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MATEMÁTICAS 2º BACH CC. Y TECNOL.
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero
CURSO 13-14
1.-Dadas las matrices
(
t
)y
( ), donde B es la matriz traspuesta de B e I la matriz unidad de
orden 3.
a)
b)
según el parámetro  el rango de A·Bt+I.
t
(4p.) Calcular la matriz X que verifica: A·B ·X-X=2B.
(6p.)Estudiar
2.-Dadas las matrices
(
)
(
), obtener razonadamente el valor de los
determinantes siguientes, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
b)
c)
y |·(A+B)-1|.
-1
-1
(3p.) |(A+B) ·A| y |A ·(A+B)|.
-1
3 -1
(3p.) |2·A·B·A | y |A ·B |.
(4p.) |A+B|
(
)
3.-Dado el sistema de ecuaciones: {
a)
b)
(
)
)
(7p.) Discutir
la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro a.
(3p.) Resolver en el caso (o en los casos) en que sea compatible indeterminado.
(
4.-Sea la matriz
a)
(
).
A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones homogéneo.
Discutir dicho sistema según los valores del parámetro m.
b) (3p.) Resolver para m=-1 y m=2.
c)
(3p.) La matriz
(4p.) Determinar
A-1 para m=0.
5.- a) (5p.) Calcular la matriz X que cumpla la siguiente ecuación matricial: X·A-B=2X, sabiendo que
(
)
(
b) (5p.) Sea el determinante | |
).
|
|
. Se pide Calcular el valor de los siguientes
determinantes, explicitando las propiedades utilizadas.
)(
)|
|
)
(
)|
(
)
(
)
(
)
|
MATEMÁTICAS 2º BACH CC. Y TECNOL.
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero
(
a)
b)
(7p.) Discutir
(
)
(
6.-Dado el sistema de ecuaciones {
)
)
(
)
la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro a.
en el caso (o casos) en que sea compatible indeterminado.
(3p.) Resolver
7.- a) (3p.) Sea M una matriz cuadrada donde |M|=-1 y |-2M|=8. Calcula el orden la matriz
cuadrada M.
(
b) (4p.) Sea la matriz
c) (3p.) Sean las matrices:
). Determinar la matriz B para que se cumpla: A+B=A·B.
(
8.- Dado el sistema de ecuaciones: {
a)
b)
9.-Se
(
(
). Se pide: B-1 y |A·B2013·At|
)
. Se pide:
)
la compatibilidad según los valores de .
(4p.) Resolver para
sabe
que
las
A
y
B
cumplen
las
(
b) A
10.-Sean las matrices
a) (3p.) |A-1|;
matrices
)
a) A-B
(
siguientes
c) B.
)
(
(
)
)
(
). Se pide:
( )
( ). Se pide:
Rango de la matriz A según los valores de m.
(3p.) Discutir el sistema formado por A·X=B según los valores de m.
(2p.) Resolver la ecuación A·X=B para m=1.
(5p.)
12.-Sean las matrices
(
)
(
) . Se pide:
Calcular λ para que la ecuación X·A=B tenga solución (única).
(3p.) Calcular la matriz X para λ=4.
2
(4p.) Calcular |A ·B| en función de λ.
(3p.)
condiciones:
). Se pide calcular:
b) (5 p.) la matriz X, sabiendo que A · X = Bt · C; c) (2p.) |A2013 ·Bt B|
11.-Sean las matrices:
a)
b)
c)
(
(6p.) Discutir
(
a)
b)
c)
)
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Profesor: Fernando Ureña Portero
CURSO 12-13
(
1.-a) Sea la matriz
), calcular el Rango de A según los valores del parámetro a.
t
-1
b) Para a=1, calcular |2A ·A |.
-1
c) Sean A y B matrices cuadradas de orden n2, tales que B=A . Se sabe que |A|=3, razona cuánto vale
|B|. ¿Cuál es el rango de B?
(
2.- a) Calcula todas las matrices cuadradas de orden 2 de la forma
) que satisfagan la
2
ecuación matricial A +2A+3I=0, expresando c en función de a.
b) Demostrar que las matrices del apartado anterior (a) son invertibles y calcular su inversa.
3.- a) Sea A una matriz cuadrada de orden 2 y columnas C 1 y C2 y determinante 5, y la matriz B cuadrada de
orden 2 y determinante 2. Si D es la matriz cuadrada de orden 2 y columnas 4C 2 y C1-C2. Calcular el
-1
determinante de la matriz B·D .
b) Sea la matriz
4.-Sean las matrices
-1
(
t
). Calcular x e y para que se cumpla B =B .
(
)
(
)
(
). Se pide:
a) Determinar la matriz, sabiendo que se cumple: |A|=7 y A·B=C.
