1. No category

Sugerencias didácticas
:caV^bV\ZchZejZYZkZgjcVa{b^cVYZB#:hX]Zgi^"
En la imagen se puede ver una lámina de M. Escher tiijaVYVGZei^aZhZcaVfjZhZiZhZaVjceaVcdXdc[^\jgVh
tulada Reptiles en la que se tesela un plano con figuras
fjZZcigVcnhVaZcYZ‚a#:cbjX]VhYZhjhdWgVh!:hX]Zg
que entran y salen de él. En muchas de sus obras, Escher
gZVa^oViZhZaVX^dcZhh^b^aVgZh!Vea^XVcYdigVhaVX^dcZh!gd"
realiza teselaciones similares, aplicando traslaciones, roiVX^dcZhnh^bZig†Vh#
taciones y simetrías.
Ya que se trabajará con sistemas simultáneos de ecuaciones, el profesor
debe cerciorarse de que el alumno no tiene deficiencias en la solución
de ecuaciones con una incógnita; si es así, sugerimos abrir un pequeño
paréntesis donde los estudiantes expresen sus dudas al respecto,
para que no existan obstáculos al abordar los sistemas de 2 x 2 (dos
ecuaciones con dos incógnitas de grado uno).
Valoración del desempeño
• Valorar las estrategias que el alumno maneja para la solución de
ecuaciones de primer grado con una incógnita.
BLOQUE 5V
BLOQUE
1.4. Uso del lenguaje natural para explicar el significado de algunas fórmulas geométricas,
interpretando literales como números generales con los que es posible operar.
Otros recursos
En
bloque
En este
este bloque
estudiarás:
aprenderás a:
™
^hiZbVhYZYdhZXjVX^dcZh
• hResolver
problemas que
a^cZVaZhXdcYdh^cX‹\c^iVh0
implican el uso de sistemas de
™edos
gde^ZYVYZhYZaVgdiVX^‹c!
ecuaciones lineales con dos
nigVhaVX^‹cYZ[^\jgVh0
incógnitas.
™
Y
^hZŠdhXdch^bZig†VVm^Va
• Determinar el tipo de
nXZcigVa0
transformación (traslación,
™grotación
ZegZhZciVX^‹c\g{[^XV
o simetría) que se
YZjch^hiZbVYZZXjVX^dcZh0
aplica a una figura para obtener
™elagdWVW^a^YVYYZZkZcidh
figura transformada.
• bjijVbZciZZmXajnZciZh#
Identificar y ejecutar simetrías
axiales y centrales y caracterizar
sus efectos sobre las figuras.
• Resolver problemas que
implican calcular la probabilidad
de dos eventos que son
mutuamente excluyentes.
La siguiente página electrónica está dedicada a la solución de sistemas
de 2 × 2:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/ed99-004501.html
205
213
฀฀฀
฀฀฀
฀
213
Sugerencias didácticas
Lección
Lección 87
88
Esta es una lección introductoria al tema de los sistemas de dos
ecuaciones simultáneas con dos incógnitas, por lo tanto, es de suma
importancia que el profesor haga ver al estudiante que una expresión del
tipo
y = mx + b (como las que se trabajaron en el bloque anterior)
tiene una infinidad de soluciones, ya que para cada valor de x existe
un único valor de y, por lo que para cada x se forma una pareja (x, y)
que satisface la ecuación.
Sin embargo, los sistemas de 2 × 2 generalmente tendrán una
solución, en algunos casos ninguna y sólo en un caso muy particular,
una infinidad (cuando las dos ecuaciones sean equivalentes).
