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Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica – Capítulo VII. Mecánica No-lineal de la fractura
Mecánica no lineal de la fractura
Introducción.
El factor crítico de intensidad de tensiones KIC describe las condiciones en la punta de una
grieta en el contexto de la fractura elástica lineal (MFEL o LEFM), en tanto la extensión de
la zona plastificada tenga una extensión reducida. Cuando la zona plástica tiene un tamaño
reducido, K pierde su sentido.
Un poco de historia.
Se ha intentado extender la aplicabilidad de la mecánica de la fractura elástica lineal al
régimen elastoplástico.
Corrección por plasticidad
El primer intento se basó en la corrección por plasticidad en el contexto de la mecánica
lineal de la fractura. Su éxito es relativo.
Crack tip opening displacement (CTOD o COD)
Consiste en medir la separación de las superficies en la punta de la grieta. Su falta de
fundamentos teóricos sólidos ha impedido su uso masivo. La metodología para medir COD
está estandarizada bajo la norma británica: “Methods for crack opening displacement”de la
British Standard Institution, de 1972.
Integral J
En 1968, Rice definió la integral J. Durante varios años no fue reconocida como una
teoría válida en el estudio de la fractura elastoplástica. En 1971, Begley y Landes
publicaron los primeros artículos en los que se utiliza J como criterio de fractura. Durante
estos años la integral J termina convirtiéndose en la única base teórica sólida y flexible en
el estudio de la fractura elasto-plástica. En Rusia, la integral J fue desarrollada por
Cherepanov.
Definición de la integral J.
Al considerar un medio continuo elástico, no necesariamente lineal, homogéneo en el que
las fuerzas másicas se consideran despreciables y en régimen de pequeñas deformaciones,
el tensor deformación es:
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
2  x j
1 u
 ij   i 
u j  1
  ui , j  u j , i
xi  2


en que ui representa el campo de desplazamientos.
Si S es una superficie arbitraria, cerrada y simplemente conexa, entonces la integral
I   Wnr  Ti ui, r da  0
i, r  1,2,3
S

Tda

n
S
da
Figura 1. Superficie arbitraria de un sólido cualquiera.
W   ij d ij
corresponde a la energía elástica de deformación

T
representa las tracciones presentes en S
n
es el vector unitario perpendicular a S
da
es el elemento de área
Si el medio continuo estuviera en un régimen elástico bidimensional (tensión plana o
deformación plana) y considerando una placa de espesor unitario, la integral puede
escribirse como:
 Wnr  Ti ui, r ds  0
i, r  1,2
S
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ya que da  ds  1
y
y
n
S
x
dy
1
dS
x
dx
z
Figura 2. Sólido son una grieta y sometido a tensiones.
nˆ  n1iˆ  n2 ˆj

dsˆ  n1  dy

dsˆ  n2  dx


 Wn1  Tx
S
u y 
u 
 u
u x
ds   Wdy   Tx x  T y y ds
 Ty

x
x 
x
x 

S

u y 
u y 
 u x
 u x



ds
Wn

T

T
ds


Wdx

T

T


y
  2  x y y y  
 x y


y



S
S
Queda como ejercicio el demostrar las relaciones anteriores.
Si en cierto dominio D existe una heterogeneidad, tal como semuestra en la figura 3, en
principio al no ser conexo en D, no se cumplirá:
 Wnr  Ti ui, r da  0
S
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S*
2
S**
1
D
S  12  S * *  21  S *
Figura 3. Esquema representando una heterogeneidad en el material.
En cambio, se podrá definir una curva S de tal forma de no incluir la discontinuidad y en la
que se cumpla
 Wnr  Ti ui, r ds  0
S
2


  Wnr  Ti ui, r ds 
1
1
 Wnr  Ti ui, r ds   Wnr  Ti ui, r ds   Wnr  Ti ui, r   0
S **

