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Colegio “La Inmaculada”
Área de Matemáticas
Académicas
3º de ESO
Apuntes de Área
Misioneras Seculares de Jesús Obrero
Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid.
Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96
e-mail: [email protected]
TEMA 5 – ECUACIONES Y SISTEMAS
. Objetivos / Criterios de evaluación
O.8.1 Resolver ecuaciones de primer grado sencillas.
O.8.2 Solucionar problemas utilizando ecuaciones de primer grado
O.8.3 Resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.
O.8.4 Resolver ecuaciones de tercer y cuarto grado incompletas.
O.8.5 Solucionar problemas utilizando ecuaciones de segundo grado
O.8.6 Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando los métodos de sustitución,
reducción e igualación.
O.8.7 Solucionar problemas utilizando sistemas de ecuaciones.
1 Igualdades, identidades y ecuaciones (Página 96)
Def. Igualdad: Es una expresión matemática con dos partes separadas por un signo
igual.
Def. Miembro: es cada una de las partes que está a un lado del signo igual.
Def. Ecuación: Es una igualdad entre letras y números.
En una ecuación podemos multiplicar o dividir los dos miembros por el mismo número y
las soluciones de la ecuación no varían.
En una ecuación podemos sumar o restar por un número los dos miembros sin que varíen
las soluciones de la ecuación no varían.
Def. Soluciones. de una ecuación son los valores de las variables que hacer cierta la
ecuación.
Def. Resolver: una ecuación es encontrar las soluciones de la misma.
Def. Identidad: Es una ecuación cierta para cualquier valor de las variables.
2. Ecuaciones con una incógnita (Página 98)
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 1 INCÓGNITA
Grado
Tipo
Forma
Resolución
1º
General
a·x+b=0
Despejar la incógnita
General
ax2 + bx + c = 0
Fórmula de resolución
Incompleta b=0
ax2 + c = 0
Incompleta c=0
ax2 + bx = 0
General
ax3+bx2+cx+d=0
2º
3º
Tema 5 – Ecuaciones y sistemas.
Despejar la incógnita
Sacar factor común a x
Fórmula de resolución
Buscar 1 raíz y 2º grado
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4º
Área de Matemáticas
Académicas
3º de ESO
Apuntes de Área
Incompleta d=0
ax3+bx2+cx=0
Sacar factor común a x
General
ax +bx +cx +dx+e=0
Buscar 2 raíces y 2º grado
Bicuadrada
ax + cx + e = 0
Cambio de variable u=x2
4
3
4
2
2
>4º
Búsqueda de raíces
3. Ecuaciones de 2º grado (Página 100)
Fórmula de resolución de ecuaciones de 2º grado
Podemos obtener los resultados de una ecuación de 2º grado utilizando la siguiente
fórmula:
𝑥=
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Def. Discriminante: En las ecuaciones de 2º grado es la expresión b2-4ac. Sirve para
conocer el número de posibles de una ecuación. Se denota con la letra griega Delta
mayúscula, que tiene forma de triángulo.
Δ=b2-4ac.
.
Si Δ>0 la ecuación tiene 2 soluciones reales
Si Δ=0 la ecuación tiene 1 solución real
Si Δ<0 la ecuación no tiene soluciones reales
Si x1 y x2 son las dos soluciones de la ecuación de 2º grado
x1+ x2=
−b
a
x1⋅ x 2=
c
a
4 Sistemas de ecuaciones lineales (Página 104)
Def. Sistema de ecuaciones lineales: es un conjunto de ecuaciones (2 o 3) con varias
variables (2 o 3) todas ellas elevadas a exponente unidad.
Def. Solución: de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de números que
verifican todas las ecuaciones del sistema. Si este conjunto de números existe, el sistema
es compatible, si no existe, el sistema se llama incompatible.
Def. Sistema de ecuaciones compatible: es aquel que tiene solución.
Def. Sistema de ecuaciones compatible determinado: es aquel que tiene una sola
solución
Def. Sistema de ecuaciones compatible indeterminado: es aquel que tiene infinitas
soluciones.
Tema 5 – Ecuaciones y sistemas.
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Def. Sistema de ecuaciones incompatible: es aquel que no tiene solución.
Def. Dos sistema de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Si se suma, resta el mismo número o expresión algebraica a ambos miembros de una
ecuación, se obtiene un sistema equivalente.
Si se multiplica o divide por el mismo número o expresión algebraica a ambos miembros
de una ecuación, se obtiene un sistema equivalente.
Si a una ecuación del sistema se le suma o resta otra ecuación del sistema, se obtiene un
sistema equivalente.
Def. Resolver: un sistema de ecuaciones lineales es encontrar la solución del mismo.
Hay tres métodos diferentes:
Método de igualación: Se despeja la misma incógnita en cada par de ecuaciones y se
iguala el resultado. El sistema tiene una incógnita menos en cada paso. Cuando sólo tiene
una, se resuelve como una ecuación de 1er. Grado y a continuación se calculan las
demás incógnitas sustituyendo el valor de la ya calculada.
Método de sustitución: Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye su
valor en el resto de las ecuaciones. El número de ecuaciones e incógnitas desciende en
una unidad. Cuando se llega a una ecuación de 1er. Grado se resuelve y se calculan el
valor de las demás sustituyendo el valor de la ya calculada.
Método de reducción: Se multiplican las ecuaciones por los coeficientes necesarios para
que, al sumarlas o restarlas, se anule una incógnita. Luego se resuelve la ecuación de
1er. Grado resultante.
Método gráfico: Se representa cada una de las dos ecuaciones haciendo una tabla de
valores para cada una de ellas (con dos valores es suficiente). El punto en el que se
cortan las dos líneas es la solución del sistema, sus coordenadas x e y son los valores
solución. El sistema es compatible determinado.
Si ambas líneas son paralelas, el sistema no tiene solución real, es incompatible.
Si ambas líneas coinciden, el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible
indeterminado.
5. Teoría de matrices
Def. Matriz: es un arreglo de números dispuestos en filas y columnas. Cada elemento (número)
de la matriz se denomina aij, donde i es el número de fila y j es el número de columna.
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Def. Diagonal principal de una matriz: es el conjunto de los elementos aij donde i=j.
Def. Matriz triangular: es aquella matriz en la que todos los elementos debajo de la diagonal
principal de la matriz valen cero.
Def. Matriz de un sistema de ecuaciones: Es la matriz formada con los coeficientes y los
términos independientes de un sistema de ecuaciones debidamente ordenado.
Propiedades de las matrices:
A una matriz se le pueden cambiar de orden las filas o columnas completas.
Se puede multiplicar o dividir a todos los elementos de una fila de la matriz por el mismo número.
Pueden sumarse o restarse las filas de una matriz para calcular una nueva fila de la matriz.
Tema 5 – Ecuaciones y sistemas.