6Y^k^cVcoVhXdc°«YdhcbZgdh
YZhXdcdX^Ydh
:caZXX^dcZhVciZg^dgZhVegZcY^hiZVgZhdakZgZXjVX^dcZhZcaVhfjZhZYZhXdcdXZjccbZgd#
6]dgVZhijY^Vg{hZXjVX^dcZhZcaVhfjZhZYZhXdcdXZcYdhcbZgdh#
1 Dg\Vc^oVYdhZcZfj^edh!]V\Vcadh^\j^ZciZ#
VGZhjZakVc^cY^k^YjVabZciZZhiVVY^k^cVcoV/
EZch‚YdhcbZgdh!VagZhiVgadhdWiZc\d'!ªfj‚cbZgdheZch‚4
Respuesta libre 4 y 2
W8dbeVgZcaVhdajX^‹cfjZZcXdcigVgdc#HZ\jgVbZciZZcXdcigVgdcY^hi^ciVhhdajX^dcZh#:hXg^WVc
VabZcdhX^cXdhdajX^dcZhb{h/
Respuesta libre 6 y 4, 5 y 3, 7 y 5, 10 y 8, 9 y 7
Xª8j{ciVhhdajX^dcZhXgZZcfjZiZc\VaVVY^k^cVcoV! Xdch^YZgVcYdfjZadhcbZgdhejZYZchZg
edh^i^kdhdcZ\Vi^kdh!ZciZgdhdcdZciZgdh4
Una cantidad infinita
YAaVbVgZbdhmVacbZgdbZcdgnnVabVndg#6Xdci^cjVX^‹chZegZhZciVcXjVigdZXjVX^dcZh!YZ
aVhXjVaZhigZhXdggZhedcYZcVaVVY^k^cVcoVVciZg^dgnjcVcd#IVX]ZcaVfjZcdXdggZhedcYZ#
nm'
mn'
nm'
mn'
2 8dbeVgZchjhgZhjaiVYdhXdcadhYZdigdhZfj^edh#8dcVnjYVYZhjegd[Zhdgd
egd[ZhdgV!XdbZciZcaVh^\j^ZciZ^c[dgbVX^‹c#
AVZXjVX^‹cn2m'i^ZcZYdh^cX‹\c^iVhnVYb^iZjcV^c[^c^YVYYZhdajX^dcZh#8VYV
hdajX^‹cZhjcVeVgZ_VYZcbZgdh#
3 GZVa^XZcadh^\j^ZciZ/
VAaZcZcaViVWaVfjZhZegZhZciV#
DWhZgkZcfjZ!XVYVkZofjZYVcjckVadgVmnXVaXjaVcZa
YZn!dWi^ZcZcjcVhdajX^‹cYZaVVY^k^cVcoVVciZg^dg#
ª:be^ZoVcVhdheZX]VgfjZaVZXjVX^‹c
nm'hZeVgZXZVVa\dfjZnVk^ZgdcVciZh4
«8aVgdAVZXjVX^‹cnm'ZhYZai^edn bm W!
ZhYZX^g!ZhaVZXjVX^‹cYZjcVgZXiV#:hiVgZXiVZh!VaVkZo!
aV\g{[^XVYZaV[jcX^‹cnm'#
m
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1
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5
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14
16
206
214
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214
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W<gV[^fjZcaV[jcX^‹cZcZaeaVcdXVgiZh^Vcd#KZg^[^fjZcfjZadh
ejcidhhZZcXjZcigVcVa^cZVYdh#
Valoración del desempeño
16
15
14
• Aprender que una ecuación se puede escribir de diversas maneras
(como función de x, como función de y, igualada a cero, etcétera).
• Observar que las gráficas de dos funciones lineales que no son
paralelas tienen una única solución, que está dada por la intersección
de las rectas.
