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Tema 26 Derivada de una función en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas.
Aplicaciones.
TEMA 26 DERIVADA DE
UNA FUNCIÓN EN UN
PUNTO. FUNCIÓN
DERIVADA.
DERIVADAS
SUCESIVAS.
APLICACIONES.
ÍNDICE
1
INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................... 2
2
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. ...................................................................... 2
2.1
2.2
3
DEFINICIÓN.................................................................................................................................... 2
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA....................................................................... 2
FUNCIÓN DERIVADA. .................................................................................................................. 3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
DEFINICIÓN.................................................................................................................................... 3
ÁLGEBRA DE DERIVADAS. ............................................................................................................. 3
DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA. REGLA DE LA CADENA. ............................................... 4
DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA. ............................................................................................ 4
DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES. ................................................................................. 5
4
DERIVADAS SUCESIVAS. FÓRMULA DE LEIBNIZ. .............................................................. 5
5
APLICACIONES. ............................................................................................................................. 6
6
BIBLIOGRAFÍA. ............................................................................................................................. 7
1
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Tema 26 Derivada de una función en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas.
Aplicaciones.
1
INTRODUCCIÓN.
El concepto de derivada, surgió como consecuencia de las necesidades de la
Mecánica en el s. XVII y de los problemas geométricos (fundamentalmente dibujar una
tangente a una curva y encontrar la velocidad de un movimiento en un instante dado).
El cálculo diferencial e integral se debe en su mayor parte a la teoría de funciones
de Newton (1642-1727) y al cálculo de diferenciales de Leibniz (1646-1716). La
primera exposición del cálculo diferencial hecha por Leibniz fue en 1684 con el título
“Un nuevo método para máximos y mínimos y también para tangentes, que no se ve
obstruido por las cantidades fraccionarias ni por las irracionales”.
2 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
2.1 Definición.
Definición. Sea f:A→R (A⊂R). Sea x0 un punto de A. Diremos que la derivada
f ( x0 + h) − f ( x0 )
∈ R y la notaremos por
h
f ´(x0 ) , si este límite no existe o no es real no tenemos derivada en ese punto.
de f en el punto x0 viene dada por: lim h→0
Si consideramos que x= x0 +h podemos expresar la derivada en x0 como:
f ( x) − f ( x0 )
x − x0
Definición. El incremento de la variable h puede ser positivo o negativo. Si h es
positivo tendremos la derivada por la derecha en x0 , si h es negativo tendremos la
derivada por la izquierda en x0 .
f ( x0 + h) − f ( x0 )
f ( x0 + h) − f ( x0 )
f +´ ( x0 ) = lim h→0+
y f −´ ( x0 ) = lim h→0−
h
h
Teorema. La derivada si existe es única.
Demostración. Es consecuencia de la unicidad del límite.
Nota: Además la condición necesaria y suficiente para que una función f(x) sea
derivable es que existan ambas derivadas laterales y sean iguales.
Teorema. Si una función es derivable en un punto x0 entonces es continua en ese
punto x0 .
Demostración. Será f continua si lim h→0 ( f ( x0 + h) − f ( x0 )) = 0 y esto ocurre en
f (x 0 + h) − f (x 0 )
el caso de que exista y sea finito f ´(x0 ) = limh →0
.
h
f ´(x 0 ) = lim x → x0
2.2 Interpretación geométrica de la derivada.
Sea f una función derivable en un punto x0 , la derivada de la función en ese
punto x0 se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho
punto x0 , esto es, la recta que pasa por un punto P=( x0 ,f( x0 )) y tiene pendiente f´( x0 )
tiene por ecuación: y-f( x0 )=f´( x0 )(x- x0 ).
Si f(x) es derivable en x0 entonces existe la recta tangente a f(x) en x0 .
2
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Aplicaciones.
Si f´( x0 )=±∞ ⇒ La recta tangente es paralela al eje y, y la función no es derivable
en dicho punto.
3 FUNCIÓN DERIVADA.
3.1 Definición.
Definición. Sea f:[a,b]→R. Si f(x) es derivable en todos los puntos interiores de
dicho intervalo, ∀x∈(a,b) ⇒ La derivada en un punto cualquiera x del mismo, viene
f ( x + h) − f ( x)
, límite que depende del valor x. Esta
dada por la función lim h→0
h
función que representaremos por f´(x) o y´, la llamaremos función derivada de f(x),
cuyo dominio es un subconjunto del dominio de f(x) (su dominio son los puntos x
donde existe la derivada).
3.2 Álgebra de derivadas.
Sean las funciones f(x) y g(x) derivables en (a,b), se verifica:
1.Derivada de la suma. (f+g)(x) es función derivable en (a,b) y se tiene:
(f+g)´(x)= f´(x)+g´(x).
2.Derivada del producto de dos funciones. (f·g)(x) es función derivable en (a,b) y
se verifica (f·g)´(x)=f´(x)·g(x)+f(x)·g´(x).
3.Derivada de la función 1/f. Si f(x)≠0 ∀x∈(a,b), (1/f)(x) es función derivable en
´
1
− f ´( x)
(a,b) y se verifica   ( x) = 2
f ( x)
f 
4.Derivada del cociente de dos funciones. Si g(x)≠0 ∀x∈(a,b), (f/g)(x) es función
'
f
f '(x) ⋅ g(x) − g'(x) ⋅ f (x)
derivable en (a,b) y se verifica   (x) =
.
g 2 (x)
 g
Demostración:
1.
 f ( x ) − f ( x 0 ) g ( x) − g ( x 0 ) 
( f + g )( x) − ( f + g )( x0 )
 = f ´( x0 ) + g´( x0 )
lim x→ x0
= lim x → x0 
+
x − x0
x − x0
x − x0