2
S*
 Wnr  Ti ui, r ds   Wnr  Ti ui, r   0
S*
S **
ya que S* y S** se recorren en sentido contrario y dado que son contornos cerrados, se
tiene:
 Wnr  Ti ui, r ds   Wnr  Ti ui, r ds
S*
S **
recorridos ambos en el mismo sentido.
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Esta última relación confiere una propiedad importante a esta integral: cuantifica la
discontinuidad o heterogeneidad del dominio D, con independencia del contorno cerrado
donde se establece, siempre que dicho contorno englobe totalmente a D.
F
C
x
F
Figura 4. Probeta C-T.
Sea una probeta recta cuyo contorno se hace coincidir con el eje x, tal como se muestra en
la figura 4. Al cargar la probeta con las fuerzas F la zona próxima a la punta de la grieta C
experimenta una distorsión, que será la causante de la propagación de la grieta, engendrada
por el alto valor de las tensiones en esa zona.
La integral anterior permite estudiar cuantitativamente la zona de fractura.
y
3
4
2
1
x
S2
S1
Figura 5. Contorno de integración para un material con una grieta presente.
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S  S1  34  S 2  12
Si S1 y S2 no cruzan la zona de proceso, la integral
 Wnr  Ti ui, r ds
S
se transforma en
2
 Wdy  Ti
1
4
ui
u
u
u
ds   Wdy  Ti i ds   Wdy  Ti i ds   Wdy  Ti i ds  0
x
x
x
x
S1
3
S2
Si la grieta está descargada en 12 y 34, entonces Ti=0 y como en esos trayectos dy=0, se
tiene:
 Wdy  Ti
S1
ui
u
ds   Wdy  Ti i ds  0
x
x
S2
y de aquí:
J
ui
ds 
x
 Wdy  Ti
S1
 Wdy  Ti
 S1
ui
ds
x
Finalmente
 Wdy  Ti
J
S1
ui
ds
x
Interpretación Física de la Integral J.
Si se considera J alrededor de un contorno S que rodee la punta de la grieta y ésta avanza
una pequeña cantidad da, arrastrando consigo el contorno, se tiene, ver figura 6:
J   Wdy   Ti
S
S
ui
ds
x
Al multiplicar por da, se tiene:
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 Wdyda
corresponde a la energía de deformación ganada (y perdida) al moverse la
grieta al nuevo contorno
 Ti
ui
dsda corresponde al trabajo realizado por las tracciones sobre el contorno al
x
moverse la grieta
X2
Y
Tj
ui
da
x
da
X1
da
Figura 6. Esquema del avance de una grieta.
Por lo tanto, la integral Jda es la energía total que atraviesa el contorno al extenderse la
grieta una distancia da.
Esta energía es la misma para todos los contornos, en particular aquel que rodea
exactamente la punta de la grieta, dada la independencia de J con el camino de integración.
En régimen elásticolineal y no lineal y para plasticidad confinada en un área restringida
J = G = Fuerza impulsora de la grieta
Para sólidos elásticos no-lineales
J = G = Energía disponible para la extensión de la grieta
En el caso elasto-plástico general, es decir, en el caso de deformaciones no-reversibles, J
pierde su sentido físico de fuerza impulsora. Puede considerarse una comparación
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energética entre dos cuerpos similares con grietas de tamaño próximo, solicitadas de igual
forma.
Relación entre J y la energía potencial
CASO I: Sólido al que se le imponen cargas y desplazamientos.
3
P3
2
P2
1
P1
Figura 7. Sólido sometido a cargas y deplazamientos.
Por definición, la energía asociada a una configuración de cargas y desplazamientos está
definida por:
U  W  P11  P2 2  P3 3  ...
en que Pi representa las cargas y i los desplazamientos. A su vez U corresponde a la
energía potencial y W es la energía de deformación elástica.
P
P1
A
B
O
1

Figura 8. Curva carga-desplazamiento para una grieta que crece bajo cargas y desplazamientos impuestos.
W   Pd  @ OAB
P1 1  @BAP1
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U  W  P1 1  @OAB-@OBAP1=@OAP1
Caso II. Sólido al que sólo se imponen desplazamientos.
1
En este caso
UW
2
3
P

Figura 9. (a) Sólido con desplazamientos impuestos; (b) Curva carga-desplazamiento para el sólido de (a).
Además, se cumple que:
U   Pd
Definiéndose, de acuerdo a la figura 10, la energía complementaria como:
W   dP
P

Figura 10. Definición de la energía complementaria W   dP
La energía potencial por unidad de espesor para un sólido el sólido elástico bidimensional
de área A con un contorno S vendrá dada por:
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U / B   Wdx1dx2   Tuds
A
S
B es el espesor y S es el contorno sobre el que se aplica la tracción S.
En un diagrama P- U corresponde a un área, de acuerdo al siguiente esquema:
P
Caso I: Cargas y
desplazamientos
U
P0
0

Figura 11. Curva carga-desplazamiento, caso I.
P
Caso II: Desplazamientos
(el segundo término de la
ecuación anterior vale
cero ya que Ti=0)
P0
U
0
Figura 12. Curva carga-desplazamiento caso II.

Si una grieta de longitud a0 crece en un sólido elástico no lineal, la curva P- será para el
caso I:
P
-U
B
A
P
o
ao
ao + a
C
O
o
o + 

Figura 13. Curva carga-desplazamiento para un sólido con una grieta que crece.
en que
@OAB
= es el trabajo realizado por el sólido al extender la grieta
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= - diferencia de energía potencial entre el sólido con grieta de longitud a 0 y una grieta de
longitud a0+a
Por tanto, dado que
Jda
es la energía total que atraviesa el contorno al extenderse la grieta una distancia da
U
 Wdx1dx2   Tuds
B 
A
S
Entonces si d(U/B) representa el cambio en la energía potencial por unidad de espesor al
avanzar la grieta una distancia da, se tiene:
J 
(U / B)
a
Finalmente, el caso II (desplazamientos fijos):
P
Po
-U
ao
ao + a
o
O

Figura 14. Curva carga-desplazamiento para un sólido con una grieta que crece a desplazamientos fijos.
El área achurada corresponde a la energía para propagar la grieta. La energía potencial es el
área bajo la curva y, en consecuencia
J 
 B
U
a
Además
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 Pd
U  
   dP
desplazamiento
c arg a

 P
U   a d

a   dP
  a
 P
U   a d
J 

a   dP
  a
Finalmente, se puede plantear que:
J  
P

d   dP
a
a
Propiedades de la integral J
1.
J puede considerarse como el factor de intensidad de tensiones del campo en la zona
próxima a la punta de la grieta en el régimen elasto-plástico, desempeñando el mismo papel
que K en el régimen elástico.
2. J puede calcularse a partir de su definición básica, como integral de línea. Mediante las
variaciones de flexibilidad de probetas con longitudes de grietas similares, o por otros
métodos equivalentes de aplicaciones particulares (tal como J  G  K
2
E
para los casos
elástico-lineales).
3. J en muchos casos puede calcularse mediante métodos aproximados, desarrollados a
partir de su definición.
4. Puede utilizarse para caracterizar el comportamiento del material, ya que a igualdad de J
aplicada se tendrán iguales intensidades en los campos de tensiones que rodean la punta de
la grieta.
5. J puede emplearse para desarrollar parámetros que describan el comportamiento a
fractura de materiales con muy variado comportamiento: elástico no-lineal, fatiga,
comportamiento elasto-plástico etc.
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