se man-
tuvo estrictamente dentro de los datos de la experiencia sin formular
elucubraciones al estilo racionalista. Sin embargo, habiendo sido en
sus años de juventud seguidor de los vórtices de Descartes, nunca
llegó a ser un verdadero positivista, pues siguió creyendo que podía
hallarse el mecanismo causante de la gravedad y no renunció a su
búsqueda.
La ley del cuadrado de la distancia
La límpida formulación final de la fuerza de la gravitación dependiendo del inverso del cuadrado de la distancia, precede a una de
las controversias personales más famosas de la historia de la ciencia. Cuando la Royal Society recibió el manuscrito completo del Libro
I de los “Principia” de Newton, en 1686, el presidente Robert Hooke
(1635-1703) acusó airadamente de plagio al autor. Era cierto que
ocho años antes había mencionado en una carta al joven Newton su
idea de que la atracción planetaria decrecía con el cuadrado de la
distancia. Pero la idea de Hooke se basaba sólo en la intuición; no la
había derivado de la fórmula cuantitativa de la fuerza centrípeta y de
la tercera ley de Kepler como había hecho Newton, a quien incluso
años antes se le había ocurrido la “prueba de la Luna”, para probar la
ley de la variación inversa de la atracción con el cuadrado de la distancia.
Newton había tratado de calcular, partiendo de la velocidad de
“caída” de la Luna a su órbita desde la trayectoria tangencial, si la
razón de la fuerza de la gravedad ejercida por la Tierra sobre su satélite a la fuerza de la gravedad superficial terrestre era como la razón inversa de los cuadrados de las distancias i . Con la cifra actual
del radio terrestre, se halla que la Luna “cae” con una aceleración de
0,27 cm/seg2, 3633 veces menor que la aceleración de la gravedad
en la superficie terrestre (981 cm/seg2), y como esta cifra es aproximadamente igual a 602 y son precisamente 60 las veces que contiene la distancia a la Luna el radio terrestre, se desprende que la fuerza de la gravedad terrestre decrece en la Luna como el cuadrado de
la distancia al centro de la Tierra. Sin embargo, a Newton le decepcionó comprobar que su resultado por este método se desviaba de la
órbita real en un – 12,5 %. El fallo de la prueba, debido a emplear un
valor demasiado pequeño para el radio terrestre, lo desanimó tanto
que estuvo pensando olvidar el tema de la gravitación y quedarse en
la doctrina cartesiana de los vórtices. Volvió, sin embargo, a ocuparse de temas astronómicos, y quince años más tarde pudo hallar el
resultado esperado empleando un nuevo valor más exacto del radio
terrestre.
Por lo tanto, no era cierta la acusación de Hooke en cuanto a
su primacía en la ley del cuadrado de la distancia. Sin embargo,
Newton admitió más tarde que fueron las ideas que Hooke le había
transmitido en otras cartas, las que le inspiraron su demostración de
que un cuerpo que se mueva con velocidad tangencial uniforme, bajo
la acción de una fuerza central de atracción que varía con la inversa
del cuadrado, describirá una órbita elíptica. Se trataba de la definición del movimiento orbital de Hooke, en el que la acción atractiva
del Sol tira continuamente del planeta para sacarlo de su trayectoria
inercial. Influido por el pensamiento de Descartes, Newton creía primero que los planetas giraban alrededor del Sol arrastrados en vórtices materiales. Fue el estímulo intelectual de Hooke, por lo tanto, el
que lo llevó a considerar el movimiento orbital como compuesto por
un movimiento acelerado hacia el Sol y un movimiento tangencial de
inercia. Tal contribución era, desde luego, mucho sugestiva para el
pensamiento newtoniano que la conjetura de que la fuerza solar variaba inversamente al cuadrado de la distancia.
Newton y las leyes de Kepler
Esta claro que Newton dilucidó matemáticamente la dependencia de la fuerza de atracción solar del inverso del cuadrado de la
distancia al planeta, a partir de la tercera ley kepleriana y de la expresión para la aceleración centrípeta en el movimiento circular uniforme, publicada en 1673 por el físico Christian Huygens (16291695). Considerando una órbita circular recorrida por un planeta a
velocidad constante, la aceleración centrípeta resulta:
a = 4π2. k /r2
por lo tanto, el valor de la aceleración centrípeta actuando sobre el
planeta depende sólo de la distancia (r) al Sol, siendo inversamente
proporcional a su cuadrado ii . La misma expresión se halla mediante
un cálculo algo más laborioso para una órbita elíptica.
Newton no dudó en edificar su completo sistema astronómico
sobre las tres leyes de Kepler, cuando éstas, a pesar de los más de
cincuenta años transcurridos desde su publicación, no estaban aún
plenamente establecidas en el mundo científico. Kepler había descubierto las leyes que rigen el movimiento de los planetas, pero no llegó
a explicar sus causas. Para ello era preciso el advenimiento Newton
y su ley de la gravitación. Gracias al salto hacia delante matemático
realizado por Newton al demostrar el verdadero significado físico de
cada una de las leyes keplerianas, éstas alcanzaron condición real
de ciencia exacta. Cuando su amigo y promotor, el astrónomo Edmund Halley (1656-1742), recibió en la Royal Society el primer libro
de los “Principia”, definió el trabajo como una demostración matemática de la hipótesis copernicana “tal y como la propuso Kepler”.