13
12
X:hXd_VcjcejcidYZaVgZXiVXjnVhXddgYZcVYVh
cdZhi‚cZcaViVWaVVciZg^dg#6c‹iZcaVhVfj†/
11
10
9
8
7
KZg^[^fjZcfjZZhVhXddgYZcVYVhiVbW^‚chVi^h[VXZcaVZXjVX^‹c
nm'
6
5
4
3
2
4 6]dgV!Xdch^YZgZcaVh^\j^ZciZVY^k^cVcoV/
EZch‚YdhcbZgdh!VahjbVgadhYVc&'#
Otros recursos
1
x
-1
La siguiente página trata sobre sistemas de 2 × 2:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/
matematicas-14.html
-2
-3
V9ZcVabZcdhigZhhdajX^dcZh
-3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
6 + 6, 8 + 4, 9 + 3
WAaVbZcmnnVadhYdhcbZgdh#6Xdci^cjVX^‹chZegZhZciVcXjVigdZXjVX^dcZhYZaVhXjVaZh
igZhXdggZhedcYZcVaVVY^k^cVcoVVciZg^dgnjcVcd#IVX]ZcaVfjZcdXdggZhedcYZ#
n&'m
m&'n
n&'m
X:caViVWaVYZaVYZgZX]V!ZhXg^WVcaVZXjVX^‹cWV_daV[dgbV
n12 – x!nZcXjZcigZckVg^VhhdajX^dcZhb{h#
m
'
&
%
(
*
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&)
Y=V\VcaV\g{[^XVXdggZhedcY^ZciZZcZab^hbdeaVcdXVgiZh^VcdYZ
aV\g{[^XVVciZg^dg#
ZJi^a^XZcaV\g{[^XVeVgVZcXdcigVgkVg^VhhdajX^dcZheVgVaVhZ\jcYV
VY^k^cVcoV
5.1. y 5.3. Representar con literales los valores desconocidos de un problema, plantear
un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros y resolverlo gráficamente.
mn&'
n ฀
14
13
12
9
7
0
–2
5 Edg ai^bd° Xdch^YZgZc aVh Ydh VY^k^cVcoVh Va b^hbd
i^Zbed/
EZch‚YdhcbZgdh!VagZhiVgadhdWiZc\d'n!VahjbVgadh!dWiZc\d&'#ªFj‚cbZgdheZch‚4
V:hXg^WVcVfj†jcVhdajX^‹cm2
:mea^fjZcX‹bdaVZcXdcigVgdc
5
n2
7
Respuesta libre
ª8j{ciVhhdajX^dcZhXgZZcfjZ]VnV!jcV!kVg^VhdjcV^c[^c^YVY4
Una
WDWhZgkZcfjZaVhYdh\g{[^XVhhZXdgiVcZcjcejcid#ª8j{aZhhdcaVhXddgYZcVYVhYZZhZejcid4
(5, 7)
ªFj‚i^ZcZcfjZkZgZhVhXddgYZcVYVhXdcaVhVY^k^cVcoVh4
:hXg^WVchjhdWhZgkVX^dcZh#
Representan la respuesta
207
215
฀฀฀
฀฀฀
฀
215
Sugerencias didácticas
Lección
Lección 88
89
Mediante la guía del profesor, el estudiante debe ser capaz de razonar
que si cada ecuación con dos incógnitas representa una recta en el plano
cartesiano, entonces una solución común para ambas ecuaciones sería
la intersección de estas dos rectas. Hay que llevar al alumno a adquirir
la noción de que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es un
conjunto de condiciones que deben verificarse simultáneamente, y no
un conglomerado de ecuaciones yuxtapuestas.
GZhdajX^‹c\g{[^XVYZjch^hiZbVYZ
ZXjVX^dcZh
JcVZmegZh^‹cVa\ZWgV^XVXdbdn m 'ejZYZhZg^ciZgegZiVYVYZkVg^VhbVcZgVh/Xdbd
jcVZXjVX^‹cXdcYdh^cX‹\c^iVh0XdbdaVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^VYZjcVgZaVX^‹c!XdbdaV
ZXjVX^‹cYZjcVgZXiV#
1 AZVcaVh^\j^ZciZ^c[dgbVX^‹cnedc\VcadfjZ[VaiV#
:caVaZXX^‹ceVhVYVk^ZgdcfjZaVhZXjVX^dcZh
n m 'nn &' ฀mi^ZcZc!XVYVjcVedg
hZeVgVYd!^c[^c^YVYYZhdajX^dcZh#EdgZ_Zbead!
igZhhdajX^dcZhYZaVeg^bZgVZXjVX^‹chdc/
Valoración del desempeño
Respuesta libre (2, 4), (3, 5) y (4, 6)
• Aprender a solucionar un sistema de ecuaciones de 2 × 2 mediante el
método gráfico.
