2. Matrices en las ciencias sociales
2. Matrices en las ciencias sociales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II 1. Operaciones con matrices 2. Aplicaciones de las matrices 3. Cálculo de determinantes 4. Cálculo de matrices inversas 5. Ecuaciones matriciales 6. Aplicaciones de los determinantes 48 Matrices en las ciencias sociales 1.- OPERACIONES CON MATRICES AUTOMÓVILES Una fábrica de automóviles dispone de tres modelos: utilitario, de lujo y deportivo. En determinada ciudad la firma dispone de tres concesionarios, A, B y C. En cierto momento el concesionario A posee en stock 3 utilitarios, 2 de lujo y 1 deportivo ; el concesionario B, respectivamente, 6, 1 y 1 ; por último, el concesionario C tiene, también respectivamente, 2, 3 y 3 vehículos. A partir de estos datos formar la correspondiente matriz. Representamos por U = coches utilitarios, L = coches de lujo, D = coches deportivos. Con esta notación construimos la tabla: U L D 3 2 1 6 1 1 2 3 3 A B C La matriz correspondiente es: 3 2 1 M = 6 1 1 2 3 3 MATRIZ DE UN GRAFO Construye un grafo del entramado de plazas y calles de la figura y escribe la matriz correspondiente de manera que se pueda acceder y salir de todas las plazas. El grafo y la tabla asociada son: 1 2 3 1 2 3 4 1 4 2 3 4 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 =A 1 0 1 1 1 0 Para construir esta tabla procedemos de acuerdo con las siguientes reglas: Se escribe un 1 si hay un camino simple que une el vértice de la izquierda con el vértice superior. Los vértices no son autoconectables todos nulos). 0 1 1 0 La solución es, pues, la matriz A = 0 1 0 1 (los elementos de la diagonal principal deben ser 0 0 1 1 0 1 1 0 ELECTRODOMÉSTICOS Una fábrica de electrodomésticos produce frigoríficos, lavadoras y aspiradoras. Asimismo dispone de tres almacenes en la ciudad. En determinado momento se guardan en el almacén A 12 frigoríficos, 18 lavadoras y 24 aspiradoras. En el almacén B hay, respectivamente, 8, 15 y 30. Por último, en el C están almacenados, también respectivamente, 16, 12 y 22. Escribe una matriz que exprese estos datos. 49 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II IDEOLOGÍAS En una comunidad el 30 por 100 de los individuos son de derechas, el 40 por 100 de centro, y el 30 por 100 restante de izquierdas. De los primeros, el 70 por 100 tienen unos ingresos anuales que superan los 40000 euros ; de los segundos el 55 por 100 y de los últimos sólo el 40 por 100. Escribe una matriz que exprese el porcentaje de individuos de cada ideología, en función de sus ingresos anuales. ECOSISTEMA En un ecosistema existen cinco especies en peligro de extinción: 4 buitres, 10 leones, 20 gacelas, 30 monos y 50 hienas. Construye el vector poblacional del ecosistema. Un vector es una matriz que tiene una sola fila (o una sola columna). a) Al cabo de tres años la población de cada especie se duplicó. ¿Cuál es el nuevo vector poblacional?. b) En el año siguiente la primera y la tercera especie se extinguieron. ¿Qué vector poblacional representa este hecho?. c) Se introducen en el ecosistema 2 buitres y 5 gacelas. Escribe el vector poblacional resultante. AUTOBUSES La red de conexiones de cuatro barrios de Valencia A, B, C y D mediante líneas de autobuses, los días laborables de 22 a 23 horas, puede expresarse mediante la siguiente tabla. Escribe la matriz y dibuja el grafo correspondiente. A B C D A 0 1 1 0 B 0 0 1 1 C 1 1 0 1 D 2 1 0 0 TIPOS DE MATRICES A menudo se resume una información o un conjunto de datos mediante una tabla de doble entrada. Aquí tenemos algunos ejemplos: 2 - 3 A = 4 1 1 2 -1 3 D = 2 - 1 3 - 1 2 - 3 0 B = 4 1 3 2 -1 1 E = 1 3 - 1 3 1 2 1 2 - 1 C = 2 -1 3 1 2 1 1 F = 1 3 1 1 3 1 2 2 Las tablas A, B, C, D, E y F se llaman MATRICES. A es una matriz cuadrada de orden 2, B y C son matrices rectangulares de orden 2 x 3, D es una matriz rectangular de orden 2x4, F es una matriz rectangular de orden 3x4 y E es una matriz cuadrada de orden 3. En general, una matriz de orden mxn es una tabla de números que contiene m filas y n columnas. Así, por ejemplo, B y C tienen 2 filas y 3 columnas, mientras que E tiene 3 filas y 3 columnas. Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas (m=n). En caso contrario, es una matriz rectangular. El orden de una matriz cuadrada es el número de filas (que coincide con el número de columnas). Otros tipos de matrices son los siguientes : 50 Matrices en las ciencias sociales MATRIZ FILA. Es una matriz de orden 1xn, es decir tiene una única fila. Ejemplos : M=(2, 5) orden 1x2 N=(3, 1, 4) orden 1x3 P=(1, 1, 0, 3) orden 1x4 MATRIZ COLUMNA. Es una matriz de orden mx1, sólo tiene una columna. Ejemplos : 3 A = 2 1 B= 0 1 orden 2x1 orden 3x1 1 3 C= 5 4 orden 4x1 MATRIZ DIAGONAL. Es una matriz cuadrada en la que son ceros todos sus elementos, salvo los de la diagonal principal. Ejemplos : 1 0 0 E = 0 1 0 (orden 3) 0 0 3 1 0 (orden 2) D = 0 4 MATRIZ TRIANGULAR. Es una matriz rectangular en la que son ceros todos los elementos situados por encima (o por debajo) de la diagonal principal. Ejemplos : 2 0 0 F = 1 3 0 9 7 4 triangular inferior 2 3 4 5 G = 0 3 7 8 0 0 1 5 triangular superior MATRIZ NULA. Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos. 0 0 0 0 0 (orden 2) (orden 2x3) N = P = Ejemplos : 0 0 0 0 0 MATRIZ UNIDAD. Es una matriz diagonal, en la que los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1. Ejemplos : 1 0 0 V = 0 1 0 (orden 3) 0 0 1 1 0 (orden 2) U = 0 1 Una matriz se puede representar de dos maneras diferentes : encerrando sus elementos entre paréntesis o entre corchetes. 2 4 5 2 4 5 Así, la matriz R = 1 3 5 podemos escribirla así : R = 1 3 5 2 7 4 2 7 4 OPERACIONES CON MATRICES Con las matrices podemos efectuar operaciones al igual que con números reales. IGUALDAD. Dos matrices son iguales si son del mismo orden y coinciden sus elementos correspondientes (que ocupan la misma posición). Ejemplo : a b d e c 1 0 1 si se cumple que f 3 2 2 a=1, b=0, c=1, d=3, e=2, f=2. 51 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II SUMA. Para que dos matrices se puedan sumar deben ser del mismo orden. 3 2 1 5 2 3 1 2 2 (1) 1 4 4 3 1 4 4 (3) 3 1 Para sumar dos matrices del mismo orden m x n, se suman sus elementos correspondientes (que ocupan la misma posición), obteniéndose como resultado una matriz del mismo orden que las anteriores, m x n. DIFERENCIA. Para que dos matrices se puedan restar deben ser del mismo orden. 10 7 8 3 10 8 7 (3) 2 10 5 2 1 4 5 (1) 2 4 6 6 Para restar dos matrices del mismo orden m x n, se restan sus elementos correspondientes (que ocupan la misma posición) obteniéndose como resultado una matriz del mismo orden que las anteriores, m x n. PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL. 5 4 10 5 10 4 50 40 10 2 3 10 2 10 3 20 30 Para multiplicar una matriz por un número real, basta multiplicar por dicho número real todos los elementos de la matriz. El resultado es una matriz del mismo orden que la matriz de partida. MATRIZ TRANSPUESTA de otra dada A es aquella que se obtiene intercambiando filas por T columnas. Se representa por A . 