Hay un párrafo en una carta de Newton al físico Robert Hooke
(1635-1703), presidente por entonces de la Royal Society, que ilustra
muy bien la estrecha relación del descubrimiento de la ley de la gravitación con las leyes keplerianas. Estimulado sin duda por las elucubraciones de Hooke sobre la asimilación de la caída de los cuerpos a
los movimientos orbitales, escribe: ‹‹ …calculé cuál habría de ser la
órbita descrita por los planetas, pues ya había hallado antes, por la
proporción kepleriana de los tiempos periódicos de los planetas con
sus distancias al Sol, que la fuerzas que los mantienen en sus órbitas
en torno al Sol eran recíprocamente como los cuadrados de sus distancias medias al Sol; y hallé ahora que cualquiera que fuese la ley
de las fuerzas que mantienen a los planetas en sus órbitas, las áreas
descritas por un radio trazado desde ellos al Sol serían proporcionales a los tiempos en que fueron descritas. Y con ayuda de estas dos
proporciones hallé que sus órbitas habrían de ser las elipses que Kepler ha descrito››. Según el contenido de esta carta, la cadena de su
utilización de las leyes de Kepler fue: probar la ley del cuadrado de
las distancias a partir de la de la tercera ley, confirmar la ley de áreas
de a partir de la segunda ley y las órbitas elípticas a partir de la primera ley.
Además de su tremenda contribución a la Física, Newton inventó el cálculo diferencial. Si bien es verdad que sus publicaciones
sobre el cálculo datan de mucho después de los “Principia”, resulta
algo sorprendente que usara para nada esta poderosa herramienta
en su obra, pues Newton la basó totalmente en la geometría, siguiendo la corriente general de los filósofos naturales del siglo XVII.
A causa del nuevo cálculo, cuando se publicó la segunda edición de
los “Principia”, en 1715, los planteamientos geométricos estaban ya
en desuso. Resulta con ello doblemente paradójico, que uno de los
más importantes libros científicos de la historia se compusiera usando una técnica, que ya estaba obsoleta antes de que se publicara la
segunda edición, siendo además el propio autor el responsable de su
obsolescencia.
La segunda ley o ley de áreas, que Kepler acertó a deducir
mediante un razonamiento geométrico basado en su creencia en una
relación directa entre las velocidades en órbita y las distancias al Sol,
podría haberla resuelto más elegantemente si hubiera conocido el
cálculo diferencial. Sin embargo, tampoco Newton empleó su nuevo
cálculo para confirmar la segunda ley, sino que prefirió utilizar también el método geométrico iii , visualizando el movimiento de un objeto
producido por una fuerza gravitatoria como una sucesión de pequeños impulsos centrípetos, y probando la igualdad de los sucesivos
elementos triangulares formados (Figura 5)
Figura 5
Newton atribuyó la estabilidad de los planetas en órbita al
equilibrio entre la fuerza centrífuga debida a la inercia y la fuerza centrípeta de atracción gravitatoria. Es la fuerza centrípeta generada por
el Sol la que obliga al planeta a girar en curva cerrada sin escapar
por la tangente, siguiendo un impulso inicial capaz de sostenerlo indefinidamente en órbita por inercia. Para dilucidar los fundamentos
de la primera ley de Kepler le era preciso a Newton estudiar mecánicamente el efecto de un campo gravitatorio fuerte en el movimiento
de un punto material. Se trataba del planteamiento del problema llamado “de los dos cuerpos”: dadas la posición y velocidad en un determinado tiempo de una partícula de masa conocida moviéndose
bajo el influjo de una atracción gravitatoria, encontrar la forma de calcular sus posiciones y velocidades en cualquier otro tiempo.
El problema fue resuelto por Newton mediante complejos razonamientos puramente geométricos. En la Proposición 11 del Libro I
de los “Principia”, se plantea hallar la ley productora de las órbitas
elípticas keplerianas, de la fuerza centrípeta tendente al foco de una
elipse (Figura 6), y prueba que ésta es precisamente la ley del inverso de los cuadrados de las distancias.
Figura 6
Newton completó de esta forma la demostración matemática de las
tres leyes del movimiento planetario descubiertas por Kepler, extendiendo
su demostración a los casos de orbitas no planetarias, en parábolas e
hipérbolas como las de cometas y asteroides. Un objeto celeste de masa m
que comience a moverse con la suficiente energía, tangencialmente a la
línea de acción de la potente gravedad de la masa del Sol (M), quedará
girando por inercia en una órbita que será circular, elíptica, parabólica
o hiperbólica, según el valor de su velocidad. Para que exista equilibrio es
preciso que se conserve constante en el objeto la energía potencial gravita2
toria (- G.Mm / r) y la energía cinética (mv / 2) en cada punto de la órbita
De este principio de conservación de la energía se obtiene la ley de variación de la velocidad del objeto a lo largo de la órbita en función de su disiv
tancia (r) al Sol en cada momento .