2.
lim x → x0
 f ( x) g ( x) − f ( x0 ) g ( x) + f ( x 0 ) g ( x) − f ( x0 ) g ( x0 ) 
( fg )( x) − ( fg )( x0 )
 =
= lim x → x0 
x − x0
x − x0


f (x) − f (x 0 )
g(x) − g(x 0 )
limx →x 0 g(x) + f (x 0 )limx →x 0
= f '(x 0 )g(x 0 ) + g'(x 0 ) f (x 0 )
x − x0
x − x0
= limx →x 0


(1 / f )( x) − (1 / f )( x0 )
f ( x 0 ) − f ( x)
f ´(x )
 = − 2 0
= lim x → x0 
x − x0
f ( x0 )
 ( x − x 0 )( f ( x 0 )· f ( x)) 
4. Se demuestra a partir de 2 y 3 puesto que f/g=f·(1/g).
3. lim x → x
0
3
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3.3 Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena.
Sea f:I→R una función continua en I y derivable en x0 ∈I.
Sea g:J→R y f(I)⊂J, además es derivable en y 0 = f ( x0 )
Entonces g o f es derivable en x0 y ( g o f )´(x 0 ) = g´[ f ( x 0 )] f ´(x 0 ) .
Demostración.
Sea h: J→R definida por:
 g ( y) − g ( y0 )
− g´( y 0 ) si y ≠ y 0