b) Sean las matrices anteriores y que verifican las condiciones del apartado anterior. Decide cuál de
las igualdades siguientes se cumple. Justifica la respuesta.
-1
-1
-1
-1
b.1) A=C·B ;
b.2) B=A ·C;
b.3) A =B·C
5.-Dadas las matrices: A= (
)
(
)
( )
( ). Se pide:
a) (5p) Hallar el rango de A en función del parámetro k.
b) (2,5p) Para k=2, hallar si existe solución en el sistema A·X=B.
c) (2,5p) Para k=1, hallar si existe la solución del sistema A·X=C.
6.-Dadas las matrices
(
2
) y B una matriz de orden 2 no nula y que verifica que B =-7B+. Se pide:
2
a) (4p) Calcular los parámetros a y b para que se cumpla que A =a·A+b·.
-1
-1
b) (3p) Calcular los parámetros p y q para que se cumpla que B =p·B+q·. Justificar que existe B .
3
c) (3p) Calcular los parámetros x e y que verifique que B =x·B+y·.
7.-Sean las matrices:
a)
b)
c)
(
(
)
( ) . Se pide:
Determinar para qué valores de a y b, la matriz A es regular.
-1
Determinar para qué valores de a y b se cumple que A=A .
(5p) Para a=2 y b=2, determinar las matrices C que verifican A·C=C·A.
(2p)
(3p)
(
8.-Dado el sistema de ecuaciones: {
a)
b)
)
)
(
)
(
(
)
)
(7p) Estudiar
(3p)
}. Se pide:
la compatibilidad del sistema en función del parámetro a.
Resolver para a=0
9.-Sea el sistema de ecuaciones: {
(
)
}. Se pide:
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a) (5p) Calcular el valor de k para que tenga más de una solución.
b) (2p) Calcular el valor de k para no tenga solución.
c) (3p) Resolver para k=0.
) y B=3·3 (donde 3 es la matriz identidad o unidad de orden 3).
(
10.-Sean las matrices
Calcular:
n
a) (3p) A , cuando n es par.
20
20
b) (7p) Resolver la ecuación matricial: 6·A ·X=B-3·A·X. (tener en cuenta A en función de lo calculado
anteriormente)
11.-Sabiendo que |
a)
|
(5p) |
. Calcular, indicando las propiedades utilizadas, el valor de:
|; b) (5p) |
|
12.-Dado el sistema de ecuaciones: {
} . Se pide:
a) (4p) ¿Cuánto ha de valer el parámetro a para que al añadirle la ecuación ax+y+z=9 sea un sistema
de ecuaciones compatible y determinado?
b) (3p) Resolver para a=0.
c) (3p) ¿Cuánto ha de valer el parámetro a para que el sistema de 3 ecuaciones anterior no tenga
solución?
13.-Dada la matriz
(
) y sea B la matriz que verifica que
(
).
a) (4p) Demostrar que A y B tiene inversas.
-1
b) (6p) Resolver la ecuación matricial A ·X-B=B·A.
(
14.-Sean las matrices:
)
(
).
-1
a) Hallar una matriz X tal que A·X·A =B.
10
b) Calcular A .
2
2
c) Hallar todas las matrices M que satisfacen (A+M)·(A-M)=A -M .
15.-Dado el sistema de ecuaciones: {
.
a) (7 p.) Discutirlo según los valores de k.
b) (3 p.) Resolverlo cuando el sistema sea compatible.
16.-Dada la matriz
(
).
a) (5 p.) Determinar el rango de M según valores del parámetro .
b) (5 p.) Determinar para qué valores de , existe la matriz inversa de M. Calcular dicha inversa para
=0.
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CURSO 11-12
1.-a) (5p.) Sean A y B matrices cuadradas de orden 3, cuyos determinantes son |A|=½ y |B|=-2. Hallar:
3
-1
t
a.1) |A |; a.2) |A |; a.3) |-2A|; a.4) |A·B |; a.5) Rango de B
b) Utilizar las propiedades los determinantes para calcular el valor de:
|; b.2) (3p.)|B|= |
b.1)(2p. ) |A|=|
|
). Se pide:
2.-Dada la matriz A=(
a) (5p.)Rango de A según los valores del parámetro a.
b) (5p.)Para a=2, discutir el sistema A·( )
( ) en función de los valores del parámetro b y
resolverlo cuando sea posible.
3.-Dado el sistema de ecuaciones {
. Se pide:
a) (6p.)Discutir según los valores del parámetro .
b) (4p.)Resolver el sistema de ecuaciones para
.
). Se pide:
4.-a) Dada la matriz A=(
2
a.1) (2,5p.)Determina los valores de para los que A +3A no tiene inversa.
a.2) (2,5p.)Para