La gravitación universal
De la fuerza centrípeta de atracción de la masa del Sol, MS, a
un planeta de masa mP, F = mP . 4π2. K /r2, Newton obtuvo la ecuación de la atracción mutua Sol-planeta, con la forma simétrica:
F = G. MS .mP /r2,
donde G es una constante universal de proporcionalidad v . Newton
generalizó así después su ley de gravitación: “Toda partícula de materia del Universo (m) atrae a cualquier otra partícula (m´) con una
fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”, es decir:
F = G. m.m´ /r2
La vigencia universal de esta ley se ha podido comprobar hasta los confines del Universo observado, pero cuando Newton la formuló se basó solamente en la comprobación de que la Tierra actúa
con la Luna como el Sol con la Tierra vi . La ley de la gravitación se
convirtió pronto en la auténtica piedra angular de la astronomía, al
ser capaz de definir con gran eficacia práctica el fenómeno por el
cual se ordena la rotación de los cuerpos celestes. Fueron sobre todo
las consecuencias de esta ecuación las que consolidaron su obra
como la más trascendental de la historia de la ciencia, a la cual iba a
regir sin reservas durante dos siglos, hasta el advenimiento de Einstein.
A Newton no se le ocultaba que había dos maneras de considerar la masa de un cuerpo. Una era la medida de la resistencia del
cuerpo a ser acelerado, lo que se llama masa inercial (mi), otra como
una medida de la fuerza desarrollada por el cuerpo colocado en un
campo gravitatorio, lo que se llama masa gravitatoria (mg). En el acto
de generalizar el peso o fuerza de la gravedad terrestre, en una fuerza de gravitación universal, ambas variedades de masa se asumen
como equivalentes. Al igualar el peso, mi. g con la atracción gravitatoria, mg G MT / rT2, se obtiene que:
g = G MT / rT2
donde g es la aceleración gravitatoria en la Tierra, MT la masa de la
Tierra y rT el radio terrestre.
Por lo tanto, para los cuerpos terrestres en caída libre, la aceleración de la gravedad g, es una constante que depende sólo de la
masa y del radio de la Tierra, siendo independiente de la masa del
cuerpo que cae, como ya había intentado demostrar Galileo con su
famoso experimento de la Torre Inclinada. Newton cita en los “Princi-
pia”, que los experimentos con péndulos mostraron con gran precisión que todos los tipos de cuerpos pesados, caen a tierra desde
iguales alturas en tiempos iguales, es decir, que todos los cuerpos
caen con la misma aceleración si se elimina la resistencia del aire.
Señaló además que, al alejarse más y más de la Tierra, la aceleración gravitatoria disminuye, en cuyo caso, “el peso, que es siempre
como el producto de la masa del cuerpo por la gravedad, disminuirá
igualmente”.
La ley de la gravitación universal apareció en la primera edición de los “Principia” de 1687. Por entonces Newton era ya un hombre maduro, pero en realidad todo provenía de unas ideas que había
concebido hacía más de veinte años, cuando siendo aún estudiante
tuvo que recluirse en el campo huyendo de la Gran Peste que azotaba la ciudad de Londres. Está demostrado que sólo en aquellos casi
dos años de forzada vida campestre contemplativa concibió la mayoría de las grandes ideas que después llevo a la práctica. No se sabe
bien si es cierto que se dedicaba a sestear y meditar bajo los manzanos de la finca familiar, cuando lo espabiló la caída de una inoportuna manzana sobre su cabeza. Así parece que lo contó él, y habría
que creerlo, pues no parece que fuera hombre con mucho sentido del
humor. Lo cierto es que de ahí le partió la idea de que debía ser una
y la misma fuerza la responsable tanto de la caída de una manzana y
la que causaba el movimiento de los planetas en el cielo, en cuyo
caso fue aquel banal incidente el primer paso hacia la trascendente
ley de la gravitación universal.
La ley de gravitación regulaba perfectamente algo capaz de
actuar a distancia, pero sin que se tuviera idea del verdadero origen y
modo de actuar de ese algo. Resultó excepcionalmente práctica, pero también particularmente oscura, puesto que de alguna manera
concedía crédito total a una acción a distancia aborrecida por los filósofos mecanicistas, encabezados por el influyente René Descartes
(1596-1650), que la consideraban como una superstición que no debía aparecer ya en los dominios de la ciencia. El pensamiento mecanicista rechazaba por principio que se pudiera ejercer ningún tipo de
acción, sin que hubiera un efluvio o medio transmisor material entre
el agente y el receptor de la acción.
Newton comprendía perfectamente estos reparos, puesto que
también él había empezado siendo un mecanicista al modo cartesiano en sus años de estudiante, es decir partidario de la idea, entonces
muy extendida, de que todo debía tener una explicación basada en
la interacción de las partículas materiales de las que se componía el
mundo. No debe extrañar, pues, que se sintiera inclinado a creer que la
gravitación dependiera finalmente de alguna sustancia etérea de características desconocidas. Quizás nunca dejó de ser mecanicista del
todo, ni sabremos hasta qué punto sentía escrúpulos por haber dado crédito sin discusión al misterio de la acción a distancia.
Las tres leyes del movimiento
La principal contribución de Newton a la ciencia física se materializa en la ley de gravitación universal y las tres leyes del movimiento. En los “Principia”, las leyes del movimiento aparecen primero que
la ley de gravitación, pero estos conceptos fueron gestados en el
ámbito de la astronomía y la discusión de temas de mecánica celeste
que condujo a la ley de gravitación. La influencia de Galileo, en cuanto principal introductor del nuevo método científico matemático, se
centra en las leyes del movimiento, junto a las ideas de la inercia
como persistencia natural del movimiento, la composición de velocidades y el estudio de la caída libre.