y − y0
h( y ) = 
0
si y = y 0

Se tiene que h es continua en y 0 , además puesto que f es continua en x0 , la
función h o f es continua en x0 , siendo lim x → x (h o f )( x) = h( f ( x 0 )) = h( y 0 ) = 0 .
0
De la definición de h(y=f(x)) tenemos que si f(x)≠ f( x0 )es
g(f(x))-g(f( x0 ))=[h(f(x))+g´( y 0 )](f(x)-f( x0 )) así:
( g o f )(x)-( g o f )( x0 )=[( h o f )(x)+ g´( y 0 )](f(x)-f( x0 )).
( g o f )( x) − ( g o f )( x0 )
=
Y la derivada ( g o f )´( x0 )= lim x→ x0
x − x0
f ( x) − f ( x0 )
= lim x → x0 [(h o f )( x) + g´( y 0 )]lim x → x0
= g´( y 0 )· f ´( x0 )
x − x0
3.4 Derivada de la función inversa.
Sea f:I→R una función continua e inyectiva sobre I, con derivada no nula en
x0 ∈I. Entonces la función inversa f −1 :f(I)→R es derivable en y 0 = f ( x0 ) , siendo:
1
1
( f −1 )´( y 0 ) =
=
−1
f ´( f ( y 0 )) f ´( x0 )
Demostración. f
−1
existe, es única y es continua por ser f continua e inyectiva.
( y ) − f −1 ( y 0 )
.
y − y0
x − x0
Sobre I-{ x0 } definimos la función: x → β ( x) =
.
f ( x) − f ( x0 )
Sobre f(I)-{ y 0 } definimos la función: y → α ( y ) =
Sobre f(I)-{ y 0 } se verifica α ( y ) = ( β o f
Sabiendo que lim x → x0 β ( x) = lim x → x0
( f −1 )´( y 0 ) = lim y → y0
= lim x → x0 β ( x) =
f
−1
f
−1
−1
)( y ) .
1
1
=
y f ´(x 0 ) ≠ 0
f ( x) − f ( x 0 )
f ´( x0 )
x − x0
( y ) − f −1 ( y 0 )
= lim y → y0 α ( y ) = lim y → y0 ( β o f −1 )( y ) =
y − y0
1
1
1
=
=
−1
f ´( x0 ) f ´( f ( y 0 )) ( f ´o f −1 )( y 0 )
4
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3.5 Derivadas de funciones elementales.
1.La derivada de la función constante es 0.
1
2.Sea f(x)= log a x, con a > 0 ⇒ f ´(x) =
, ∀x > 0.
xLna
3. Sea f(x)= x b , con b ≠ 0 ⇒ f ´( x) = bx b −1 , b = cte.
4. Sea f(x)= e x ⇒ f ´(x) = e x .
5. Sea f(x)= a x ⇒ f ´( x) = a x Lna, con a > 0.
6.Derivadas de las funciones circulares. (senx)´=cosx; (cosx)´=-senx;
(tgx)´=1+ tg 2 x .
7.Derivadas de las funciones inversas de las circulares.
1
1
(arcsenx)´=
=
; x ∈ (−1,1)
cos(arcsenx)
1− x2
1
1
(arccosx)´=
=−
; x ∈ (−1,1)
− sen(arccos x)
1− x2
1
1
(arctgx)´=
=
;x∈ R.
2
1 + tg (arctgx) 1 + x 2
8.Derivadas de las funciones hiperbólicas. (shx)´=chx; (chx)´=shx.
Utilizando la regla de la cadena y las expresiones anteriores podemos obtener las
expresiones de las derivadas de la composición de funciones elementales como por
f ´(x)
ejemplo: Si g(x)= log a f ( x) con a > 0 ⇒ g´(x) =
, ∀x / f ( x) > 0.
f ( x) Lna
9.
Destacamos
por
su
importancia
f ( x) g ( x ) ´
resultando
(f (x) ) = g(x) ⋅ f (x)
g(x ) '
(
)
⋅ f '(x) + f (x) g(x ) ⋅ g'(x) ⋅ Lnf (x) .
Demostración. Simplemente utilizando la definición de derivada, las propiedades
de los límites y las propiedades de las derivadas estudiadas anteriormente.
4
g(x )−1
DERIVADAS SUCESIVAS. FÓRMULA DE LEIBNIZ.
Definición. Sea f(x) derivable en (a,b) y f´(x) derivable a su vez en (a,b). A la
función derivada de f´(x) la llamaremos derivada segunda, y la notaremos por f´´(x). En
general la derivada n-ésima de f(x), la notaremos por f n ) ( x) .
Definición. Sea f(x) una función tal que existe su derivada de cualquier orden,
diremos que es infinitamente derivable.
Definición. Diremos que una función es de clase p∈N si existen sus derivadas
hasta el orden p inclusive y son continuas.
Teorema. Fórmula de Leibniz. Dadas dos funciones f y g con derivada n-ésima
n
n
n
n
⇒ ( f · g ) n ) =   f n ) · g +   f n−1) · g´+  f n − 2) · g´´+... +   f · g n ) .
0
1 
2
n
Demostración. Por inducción.
Para n=1 tengo la derivada del producto.
Supongamos que es cierto para n y veamos que ocurre para n+1.
n
n
n
n
( f · g ) n ) = ∑   f n− r ) · g r ) ⇒ ( f · g ) n +1) = ∑   f n − r +1) · g r ) + f n − r ) · g r +1) =
r =0  r 
r =0  r 
[
]
5
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Aplicaciones.
n
n
= ∑   f
r =0  r 
n
n
= f n +1) · g + ∑   f
r =1  r 
n − r +1)
n +1 n


 f
· g r ) + ∑ 
r =1  r − 1
n − r +1)
·g r ) =
n
 n  n− r +1) r )
 f
· g r ) + f · g n +1) + ∑ 
·g =
r =1  r − 1
n  n
   n  n −r +1) r ) n +1  n + 1 n −r +1) r )
 f
 f
= f n +1) ·g + f ·g n +1) + ∑   + 
·g = ∑ 
·g
r =1  r 
r = 0  r
 r − 1

