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UNIVERSIDAD
TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL PARANÁ
ELECTRÓNICA TURNO TARDE
2014
TRABAJO INTEGRADOR Nº2
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
GEOMETRÍA ANALÍTICA – CÓNICAS Y CUÁDRICAS
MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA
APLICACIONES A LA INGENIERÍA
Cátedras: Álgebra y Geometría Analítica
Análisis Matemático I
Profesores: Titular: Ing. Felicia Dora Zuriaga (Alg. y G. A.)
Titular: Ing. Celestino Benito Brutti (A. Mat. I)
Prof. De la comisión:
Ajunto: Ing. Magalí Soldini (AMI)
Asociado: Ing. María Mercedes Gaitán (A y GA)
Adjunto Ing. Egidio Stella (Fis I)
Auxiliares:
JTP Ing. Gabriela Martínez (AMI)
JTP Ing. Maricel De Zan (A y GA)
JTP Ing. Juana Gomez (Fis I)
Alumnos (y correo electrónico):
.
.
Grupo Nº:
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Paraná
Análisis Matemático I – Álgebra y Geometría Analítica
Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD
REGIONAL PARANÁ
INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA, ELECTRÓNICA Y CIVIL
CÁTEDRA: ANÁLISIS MATEMÁTICO I
TRABAJOS PRÁCTICOS 2014
INSTRUCCIONES DE PRESENTACIÓN
1- El trabajo práctico debe ser presentado en papel obra alisado con formato A4 de norma IRAM. Los márgenes deben ser:
2-
Las hojas no estarán
numeradas en forma correlativa.
3Las hojas serán escritas a
máquina o computadora en las
dos caras.
4Cada ejercicio se
comenzará en una hoja aparte y
se numerarán las hojas indicando
ejercicio y página: Ejemplo:
EjercicioD-12/pág.1...
5- En cada ejercicio debe constar el enunciado con los datos y luego la resolución a continuación.
EjercicioD-12
…………………………..
Solución:
…………………………..
……………………………
6- Los gráficos deben realizarse en computadora.
7Cada trabajo debe venir acompañado de un CD que quedará para la cátedra (con los ejercicios corregidos).
8Una vez presentado el trabajo, el mismo será evaluado verbalmente y en forma individual en un coloquio, con la
presencia de todos los integrantes del grupo.
9El trabajo práctico será presentado anillado con tapa transparente o en una carpeta con tapa transparente.
10Los grupos tendrán 2 alumnos como mínimo y 3 alumnos como máximo.
11 -Las condiciones de aprobación se deben ver en el Manual de Cátedra.
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Análisis Matemático I – Álgebra y Geometría Analítica
Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
EJERCICIO 1
a) Calcular la capacidad total del tanque de sección como se observa en la figura en metros
cúbicos.
b) Completar la tabla indicada, calculando los volúmenes que contiene el depósito cuándo
la profundidad del líquido es h.
TABLA
h
Volumen
0
3b
x2
24
3b
x3
24
…
…
c) ¿Cuánto pesa el tanque vacío si el espesor de la chapa es de 1/8” (3.2mm)?
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Análisis Matemático I – Álgebra y Geometría Analítica
Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
Datos
Grupo
1
2
3
4
5
6
7
Ejercicio 1
a(m)
b(m)
1,1
0,8
1
0,6
0,9
0,5
1,2
0,8
1,1
0,7
1,3
0,8
1,2
0,7
L(m)
8
9
5
5
7
5
6
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Análisis Matemático I – Álgebra y Geometría Analítica
Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
EJERCICIO 2
a)
Determinar la ecuación de la parábola y sus características (focos, vértices, directrices,
lado recto, excentricidad, etc.)
b)
Determinar las ecuaciones de la recta, su ordenada al origen y pendiente.
c)
Determinar los coeficientes de la ecuación del polinomio de tercer grado.
d)
Calcular la ecuación de la superficie generada al girar la recta alrededor del eje x.