2 1 2 1 es AT . Por ejemplo, la transpuesta de la matriz A = 1 7 1 7 1 0 2 1 0 4 T La transpuesta de la matriz B = 0 1 3 es B 0 1 2 . 4 2 1 2 3 1 1 0 1 0 4 T es C 0 3 . La transpuesta de la matriz C = 0 3 1 4 1 T Si la matriz M es de orden m x n, su matriz transpuesta M es de orden n x m. 52 Matrices en las ciencias sociales OPERACIONES CON MATRICES 2 5 Dadas las matrices A = 1 0 siguientes propiedades : 1 4 B = 0 1 A+B=B+A Propiedad conmutativa. (A + B)+C = A + (B + C) 0 0 = A A + 0 0 0 A + (A) = 0 6 2 , comprueba que se verifican las C = 4 0 Propiedad asociativa. 0 0 la matriz nula de orden 2. siendo 0 0 0 0 siendo -A la matriz que resulta al cambiar de signo a todos los elementos de la matriz A. Se le llama MATRIZ OPUESTA de A. 5 (A + B) = 5A + 5B (5 + 3)A = 5A + 3A Propiedad distributiva del producto por un número real respecto a la suma de matrices. 5(3A) = (53)A 1A=A Propiedad asociativa. Elemento unidad. Estas propiedades las cumplen todas las matrices del mismo orden. Por ello se dice que el conjunto de matrices de orden mn con las operaciones de suma y producto por un escalar tiene estructura de espacio vectorial sobre el conjunto R de los números reales. TRASPUESTAS 4 1 6 2 B = Dadas las matrices A = 2 3 1 5 T T a) A B + C b) A B + C 3 6 , calcula : C = 9 8 T c) A B + C a) 3 9 A B + CT = CT 6 8 4 1 6 2 3 9 1 8 2 3 1 5 6 8 3 16 b) 4 2 AT B + C = A 1 3 4 2 6 2 3 6 1 2 1 3 1 5 9 8 9 16 c) 6 1 A BT + C = B 2 5 4 1 6 1 3 6 1 6 2 3 2 5 9 8 5 16 ZOOLÓGICO En el zoológico se venden dos tipos de billetes de entrada : el de adulto y el infantil. El sábado se venden 1200 billetes de adulto y 1650 infantiles. El domingo de esa misma semana se expanden 1640 billetes de adulto y 2142 infantiles. Expresa estos datos en forma de matriz y determina el número de billetes de adulto e infantiles vendidos ese fin de semana mediante la suma de matrices. 53 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Las matrices correspondientes al sábado (S) y domingo (D) son, respectivamente: 1200 Adultos SABADO S= 1650 Infantiles 1640 Adultos DOMINGO D= 2142 Infantiles 1200 1640 2840 Por lo tanto, el total del fin de semana es : 1650 2142 3792 TOTAL : 2840 billetes de adulto y 3792 billetes infantiles. EMIGRACIÓN El número de emigrantes (en miles) con destino a las tres comunidades autónomas C1, C2 y C3 procedentes de los países A, B y C en los años 1987 y 1988, vienen expresados, respectivamente, por las matrices : A B C A B C C1 1987 : C2 C3 0,7 0,1 6,1 1,2 0,2 3,4 0,2 1,6 4 1988 : C1 0,6 0 3,2 C 2 0,9 0,1 1,9 C 3 0 0,8 3,3 Halla el total de población recibida en las tres comunidades, según el país de procedencia. El total de población que emigró en los dos años a las tres comunidades autónomas se obtiene sumando las dos matrices : 0,7 0,1 6,1 0,6 0 3,2 1,3 0,1 9,3 1,3 0,1 9,3 1,2 0,2 3,4 0,9 0,1 1,9 2,1 0,3 5,3 TOTAL = 2,1 0,3 5,3 0,2 1,6 4 0 0,8 3,3 0,2 2,4 7,3 0,2 2,4 7,3 SUPERMERCADO Un supermercado trabaja con dos marcas de conservas, A y B, y de ellas vende latas de sardinas en aceite (M), bonito (N) y berberechos (Q). El número de latas vendidas diariamente viene dado por la matriz : M N Q 48 62 30 B 30 84 26 Sabiendo que el supermercado cierra los sábados por la tarde y que la venta de la mañana es la mitad de la venta diaria, ¿cuántas latas se venden en una semana ?. A Hay que multiplicar la matriz dada por 5,5. 48 62 30 264 341 165 264 341 164 Total semana = 5,5 R = 5,5 30 84 26 165 462 143 165 462 143 54 Matrices en las ciencias sociales PIANOS La empresa Delfos, dedicada a la fabricación de pianos, posee dos fábricas, A y B, y tres depósitos, M, N y P. Los costes de transporte (en céntimos) de cada piano desde la fábrica al depósito vienen dados por la matriz : M N P 520 410 300 310 360 440 A B =R Halla la nueva matriz de costes de transporte, si éstos se incrementan en un 10 por 100. Cada fábrica produce y almacena al año 1800 pianos. ¿Cómo pueden expresarse los costes de transporte anuales correspondientes a la producción de cada fábrica, y a cada depósito ?. a) La nueva matriz de costes de transporte es 520 410 300 572 451 330 S R 0,1 R 1,1 310 360 440 341 396 484 b) Si cada fábrica produce y almacena 1800 pianos al año, significa que distribuye equitativamente los pianos fabricados entre los tres depósitos. Es decir, cada fábrica transporta a cada depósito 1800 / 3 = 600 pianos. Los costes de transporte anuales para 600 pianos se obtienen mediante la siguiente matriz : 572 451 33 0 343200 270600 198000 600 S 600 341 396 484 204600 237600 290400 El resultado se puede expresar por la matriz : M P 343200 270600 198000 204600 237600 290400 A B N AUTOMÓVILES Dos concesionarios, M y N, de una marca de automóviles venden los modelos A, B y C. El volumen de ventas de cada modelo, en el mes de enero, viene dado por la matriz : A B C M N 42 30 12 = E 30 10 24 donde los números expresan decenas de miles de euros. Si en febrero se experimenta un 12 por 100 de aumento en las ventas, en marzo un 10 por 100 respecto al mes anterior, en abril un descenso del 8 por 100, igualmente respecto del mes anterior ; en mayo de nuevo un 8 por 100 de descenso, y en junio un 18 por 100 de aumento, determina : a) El volumen total de ventas del semestre por modelo y concesionario. b) El número total de ventas por concesionario. c) El volumen total de ventas por modelo. 55 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II a) Las matrices que expresan el volumen de ventas de cada mes son : enero E febrero 1,12 E marzo 1,1 1,12 E = 1,232 E abril 0,92 1,1 1,12 E = 1,13344 E mayo 0,92 0,92 1,1 1,12 E = 1,0427648 E junio 1,18 0,92 0,92 1,1 1,12 E = 1,2304625 E Por lo tanto, el volumen total de ventas de todo el semestre es : V=(1+1,12+1,232+1,13344+1,0427648+1,2304625) E = 6,7586673 E = 42 30 12 283,86403 202,76002 81,104007 6,7586673 . De donde : 30 10 24 202,76002 67,586673 162,20801 284 203 81 . El volumen total de ventas del semestre viene dado por : V 203 68 162 A B C M N 284 203 81 =V 203 68 162 b) El número total de ventas por concesionario se obtiene sumando cada fila de la matriz V anterior. El resultado es la matriz columna : 284 203 81 568 . Es decir 568 decenas de miles de euros en ventas del 203 68 162 433 concesionario M y 433 decenas de miles de euros en ventas del concesionario N. c) El volumen total de ventas por modelo se obtiene sumando las columnas de la matriz V. El resultado es la matriz fila : 284 203 203 68 81 162 487 271 243 . Es decir, 4870000 euros en ventas del modelo A, 2710000 euros en ventas del modelo B y 2430000 euros en ventas del modelo C. PRECIO DE LA VIVIENDA El precio de una casa, en función de la zona de la ciudad y del número de habitaciones, viene dado por la siguiente matriz : Centro Zona residencia l Urbanizaci ón 2 habitacion es 3 habitacion es 4 habitacion es 6,2 8,5 12,5 9 13,5 19,4 4,1 6,2 =A 9,1 donde las cantidades se expresan en millones de céntimos. Cada año se incrementa el precio en un 10 por 100. ¿Cuál será la matriz correspondiente, después de 3 años ?. 