• Escribir cualquier ecuación lineal como una función de variable
independiente x y variable dependiente y.
y
12
11
10
9
8
IVbW^‚ck^ZgdcfjZhdaVbZciZ]VnjceVgYZ
kVadgZhfjZgZhjZakZVab^hbdi^ZbedVaVhYdh
ZXjVX^dcZhm 5 !n 7 #:hZeVgZh
aVhdajX^‹cYZah^hiZbVYZYdhZXjVX^dcZh#
7
6
5
4
3
;^cVabZciZ! Zc aV aZXX^‹c eVhVYV k^Zgdc fjZ
XVYVjcVYZaVhZXjVX^dcZhXdcYdh^cX‹\c^iVh
ZhiVbW^‚caVZXjVX^‹cYZjcVgZXiV#AVhXddg"
YZcVYVhYZaejcidYZXdgiZYZaVhYdhgZXiVh
hdc_jhiVbZciZaVhdajX^‹cYZah^hiZbV/ 5,
! 7 2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
x
2 6eVgi^gYZah^\j^ZciZh^hiZbVYZYdhZXjVX^dcZh]V\VcadfjZhZ^cY^XV#
m 'n ,
'm n -
V:cXjZcigZcVabZcdhigZhhdajX^dcZheVgVXVYVZXjVX^‹c#
m 'n ,
m ฀ 3 n ฀ 2
m ฀ 1 n ฀ 3
m ฀ 7 n ฀ 0
'm n -
m ฀ 4 n ฀ 0
m ฀ 2 n ฀ 4
m ฀ 1 n ฀ 6
WAZVcaVh^\j^ZciZ^c[dgbVX^‹c/
EVgVZcXdcigVghdajX^dcZhYZaVhZXjVX^dcZhYVcYdkVadgZhV
m!nXVaXjaVcYdadhkVadgZhXdggZhedcY^ZciZhYZn!ZhX‹bdYd
ZmegZhVgaVhZXjVX^dcZhZc[jcX^‹cYZ n!XdbdgZ\aVhYZ
XdggZhedcYZcX^V#KZVcX‹bdhZ]VXZZhidXdcaVeg^bZgV
ZXjVX^‹c
m 'n ,
'n , m
n , m
'
208
216
฀฀฀
216
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฀
Otros recursos
XKZg^[^fjZcfjZaVhigZhhdajX^dcZhfjZZcXdcigVgdceVgVaVZXjVX^‹cm 'n ,iVbW^‚chdc
hdajX^‹cYZaVZXjVX^‹cn , m
'
n , m
n –2x + 8
'
Y:megZhZcaVZXjVX^‹c'm ฀n -Zc[jcX^‹c
m
n
m
n
YZn!XdbdgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^V
n ฀
3
1
5
6
–2x + 8
Z8dbeaZiZcaVhiVWaVhYVcYdVa\jcdhkVadgZhVmnXVaXj"
aVcYdadhkVadgZhXdggZhedcY^ZciZhYZn#DWhZgkZcfjZ
aVheVgZ_VhYZkVadgZhfjZdWi^ZcZcXdcjcVZXjVX^‹c!
hdchdajX^dcZhYZZhVZXjVX^‹c#
2
3
4
5
2
3
1
0.5
Puede profundizar en el tema de los sistemas de 2 x 2 visitando el
siguiente sitio:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/
grafico.html
4
2
0
–2
[:cXjZcigZcZaeVgYZkVadgZhfjZgZhjZakZcVaVhYdhZXjVX^dcZh#EVgVZaad!igVXZcaVh\g{[^XVhYZ
aVhZXjVX^dcZhnadXVa^XZcaVhXddgYZcVYVhYZaejcidYdcYZhZXdgiVcaVhgZXiVh#
8ddgYZcVYVhYZaejcid
YdcYZhZXdgiVcaVhYdhgZXiVh/
m n 3
2
5.1. y 5.3. Representar con literales los valores desconocidos de un problema, plantear
un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros y resolverlo gráficamente.