Las tres leyes newtonianas del movimiento constituyen los
postulados básicos que gobiernan las relaciones entre la fuerza que
actúa sobre un cuerpo y el movimiento de éste. Aunque fueron formuladas por primera vez de forma útil por Newton, habían sido descubiertas experimentalmente por Galileo casi cincuenta años antes.
Por su carácter básico, las tres leyes cubren solamente el movimiento total de un cuerpo sin rotación sobre si mismo, lo que equivale a
asumir que el cuerpo es en cada caso una partícula puntual.
La primera ley del movimiento o ley de la inercia postula: “Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento uniforme y rectilíneo, a menos que sea impelido a cambiar dicho estado
por fuerzas ejercidas sobre él”. La inercia es como una propiedad
fundamental de la materia y también un elemento descriptivo de la
fuerza, que puede cambiar reposo en movimiento o movimiento en
reposo o una clase de movimiento en otra. Newton era tan entusiasta
de las matemáticas como Galileo, sin embargo el hallazgo del concepto de inercia no parte de la deducción matemática, sino que es
fruto del puro razonamiento abstracto, puesto que el concepto que
encierra la ley de la inercia no puede inferirse directamente de la experiencia. Resulta obvio que un objeto permanecerá eternamente en
reposo si no actúa ninguna fuerza sobre él, pero el entorno terrestre
no proporciona ninguna experiencia para deducir que un cuerpo sometido a un impulso, se moverá indefinidamente en una trayectoria
rectilínea, y con velocidad constante si ya no actúa ninguna fuerza
sobre él. Sin embargo, es una conclusión a la que se llega mediante
un experimento ideal, imposible de realizar en el medio ambiente terrestre, ya que en ningún caso puede eliminarse toda influencia exterior, es decir, toda fricción. Si los documentales rodados en el espacio exterior, no hubieran familiarizado al lego con la persistencia de
los movimientos en la relativa ingravidez del vacío interplanetario,
este presupuesto newtoniano le hubiera parecido un artículo de fe
más bien que algo verosímil.
De todas formas, hay que tener en cuenta que el ámbito donde se cumple esta ley fundamental de la mecánica clásica newtoniana es ideal, en lo que después se ha definido como un marco inercial
o privilegiado, es decir, un sistema coordenado de referencias libre
de aceleraciones y rozamiento. En la realidad el movimiento de un
cuerpo suele acabar, a causa del rozamiento, poco después de que
la fuerza haya dejado de actuar. Solo en un marco inercial sin rozamiento se cumple que los cuerpos mantengan trayectorias rectilíneas
indefinidas cuando se les somete a un impulso. Las trayectorias rectilíneas desaparecen en los sistemas no inerciales o acelerados, donde se generan siempre trayectorias curvas. Es el caso de un marco
terrestre cualquiera, que está sometido, en primer lugar, a una aceleración angular por la rotación del planeta que hace que todas las trayectorias de proyectiles deriven hacia el Este. Por fortuna, Galileo no
pudo observar en su tiempo que la trayectoria de caída de un cuerpo,
aunque aparentemente rectilínea, también registra esa ligera desviación. En la ignorancia de este hecho, una minucia, pero que quizás
hubiera estorbado sus claras reflexiones sobre la caída libre, redactó
sus estudios del movimiento que tan útiles le fueron a Newton después.
La segunda ley del movimiento establece en esencia que, para
cada cuerpo, la variación del movimiento, o sea, la aceleración adquirida (a) es proporcional a la fuerza motriz aplicada (F). Esto implica
que, para un cuerpo dado, es constante la razón entre la fuerza aplicada y la aceleración producida. Esta razón constante, característica
para cada cuerpo en particular, es su masa (m). Se cumple, por lo
tanto, que:
F/a = m
Se define así, lo que le ocurre a un objeto sometido a la acción
de una fuerza capaz de desequilibrarlo y ponerlo en movimiento: la
aceleración que adquiera dependerá siempre de la masa inerte del
objeto; por ejemplo, aplicando la misma fuerza desequilibrante a dos
esferas del mismo diámetro, una de hierro y otro de madera, adquirirá más aceleración la menos pesada, la de madera, que la de hierro:
las aceleraciones serán inversamente proporcionales al peso como
medida de la masa.
Las fuerzas según Newton se dividen en fuerzas impresas o
reales y fuerzas de inercia o ficticias. Una fuerza impresa es una acción ejercida sobre un cuerpo para cambiar su estado de movimiento
o reposo. Una fuerza inherente es la que produce la inercia para que
un cuerpo, ante todo nuevo estado de movimiento, persevere en el
estado anterior. La inercia se manifiesta así como una propiedad fundamental de la materia. Cuando es necesaria una gran fuerza para
aumentar, desviar o disminuir la velocidad de un cuerpo, se dice en
lenguaje ordinario, pero aplicando bien el concepto, que el cuerpo
tiene una gran inercia, lo cual equivale físicamente a decir que tiene
una gran masa.
El concepto de fuerza impresa difiere del concepto de impulso,
o sea, la acción continuada de una fuerza durante un lapso más o
menos corto de tiempo. Al aplicar un impulso a un cuerpo en reposo
en un sistema sin rozamiento ni influencias externas, éste quedará
en movimiento a velocidad constante; sólo la fuerza impresa aplicada continuamente producirá una aceleración. La dinámica newtoniana, basada en la definición de fuerza de la segunda ley, relaciona
tanto la aparición de aceleraciones debidas a fuerzas reales como la
aparición de fuerzas de inercia debidas a aceleraciones en el movimiento del sistema de referencia.