56 Matrices en las ciencias sociales La matriz correspondiente al primer año es A+ 10 A = A + 0,1 A = 1,1 A 100 La matriz correspondiente al segundo año es 2 1,1A+0,11,1A=1,1A(1+0,1)=(1,1) A La matriz correspondiente al tercer año es 2 2 2 3 (1,1) A+0,1(1,1) A=(1,1) A(1+0,1)=(1,1) A=1,331A= 9 4,1 8,2522 11,979 5,4571 8,3 12 5,5 6,2 =1,331 8,5 13,5 6,2 11,3135 17,9685 8,2522 11,3 18 8,3 12,5 19,4 9,1 16,6375 25,8214 12,1121 16,6 25,8 12,1 OPERACIONES CON MATRICES EN LA TI83 La introducción de datos en la calculadora gráfica TI 83 se realiza a través del menú [MATRX], opción EDIT, aquí llamamos a una de las seis matrices que podemos definir mediante el número del [1] al [6] o con las flechas [] , [] y ENTER. Una vez estamos en la edición de la matriz, primero introducimos las dimensiones (filas x columnas) con ENTER después de cada valor. Igualmente escribimos cada uno de los elementos de la matriz fila a fila. Durante este proceso podemos movernos de unos valores a otros con [], [], [], []. nd Cuando acabemos, es necesario salir con [2 ] QUIT para volver a la pantalla de cálculos y resultados. En caso de error, puedes usar [DEL] o [CLEAR]. Para mostrar en la pantalla la matriz que hemos introducido, escribimos MATRX NAMES, [1]: [A]. Podemos calcular la matriz opuesta mediante [()] [A]. Para multiplicar la matriz por 7 hacemos [A]7. T Para hallar la traspuesta de la matriz [A] utiliza la función [A] (que puedes obtener al pulsar MATRX y seleccionar el menú MATH). También podemos sumar 1 0 2 2 A 1 1 0 y B 0 3 2 0 0 o restar matrices. Así, por ejemplo, dadas las matrices 3 1 1 1 , podemos hallar la suma y la resta , pulsando: [A] + [B], 2 3 [A] [B]. FÁBRICAS DE COCHES Una empresa automovilística posee dos fábricas, una en Valencia y otra fuera del país. En Valencia fabrica dos modelos, A y B, ambos de gasolina. La otra fábrica produce los mismos modelos, pero en la versión diesel. Las correspondientes matrices de fabricación, en un año determinado, son : Enero-Junio 2520 1870 1500 2230 Julio-Diciembre 1680 2220 1880 2145 donde la primera fila de ambas matrices corresponde al modelo A, y la segunda fila al modelo B. Del mismo modo, la primera columna corresponde a motor de gasolina, y la segunda columna a motor diesel. Halla la producción total de ese año según los modelos y el tipo de motor. 57 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II TARIFAS AÉREAS Los precios de las tarifas aéreas entre tres ciudades, A, B y C, expresados en decenas de euros, vienen dados por la siguiente matriz : A B C A B C 0 5,25 12,5 0 8,55 5,25 12,5 8,5 0 Pasado un año los precios aumentan un 8 por 100. Al año siguiente, por el contrario, sufren una disminución del 3 por 100. Halla las dos nuevas matrices de tarifas. Ambos procesos, ¿equivalen a un aumento del 5 por 100 en el segundo año ?. EXPORTACIONES Las relaciones comerciales entre tres países A, B y C, en el año 1986 vienen expresadas, en millones de dólares, por la matriz : A B C A B C 0 17 30 15 0 12 61 42 0 donde el elemento ij de la matriz indica el volumen de exportaciones del país correspondiente a la fila i al país correspondiente a la columna j. A B C A En el año 1987 la nueva matriz es : B C 0 15 48 18 0 30 49 31 . Con esta información, calcula : 0 a) Las exportaciones totales en el bienio 1986-1987. b) Las exportaciones medias por año. ENCICLOPEDIAS Dos vendedores de enciclopedias a domicilio, los señores García y Rodríguez, ofertan a sus posibles compradores un Diccionario de Informática (A), y un Diccionario de Ciencias Sociales (B). En el mes de septiembre el volumen de ventas de ambos, en euros, viene dado por la matriz : A B García Rodriguez 2400 1650 1800 2050 A B En el mes de octubre la matriz es : García Rodriguez 1900 2250 1600 1900 a) Calcula las ventas totales en los dos meses. b) Halla el incremento de ventas de octubre respecto de septiembre. c) Si los vendedores perciben un 10 por 100 de las ventas en concepto de comisión, averigua la ganancia de cada uno en esos dos meses. 58 Matrices en las ciencias sociales TRASPOSICIÓN Y SIMETRÍA 1 1 1 1 2 1 1 a) Halla las transpuestas de las matrices A= 2 0 ; B= ; C= . 1 1 0 1 1 3 2 b) Una matriz es simétrica si coincide con su transpuesta. Di si alguna de las matrices anteriores es simétrica. c) ¿Cómo crees que ha de ser el número de filas y columnas de una matriz para que sea simétrica ?. OPERACIONES 3 1 4 2 2 4 Dadas las matrices A= ; C= determina : ; B= 1 0 3 2 2 1 a) 2 A 3 B + 4 C b) Los valores de x, y, z que hacen que x A + y B + z C = 0, donde 0 es la matriz nula de orden 2. SISTEMAS a) Determina las matrices A y B que son soluciones del siguiente sistema matricial: 0 5 4 3A 2B 5 9 0 15 4 4 1 5 b) Resuelve el sistema: 2 X 3 Y = 4 2 1 2 7 2A B 6 6 7 10 5 2 -1 0 X Y = donde X e Y son matrices. 3 6 GASTO DE PAPEL La distribución de alumnos y alumnas en cuatro opciones de por la siguiente tabla : A B C ALUMNOS 32 31 18 ALUMNAS 21 23 22 Bachillerato de un instituto viene dada D 21 19 El consumo semanal por estudiante de fotocopias (F), hojas de examen (E) y hojas de multicopista (M), según la opción, viene dada por la tabla : A B C D F 2 2 5 3 E 1 2 3 2 M 3 3 2 3 a) Escribe en forma de matriz la distribución total de Bachillerato en ese centro por sexos y opciones. b) Si cada folio sale a 2 cents, escribe en una matriz el importe semanal en folios de fotocopias, exámenes y multicopista por alumno según la opción. c) Modifica la matriz anterior teniendo en cuenta que al precio del folio hay que añadir 1 cent si es de examen, 2 si es multicopista y 4 si es fotocopia. 59 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II MULTIPLICACIÓN DE MATRICES d PRODUCTO DE FILA POR COLUMNA. Para multiplicar A=(a b c) por B= e procedemos f así : d A x B = a b c e ad + be + cf . f Observa que A es una matriz de orden 1 x 3, B es una matriz de orden 3 x 1 y el resultado es un número real ( o una matriz de orden 1 x 1). 5 Ejemplos : 1) 2 4 2 (5) 4 3 2 3 3 2) 4 1 6 2 4 3 (1) 2 6 (1) 4 1 PRODUCTO DE MATRICES. Dadas dos matrices A y B, el producto A x B puede hacerse si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. En caso contrario, no puede hacerse dicho producto. 