\KZg^[^fjZc fjZ! Xdc aVh XddgYZcVYVh YZa ejc"
idYdcYZhZXgjoVcaVhYdhgZXiVh! hZhVi^h[VXZcaVh
YdhZXjVX^dcZhn! edgadiVcid! hdcaVhdajX^‹cYZa
h^hiZbV#
3 =V\VcadfjZhZe^YZeVgVZcXdcigVg\g{[^XVbZciZaVhdajX^‹cYZah^\j^ZciZh^hiZ"
bVYZZXjVX^dcZh/ Respuesta libre
m n (
'm n +
V:hXg^WVcaVhZXjVX^dcZhZc[jcX^‹cYZn!XdbdgZ\aVhYZ
XdggZhedcYZcX^V!ZcadhZcXVWZoVYdhYZaVhiVWaVhYZaV
YZgZX]V#
W9ZckVadgZhVmnXVaXjaZcadhkVadgZhXdggZhedcY^ZciZh
YZn#
X:c hj XjVYZgcd! ]V\Vc aVh \g{[^XVh XdggZhedcY^ZciZh#
AdXVa^XZc Za ejcid YZ XdgiZ n XdbegjZWZc fjZ hjh
XddgYZcVYVhgZhjZakZcaVhYdhZXjVX^dcZh#
n
n
3–x
–6 + 2x
m
n
m
n
3
2
1
0
0
1
2
3
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2
1
0
0
–2
–4
–6
4 :cijXjVYZgcd!gZhjZakZ\g{[^XVbZciZadhh^\j^ZciZhh^hiZbVhYZYdhZXjVX^dcZh
XdcYdh^cX‹\c^iVh/
m n +
m n (
(m n )
V
X
W
'm n (
'm n (
'm n +
209
217
฀฀฀
฀฀฀
฀
217
Sugerencias didácticas
Lección
Lección 89
90
El estudiante debe comprender que cuando las rectas no se cortan
(son paralelas) el sistema no tiene solución, y el profesor debe enfatizar
que una manera algebraica de darse cuenta de esto es transformar las
ecuaciones a la forma:
y = mx + b
y observar si el valor de m es el mismo en ambos casos; de ser así, la
pendiente (vista en el bloque 4) sería la misma; es decir, la inclinación
de las rectas coinciden, por lo tanto son paralelas.
Del mismo modo, el profesor debe hacer ver al estudiante que, si
al transformar las ecuaciones como función de x, la m y la b de ambas
coincide, entonces estas rectas en realidad son la misma (aunque en
principio puedan escribirse de manera distinta), y por lo tanto existe
una infinidad de soluciones, pues estas rectas se intersecan en todos sus
puntos.
