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10 – Análisis de láminas con
elementos planos
Diego Andrés Alvarez Marín
Profesor Asociado
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
1
Clasificación de los cascarones
●
●
De acuerdo a la forma de su superficie media:
–
Cascarones planos
–
Cascarones curvos
–
Cascarones axisimétricos
–
Cascarones prismáticos
De acuerdo con la teoría usada:
–
Reissner-Mindlin (cascarones gruesos y delgados)
–
Kirchhoff (cascarones delgados)
2
Resistencia de los cascarones
●
La resistencia de los cascarones está dado por
la mezcla de
–
El estado resistente típico de flexión (soporta
fuerzas de flexión y fuerzas cortantes)
–
El estado resistente de membrana (soporta las
fuerzas axiales)
3
4
5
Elemento finito rectangular de
lámina plana
Las direcciones de
los ejes x' y y'
coinciden
usualmente con las
de los lados del
elemento finito, sin
embargo, pueden
ser arbitrarias
6
Desplazamientos (en coordenadas locales)
7
Desplazamientos
Desplazamientos de un punto de un elemento de cascarón plano en los planos
locales x'z' y y'z', de acuerdo con la teoría de RM.
8
Campo vectorial de movimientos en
coordenadas locales
9
Campo vectorial de deformaciones
(en coordenadas locales)
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(x',y',z')
Vector de deformaciones
generalizadas de membrana (alargamiento)
Vector de deformaciones
generalizadas de flexión (curvaturas)
Vector de deformaciones
generalizadas de cortante
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Vector de deformaciones generalizadas
(en coordenadas locales)
Tenga en cuenta que:
donde
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Nota: esta no es la representación
verdadera de los esfuerzos (ver más adelante)
Campo de
esfuerzos
(en coord.
locales)
Observe que
aquí no se está
teniendo en
cuenta σ'z ya que
según la tercera
hipótesis de RM
su valor es
despreciable.
vector de esfuerzos debidos
a efectos de flexión
vector de esfuerzos debidos
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a efectos de cortante
transversal
Ley de Hooke
(relación entre esfuerzos y deformaciones)
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Matrices constitutivas
Esta es la misma matriz
constitutiva utilizada en
tensión plana y en la teoría de
Kirchhoff
Esta es la misma matriz
constitutiva la teoría de R-M, la
cual incluye el coeficiente de
distorsión transversal α=5/6
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Ley de Hooke
(relación entre esfuerzos y deformaciones)
16
Distribución
de
esfuerzos
en el
espesor del
cascarón
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Vector de esfuerzos generalizados locales
fuerza
Los momentos y fuerzas que aquí
mostradas son por unidad de longitud
momento
cortante
y
NOTA: El libro de Oñate en
inglés usa una convención de
momentos flectores y
torsores contraria a la aquí
mostrada
x
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Los momentos y fuerzas que aquí
mostradas son por unidad de longitud
En el caso que se tengan esfuerzos iniciales
debidos a temperatura, el incremento de
temperatura se asume que varía linealmente a
lo largo del espesor de la cáscara a partir de su
definición en ambas caras de la cáscara. Error
de Oñate? Serían deformaciones iniciales.
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Relaciones entre esfuerzos y
deformaciones generalizadas locales
MCG de acoplamiento membrana-flexión
Todas las
matrices D
son
simétricas
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MCG de acoplamiento membrana-flexión
Si las propiedades del material no varían con el espesor o si existe simetría de
dichas propiedades con respecto a z'=0, tenemos que:
Ya que:
Se anula para un
material homogéneo
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Son las mismas matrices que en la teoría de RM
PTV para láminas planas
Aquí las cargas están expresadas en coordenadas locales:
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PTV para láminas planas
Aquí las cargas están expresadas en coordenadas locales.
De donde se deduce que el trabajo de deformación virtual puede obtenerse
como suma directa de las contribuciones de membrana, flexión y cortante.