La tercera ley del movimiento establece: “Si un cuerpo ejerce
una fuerza sobre otro, el segundo ejerce sobre el primero una fuerza
de igual magnitud y dirección y de sentido opuesto”. No es posible,
por lo tanto, la existencia de una fuerza única, aislada. Esta ley, planteada de forma tan escueta puede resultar sorprendente a primera
vista, pues si a cada intento de mover un objeto se le opone una fuerza igual y de sentido contrario, ningún movimiento sería posible. Esto, evidentemente, no es lo que sucede en la realidad. Es preciso,
pues, establecer ciertas condiciones implícitas que precisen el alcance de la ley de acción y reacción. En primer lugar, se entiende
que la igualdad de acción y reacción se produce siempre sobre cuerpos diferentes. Si alguien tira de un carro sobre una superficie lisa
horizontal mediante un cable, la igualdad acción-reacción se cumplirá
entre la reacción en el carro y la tracción en el cable y también, en el
otro extremo, entre la reacción en el cable y la fuerza tractora, pero
no serán necesariamente iguales la reacción en el carro y la fuerza
tractora en el extremo del cable. Sólo serán iguales la fuerza tractora
y la reacción del carro si éste se mueve con velocidad constante, y
cuando la fuerza tractora supere a la reacción se producirá un movimiento acelerado (Figura 7).
Figura 7
En esta exposición sin conflictos de las leyes newtonianas, se
puede introducir ahora una nota discordante. Contra lo que podría
pensarse inadvertidamente, la fuerza de inercia no está producida
por el campo gravitatorio terrestre, puesto que se puede producir en
cuerpos rodantes sin rozamiento en movimiento horizontal y, por lo
tanto, sin influencia del peso. La inercia se debe a otra causa que,
por alguna razón ignota, no actúa mientras la velocidad del sistema
sea uniforme; sólo se “opone” a la aceleración, o sea al cambio en la
magnitud y/o sentido de la velocidad, comunicando de inmediato al
cuerpo una aceleración igual y de sentido contrario.
La concordancia entre inercia y gravitación
En general, todas las fuerzas que actúan en la naturaleza,
producen un movimiento en su dirección cuya aceleración será proporcional en cada caso a la masa a la que se le apliquen. Se puede
estudiar el fenómeno a la luz de las tres leyes del movimiento de
Newton. Supóngase una esfera sólida en reposo sobre una superficie
perfectamente lisa y horizontal; si se le aplica una fuerza, su masa
inerte opondrá una resistencia al movimiento según el principio de
acción y reacción; cuando la fuerza aplicada supere a la reacción, la
esfera comenzará a rodar con aceleración inversamente proporcional
a su masa, y así sucederá con cualquier otra masa.
Sin embargo, esta proporcionalidad entre la fuerza aplicada a
un cuerpo y la aceleración producida deja de cumplirse cuando la
fuerza actuante es el peso. Es decir, considerada la atracción gravitatoria o peso del cuerpo como una fuerza más, se hallará que la
aceleración que produce al caer no es proporcional a la masa sino
que es igual en la caída libre, sea cual sea ésta. Tras la famosa prueba de la torre inclinada, Galileo concluyó que, en efecto, todos los
cuerpos caían con la misma velocidad fuera cual fuera su peso, aunque en realidad hubo algún retraso debido al rozamiento del aire.
Algún testigo pudo pensar entonces que al menos algo influía la diferencia de peso, pero hoy hasta los estudiantes de física elemental
aprenden que en este asunto engaña el sentido común. Si les queda
alguna duda, pueden observar en el laboratorio la caída sincrónica
de objetos diversos en el interior de un cilindro de vidrio del que se
haya extraído todo el aire. Por lo tanto, cuando se suelta un cuerpo a
una cierta altura, dejándolo a expensas de su propio peso, cae en
vertical con la misma aceleración, a igualdad del rozamiento del aire,
que cualquier otro que podamos soltar a la misma altura, sea cual
sea su masa. El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre, que como se ha visto depende sólo de la masa y radio
de la Tierra, tiene un valor aproximado de 9,8 metros por segundo
cada segundo.
Pero esta aparición de una aceleración constante no se limita
a los campos gravitatorios. Un carro de masa m colocado sobre la
plataforma de un camión en marcha por un camino horizontal se
mantendrá en reposo mientras éste se mueva con velocidad constante, pero al aumentar la velocidad, o sea, al producirse una aceleración (a), el carro correrá hacia atrás por la acción continuada de una
fuerza que surge de improviso y actúa mientras dura el cambio. Esa
fuerza de inercia (Fi) es, según la segunda ley newtoniana:
Fi = − m a
donde el signo menos indica que actúa en dirección contraria a la
aceleración original. Lo mismo ocurriría con otros carros con diferentes masas que fueran sobre la plataforma del ejemplo: saldrían hacia
atrás, empujados por fuerzas proporcionales a su peso, pero todos
con la misma aceleración que haya tomado el camión. Ahora bien, en
la caída libre en el campo gravitatorio terrestre ocurre que todos los
cuerpos, independientemente de su peso, caen también con la misma aceleración. Por lo tanto, la situación creada en la plataforma del
ejemplo es equivalente a lo que ocurriría en un campo gravitatorio en
el que la aceleración de la gravedad (g) fuera sustituida por la aceleración (a) del camión. En la fuerza de atracción gravitatoria, el peso
(P), y la masa (m), se relacionan en la expresión
P = m.g
Excepto por la diferente magnitud de las aceleraciones, el fenómeno de la caída libre es idéntico al ejemplo de los carros: las masas reaccionan por inercia igual ante una aceleración que ante un
campo gravitatorio. La mecánica clásica newtoniana no profundizó en
el significado de esta igualdad de comportamiento entre masa inerte
y masa gravitatoria, y dio a los dos fenómenos, inercia y gravitación,
explicaciones totalmente distintas: la influencia del espació absoluto
para la una, y la atracción gravitatoria para la otra.