Graficar.
e)
Calcular la ecuación de la superficie generada al girar la parábola alrededor del eje x.
Graficar.
f)
Calcular el área A de la región R. Limitada superiormente por la recta, lateralmente por
la parábola y el polinomio e inferiormente por el eje x. Considerar las medidas en
metros.
g)
Calcular el perímetro de la región R.
h)
Calcular el volumen VX generado al girar la región R alrededor del eje x.
i)
Calcular el área lateral AX del volumen generado al girar la región R alrededor del eje x.
j)
Calcular las coordenadas del centroide de la región R. Graficar.
k)
Calcular las coordenadas del centro de gravedad de una placa de densidad superficial δ=
(150+0.218x+0.12x2)kg/m2
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Análisis Matemático I – Álgebra y Geometría Analítica
Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
Datos:
Grupo
1
2
3
4
5
6
7
X1
3
1,62
2,7
1,35
3,1
1,3
0,9
X2
4,5
2,97
4,05
2,7
4,1
2,3
1,9
X3
7,5
5,67
6,75
4,05
6,1
3,2
2,9
Ejercicio 2
X4
X5
9
13,5
7,02
11,07
8,1
12,15
5,4
9,45
7,1
10,1
5,2
9,2
3,9
5,9
Y1
-12,75
-10,8
-11,47
-10,125
-6
-6
-6,9
Y2
12,75
10,8
11,47
10,125
6
6
6,9
α
14
15
14
17
18
16
10
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Análisis Matemático I – Álgebra y Geometría Analítica
Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
EJERCICIO 3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
Dada la gráfica de la función “Campana de Gauss”:
, hallar los parámetros de
la misma.
Dada la gráfica de la parábola cúbica determinar su ecuación.
Determinar las ecuaciones de la función exponencial y senoidal.
Graficar conjuntamente las cuatro funciones. Todas las medidas deben ser consideradas
en metros..
Determinar las coordenadas de los puntos de intersección.
Calcular el área A de la región R.
Calcular el perímetro de la región R.
Calcular los momentos estáticos del área A de la región R respecto a los ejes
coordenados (Mx y My).
Calcular las coordenadas del centroide de la región R.
Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la chapa cuya impronta es la de la
región R si la densidad varía según la siguiente ley: f(x)=150(1+0.21x)kg/m2
Calcular el volumen V que se obtiene al girar R alrededor del eje x.
Calcular el área lateral del volumen generado en el punto anterior (k).
Determinar la ecuación de las superficies generadas por la función exponencial y la
función senoidal al girar alrededor del eje x. Graficar.
Nota: Todas las medidas deben ser consideradas en metros.
Datos
Grupo
1
2
3
4
5
6
7
a
1,2
2,7
3
2
1,6
2,7
1,62
X0
5,2
8,1
9
6
5,6
6,7
7,02
Y0
8,2
12,15
13,5
9
8,6
6,7
7,02
Ejercicio 3
Y1
Y2
8,2
4,2
12,15
6,75
13,5
7,5
9
5
8,6
4,6
6,7
5,7
7,02
11,07
X1
-2,2
-1,35
-1,5
-1
-1,8
-0,3
-2,97
X2
3,2
5,4
6
4
3,6
4,7
4,32
X3
5,2
8,1
6
6
5,6
6,7
7,02
X4
7,2
10,8
12
8
7,6
8,7
9,72
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Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
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Análisis Matemático I – Álgebra y Geometría Analítica
Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
EJERCICIO 4
Ejercicio 4a
Nota: Todas las medidas deben ser consideradas en metros.
a) Hallar la ecuación de la función racional entera y=a0x3+a1x2+a2x1+a3 que pasa por los
puntos P1, P2, P3, y P4.
b) Graficar conjuntamente los puntos y la función racional entera.
c) Hallar la ecuación de la superficie generada al girar la función racional entera alrededor
del eje x.
d) Calcular el volumen V generado al girar el área A de la región R alrededor del eje x.
e) Calcular el área lateral del volumen V.
f) Dada la línea curva que pasa por los puntos dados determinar: longitud, Mx, My, Mo, Xc,
Yc, Ix, Iy e Io.
g) Dado el cable curvo de densidad d= 12( 1+0.17x+0.002x^2) que pasa por los puntos
determinar: masa, Mx, My, Mo, Xg, Yg, Ix, Iy e Io.
h) Área de la región indicada.