, hallar la matriz X que verifique que A·X+A=2I.
-1
5. Sean las matrices
t
). Calcular a y b para que A =A .
b) (5p.)Dada la matriz A=(
(
)
(
). Se pide:
a) (4p.) ¿Para qué valores de m la matriz A no tiene inversa?
b) (4p.) Para m=1, calcular la inversa de A.
c) (2p.) Resolver la ecuación matricial A·X=B para m=1.
6.1-(6p.)Sea la matriz
(
) cuyo determinante vale 4. Se pide, indicando las propiedades que
utilizas:
t
a) |-3A |; b) |
6.2.-Dadas la matriz
matricial: {
-1 t
3
-1
| ; c) |A A | ; d) Si B es una matriz cuadrada y B =I, calcula |B |
(
)e I la matriz unidad de orden 2. Resolver el sistema de ecuaciones
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7.-Sea el sistema de ecuaciones {
. Se pide:
a) (6p.)Discutir según los valores del parámetro a.
b) (3p.)Resolver para a=2.
c) (1p.)Enuncia brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius.
(
8.- a) (5p.)Dadas las matrices
)
( ) , razonar para qué valores de t el
sistema homogéneo A·X=0, tiene más de una solución.
(
b) (4p.)Dadas las matrices
)
(
), calcular a, b y c, sabiendo que no
pueden valer 0 a la vez, para que las matrices M y N tengan, simultáneamente, rango 2.
c) (1p.)Enuncia brevemente qué es el rango de una matriz.
(
9.- a) (5p.)Dadas las matrices
)
(
), se pide:
t
t
a.1) Determinar para qué valores de k la matriz B ·A tiene inversa.
t
a.2) Resolver la ecuación matricial (A·B) ·X=I para k=0.
(
b) (5p.)Dadas la matrices
)
(
). Resolver el sistema de ecuaciones matricial:
{
(
10.- a) (5p.) Sea la matriz
), se pide:
a.1) Estudiar el rango de la matriz A según los valores del parámetro m.
-1
a.2) Para m=-1, calcular A .
b) (5p.) Discutir la compatibilidad del siguiente sistema según los valores a y resolver cuando el sistema
sea compatible indeterminado: {
11.-Indicando las propiedades de los determinantes utilizadas en cada caso, se pide:
a) (6p.)Si | |
a.1) |
|
|
, calcular
|=;
a.2) |
|;
a.3) |
|
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|
b) (2p.)Si
c)
|
|
, calcular|
(2p.) Sabiendo que x, y, z y u son valores no nulos, justificar sin efectuar su desarrollo que
|
|
12.-Dadas las matrices
(
)
( ).
a) Discutir el rango de A según los valores de.
b) Para =2, resuelve el sistema de ecuaciones (o la ecuación matricial) A·X=B.
13.- Sean las matrices
a)
(
)
(
)
Calcula los valores de  para los que la matriz inversa de A es
·A.
b) Para =-3, determina la matriz X que verifica la ecuación A ·X=B, siendo A la matriz traspuesta de
A.
t
(
14.- a) Discutir, según los valores de m, el sistema: { (
(
b) Resolver para m=0 y m=1.
)
)
)
t
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CURSO 10-11
(
1.-Sean las matrices:
)
(
)
(
).
a) Matriz inversa de otra. ¿Por qué no tiene inversa la matriz C?
b) Matriz inversible o regular. ¿Es invertible la matriz D?
-1
c) Hallar los valores de m para que exista B .
-1
d) Hallar B para m=0.
e) Calcular la matriz X para que cumpla que X·B+C=D para m=0.
(
2.-Sabiendo que
a) |
) y que |A|=4. Indicando en cada caso las propiedades utilizadas, se pide:
|; |
|; |
|.
)=I.
b) Calcular A, si A·(
-1
(
c) Si
) ¿qué relación existe entre b, c y d para que se verifique B =2I-B.
d) Menor complementario de un elemento de un determinante
3.-El sistema A·X=B tiene diferentes soluciones según sea la matriz B, sabiendo que:
A
(
)
( )
a) Rango de matriz
b) Determinar si existen valor/es de a para los que el sistema sea compatible.
(
c) Si a=4 y B
), determinar, si existen, el valor/es de b para los que el sistema es
incompatible.
d) Si a=4 y B
(
), determinar, si existen, el valor/es de c para los que el sistema es compatible
indeterminado. Resolver el sistema.
4.-a) Discutir según los valores del parámetro a y resolver cuando sea posible: {
(
b) Sean
)