Isaac Newton definió la masa como la resistencia al movimiento: cuanto más masa tiene un objeto, más difícil es ponerlo en movimiento si está en reposo, o pararlo si se está moviendo. También
determinó que cuanto más masa tenga un objeto, mayor atracción
gravitatoria recibe. Pero aquí se plantea un tema del mayor interés
que puede pasar desapercibido en un examen superficial: no hay
razón inherente alguna para que estas dos propiedades de un objeto,
su masa inerte y su masa gravitatoria sean lo mismo. Por intuición se
tiende a aceptar la resistencia al movimiento como consecuencia natural del propio peso del objeto, pero no hay que olvidar que esta resistencia se manifiesta de la misma forma en condiciones de ingravidez, manteniéndose igual la resistencia inerte de la masa en el vacío
sideral. El periodo de oscilación del péndulo simple, por ejemplo, es
independiente de su masa, porque tanto la resistencia a la oscilación
como la fuerza gravitatoria que lo impulsa son igualmente proporcionales a ella. Einstein llamó a esta similitud el "principio de equivalencia", y llevarla a su extremo lógico lo condujo a la teoría general de la
relatividad.
Aunque Newton no pareció reparar en el extraordinario hecho
de la proporcionalidad general de la masa gravitatoria y la masa inercial, resulta razonable suponer la incorporación de una ley o postulado sobre esta proporcionalidad a los fundamentos de la mecánica
clásica, por parte de alguno de los muchos seguidores ilustres de la
huella de Newton; sin embargo, no fue este el caso en modo alguno.
Por el contrario, la proporcionalidad de ambas masas queda implícita, como una especie de rareza, en el tejido de las otras leyes. Era
probablemente causa de extrañeza para muchos, pero nadie sospechó ni buscó una relación más profunda oculta en ella. Parece lógico,
sin embargo, que surgiera insistentemente la pregunta: ¿por qué se
produce para todos los cuerpos esa coincidencia de comportamiento
de la masa frente a la inercia y a la gravitación siendo producidas por
causas tan diferentes? En principio, tal interrogación no hubiera sido
en modo alguno irrelevante. ¿Es que no pueden darse casos donde
la masa gravitatoria no sea exactamente proporcional a la masa inerte? Pero como estas preguntas no se hicieron, tampoco se trataron
de responder, y la cuestión permaneció en la sombra.
Esta falta de inquietud de la mecánica clásica en este sentido
fue quizás debida a su enorme éxito práctico. Pronto demostró poder
predecir no sólo el movimiento de los cuerpos terrestres, sino también los de los planetas, y se convirtió en fundamento seguro para el
ámbito completo de las ciencias exactas, hasta el punto de que, hasta bien avanzado el siglo XIX, se creyó que el propósito de toda investigación física era la interpretación de los fenómenos en términos
de la mecánica newtoniana. Como más tarde se verá en este relato,
fue Einstein, más de dos siglos después de publicada la obra de
Newton, el primero en señalar el importante significado de la igualdad
de la masa gravitatoria y la masa inercial para los fundamentos de
las ciencias físicas.
El tiempo absoluto y el espacio absoluto: inercia de rotación
Dado que el tiempo fluye absolutamente y que, tanto en las
matemáticas como en la física, se mide mediante una velocidad,
está inscrito en las sólidas reflexiones newtonianas que ha de existir
una velocidad absoluta, la cual exige y define, necesariamente, un
espacio absoluto. El movimiento de rotación fue reputado por Newton
como “movimiento absoluto”, es decir, movimiento directamente referido al espacio absoluto, puesto que no se necesita referencia externa para detectarlo: basta con observar la fuerza de inercia que genera. Un observador en el puente de un barco sobre un mar en absoluta calma, rodeado de una niebla impenetrable, no puede saber si se
esta moviendo en un sentido u otro al carecer de puntos de referencia a la vista, pero se dará cuenta enseguida de si está girando.