Grupo
1
2
3
4
5
6
7
P1(x1,y1)
(2;13)
(2;12)
(1;11)
(0,5;13)
(3;14)
(1;13)
(0,5;12)
P2(x2,y2)
(13;5)
(12;5)
(11;2)
(13;2)
(14;6)
(13;4)
(12;3)
P3(x3,y3)
(5;6)
(5;5)
(2;8)
(2;6)
(6;7)
(4;6)
(3;6)
P4(x4,y4)
(6;8)
(6;8)
(8;4)
(6;5)
(7;9)
(6;7)
(6;6)
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Análisis Matemático I – Álgebra y Geometría Analítica
Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
Ejercicio 4b
a) Determinar la ecuación de la circunferencia medida en metros y sus características (h, k,
r).
b) Determinar la ecuación de la superficie cilíndrica cuya directriz es la circunferencia y
cuya generatriz es paralela al vector V.
c) Graficar la superficie.
d) Calcular el volumen generado al girar la región R alrededor del eje x.
Datos
Grupo
1
2
3
4
5
6
7
Ejercicio 4b
h
k
3
5
6
3
3
2
8
4
7
4
6
8
4
3
r
5
5
4
3
3
5
3
V(v1,v2,v3)
(1,2,12)
(2,1,8)
(2,1,-8)
(2,-1,8)
(1,2,12)
(1,-2,12)
(2,1,8)
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Análisis Matemático I – Álgebra y Geometría Analítica
Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
EJERCICIO 5
Dadas las superficies obtenidas de rotar respecto al eje y a la siguiente figura:
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Análisis Matemático I – Álgebra y Geometría Analítica
Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
Se pide:
a) Determinar las ecuaciones de las superficie cónicas siguientes: cono circular, elipsoide
circular, esfera, cilindro circular, hiperboloide de una hoja circular y paraboloide circular.
b) Graficar. Medidas en metros.
c) Calcular el volumen de la figura.
d) Calcular las coordenadas del centroide.
e) Calcular el área lateral.
Datos
Grupo
1
2
3
4
5
6
7
Y1
10
10
13
8
9
16
10
a
5
5
5
3
5
7
6
b
3
3
3
1
3
5
4
Y2
0
0
-1
-1
0
1
-1
Y3
3
4
7
7
5
8
2
Ejercicio 5
Y4
r
-4
7
-4
5
-5
7
3
-3
-4
5
-5
6
-3
7
Y5
-13
-8
-11
-6
-8
-10
-11
Y6
-17
-12
-15
-10
-12
-14
-15
c
3
3
5
4
3
5
3
d
6
6
7
7
6
7
6
e
4
4
5
6
6
3
4
f
2
2
2
3
2
4
2
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Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
EJERCICIO 6
Dadas las siguientes cuádricas
1-
0≤z≤A
2-
- (c+4) ≤ y ≤ (c+4)
3-
- (b+6) ≤ y ≤ (b+6)
4Realizar su estudio completo, o sea:
a) Determinar los puntos de intersección con los ejes coordenados.
b) Determinar las trazas con los planos coordenados, identificar la curva y graficarla en el
plano coordenado que corresponda identificando los ejes.
c) Determinar la simetría de la gráfica con los planos coordenados, ejes coordenados y el
origen.
d) Determinar trazas con los planos paralelos a los planos coordenados e identificarlas.
e) Realizar las gráficas e indicar el dominio y rango considerandolo como z=f(x,y).
Identificar los ejes coordenados.
Realizar las gráficas con el software correspondiente. Resolver cada ejercicio en forma
independiente.
