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SOLUCIÓN QUIZ 3
1. Suponga que f es una función diferenciable en todos los reales y dena F como
ˆ
x2
F (x) =
2
√
f( t )
dt,
t
si f (1) = 0 y f 0 (1) = 1, entonces F 00 (1) =?.
2. Calcule en términos de n la suma
n
X
f (xi )∆x,
i=1
para aproximar el área A de la región bajo la curva f (x) = 4 − x2 sobre el intervalo [0, 2], cuando n = 10,
n = 20. Después determine A exactamente con el limite cuando n → ∞.
SOLUCIÓN.
1. En el problema hay dos funciones diferentes, una es la función F , que es la integral, y la otra es la función
f de la cual solo conocemos que f (1) = 0 y f 0 (1) = 1.
Como debemos encontrar F 00 (1), empezamos por derivar la función F :
ˆ
d
F (x) =
dx
x2
0
2
!
√
f( t )
dt ,
t
derivamos ambos lados para preservar la igualdad.
Para el lado derecho de la igualdad, usamos el teorema fundamental del calculo, de esta forma:
ˆ
d
F 0 (x) =
dx
x2
2
!
√
√
f( t )
f ( x2 )
dt =
2x,
t
x2
teniendo presente la derivada interna (x ) = 2x. Simplicando:
2 0
F 0 (x) =
2f (x)
.
x
Ahora, derivamos nuevamente teniendo en cuenta que se trata de un cociente, por lo tanto:
2f 0 (x)x − 2f (x)
,
x2
de esta forma, reemplazando f (1) = 0 y f 0 (1) = 1, tenemos que:
F 00 (x) =
F 00 (1) =
2. Sumas de Riemman.
2f 0 (1) − 2f (1)
= 2.
12
Para empezar busquemos los datos para reemplazar en la suma, xi y ∆x, como estamos en el intervalo
[0, 2] tenemos que:
∆x =
dado que f (x) = 4 − x2 ,
2
n
y
xi = i∆x =
f (xi ) = 4 − (xi )2 = 4 −
Ahora, reemplazando
n
X
i=1
f (xi )∆x =
2
i,
n
2
2
4i2
i =4− 2 .
n
n
n X
4i2 2
4− 2
,
n
n
i=1
1
SOLUCIÓN QUIZ 3
2
de esta forma, si tenemos en cuenta que:
n
X
n
X
y
1=n
i=1
entonces
i=1
n
X
n
X
n
4 X 2
4− 2
i
n i=1
i=1
2
f (xi )∆x =
n
i=1
y simplicando
i2 =
n
X
!
f (xi )∆x = 8 −
i=1
2
=
n
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
4 n(n + 1)(2n + 1)
4n − 2
n
6
8(n + 1)(2n + 1)
.
6n2
En el caso, n = 10 tenemos:
10
X
f (xi )∆x = 8 −
i=1
y cuando n = 20:
20
X
924
8(10 + 1)(2(10) + 1)
738
=8−
=
,
6(10)2
300
150
f (xi )∆x = 8 −
i=1
3444
8(20 + 1)(2(20) + 1)
=8−
.
2
6(20)
1200
Ahora, tomando el limite cuando n → ∞:
A = lı́m
n→∞
por lo tanto
como
n
X
f (xi )∆x = lı́m
n→∞
i=1
4
A=8−
3
lı́m
n→∞
8−
8(n + 1)(2n + 1)
6n2
(n + 1)(2n + 1)
lı́m
n→∞
n2
,
,
(n + 1)(2n + 1)
= 2,
n2
tenemos que el area A bajo la curva f (x) = 4 − x2 en el intervalo [0, 2] es A =
16
3 .
,