2 1 3 5 4 y B= 0 3 procedemos así : Para multiplicar las matrices A= 6 2 2 4 1 orden 2 x 3 orden 3 x 2 2 1 3 2 5 0 4 4 3 1 5 3 4 1 22 22 3 5 4 0 3 A x B = 6 2 2 4 1 6 2 2 0 2 4 6 1 2 3 2 1 18 14 Es decir : “Dadas dos matrices A de orden m x p y B de orden p x n, el producto A x B es una matriz de orden m x n que se obtiene multiplicando las filas de A por las columnas de B. En general, el elemento situado en la fila i y la columna j de la matriz producto A x B se obtiene multiplicando la fila i de la primera matriz A por la columna j de la segunda matriz B.” El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa. Es decir, dadas dos matrices A y B, se tiene que A x B B x A. En el ejemplo anterior, la matriz B x A es de orden 3 x 3 y por tanto no puede ser igual al producto A x B, que es una matriz cuadrada de orden 2. De hecho, 2 1 2 3 1 6 2 5 1 2 2 4 1 2 12 12 10 3 5 4 0 3 3 6 0 5 3 2 0 4 3 2 18 6 6 BA = 0 3 4 1 6 2 2 4 3 1 6 4 5 1 2 4 4 1 2 18 22 18 Luego B x A B x A. 0 4 2 . A es de orden 1 x 2, B es de orden 2x3. Otro ejemplo : A=(1 3), B= 3 2 5 0 4 2 9 10 13 A x B = 1 3 3 2 5 El producto B x A no puede hacerse, porque B tiene 3 columnas y A tiene 1 fila, de manera que el número de columnas de B no coincide con el número de filas de A. 60 Matrices en las ciencias sociales PRODUCTO DE MATRICES a) Efectúa, si es posible, los siguientes productos de matrices : 5 2 5 1 3 1) 4 2 6 2) A =A x A x A, siendo A= 3 9 6 3 4 6 2 5 1 8 1 9 3) 4) A x B y B x A, siendo A=(3 7) y B= 5 2 3 6 7 2 4 2 3 4 6 1 5 , B= , C= , comprueba que : b) Dadas las matrices A= 5 7 7 0 2 6 t t t 1) (A+B) x C = A x C + B x C 2) (A x B) =B x A 3) (A x B) x C = A x (B x C) 4) A x B B x A 2 2 4 2 c) Siendo A= 1 3 4 demuestra que A =A. Una matriz que cumple esta propiedad se dice 1 2 3 que es IDEMPOTENTE. a) 1) El producto no puede hacerse porque la primera matriz tiene 3 columnas y la segunda 2 filas. 5 1 5 1 5 1 31 8 5 1 203 55 3 2) A = 6 3 6 3 6 3 48 15 6 3 330 93 4 6 6 14 77 55 5 1 8 1 9 = 3) 4) BA= 15 35 .El producto AB no puede 2 3 6 7 2 53 51 12 28 hacerse, porque A es de orden 12 y la matriz B es de orden 31. 2 3 4 6 1 5 7 7 0 2 2 3 1 5 4 AC+BC= 5 7 2 6 7 29 12 29 (AB)t = 2) AB= 69 30 12 b) 1) (A+B)C= 5 6 9 1 5 24 84 . 6 12 7 2 6 26 102 6 1 5 24 84 . Son iguales. 0 2 6 26 102 69 30 4 7 t 2 5 29 69 t , A = Bt At = .Luego (AB)t = Bt At. B = 6 0 3 7 12 30 29 12 1 5 53 217 ; 3) (AB)C= 69 30 2 6 129 525 2 3 16 56 53 217 .Iguales. A(BC)= 5 7 7 35 129 525 29 12 38 54 ; BA= . Luego AB BA. 69 30 14 21 4) AB= 2 2 4 2 2 4 2 2 4 4 1 3 4 1 3 4 A c) A =AA= 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 61 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II CRISTALES Y BISAGRAS Un constructor hace una urbanización con tres tipos de viviendas : S (sencillas), N (normales) y L (lujo). Cada vivienda de tipo S tiene 1 ventana grande, 7 medianas y 1 pequeña. Cada vivienda de tipo N tiene 2 ventanas grandes, 9 medianas y 2 pequeñas. Y cada vivienda de tipo L tiene 4 ventanas grandes, 10 medianas y 3 pequeñas. Cada ventana grande tiene 4 cristales y 8 bisagras. Cada ventana mediana tiene 2 cristales y 4 bisagras ; y cada ventana pequeña tiene 1 cristal y 2 bisagras. a) Escribe una matriz que describa el número y tamaño de ventanas en cada tipo de vivienda y otra matriz que exprese el número de cristales y el número de bisagras en cada tipo de ventana. b) Calcula una matriz que exprese el número de cristales y de bisagras necesario en cada tipo de vivienda. a) Tipo de ventanas según tipo de vivienda: Nº de cristales y bisagras por tipo de ventana: G M P S N L G M P 1 2 4 7 9 10 = R 1 2 3 C B 4 2 1 = S 8 4 2 (Suponemos G =grande, M =mediana, P =pequeña, C =cristales, B =bisagras) b) La matriz pedida es el producto SR. Este producto se puede efectuar, ya que S es de orden 2x3 y R es de orden 33. El resultado será una matriz de orden 23. 1 2 4 19 28 39 4 2 1 7 9 10 . SR= 8 4 2 1 2 3 38 56 78 S N L La matriz buscada es : C B 19 28 39 . 38 56 78 GASOLINA Tres compañías de productos derivados del petróleo instalan expendedurías de gasolina. A la salida de una población existe un surtidor de cada una de ellas. Determinado día, las tres han despachado la misma cantidad : 2500 litros de gasolina súper y 890 litros de gasolina normal. La matriz de precios, en céntimos, es la siguiente : Súper Normal 72 65 B 70 65 = M 71 64 C ¿Cuáles fueron los ingresos de cada gasolinera ese día ?. ¿Cuál es el significado del producto de la matriz (1/3, 1/3, 1/3) por la que se acaba de obtener ?. A 62 Matrices en las ciencias sociales Para expresar en una matriz los ingresos de las tres gasolineras, multiplicaremos M por la 2500 , que da los litros vendidos de cada tipo de gasolina. matriz 890 72 65 72 2500 65 890 237850 2500 2500 70 65 70 2500 65 890 232850 . M 890 71 64 890 71 2500 64 890 234460 que los ingresos obtenidos por cada gasolinera son: 237850 A; 232850 B; 234460 C. De donde se deduce Calculemos el producto de la matriz (1/3, 1/3, 1/3) por la matriz anterior: 237850 1 1 1 1 1 232850 (237850 232850 234460) 705160 235053'33 3 3 3 3 3 234460 Este resultado da el ingreso medio obtenido ese día entre las tres gasolineras. IDIOMAS A cierta academia de idiomas acuden alumnos de diversos niveles a recibir clases de inglés y alemán, según la distribución que muestra la siguiente matriz: Inglés Alemán 13 16 B 11 9 =A 21 13 C Los precios de la academia difieren si las clases son impartidas por un profesor o por medios audiovisuales, según las tarifas: A B C A 750 750 1000 =B 800 850 900 Profesor Audivisuales Calcula los ingresos de la academia por idioma impartido y por método empleado, si los alumnos optasen, en su totalidad, por uno u otro sistema. ¿Qué modalidad proporciona más ingresos ?. Para obtener los ingresos por idioma impartido y por método empleado, hallaremos el producto B x A, obteniendo una matriz cuadrada de orden 2. ¿Tendría sentido hallar el producto A x B para resolver el problema?. 13 16 39000 31750 750 750 1000 11 9 . La matriz buscada es : B A 800 850 900 21 13 38650 32150 Inglés Profesor Audiovisuales Alemán 39000 31750 38650 32150 En esta matriz se observa que la modalidad que proporciona más ingresos es Profesor de Inglés (39000 cents). Aunque si hacemos un análisis global, tenemos : Ingresos por Profesores 39000+31750 = 70750 cents. Ingresos por M. audiovisuales 38650+32150 = 70800 cents. ¡Ganarían los medios audiovisuales por 50 cents !. 63 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PREFERENCIAS Un empresario del espectáculo planea construir un cine, sala de fiestas o pabellón de deportes en la comarca de tres localidades L1, L2 y L3, según las aficiones de los residentes respectivos. Según un muestreo previo, las preferencias de dichos ciudadanos (en tantos por ciento) se plasman en la siguiente matriz : Cine Baile Deportes 40 50 =A 42 40 Si el total de habitantes, mayores de 16 años, de las tres ciudades viene dado por la matriz fila : L1 L2 L3 Habitantes 72000 14500 39200 = F investiga qué tipo de espectáculo tendrá mayor número de potenciales clientes. L1 L2 L3 20 15 18 40 35 Observa que como la matriz A expresa porcentajes, en los cálculos hemos de usar la matriz 1 A , cuyos elementos se obtienen dividiendo todos los elementos de la matriz A entre 100 0,2 0,4 0,4 1 100, es decir: A = 0,15 0,35 0,5 . Por tanto, para resolver el problema efectuaremos 100 0,18 0,42 0,4 el producto de matrices F 1 A. Observa que no tendría sentido hallar el producto 100 1 1 AF porque A es una matriz cuadrada de orden 3 y F es una matriz de orden 1 x 3. 