23
PTV para láminas planas
Observe que todas las derivadas que aparecen en los integrandos son
de primer grado, lo que permite utilizar elementos finitos de clase C0
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Formulación de EFs de cascarón
planos de Reissner-Mindlin
Considere un elemento finito isoparamétrico de clase C0 de n nodos.
El campo de movimientos en coordenadas locales se discretiza así:
Vector de movimientos locales del nodo i
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Convenio
de signos
Este es el mismo
convenio de signos
para los giros que
se empleó en el
capítulo de placas.
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Discretización del campo de
deformaciones generalizadas
Recuerde que:
(x',y',z')
Vector de deformaciones
generalizadas de membrana (alargamiento)
Vector de deformaciones
generalizadas de flexión (curvaturas)
Vector de deformaciones
generalizadas de cortante
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Vector de
deformaciones
generalizadas
locales del
elemento
Matriz de deformaciones
generalizadas locales del
nodo i
Matriz de deformaciones
generalizadas locales 28
del elemento
Matriz de deformaciones
generalizadas locales del
nodo i
Matriz de deformaciones
generalizadas locales de
membrana del nodo i
Matriz de deformaciones
generalizadas locales de
flexión del nodo i
Matriz de deformaciones
generalizadas locales de
cortante del nodo i
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Obtención de la matriz de rigidez y del
vector de fuerzas nodales equivalentes local
Operando de la forma usual se obtiene que:
donde la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales
equivalentes expresados en coordenadas locales está dado por:
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Matriz de rigidez local
Matriz de rigidez
de membrana
Matriz de rigidez
de flexión
Matriz de rigidez
de cortante
MdR de acoplamiento flexiónmembrana
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Es posible de mostrar que la matriz de rigidez local del elemento
puede escribirse como:
donde K'PS y K'PB son las matrices de rigidez correspondientes al
problema de "tensión plana" y de “análisis de losas por ReissnerMindlin” respectivamente; se asume que ambas matrices K'PS y K'PB se
calcularon para el mismo número de nodos y la misma tipología que el
elemento de lámina plana utilizado.
Por consiguiente, si no existe acoplamiento membrana-flexión, la matriz
de rigidez local de un elemento de lámina plana puede obtenerse
directamente ampliando la matriz de rigidez para el caso de flexión de
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placas con la del elemento de tensión plana correspondiente.
Se podría decir que a nivel local los esfuerzos de
membrana equilibran las acciones contenidas en
el plano de elemento, mientras que las acciones
normales a dicho plano provocan un estado de
flexión independiente, pudiendo obtenerse,
siempre a nivel local, los movimientos,
deformaciones y esfuerzos de ambos estados de
manera totalmente desacoplada. El acoplamiento
entre los estados de membrana y flexión se
produce al ensamblar en ejes globales la matriz
(e)
(e)
K y el vector f .
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Cambio de ejes de coordenadas
5 variables
6 variables: incluye θz
Convención de signos para las
rotaciones locales y globales
35
Recuerdo de cambio de base
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Se incluyen θz y Mz
Matriz de transformación
de desplazamientos nodales
Matriz de transformación
de giros
Y como el elemento es plano:
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Cálculo de los
cosenos directores
locales
Producto cruz
38
39
Cálculo de los cosenos directores
locales
40
Matriz de rigidez y vector de fuerzas
nodales equivalentes en coord. globales
donde,
El uso de la matriz B reduce
significativamente el número de cálculos
41
(e)
Cálculo de K y f
(e)
Primero que todo se debe definir la coordenadas
de los nodos del elemento con respecto a los ejes
locales x' y' z'. Suponiendo que los orígenes de
los sistemas local y global coinciden:
Basta esta transformación por que K(e) es
independiente del origen de coordenadas del
elemento.
A partir de aquí se procede como un elemento
isoparamétrico 2D.