(
t -1
(
(
)
)
2
) . Calcular: |(B.A) | y B .
c) ¿Qué es un adjunto en un determinante?
5.-Sea la matriz
(
). Se pide:
a) Estudiar el rango de A según los valores de a.
b) Hallar el valor de a para que A sea una matriz regular.
-1
c) Hallar A para a=1.
d) Enunciar brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius
6.-a) Sea
b) Sea | |
(
|
), encontrar todas las matrices
|
(
4
-1
Se pide el valor de: |C ·C |, |
) tal que se verifique B·P=P·B.
|y |
|.
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7.-Sea el sistema de ecuaciones: {
a) Discutir según los valores de a. ¿Tiene siempre solución?
b) Resolver para a=-1.
c) ¿Qué es un sistema homogéneo? ¿Cuándo será incompatible?
8.-a) Dadas las matrices P
(
) y A
sabiendo que B·P=A.
(
b) Sea el sistema de ecuaciones {
(
9.-Dadas las matrices
(
), hállese razonadamente la matriz B,
)
(
)
)
(
. Discutir y resolver según a.
)
(
).
-1
c) ¿Para qué valores de m existe B ?
-1
d) Para m=1, calcular B .
e) Para m=1, hallar la matriz X tal que X·B+C=D.
10.-Determina, según los valores de m, el rango de la matriz
inversa A? Para m=1, soluciona el sistema
( )
(
( ).
11.- a) Discutir, según los valores de a, el sistema: {
b) Resolver para a=0.
12.-Sea la matriz
(
). Se pide:
2
a) Determinar los valores de λ para que la matriz A +3A no tenga inversa.
b) Para λ=0 hallar una matriz X que verifique que A·X+A=2I.
13.- Discutir según los valores de a el siguiente sistema: {
). ¿Cuándo tiene
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CURSO 09-10
(
1.-Dada la matriz
)
a) Estudia, según los valores de m, el rango de A.
b) Para m=-1, calcula la matriz X que verifica XA+A=2I3.
2.-Sea el sistema {
a) Discutir las soluciones del sistema anterior en función de a.
b) Resolver para el valor de a que hace al anterior sistema compatible indeterminado.
3.-Se consideran las matrices
(
(
)
)
(
)
a) Halla los valores de x, y, z para los que la matriz A no tiene inversa.
b) Determina los valores de a para los que el sistema que se forma de B·A=C tiene solución.
c) Resuelve el sistema anterior cuando sea posible.
4.-Realiza las cuestiones siguientes:
(
a) Sea
n
). Halla A , siendo
.
b) Busca una matriz B tal que B·A=(0 0), siendo
c) Sean las matrices
(
)
(
(
).
). Estudia en función de los valores de k, si la
matriz B·A tiene inversa.
5.-Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican A·X·B=C.
a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que |A|=3, |B|=-1 y |C|=6, calcula |X| y
|2X|.
b) Si
(
),
(
)yC
(
), calcula la matriz X.
6.-Sea el sistema de ecuaciones {
a) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible.
b) Resuelve el sistema para m=-1.
7.-Se consideras las matrices
(
) y B=A-kI2, donde k es una constante.
a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa.
-1
b) Calcula B para k=-1.
c) Determina las constantes  y  para las que se cumple A +A=I2.
2
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(
8.-Sean las matrices
)y
( ).
a) Calcula, si existe, la inversa de la matriz A.
b) Resuelve ¡el sistema A·X=3X.
(
9. Dadas las matrices:
)
(
)
a) Encontrar las condiciones que debe cumplir a, b, c para que se verifique A·B=B·A.
10
b) Para a=b=c=1, calcular B .
-1
c) Calcular A .
10. Dado el sistema {
a) Clasificarlo según los valores de k.
b) Resolverlo para k=-1
11. Se considera el sistema {
}
(
)
a) Discutir según los valores de m.
b) Resolver para m=0.
12. Dada la matriz
13. Dadas las matrices
A·X·B=A+B.
-1
(
). Obtener A .
(
)
(
). Obtener una matriz cuadrada X2 que verifique
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CURSO 08-09
1.- a) Calcular razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones
tiene más de una solución:
2 x  y  z  mx 