100 100 0,2 0,4 0,4 1 A= 72000 14500 39200 0,15 0,35 0,5 23631 50339 51730 100 0,18 0,42 0,4 La matriz buscada es: Cine Baile Deportes 23631 50339 51730 Habitantes Por tanto, el espectáculo que tendrá mayor número de clientes es Deportes. F PRODUCTO DE MATRICES CON LA CALCULADORA GRÁFICA 2 Podemos calcular el cuadrado de la matriz con [A] [x ] ENTER. También calculamos el cubo con [A]^3 ENTER. 1 0 2 También podemos multiplicar matrices. Así, dadas las matrices A 1 1 0 y 3 2 0 2 3 1 B 0 1 1 , para hallar los dos productos posibles, pulsamos: [A] [B] ENTER y [B] 0 2 3 [A] ENTER. CINTAS DE VÍDEO Una cadena de grandes almacenes tiene tres tiendas T 1, T2 y T3. Vende tres tipos de cinta de vídeo, V1, V2 y V3, a 12, 25 y 18 euros, respectivamente. En un momento determinado, la tienda T 1 tiene 24 cintas del tipo V1, 12 del tipo V2, y 14 del V3. La tienda T2, 16, 12 y 32, respectivamente. También respectivamente, la tienda T 3, 40, 10 y 30. ¿Cuáles serán los ingresos obtenidos por la venta de cada tipo de cinta en cada tienda ?. 64 Matrices en las ciencias sociales OPERACIONES 1 3 1 1 2 1 2 Dadas las matrices A= ; B= 1 ; C= 2 1 ; D= , calcula, si existe : 0 0 1 3 0 1 0 T T b) D A a) A +C c) A C T e) C B. d) C A PEDIDOS Una fábrica produce bolígrafos (P1), encendedores (P2) y llaveros (P3), para cuya elaboración se requiere tinta (M1), gas (M2) y metacrilato (M3). Dos distribuidores (D 1 y D2) se encargan de proporcionar a los establecimientos comerciales los citados productos. Sea : D1 D2 P1 P2 500 350 300 P3 1000 =A 1000 600 la matriz de pedido de los tres productos por parte de los distribuidores, P1 P2 P3 M1 M2 10 0 0 20 0 0 M3 50 60 30 =B la matriz B que expresa la cantidad de cada uno de los cuatro materiales, en gramos, que entran a formar parte de una unidad de cada producto. M1 M2 M3 K 2 3 =C 1 la matriz C de costes por gramo de cada uno de los materiales. Calcula e interpreta el significado de los siguientes productos : a) AB b) BC c) ABC ALIMENTOS INFANTILES Una fábrica de alimentos infantiles prepara tarros (X, Y, Z) con tres tipos de alimentos, A, B y C. La matriz M expresa las cantidades de proteínas, hidratos de carbono y grasas que contiene, en gramos, cada kilogramo de esos tres tipos de alimentos ; la matriz N expresa la cantidad de gramos de cada tipo de alimento que contiene cada tarro ; la matriz P el precio de coste, por kilogramo, de cada uno de los tipos de alimento. M= A B 8 32 2 6 6 28 C 2 Proteínas 4 Hidratos de carbono ; 4 Grasas N= X Y 100 100 50 120 30 100 Z 120 A 70 B ; 60 C 60 A P= 100 B 40 C Calcula e interpreta el significado de los siguientes productos : a) M N b) N P c) M N P Calcula el precio de venta de cada tarro de 250 gramos teniendo en cuenta que se desea obtener un beneficio del 20 por 100. 65 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PRACTICA UN POCO 1 2 0 1 1) Dadas las matrices A= y B= , calcula : 1 3 2 3 a) A+B b) B+A c) A – B d) 3A 2B e) AB a 0 0 3 2 7 9 6 21 2) ¿Cuánto ha de valer a para que 0 0 0 1 2 4 0 0 0 ?. 0 0 0 5 1 9 0 0 0 4 1 0 0 2 1 3) Dadas las matrices A= 2 1 2 y B= 3 0 1 comprueba que AB BA 4 1 5 2 2 1 1 2 1 1 2 1 t t t t t 4) Sean A= 3 1 0 y B= 2 1 2 . Efectúa los productos AB, BA, A B, AB , B A , (AB) . A 0 3 1 2 3 1 la vista de los resultados, ¿qué propiedades se te ocurren sobre el producto de matrices y sus t t t transpuestas ?. ¿Es cierto que (AB) = B A ? (Considera primero el caso de dos matrices no cuadradas). 0 0 1 2 3 2 5) Efectúa los siguientes productos con las matrices A= 3 1 4 y B= 1 3 1 : 0 1 0 1 4 1 a) (AB)B ; b) A(BA). 1 0 0 2 6) Calcula A =AA, sabiendo que A= 0 1 0 . 2 0 1 1 2 2 7) Si A = , comprueba que (AI) =0 0 1 TRANSPORTE ESCOLAR En un instituto de secundaria hay estudiantes de tres pueblos A, B y C, distribuidos por cursos según la matriz : P S T C A B C 212 190 125 98 96 75 50 12 24 26 10 8 Una empresa de transportes elabora dos rutas a y b. Los kilómetros que recorrería cada estudiante se muestran en la siguiente matriz : A B C 24 46 8 32 20 b 9 Si el precio por estudiante y kilómetro recorrido es de 12 cents, expresa en forma de matriz lo que se recaudaría por curso para cada itinerario. a 66 Matrices en las ciencias sociales ESCALAR ¿Cómo tienen que ser dos matrices, A y B, para que su producto A B sea un escalar?. ¿Cómo será entonces el producto B A?. ¿PUEDE OCURRIR? ¿Puede ocurrir que dos matrices se puedan sumar pero no se puedan multiplicar?. CADENA Si A y B son dos matrices cualesquiera, ¿es correcta la siguiente cadena de igualdades?: A B A B A A B B A B A A A B B A B B A 2 A B B A B 2 A 2 B 2 Justifica la respuesta. EXPRESIÓN MATRICIAL T Considera una matriz A de orden mn con m n. Razona si se puede calcular la expresión AA T T A A, siendo A la matriz traspuesta de A. EXCEDENTES ALIMENTICIOS Una fábrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios, A, B y C, a cuatro países de África, P1, P2, P3 y P4, según se describe en la matriz M1 (cantidades en toneladas). Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a los países de destino, como indica la matriz M2 (en euros por tonelada). P1 P2 A B C P1 200 P2 110 M1 P3 220 P4 150 100 120 130 200 200 100 160 150 P3 P4 E 500 450 375 350 M 2 1 E 2 510 400 400 350 Efectúa el producto de matrices y responde las siguientes cuestiones: a) ¿Qué representa el elemento a 11 de la matriz producto?. b) ¿Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto C con la empresa E2 ? c) Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decir cuál es la empresa que más barato transporta el producto B a todos los países. 67 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II HELADERÍA Tres familias van a una heladería. La primera familia pide dos helados grandes, uno mediano y uno pequeño; la segunda familia pide uno grande, dos medianos y dos pequeños, y la tercera familia pide dos grandes y tres pequeños. a) Escribe una matriz 33 que exprese el número de los helados grandes, medianos y pequeños que pide cada familia. b) Si la primera, la segunda y la tercera familia han gastado en total en la heladería 7, 8 y 7,75 euros, respectivamente, calcula el precio de un helado grande, el de un helado mediano y el de un helado pequeño. 2.- APLICACIONES DE LAS MATRICES MATRICES ESTOCÁSTICAS Y PREDICCIÓN En muchas situaciones aleatorias, podemos utilizar matrices para representar probabilidades y las operaciones con matrices sirven para prever acontecimientos futuros. Ejemplo.- (Predicción del tiempo). Según los datos sobre el clima de una determinada ciudad, al 60% de los días de lluvia le sigue otro día lluvioso, y a un 30% de los días en que no llueve le sigue un día con lluvia. Si hoy es lunes y no ha llovido, ¿cuál es la probabilidad de que llueva el martes?. ¿Y el miércoles?. ¿Y el jueves?. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva dentro de 15 días?. ¿Cómo serán estas probabilidades en el supuesto de que hoy, lunes, ha llovido?. Las probabilidades de que un día determinado llueva (o no), sabiendo que el día anterior ha llovido (o no) se llaman probabilidades de transición y podemos representarlas utilizando un grafo: A = llueve B = no llueve 0,6 0,4 Podemos indicar estas probabilidades de transición en una matriz M , que 0,3 0,7 representa la tabla de doble entrada: A A 0,6 B 0,4 B 0,3 0,7 o lo que es lo mismo A A p(A/A) B p(B/A) B p(A/B) p(B/B) Como A y B (llueve y no llueve) son sucesos contrarios, la suma de los elementos de cada fila es igual a la unidad: p(A/A) p(B/A) 1 y p(A/B) p(B/B) 1 Una matriz cuyos elementos están comprendidos entre 0 y 1 y cumple que sus filas (o columnas) suman 1 se llama matriz estocástica. Las matrices estocásticas se pueden utilizar para hacer predicciones. 68 Matrices en las ciencias sociales La matriz [M] indica las probabilidades de cambio de estado. Podemos representar por la 0 A matriz columna [N]= el hecho de que hoy no llueve. Entonces para conocer las 1 B probabilidades de los estados en días sucesivos, introducimos en la calculadora gráfica TI83 la secuencia [M][N] [STO] [N]. De esta forma, al pulsar sucesivamente la tecla ENTER obtenemos la matriz correspondiente al martes, miércoles, jueves, etc. Observa que al repetir los cálculos para 2, 3, 4, … , n días futuros, las probabilidades de días lluviosos tienden a estabilizarse. ¿Ocurrirá lo mismo si partimos de un día no lluvioso, 1 A es decir, si la matriz inicial es [N]= ?. 0 B MOVIMIENTO MIGRATORIO Los estudios realizados acerca de los movimientos de la población indican que el 20 % de los habitantes de la ciudad A se desplaza cada año a vivir a la ciudad B y que el 15% de los habitantes de la ciudad B se va a vivir cada año a la ciudad A. Si en la actualidad el 40% de la población conjunta de A y B vive en A y el resto en B: a) ¿Cuál será el porcentaje de habitantes de la ciudad A el año que viene?. ¿Y dentro de 2 años?. ¿Y dentro de 3?. ¿Cómo cambiará este porcentaje en el futuro?. b) Responde las mismas cuestiones si se cambian los porcentajes iniciales de habitantes en A y B. GRAFO El siguiente grafo muestra un entramado de plazas y calles. Escribe la matriz A correspondiente de manera que se pueda acceder y salir de todas las plazas, suponiendo que todas las calles son de doble sentido. 2 Calcula la matriz A e interpreta su significado. ¿Qué interpretación 3 darías a la matriz A ?. La matriz de este grafo es la siguiente: A B C D A B C D 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 =A. Se cumple que: 1 0 1 1 1 0 A B C D 0 1 2 A = 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2 0 1 1 1 1 0 1 2 1 1 0 1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 3 A B C D Esta matriz indica el número de caminos de dos tramos que permiten ir de una plaza a otra. Por ejemplo, para ir de la plaza B a si misma, hay tres caminos posibles de dos tramos: BAB, BDB y BCB, como puede verse en el grafo. 3 La matriz A indica el número de caminos posibles de tres tramos que permiten ir de una plaza a otra. 69 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II CRIPTOGRAFÍA En una clave criptográfica se proponen las siguientes sustituciones de letras por números: a b c d e f g h i j k l m n ñ o p q r s t u v w x y z 23 10 24 11 25 12 26 13 27 14 1 15 2 16 3 17 4 18 5 19 6 20 7 21 8 22 9 Cualquier mensaje se divide en grupos de dos letras. A cada grupo de dos letras le corresponde una matriz columna B formada por los números correspondientes. A continuación, se efectúa el producto 1 2 la matriz de desciframiento. Averigua como se transmitiría con esta clave el AB, siendo A= 3 7 mensaje: “TE QUIERO”. Dividimos el mensaje en grupos de dos letras: TE QU IE RO que, de acuerdo 6 18 27 5 . con la clave se traducen en las matrices: 25 20 25 17 Multiplicamos la matriz de desciframiento por cada una de ellas: 1 2 6 56 , 3 7 25 193 1 2 18 58 , 3 7 20 194 1 2 27 77 , 3 7 25 256 1 2 5 39 3 7 17 134 Por lo tanto, el mensaje que se transmitirá será: 56 – 193 – 58 – 194 – 77 – 256 – 39 – 134. 3.- CÁLCULO DE DETERMINANTES DETERMINANTES Podemos asociar un número real a una matriz cuadrada A de orden 2. Dicho número real se llama determinante de dicha matriz y lo representamos por det(A) o por A o bien encerrando dicha matriz con dos barras verticales. 4 5 Así el determinante de la matriz cuadrada de orden 2, A= es el número 2 6 A=det(A)= 4 5 2 6 4 6 2 5 14 a b , su determinante es el número En general, dada la matriz cuadrada de orden 2, A= c d a b a d - c b real A=det(A)= c d que se obtiene aplicando la llamada regla de Sarrus : De la misma forma, es posible asociar un número a una matriz cuadrada de orden 3, y dicho se llama determinante de dicha matriz. 4 1 0 Así, el determinante de la matriz A= 2 1 0 se obtiene de la siguiente forma 1 3 1 70 Matrices en las ciencias sociales 1 0 4 A=det(A)= 2 1 0 P Q , siendo 1 3 1 1 0 4 P = 2 1 1 0 1 (1) (1) 0 0 1 2 3 4 25 1 3 1 0 Q = 2 1 4 0 1 (1) 4 1 0 3 2 0 (1) 4 1 3 1 Por lo tanto, A = det(A) = P - Q = 25-(-4) = 29 a b En general, dada la matriz cuadrada de orden 3, A = d e g h número real que se obtiene de la siguiente forma : a b c A=det(A) = d e f P - Q , siendo g a b h c f su determinante es un i i c a b c P =d e f a e i +b f g +c d h ; Q = d e f c e g +d bi+a f h g h i h i g que se conoce como regla de Sarrus. Para que una matriz tenga determinante es necesario que sea cuadrada. Las matrices rectangulares no tienen determinante. DETERMINANTES ¿Cuáles son los determinantes de las siguientes matrices ?. 1 2 3 2 3 0 1 3 A= B= C = 4 5 6 8 6 5 3 5 7 8 9 det(A)= A = 2 3 5 8 (2) 8 5 (3) 1 ; det(B)=B= 0 5 1 D = 3 2 4 1 3 6 0 3 5 1 3 0 6 3 1 1 5 3 5 6 1 2 3 det(C)= C = 4 5 6 1 5 9 2 6 7 3 4 8 (3 5 7 1 6 8 9 2 4) 0 7 8 9 0 5 det(D)= D = 3 2 1 3 1 4 81 6 71 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II MATRIZ ADJUNTA Dada una matriz cualquiera A, llamamos adjunto de un elemento a de A al determinante que resulta de suprimir la fila y columna a la que pertenece a, precedido del signo + ó según el siguiente esquema de signos : MATRIZ ADJUNTA de A es la formada por los adjuntos de los elementos de la matriz A. Se adj representa por A . 3 4 5 1 adj Así, la matriz adjunta de A= ya que, en efecto, es A = 1 5 4 3 3 4 que irá El adjunto de 3 es 5, puesto que al suprimir fila y columna se obtiene 1 5 precedido de signo . 3 4 que irá El adjunto de 4 es -(-1), puesto que al suprimir fila y columna se obtiene 1 5 precedido de signo . 3 4 que irá El adjunto de -1 es -4, puesto que al suprimir fila y columna se obtiene 1 5 precedido de signo . 3 4 que irá El adjunto de 5 es 3, puesto que al suprimir fila y columna se obtiene 1 5 precedido de signo . 