42
(e)
Cálculo de K y f
(e)
43
Cálculo de fuerzas de membrana,
momentos flectores y fuerzas cortantes
en el elemento
Estas se realizan en coordenadas locales al
elemento, por lo que:
Tenga en cuenta que se pueden utilizar las
matrices:
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Elementos de cascarón plano de
RM más usuales
Un elemento de cascarón puede considerarse como una
simple superposición de un elemento de tensión plana y otro
de flexión de placas, que en el caso más usual (D'mf = 0)
contribuyen de forma totalmente desacoplada a la matriz de
rigidez local del elemento. Desde este punto de vista, se
puede afirmar que cualquiera de los elementos de tensión
plana y de placa de RM podrían combinarse para formar un
elemento de cascarón plano.
Como regla general, es conveniente seleccionar elementos
de la misma familia y con el mismo número de nodos. Así
mismo el elemento de placa no puede tener bloqueo de la
solución por efecto del cortante y ni puede tener mecanismos
propagables.
45
Bloqueo de la solución
46
47
48
Métodos para evitar el bloqueo de la
solución
1.Métodos de integración reducida y selectiva:
son métodos que subintegran la matriz K'c +
K'm.
2.Métodos que utilizan campos de deformación
por cortante impuestos.
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Integración con cuadraturas de GaussLegendre y singularidad de la matriz K
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Singularidad de la matriz de rigidez
Cuando K es singular se tiene que j-kp>0. Esta
es una condición necesaria pero no suficiente.
Si j-kp>0, muy probablemente K es singular
Si j-kp≤0, K es invertible
El criterio j-kp>0 es aplicable a cualquier tipo de
elemento finito y también es aplicable a la
estructura en su totalidad. Es aplicable
individualmente a la matriz K, a la matriz Kr o
donde r = m, f, c.
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Puntos de integración de Gauss-Legendre
Ejemplo:
subintegrando Kf
Num #gld/nodo
nodos
En este caso en
particular se debe
usar la estrategia de
integración c, para
subintegrar la matriz
Kf
#gdl
restringidos
El criterio j-pk>0
es aplicable a
cualquier tipo de
elemento finito y
también
es
aplicable a la
estructura en su
totalidad.
probablemente es
52
29 nodos
j = 29x2 – 3 = 55 gdl libres
k = 3 componentes deformación (ex, ey, gxy)
p = 6 (puntos de integración)
j – kp = 55 – 3x6 = 27 > 0 (Kdd probablemente
es singular)
29 nodos
j = 29x2 – 3 = 55 gdl libres
k = 3 componentes deformación (ex, ey, gxy)
p = 24 (puntos de integración)
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j – kp = 55 – 3x24 = -17 < 0 (Kdd es invertible)
Métodos de integración
reducida/selectiva
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Prueba de
singularidad
Borde
apoyado
FALTA ENTENDER DE DONDE SALEN ESTOS NUMEROS
Borde
empotrado
Se deduce que el EF de 8 nodos no satisface la prueba de singularidad
para ciertas configuraciones de malla, lo que pone en entredicho su
buen comportamiento como elemento de lámina delgada. De otro lado
55
los EFs de 4 y 9 nodos siempre satisfacen la prueba de singularidad.
Teorías de láminas planas de
Kirchhoff
●
●
●
Requiere elementos de continuidad C0 para discretizar los
movimientos de membrana (u', v') y elementos de continuidad
C1 para discretizar los movimientos de flexión. Esto obliga a
formulaciones más complicadas.
Presentan incompatibilidades de desplazamientos a lo largo
de lados comunes de elementos no coplanares. Dicha
incompatiblidad se traduce en una rigidización de la estructura
y sólo puede evitarse utilizando mallas más tupidas o
utilizando elementos de tensión plana especiales en lo que el
campo de desplazamientos tenga una variación polinómica
del mismo grado que las flechas en el EF de placa.
Las dificultades anteriores no se presentan en elementos de
láminas planas de Reissner-Mindlin, por lo que es preferible la
segunda teoría.
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Tratamiento de nodos coplanares:
evitando la singularidad de K
●
Ver Sección 10.8
57
Problemas de cuasi-coplanaridad
●
Ver Sección 10.8.5
58
Elementos de lámina plana
rebajada
59