Newton atribuyó la aparición de la fuerza centrífuga al giro con respecto al espacio absoluto. Dedicó bastante tiempo a meditar en las
especiales particularidades del movimiento giratorio. Para entender el
estudio del giro, hay que tener en cuenta que en la ciencia física el
concepto de aceleración se extiende a todo cambio en la velocidad,
no sólo en la magnitud, sino también en la dirección y en el sentido;
por lo tanto, el movimiento circular de un objeto precisa de una aceleración dirigida hacia el centro o centrípeta, aunque la velocidad de
giro sea uniforme, porque ésta debe cambiar constantemente de sentido para ceñirse a la trayectoria curva; el efecto de la gravedad del
Sol, por ejemplo, es centrípeto porque produce la desviación constante del planeta hacia el centro de la órbita. Por otra parte, se observa que un objeto colocado sobre un sistema giratorio, tratará de
escapar hacia fuera en el sentido del radio. Por el mero hecho del
giro, actúa sobre el objeto una aceleración centrífuga, (aC) cuyo valor
obedece a la misma fórmula de la aceleración centrípeta 1 . La órbita
de un planeta, por ejemplo, será circular cuando la fuerza de atracción gravitatoria sea igual a la fuerza centrífuga generada. En este
fenómeno intervienen claramente las leyes del movimiento de Newton: en primer lugar, la aceleración centrífuga es consecuencia de la
inercia, que tiende a impedir el giro y poner al objeto en trayectoria
rectilínea; en segundo lugar, es una manifestación del principio de
acción y reacción, pues el valor de la aceleración centrífuga resulta
igual al valor de la aceleración centrípeta por la gravitación solar.
Newton atribuyó la aparición de la fuerza centrífuga 2 al giro
con respecto al “espacio absoluto”, y apoyó la teoría con pruebas
como la del experimento del cubo de agua giratorio (Figura 8), correlacionando el ascenso centrífugo del líquido, cuando ya no hay movimiento relativo del agua con respecto al cubo, con un movimiento
de giro con respecto al espacio absoluto.
1
Como a = v2 /r, y v = ω r, resulta a = ω2 r2 /r = ω2 r , donde ω es la velocidad angular y r el
radio de giro
2
Fuerza centrífuga, FC = m ω2 r
Figura 8
Se establece así el espacio absoluto como un marco de referencia inercial naturalmente privilegiado, en reposo inmutable con el
que tienden a identificarse todos los marcos de referencia del universo. Según esta idea, aparecería la fuerza centrífuga aún en el caso
de que existiera una sola masa girando en el Universo, pues también
estaría girando con respecto al espacio absoluto. Toda la mecánica
de Newton se basó en el concepto de espacio absoluto y la correlativa existencia de un tiempo universal absoluto. La inercia, como resistencia de todos los cuerpos a la aceleración, debía interpretarse como efecto de la tendencia natural de referencia al espacio absoluto.
Sobre estas premisas ha seguido funcionando el sistema newtoniano hasta hoy. El propio Newton era consciente, desde luego, de
que el espacio absoluto sólo era una hipótesis creada para poder
construir su teoría. De hecho, llegó a expresar la duda de que pudiera existir en realidad punto fijo alguno de referencia en el espacio.
Tomando estas dudas en consideración, su afirmación de que el espacio absoluto existía “sin referencia a ningún objeto externo”, no
parece propia de un hombre que, como Newton, afirmó con insistencia que sólo quería investigar lo que existiera en la realidad, lo que
fuera susceptible de observación y no lo hipotético. Lo cierto es que
la fuerza centrífuga parece manifestarse de la misma forma en todo
el Universo, lo que abona la existencia de una referencia externa
como el espacio absoluto. La teoría supone algo imposible de probar:
si la Tierra estuviera quieta y fuera el resto del Universo el que girara
a su alrededor, las fuerzas centrífugas terrestres serían exactamente
iguales.
i
La demostración de la identidad del peso en la Tierra con la fuerza de
atracción que mantiene a la Luna en su órbita, se basa en que aplicando la
constante kepleriana del sistema Tierra – Luna (k), en la fórmula de la gravedad terrestre el valor de g no varía.
k = d3 / T2, donde d = distancia de la Luna y T = periodo lunar
g´ = 4π2. k / r2, donde r = radio terrestre
Sustituyendo el valor de k resulta:
g´ = 4π2. d3 / r2 T
Como se conocen d ≈ 60,1 r, r = 6,37.108 cm, y T = 2,36. 106 seg, resulta:
g´ = (4π2. 60,13. 6,37.108) / 2,36. 1012 = 981 cm/seg2 = g
ii
Huygens halló que a = v2/ r .
Como v = 2π. r / T, resulta a = 4π2. r2 / T2. r = 4π2. r / T2.
Según la 3ª ley de Kepler es r3/T2 = k, siendo k una constante para todos
los planetas del sistema solar. Sustituyendo en la fórmula anterior resulta:
a = 4π2. k /r2
iii
En la figura 5, el centro de la fuerza está en S, y la partícula está
inicialmente en A, moviéndose en alguna trayectoria que la lleva a B en un
intervalo de tiempo Δt. Si la partícula en B no estuviera sujeta a ninguna
fuerza, se movería en una línea recta al punto c en el siguiente intervalo Δt
de tiempo. Pero hay una fuerza central actuando sobre la partícula en B,
que apunta por el radio vector de B a S. Esta fuerza produce un
desplazamiento adicional de la partícula de c a C. (Newton usa
esencialmente aquí la ley del paralelogramo de suma de desplazamiento de
vectores, y la figura de puntos que parece un paralelogramo es una).
Newton observa luego que los triángulos SAB y SBc tienen la misma área,
puesto que tienen la misma base SB y las mismas altitudes (una
perpendicular trazada desde S a la línea ABc)) Luego observa que los
triángulos SBc y SBC también tienen la misma área, porque tienen la
misma base SB y la misma altura por ser el segmento Cc paralelo a SB.