2 2 1 0 2 2 adj Otro ejemplo : La matriz adjunta de B = 3 1 4 es B = 2 4 1 ya que los 5 1 6 2 2 1 adjuntos de los elementos de la primera columna son : 1 4 0 2 6 4 2 ; (0 2) 2 ; adj(1)=+ adj(3)= 1 6 1 6 0 2 0 2 2 . 1 4 Los adjuntos de los elementos de la segunda columna son : 3 4 1 2 (18 20) (2) 2 ; adj(1)=+ 6 10 4 adj(0)= 5 6 5 6 adj(5)=+ adj(1)= 1 2 (4 6 ) (2) 2 . 3 4 Los adjuntos de los elementos de la tercera columna son : 3 1 1 0 3 5 2 ; (1 0) 1 ; adj(2)=+ adj(4)= 5 1 5 1 adj(6)=+ 72 1 0 3 1 10 1 Matrices en las ciencias sociales ADJUNTAS 1 2 0 3 2 y B= 5 6 0 Calcula las matrices adjuntas de A= 1 2 0 2 1 Los adjuntos de los elementos de la matriz A son: adj(3)= 2, adj(2)= 1, adj(1)= 2, adj(2)= 2 1 adj 3. Por lo tanto, la matriz adjunta de A es : A = 2 3 Calculemos ahora la matriz adjunta de B : Adjuntos de los elementos de la primera fila : adj(1) = + 6 0 2 1 6 ;adj(2) = 5 0 0 1 (5) 5 ; adj(0) = + 5 6 0 2 10 Adjuntos de los elementos de la segunda fila : adj(5) = 2 0 2 1 2 ; adj(6) = + 1 0 0 1 1 ; adj(0) = 1 2 0 2 (2) 2 Adjuntos de los elementos de la tercera fila : adj(0) = + 2 0 6 0 0 ; adj(2) = 1 0 5 0 Por lo tanto, la matriz adjunta de B es : adj B 0 ; adj(1) = + 1 2 5 6 6 10 4 5 10 6 = 2 1 2 0 0 4 Una matriz cuadrada A se dice que es REGULAR si su determinante es distinto de cero, osea A0. En caso contrario ( det(A)=0 ) se dice que es SINGULAR. ¿REGULARES? ¿Cuáles de las siguientes matrices son regulares y cuáles singulares ? 3 5 0 B= 1 2 3 4 7 1 2 1 A= 4 8 det(A)= A = 2 1 4 5 2 C= 10 4 1 3 0 D= 2 4 1 4 10 1 16 4 20 0 A es regular ; 8 3 5 0 det(B)= B = 1 2 3 (6 60 0) (0 63 5) 2 0 B es regular 4 7 det(C)=C= 5 1 2 10 4 1 3 det(D)=D= 2 4 20 20 0 C es singular. 0 1 (4 12 0) (0 10 6 ) 16 16 0 D es singular. 4 10 1 73 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II 4.- CÁLCULO DE MATRICES INVERSAS MATRIZ INVERSA. Dada una matriz cuadrada A, regular, A0, llamamos matriz inversa -1 -1 -1 de A a otra matriz, A , tal que A x A = A x A = I, siendo I la matriz unidad del mismo orden. Si una matriz es singular no tiene inversa. Es imprescindible también que la matriz sea cuadrada, ya que las matrices rectangulares no tienen determinante. CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA. 2 1 Para calcular la matriz inversa de A= procedemos así : 3 4 3 T 2 A = 1 4 T PRIMERO Hallamos la transpuesta de A, A . SEGUNDO Hallamos la matriz adjunta de la transpuesta de A, (A ) T adj Los adjuntos de los elementos de A son : adj(2)=4, adj(3)=1, adj(1)=3, adj(4)=2 T adj 4 1 Por lo tanto, (A ) = 3 2 t adj TERCERO Dividimos cada elemento de (A ) A= 2 1 3 4 adj AT 11 = 4 A 1 A 3 11 8 3 11 1 4 11 11 2 3 11 11 por el determinante de A, A. Entonces : 1 11 . El resultado obtenido es la matriz inversa de A. 2 11 En efecto : 83 2 1 4 11 1 11 11 = 3 4 3 11 2 11 6 6 11 44 11 1 0 I 3 8 0 1 11 83 4 11 1 11 2 1 1 11 A x A = 3 11 2 11 3 4 6 6 11 4 11 1 11 1 Luego A = 3 11 2 11 44 11 1 0 I 8 3 0 1 11 AxA 1 La matriz inversa de una matriz cuadrada y regular, A, es igual a la adjunta de la transpuesta dividida por el determinante de A. Es decir, 74 adj AT A = -1 A Matrices en las ciencias sociales CALCULA INVERSAS Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices, cuando sea posible: 3 5 B = 6 10 4 1 A= 2 5 1) det(A)= 4 1 2 5 1 0 2 C= 3 1 4 5 1 6 1 0 2 D= 10 0 20 3 1 4 20 2 18 0 A es cuadrada y regular, luego tiene inversa. 4 2 T Los adjuntos de los elementos de esta matriz son : adj(4)=5, adj(2)= 1, A = 1 5 5 1 T adj . Por lo tanto, adj(1)= 2, adj(5)= 4. Luego (A ) = 2 4 1 adj 5 At 1 18 18 5 18 1 18 A = 2 9 A 2 4 1 9 18 18 2) B= 3 5 30 (30) 30 30 0 B es singular. Luego la matriz B no tiene 6 10 inversa. 1 0 2 3) C= 3 1 4 (6 0 6 ) (10 4 0) 12 14 2 0 C tiene inversa. C T 5 1 6 1 3 5 = 0 1 1 . Los adjuntos de los elementos de la primera fila son : 2 4 6 adj(1)=+ 1 1 2 4 6 adj(3)= 0 1 2 6 2 adj(5)=+ 0 1 2 4 2 Los adjuntos de los elementos de la segunda fila son : adj(0)= 3 5 2 4 6 adj(1)=+ 1 5 2 6 4 adj(1)= 1 3 2 4 2 Los adjuntos de los elementos de la tercera fila son : adj(2)=+ C 3 5 1 1 2 adj(4)= 1 5 0 1 2 2 2 2 4 2 Luego : 2 1 1 1 0 2 T adj 1 C 1 adj(6)=+ 1 3 0 1 adj 1 CT = 1 C 1 1 . Por lo tanto : 1 1 2 1 1 2 1 2 4) D 10 0 20 (0 0 20) (0 0 20) 20 20 0 D es singular. 3 1 4 Luego la matriz D no tiene inversa. 75 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II INVERSA 1 2 1 . Halla su inversa y calcula A1 2A. Sea la matriz A= 2 3 A 2 1 2 3 2 2 T . 6 2 4 0 A es regular y tiene inversa. Entonces: A = 1 3 T Los adjuntos de los elementos de la matriz A son : t adj adj(2)=3, adj(2)=-1, adj(1)= 2, adj(3)=2. Por lo tanto, (A ) En consecuencia, A = 1 3 1 = 2 2 At adj 3 4 1 4 3 4 1 4 2 4 2 4 1 2 1 2 A 3 4 1 4 2 1 3 4 1 4 4 2 16 4 9 4 2 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2 4 6 9 2 11 2 A1 2A= INVERSA 2 a 1 0 Halla el valor o valores de a para los que la matriz A= 0 1 1 no tiene inversa. Calcula la matriz 1 a 0 inversa, A1 para a=2. La matriz A no tendrá inversa para los valores de a que anulen su determinante. a 1 0 a 1 A 0 1 1 1 a2 0 a2 1 a 1 1 a 0 2 1 0 2 0 1 T Para a = 2, la matriz dada es: A= 0 1 1 . Por tanto, A = 1 1 2 . Entonces: 1 2 0 0 1 0 Adjuntos 1ª fila: adj(2)= Adjuntos 2ª fila: adj(1)= Adjuntos 3ª fila: Por tanto, A 1 2 1 0 0 1 1 0 adj(0)= T adj 2 , adj(0)= 1 , adj(1)= 0 1 1 2 1 2 0 0 2 1 0 0 1 ,adj(1)= 0 , adj(1)= 0 , adj(2)= 2 1 1 2 0 1 2 0 0 1 3 , adj(0)= 1 2 . 2 0 1 1 2. 1 2 1 0 2 0 1 0 2 . Como A 0 1 1 3 , se cumple: 1 3 2 1 2 0 2 3 0 1 3 A = 1 3 0 1 3 . 1 3 1 2 3 1 76 1 1 Matrices en las ciencias sociales DETERMINANTES EN LA CALCULADORA GRÁFICA Al pulsar [MATRX] [] se accede a las operaciones matemáticas de matrices en el menú MATRX MATH de la calculadora gráfica TI83. Para calcular el determinante de una matriz cuadrada A, basta usar la función det de dicho menú, para lo que hay que pulsar: [MATRX] [] [1] ENTER [MATRX] [1] ENTER. INVERSA DE UNA MATRIZ CON LA CALCULADORA GRÁFICA También podemos obtener fácilmente la inversa de una matriz A. Para ello basta pulsar [MATRX],elegir la matriz en el menú NAMES y pulsar la tecla [ x 1 ]. De esta forma aparece en pantalla la expresión [A]1 . Al pulsar ENTER obtenemos la matriz inversa. DETERMINANTES Calcula los siguientes determinantes : a) 2 3 2 1 ; b) 1 6 1 1 ; c) 1 2 3 6 7 7 1 ; d) 2 2 5 ; 3 3 7 3 2 5 e) 1 7 3. 4 1 0 DETERMINANTE DE UN PRODUCTO 4 1 3 1 2 1 3 5 1 Si A= 2 0 3 ; B= 1 1 7 ; C= 2 3 1 calcula : 1 1 3 1 0 4 4 1 2 a) A b) B c) C d) A+B+C e) A B C Compara el determinante de la matriz producto, A B C, con los determinantes de cada uno de los factores. INVERSA 3 2 1 2 . Calcula: A t A 1 A , siendo At la matriz transpuesta de A. Se considera la matriz A= 3 4 INVERSAS 1 3 1 2 1 0 1 Dadas las matrices C 1 2 0 y D 1 2 1 : 0 2 0 1 1 0 a) Halla C1 y D1. b) Calcula la matriz inversa de CD. c) Comprueba que C D1 D 1 C 1 . 77 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II INVERSAS 2 0 0 1 Sea la matriz A 1 0 0 . 0 1 0 a) Comprueba que A 1 A T ( A T es la matriz traspuesta de A). 