Como queríamos demostrar, hemos utilizado las propiedades de los números
combinatorios.
n − r +1)
5 APLICACIONES.
Crecimiento y decrecimiento. Sea f una función real derivable en el punto x0 . f
es creciente (resp. decreciente) en x0 si y sólo si f´( x0 )≥0 (resp. f´( x0 )≤0). Si
imponemos f´( x0 )>0 (resp. f´( x0 )<0) entonces f es estrictamente creciente (resp.
decreciente)
Máximos y mínimos. Sea f una función derivable en un entorno del punto x0 , f
tiene un máximo (respectivamente un mínimo) en x0 si y sólo si la derivada f´ se anula
en ese punto y además f´>0 a la izquierda de x0 y f´<0 a la derecha de x0 (resp. f´<0 a
la izquierda de x0 y f´>0 a la derecha de x0 ).
Teorema de Rolle. Sea f(x) una función continua en [a,b] y derivable en (a,b), tal
que f(a)=f(b) ⇒ ∃ al menos un valor c∈(a,b)/f´(c)=0.
Demostración. Por el teorema de Weierstrass como f(x) es continua en [a,b]
entonces f alcanza en [a,b] su valor máximo y su valor mínimo. Distinguimos dos casos:
1.Ambos valores (máximo y mínimo) se encuentran en los extremos y como
f(a)=f(b) entonces todos los valores del intervalo tienen el mismo valor f(x) es constante
y por tanto f´(x)=0.
2.Supongamos que el máximo o el mínimo no se encuentran en los extremos
∃c∈(a,b)/f(c) es el máximo o el mínimo, por tanto la recta tangente en dicho punto es
paralela al eje x y por ello su pendiente que coincide con la derivada en dicho punto es
f´(c)=0 como queríamos demostrar.
Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado. Sea f(x) y g(x) funciones
continuas en [a,b] y derivables en (a,b), tal que g(a)≠g(b) y g´(x) ≠0 ⇒ ∃ al menos un
f (b) − f (a ) f ´(c)
valor c∈(a,b)/
=
.
g (b) − g (a ) g´(c)
Demostración. Tomemos la función h definida en [a,b] como
h(x)=[f(b)-f(a)]·g(x)-[g(b)-g(a)]·f(x)= que es continua en [a,b] y admite derivada en
(a,b) por venir construida por multiplicación de constantes por funciones continuas y
derivables y resta de funciones continuas y derivables, además verifica que h(a)=h(b)
aplicando el teorema de Rolle tendremos que ∃c∈(a,b)/h´(c)=0, esto es
f (b) − f (a ) f ´(c)
0=[f(b)-f(a)]·g´(c)-[g(b)-g(a)]·f´(c) de donde se tiene
=
.
g (b) − g (a ) g´(c)
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Aplicaciones.
Nota: Como caso particular de este teorema tenemos el Teorema de Lagrange o
del valor medio: Sea f(x) continua en [a,b] y derivable en (a,b) ⇒ ∃ al menos un valor
f (b) − f (a )
.
c∈(a,b)/ f ´(c) =
b−a
Demostración. A partir de la función h(x) del teorema de Cauchy tomando
g(x)=x.
Regla de L´Hopital. Sean f y g dos funciones reales y derivables en todos los
puntos de un entorno del punto x0 ∈R, y tenemos que lim x→ x0 f ( x) = 0 = lim x → x0 g ( x)
y que g(x) y g´(x) no se anulan en ese entorno de x0 entonces el lim x→ x0
f ( x)
existe si
g ( x)
f ´( x)
, siendo además ambos límites iguales.
g´( x)
Nota: Además de para resolver indeterminaciones del tipo 0/0 como en este caso,
la regla de L´Hopital se puede adaptar sin dificultad para resolver otras
indeterminaciones como ∞/∞ ó 0·∞.
La velocidad y aceleración instantánea de un móvil. Sea s(t) la función que nos
da la posición de un móvil a lo largo del tiempo y sea s(t) de clase 2, entonces la
velocidad instantánea vendrá dada por la derivada de s(t) respecto de t y además la
aceleración instantánea viene dada por la derivada segunda.
existe lim x→ x0
6 BIBLIOGRAFÍA.
-GAUCHAN. Introducción al análisis.
-LUNA. Curso de Análisis Matemático I.
-REY PASTOR. Elementos de la teoría de funciones.
-SPIVAK. Cálculus.
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