Por lo tanto, los triangulos SAB y SBC tienen la misma área, y esto
completa la prueba.
La demostración de la segunda ley de Kepler empleando el cálculo diferencial carece, en efecto, de la sencillez intuitiva del tradicional método geométrico empleado por Newton
Un cuerpo se mueve en órbita elíptica a la distancia r del foco F. Durante el
corto intervalo Δt el cuerpo se mueve de P a Q y el radio vector barre el
ángulo Δθ. Este pequeño ángulo está dado aproximadamente por Δθ = vt Δt
/ r, donde vt es la componente de v perpendicular a r. Durante este tiempo,
el radio vector ha barrido el triángulo FPQ cuya área está dada aproximadamente por ΔA = r vt /2. Por lo tanto, en el límite dado por Δt aproximándose a cero, se tiene:
dA/dt = r vt /2 = ½ r2 (dθ/dt)
El momento angular, L, del cuerpo en la figura es constante y está dado por
el vector perpendicular al plano definido por r y v en dirección hacia fuera
de la figura. Teniendo en cuenta que vt = dθ/dt r, la magnitud escalar de L
está dada por:
L = m vt r = m r2 dθ/dt
lo que significa que la velocidad de barrido de área está dada por:
dA/dt = ½ r2 (dθ/dt) = L /2m
Como L y m son constantes, también es constante la velocidad de barrido
dA/dt, con lo que queda verificada la segunda ley de Kepler.
iv
La masa inmóvil concentrada en C comienza a atraer hacia sí al punto
material m, en el instante que posee una cierta velocidad vo en sentido md
perpendicular a Cm, con una fuerza proporcional a la inversa del cuadrado
de la distancia.
El punto m pasará a moverse en relación al punto C, con una velocidad
dada en general por la fórmula integral de la energía para trayectoria
elíptica:
v2 = G. (M+m). (2/r ─ 1/a)
donde a es el semieje mayor de la elipse y r la distancia al punto C.
Para una determinada velocidad vo = vc., el punto se moverá por el círculo
de radio Cm. Como en este caso r =a, de la integral de la energía se
deduce que la velocidad circular es:
vC = √ [G.(M + m)] / r
Para vo ≤ vc, la forma y la dimensión de la elipse depende de la magnitud
de vo .
Si vo es pequeña, el eje mayor de la elipse será sólo un poco más grande
que Cm y el punto C se encontrará en el foco lejano de m. Si vo es
aproximadamente igual vc, pero menor que esta, la excentricidad de la
elipse será pequeña, el semieje mayor será un poco menor que Cm, el
punto C se aproxima al centro de la elipse pero permanecerá en el foco
lejano de m.
Para vo > vc
Si vo < vP = vC.√2, el punto se moverá por la elipse, pero el punto C se
encontrará ahora en el foco próximo a m, mientras que el eje mayor de la
elipse se hará tanto más grande cuanto más se aproxime vo a vP.
Si vo = vp, el punto m se moverá por una parábola cuyas dos ramas se
alejan hacia el infinito, aproximándose a una dirección paralela al eje Cm,
tendiendo la velocidad a cero. Como en la parábola a = ∞ de la fórmula
integral de la energía resulta: vP = vC. √2
Para vo > vP.
El punto m se moverá por una hipérbola, cuyas ramas parten hacia el
infinito y, cuando la vo es muy grande se acercan a la dirección
perpendicular al eje Cm. A medida que el punto se aleje su velocidad
tenderá a ser constante.
Así pues, las velocidades orbitales se enmarcan en el intervalo
0 < v E < vC < vP < vH
v
Para dar a la ley de Newton su forma final, se tiene que el Sol atrae a un
planeta de masa m situado a la distancia r con la fuerza:
F = m. 4π2. K /r2
donde K es una constante kepleriana que depende sólo de las propiedades
del Sol. A la recíproca, el planeta atraerá al Sol con una fuerza:
F´ = M. 4π2. k /r2
donde M es la masa del Sol y k la constante kepleriana dependiendo sólo
de las propiedades del planeta.
Según el principio de acción y reacción, se cumple que:
m. 4π2. K /r2 = M. 4π2. k /r2
de donde resulta que,
m.K = M.k, o bien K / M = k / m
Por lo tanto, esta razón es constante para el Sol y para los planetas. Si se
hace está razón constante igual a G / 4π2, se puede escribir:
4π2. K = G.M
y 4π2. k = G.m
donde al factor G de proporcionalidad se le llama constante gravitatoria
universal
Con este cambio, la ecuación de la gravitación adopta la forma simétrica:
F = G. M.m /r2
vi
Para aplicar la fórmula de Huygens para la aceleración centrípeta
a = v2 / d = 4π2 d / T2,
Newton podía conocer la distancia a la Luna, d = 60 r, el radio de la Tierra =
6,37.108 cm y el periodo lunar = 2,36. 106 seg, con lo que resulta:
a = (4π2. 60,1. 6,37. 108) / (2,362. 1012) = 0,272 cm/seg2
La relación de la gravedad terrestre en la Luna con respecto a la Tierra
resultaba pues:
0,272 / 981 = 1 / 3606 ≈ 1/ 602,
lo que demostraba que la Tierra atrae a la Luna como el Sol atrae a la
Tierra y que la fuerza de la gravedad disminuye con el cuadrado de la
distancia.