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Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
Datos
Grupo
1
2
3
4
5
6
7
A
33
22
27
31
31
27
20
Ejercicio 6
a
5
7
5
3
3
5
3
b
3
4
4
4
4
4
5
c
4
5
6
7
8
4
4
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Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
EJERCICIO 7
Determinar la ecuación de la elipse y sus características (focos, vértices, directrices, lado
a)
recto, excentricidad y graficar).
Determinar la ecuación de la hipérbola y sus características (focos, vértices, directrices,
b)
lado recto, excentricidad y graficar).
Determinar la ecuación de la parábola y sus características (foco, vértice, directriz y lado
c)
recto).
Determinar la ecuación de la recta, su ordenada al origen y pendiente.
d)
Determinar los puntos de intersección.
e)
Calcular el área A de la región R. Medidas en metros.
f)
Calcular el perímetro de la región R.
g)
Calcular el volumen VX generado al girar la región R alrededor del eje x.
h)
Calcular el área lateral AX del volumen VX
i)
Calcular las coordenadas del centroide de la región R. Graficar.
j)
Calcular los momentos de inercia IX, IY e I0 del área A.
k)
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Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
Datos
Grupo
1
2
3
4
5
6
7
Ejercicio 7
a
10
6
9
6
9
7
7
b
6
3
5
5
6
3
5
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Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
EJERCICIO 8
El esquema representa una compuerta de un dique que contiene agua
a. Determinar las ecuaciones de la elipse, la parábola y la recta. Graficar.
b. Calcular el área de la sección.
c. Calcular la fuerza ejercida por la presión del líquido (agua) sobre la compuerta.
Datos
Grupo
a(cm)
1
14,1
2
14,9
3
13,6
4
13,7
5
14,4
6
14,2
7
15,0
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Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
EJERCICIO 9
Teniendo en cuenta los siguientes valores asociados a las funciones (señales) periódicas, se
pide calcular para cada grupo y función:
a. Valor de pico, cresta o máximo (VP): Son los valores máximos y mínimos que toma la
función en un período.
b. Valor pico a pico o cresta a cresta (VPP): Es la diferencia entre el máximo absoluto y
el mínimo absoluto (considerados con signo) en un período.
c. Valor medio (Vm): Es la media aritmética de los valores que toma la onda en un
periodo.
d. Valor eficaz o RMS (VRMS): Es el valor medio cuadrático; es decir, la raíz cuadrada
del valor medio de la función al cuadrado, en un periodo
valor es de sumo interés en las expresiones de potencia y energía.
e. Factor de pico o de cresta: Es la relación
de la forma de la onda.
. Este
, se usa para tener una idea global
f. Factor de forma: Es la relación
. Representa una comparación global entre
una señal cualquiera respecto de la señal rectangular.
g. Factor de Media de Módulo: Es la relación
FMM=Vp/VM. Representa la
capacidad relativa de transporte bruto de carga de una señal cualquiera respecto de la
señal rectangular.
h. Grafique cada una de las señales junto con las rectas que surgen de hacer y=Vm,
y=VRMS.
Datos:
Grupo
Señal 1
Señal 2
1
f 1 (t )  e 2 t cos(3t  2)
0t 3
2
f1 (t )  e t
2t  2
3
f 1 (t )  2 sen(2  t )
f 2 (t )  2 cos(5t  1)  5
 2 0  t  1
f 2 (t )  
 2 1 t  2
f 2 (t )  (t  1)e t
1  t  1
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Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
4
f 1 (t )  2 cos( 2t  1)  2
 2t  1 0  t  1
f 2 (t )  
 2t  1 1  t  2
5
 t
f 1 (t )  
t
f 2 (t )  e (1t )
6
f1 (t )  2 cos(3t  2)  5
 t
f 2 (t )  
 t
7
 et
f1 (t )   (  t )
e
f 2 (t )  e (1t )
0  t 1
1 t  2
1  t  0
0  t 1
1  t  1
0  t 1
1 t  2
0t3
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Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
EJERCICIO 10
Dada la gráfica (medidas en cm).