x  2 y  z  my 
x  2 y  4 z  mz 
b) Resuelve el sistema anterior para el caso m=0 y para el caso m=1.
1 1 2 
 1 0 2
2.-Dadas las matrices A  1 2 1  y B   2 0 4 




1 1 1 
 1 1 1




a) Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B.
b) Resuelve la ecuación matricial: A·X+B=A+I, donde I denota la matriz identidad de orden 3.
3.-Sabemos que el sistema de ecuaciones:
2 x  y  3z  1
 . Tiene las mismas soluciones que el que
x  2y  z  2 
resulta al añadir la ecuación ax+y+7z=7.
a) Determina el valor de a.
b) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de las
incógnitas sea igual a la unidad.
4.-Considera la matriz
1 1

A   m m2
m m

1 

m2 
m 2 
a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.
 x   1
   
b) Estudia si el sistema A · y   1 tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en
 z   1
   
el apartado anterior. Si tienen solución hállalas.
1 3 k 


5.-Dada la matriz A   k 1 3 
1 7 k 


a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k.
b) Para k=0, halla la matriz inversa de A.
x  y 1


6.-Dado el siguiente sistema de ecuaciones: ky  z  0

x  (k  1) y  kz  k  1
a) Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible.
b) Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga z=2
1 1 1
1 0 




  2 0  1

7.-Dadas las matrices: A   0 1 0  ; B   0  1 y C  
1

1
1


1 2 2
2 1 




t
Calcula la matriz P que verifica AP-B=C .
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x  y  x  a  1
8.-Considera el siguiente sistema de ecuaciones: 2 x  y  az  a 

x  ay  z  1 
a) Discútelo según los valores del parámetro a.
b) Resuélvelo en el caso a=2.
9.-Considérese el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial A·X=B, donde
 1 1 2 
1


 
A   2a a  1 , B   2  , y
 1 a 1 
 3


 
 x
 
X   y
z
 
Siendo a un parámetro real. Se pide:
a) Clasifica el sistema en función del parámetro a .
-1
b) Para a=0, obtén las soluciones mediante el cálculo X=A ·B.
2
2
10.-Calcula una matriz cuadrada X, sabiendo que verifica: X·A +BA=A siendo:
0  2
 0 0  1
 0




A   0 1 0  y B   0  2 0 
 1 0 0 
 2 0
0 



 m m  1 m(m  1) 

11.-Estudiar el rango de la matriz: A   m
1
m  según los valores del parámetro m.

m
1
m  1 

12.-Sean las matrices:
2 0 
8  9
 y B  
 Hallar una matriz X, tal que X·A·X-1=B.
A  
0

1
6

7