2006. b) Utilizando el resultado del apartado (a), calcula AT A INVERSAS 3 La matriz transpuesta de una matriz A es la matriz cuyas filas son las columnas de A. Considera la matriz: 1/2 3 A 3 2 12 2 Comprueba que la traspuesta de A coincide, en este caso, con la inversa de A. CALCULA MATRICES 1 2 1 0 1 , calcula, si existen, las siguientes matrices: Dada la matriz A 2 6 1 0 a) Una matriz X tal que XA= 1 0 1 . 1 0 1 . b) Una matriz Y tal que AY= 0 1 0 5.- ECUACIONES MATRICIALES ECUACIÓN 1 1 2 1 1 0 1 Encuentra una matriz X que verifique X B = AB, siendo : A= 1 3 1 , B= 2 2 2 0 0 2 0 0 6 2 2 2 Se cumple que X B = AB X = AB+B = (A+B)B. Además: 1 2 1 1 0 1 2 2 0 A+B= 1 3 1 2 2 2 3 5 3 . Por lo tanto : 0 0 2 0 0 6 0 0 8 2 2 0 1 0 1 6 4 2 6 4 2 X = (A+B) B = 3 5 3 2 2 2 13 10 23 X = 13 10 23 0 0 8 0 0 6 0 0 48 0 0 48 ECUACIÓN 2 1 1 1 1 y Halla x, y, z para que se cumpla : 2 x + 2 1 0 . 1 0 1 z 0 78 Matrices en las ciencias sociales 1 1 1 1 x y + z 1 x + y + z 1 y Se cumple: 2 x + 2 1 0 2x 2y + z 0 2x + 2y + z 0 de 1 0 1 z 0 - x z 0 - x + z 0 x+ y+ z = 1 donde obtenemos el sistema 2x + 2y + z = 0 , que podemos resolver por el método de - x+ z = 0 sustitución. De la tercera ecuación obtenemos z = x, y sustituyendo en las dos primeras, queda: x y x 1 2x y 1 Despejando y en la primera ecuación: y = 1 – 2x. 2x 2y x 0 3x 2y 0 Sustituyendo en la segunda ecuación queda: 3x + 2(1 2x) = 0. De donde x = 2. Conocido x obtenemos z = 2 e y = 3. Luego el sistema es compatible determinado y los valores buscados son: x=2 y = 3 z = 2. ECUACIÓN 3 Resuelve la ecuación : 1 1 x 2 2 4 x 1 5 0 25 Utilizando la regla de Sarrus, obtenemos: 1 0= x x2 1 2 4 1 5 (50 5 x 2 4 x) ( 2x 2 20 25x) = 7x 2 21x 70 25 Por tanto, hay que resolver la ecuación de segundo grado : x= 3 9 + 40 3 49 3 7 5 2 2 2 2 Solución : 7 x 2 21x 70 = 0 x = 2 x = 5, ECUACIÓN 4 0 0 1 0 0 1 1 0 0 Resuelve la ecuación matricial X 1 1 0 1 1 0 3 0 1 0 0 1 2 1 1 1 0 0 5 Llamamos 0 0 1 1 0 0 1 0 0 4 0 0 A 1 1 0 y B 1 1 0 3 0 1 0 1 4 0 . 0 1 2 1 1 1 0 0 5 1 1 16 1 0 0 podemos expresar la ecuación así: XA=B. Como A 1 0 1 Entonces 0 2 0 , la matriz A tiene 1 2 1 inversa. Multiplicando a la derecha por A , obtenemos: XAA = BA . De donde: 1 XI=BA , siendo I la matriz unidad. Por lo tanto, la solución de esta ecuación matricial es 1 1 X=BA1. 79 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II 1 1 0 T Calculemos la inversa de la matriz A. Su transpuesta es A = 0 1 1 , de forma que: 0 0 2 Adjuntos 1ª fila: adj(1)= Adjuntos 2ª fila: adj(0)= Adjuntos 3ª fila: adj(0)= Por lo tanto, A T adj 1 1 0 2 1 0 2 , adj(1)= 2 , adj(1)= 0 2 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 2 1 , adj(0)= 1 2 0 , adj(0)= 2 , adj(1)= 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 , adj(2)= 0 0 . 0. 1 1 0 1 1 0 0 2 0 0 1 1 2 1 0 . Luego A = 1 1 0 . La solución de la ecuación 1 1 1 1 2 1 2 1 2 es: 1 X=BA 0 0 4 0 0 4 0 0 1 = 1 4 0 1 1 0 5 4 0 1 1 16 1 2 1 2 1 2 10 9 8 SISTEMA 1 Halla las matrices A y B que verifiquen el sistema: 1 2 2 2A B 2 1 0 4 3 2 A 3B 1 0 1 Podemos aplicar cualquiera de los métodos (sustitución, reducción, igualación) que se suelen usar en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. En este caso, utilizaremos el método de reducción. Multiplicando la segunda ecuación por (-2) y sumando las dos ecuaciones obtenemos: 1 2 2 1 2 2 2A B 2A B 2 1 0 9 8 6 22ª 2 1 0 7B 4 3 2 8 6 4 0 1 2 A 3B 2A 6B 1 0 1 2 0 2 9 7 8 7 6 7 De donde: B 1 7 2 7 0 Por otra parte, multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando las dos ecuaciones resultantes obtenemos: 1 2 2 3 6 2A B 6A 3B 2 1 0 31ª 6 3 4 3 2 4 3 A 3B A 3B 1 0 1 1 0 1 7 3 De donde: A 3 1 80 6 0 1 3 4 7A 2 7 3 1 1 7 4 7 7 1 7 Matrices en las ciencias sociales SISTEMA 2 2 0 1 1 2X Y A Resuelve el siguiente sistema matricial: 1 y 0 2 . siendo A 1 3X 2Y B 3 1 4 2 Resolvemos el sistema por sustitución, despejando Y de la primera ecuación para sustituirla en la segunda: 2X Y A Y 2X A Y 2X A 3X 2Y B 3X 2 2X A B X 2A B Luego: 2 0 1 1 5 1 X 2 1 1 0 2 2 0 3 1 4 2 2 0 5 1 2 0 8 2 Y 2 2 0 1 1 3 1 2 0 3 1 1 1 ECUACIONES CON DETERMINANTES Halla el valor de x en las siguientes ecuaciones : a) d) 1 2 3 2 2x x 0 b) 2 5 1 x 3 1 1 2 5 12 x2 e) 2 x 1 9 1 3 x c) x2 2 8 1 0 x 2 x f) 1 x 3 5 2 1 1 ECUACIÓN 5 1 0 1 2 y B . Resuelve la ecuación matricial 2 A = A X + B, siendo: A 1 1 3 1 ECUACIÓN 6 1 2 0 3 , B . Resuelve la ecuación matricial AX=B, siendo A 2 1 3 0 ECUACIÓN 7 6 4 6 4 Resuelve la ecuación AX=B, siendo A 4 6 2 y B 2 2 10 4 4 ECUACIÓN 8 2 Determina la matriz X que satisface la ecuación 3 X + I = A B A , siendo: 1 1 2 A 2 0 3 3 1 2 1 0 2 B 2 1 1 3 2 1 e I la matriz unidad de orden 3. 81 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II ECUACIÓN 9 1 2 3 1 0 , B , C . Resuelve la ecuación matricial AX = BX + C, siendo: A 2 0 1 2 1 ECUACIÓN 10 4 2 1 9 x Resuelve la ecuación matricial: AX=B+2X, siendo A= 3 5 2 , B= 3 , X= y . 1 1 1 z 6 ECUACIÓN 11 1 0 0 1 0 - 1 1 1 1 Encuentra una matriz A que verifique: 0 2 0 A 0 0 0 2 2 3 0 . 1 0 3 9 3 - 3 3 4 5 SISTEMAS 3 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones matriciales: 2 2 3X 5Y 7 4 2 4 X 3Y 3 0 3 1 2X Y 3 5 1 4 2X 3Y 1 6 7 1 4 A 2B 0 3 8 7 3 2 3A B 7 9 3 1 1 2 1 X 1 1 0 1 0 0 x Y 0 1 PARÁMETRO Considera la ecuación matricial: 2 2 2 1 2 , con m un parámetro real. X 2 2 m m 4 0 a) ¿Para qué valores del parámetro m existe una única matriz X que verifica la ecuación anterior?. b) Si es posible, resuelve la ecuación matricial para m=0. c) Si es posible, resuelve la ecuación matricial para m=1. 82 Matrices en las ciencias sociales 6.- APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES CLAVE CRIPTOGRÁFICA En una clave criptográfica se proponen las siguientes sustituciones de letras por números: a b c d e f g h i j k l m n ñ o p q r s t u v w x y z 23 10 24 11 25 12 26 13 27 14 1 15 2 16 3 17 4 18 5 19 6 20 7 21 8 22 9 Cualquier mensaje se divide en grupos de dos letras. A cada grupo de dos letras le corresponde una matriz columna B formada por los números correspondientes. A continuación, se efectúa el producto 1 2 la matriz de desciframiento. Hemos recibido el siguiente mensaje: 56 – 193 – AB, siendo A= 3 7 39 – 128 – 61 – 200. Descifra este mensaje utilizando la clave secreta. Para descifrar el mensaje se multiplica la matriz inversa de A por las matrices 56 39 61 1 2 , , . Calculemos la inversa de la matriz A= . Se cumple: AT 193 128 200 3 7 1 3 . = 2 7 Además: adj(1) = 7, adj(3) = 2, adj(2) = 3, adj(7) = 1. adj 73 Por lo tanto, la matriz adjunta de A es: A t t Como det(A)= A adj 73 = AT 1 2 3 7 2 . 1 1 7 3 2 1 , resulta que la matriz inversa de A es: A 1 2 . Por lo tanto: 1 7 2 56 6 7 2 39 17 7 2 61 27 ; ; 3 1 193 25 3 1 128 11 3 1 200 17 Teniendo en cuenta la clave secreta, tenemos: 6 25 17 11 27 17 . T E O D I O El mensaje recibido es, pues, “TE ODIO”. 83 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II 84
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