A.
Calcular la derivada primera y segunda con interpolación de tercer y cuarto orden
en 10 puntos igualmente espaciados de la curva.
B.
Aplicando el método de Simpson
a. Determinar el área A de la región R limitada superiormente por la curva y = f(x):
inferiormente por el eje x, a la izquierda por el eje de ordenadas y a la derecha por la recta
x = 5.
b. Calcular aplicando el método de Simpson el perímetro de la región R. Las derivadas en
cada punto calcularlas aplicando interpolación de tercer o cuarto orden.
c. Calcular los momentos MX y MY del área A.
d. Calcular por el método de Simpson las coordenadas del centroide de la región R (xC e yC).
e. Calcular por el método de Simpson el volumen generado por la región R al girar
alrededor del eje x.
f. Determinar aplicando el método de Simpson los momentos de inercia I x e Iy del área A de
la región R.
Determinar por el método de los mínimos cuadrados las ecuación de la curva (R 2≥0.9)y
recalcular los puntos a y b.
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Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
GRUPO 1
40
35
30
25
0
1
2
3
4
5
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GRUPO 2
45
40
35
30
25
0
1
2
3
4
5
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Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
GRUPO 3
40
35
30
25
0
1
2
3
4
5
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Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
GRUPO 4
40
35
30
25
0
1
2
3
4
5
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Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
GRUPO 5
45
40
35
30
25
0
1
2
3
4
5
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Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
GRUPO 6
45
40
35
30
0
1
2
3
4
5
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Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
GRUPO 7
34
32
30
28
26
24
22
0
1
2
3
4
5
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Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
EJERCICIO 11
Un depósito cónico de sección circular de acuerdo al plano contiene un líquido de peso
específico 920kg/m3. El depósito se encuentra lleno de líquido. Hallar el trabajo necesario
para bombear todo el líquido hasta la altura h2 (punto A) por encima de la parte superior del
depósito.
Grupo
1
2
3
4
5
6
a(m)
15,1
14,8
13,6
15,1
14,2
13,2
H1(m)
19
12
13
19
18
9
7
15,2
12
H2(m)
14
11
10
14
7
13
10
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Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
EJERCICIO 12
Dado el siguiente circuito Pasa Bajos, cuya
respuesta al impulso es:
con
t>0. Si a la entrada ingresamos una señal
continua
, la tensión a la salida del
filtro está dada por:
.
Se pide:
a. Graficar la función hc(t), Vc(t) y Vs(t).
b. ¿a qué valor de t podemos considerar que está cargado en un 90% el capacitor?
c. La energía se calcula como
, como el circuito está en reposo inicial y
podemos considerar que para el valor de t obtenido en el punto b el capacitor está
cargado. ¿cuál es el valor de la energía eléctrica almacenada en el capacitor? (considere
f(t)=Vc(t))
Datos:
Grupo
R []
C [F]
V [V]
1
1500
470
12
2
1800
220
15
3
920
680
9
4
150
680
15
5
860
470
12
6
1200
680
12
7
2200
820
18
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Paraná
Análisis Matemático I – Álgebra y Geometría Analítica
Trabajo Práctico Integrador Nº2
Año 2014 ELECTRÓNICA TURNO TARDE
EJERCICIO 13
Dada el área A de la región R limitada por ρ = f(θ) y lateralmente por θ = α y θ = β
determinar:
d. Graficar la región R.
e. Calcular el área A de la región R.
f. Calcular el perímetro de la región R.
g. Determinar el centroide de la región R.
h. El área lateral generada por ρ = f(θ) al girar alrededor del eje polar.
Grupo
ρ=f(θ)
α
β
1
  35  sen 
0
π
2
  5sen(2 )
0
1,05
3
  4
0,06
0,8
4
  61  cos  
0,13
1,1
5
  10 sen
0,05
0,72
6
  6 cos(2 )
0
0,5
7
  8senn(3 )
0
0,40