JcVhdajX^‹c!bjX]VhhdajX^dcZhd
c^c\jcV
NVk^hiZfjZaVhXddgYZcVYVhYZaejcidZcZafjZhZXdgiVcaVhYdhgZXiVhfjZXdggZhedcYZc
Vjch^hiZbVYZYdhZXjVX^dcZh!hdcaVhdajX^‹cYZah^hiZbV#EZgd!ªfj‚eVhVXjVcYdaVhgZXiVh
cdhZXdgiVc4ªNXjVcYdXd^cX^YZcZcidYdhhjhejcidh4
)mn*
1 GZhjZakZ\g{[^XVbZciZZah^\j^ZciZh^hiZbVYZZXjVX^dcZh/ V )mn&%
GZ\aVhYZXdggZhedcYZcX^V
:XjVX^‹c&/n 5 + 4x
:XjVX^‹c'/n 10 + 4x
IVWaV&
mn
IVWaV'
mn
0 5
1 9
–1 1
–2 –3
0 10
–1 6
–2 2
–3 –2
y
x
2 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdgdegd[ZhdgVigViZcYZgZhedcYZgaVhh^\j^ZciZhegZ\jciVh#
VªFj‚h^\c^[^XVfjZaVhgZXiVhfjZXdggZhedcYZcVjch^hiZbVYZZXjVX^dcZhcdhZXgjXZc4
Que no tienen coordenadas en común; que tienen la misma pendiente
Wª8‹bdhZejZYZhVWZgh^aVhgZXiVhXdggZhedcY^ZciZhVjch^hiZbVYZZXjVX^dcZhhZXgjoVcdcd
hZXgjoVc!VciZhYZigVoVgaVhgZXiVh4
Sólo se cruzan si sus pendientes son diferentes entre sí
X8dchjaiZcaVaZXX^‹c+,!AVZXjVX^‹cYZaVgZXiV>#:cZagZXjVYgdYZ^c[dgbVX^‹cZcZafjZhZ]VWaV
YZgZXiVhfjZi^ZcZcaVb^hbVeZcY^ZciZ!ZcXdcigVg{cjcVWjZcVe^hiVeVgVXdciZhiVgaVegZ\jciV
VciZg^dg
3 GZegZhZciV\g{[^XVbZciZZah^\j^ZciZh^hiZbVYZZXjVX^dcZh
ZcZaeaVcdXVgiZh^VcdfjZZhi{ZcaVe{\^cVh^\j^ZciZ#
mn(
'm'n+
4 8dbeVgZchjhgZegZhZciVX^dcZh\g{[^XVheVgVkZgh^Xd^cX^YZcnigViZcYZgZhedc"
YZgaVhh^\j^ZciZhegZ\jciVh#
V8jVcYdaVh\g{[^XVhYZaVhYdhZXjVX^dcZhhdcaVb^hbVgZXiV!ªXj{ciVhhdajX^dcZhi^ZcZZah^hiZbV
YZZXjVX^dcZh!jcV!c^c\jcVdjcV^c[^c^YVY46g\jbZciZchjgZhejZhiV#
Una infinidad. Todos sus puntos coinciden
210
218
฀฀฀
218
฀฀฀
฀
Valoración del desempeño
Wª8‹bdhZejZYZhVWZgfjZYdhZXjVX^dcZhZhiVg{cgZegZhZciVYVhedgaVb^hbVgZXiV!VciZhYZ
gZegZhZciVgaVh4
• Aprender a distinguir cuando un sistema de 2 × 2 no tiene solución
(cuando las rectas correspondientes a las ecuaciones son paralelas).
• Aprender a distinguir cuando un sistema de 2 × 2 tiene una infinidad
de soluciones (cuando las dos rectas en realidad son la misma).
• Aprender a distinguir cuando un sistema de 2 × 2 tiene solución
única (cuando las rectas tienen pendientes diferentes).
Obteniendo sus reglas de correspondencia
y
GZ\aVhYZXdggZhedcYZcX^V
:XjVX^‹c&/n –x + 3
:XjVX^‹c'/n
–x + 3
IVWaV&
mn
0
1
2
3
3
2
1
0
IVWaV'
mn
0
1
2
3
x
Otros recursos
3
2
1
0
Podrá encontrar más ejemplos sobre sistemas de ecuaciones
simultáneas resueltos gráficamente en el siguiente sitio:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/ed99-004501.html
5 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdgdegd[ZhdgVXdbeVgZchjhgZhejZhiVhXdcaVhYZdigdhZfj^"
edh#H^]VnY^[ZgZcX^Vh!Vg\jbZciZchjhde^c^dcZh]VhiVfjZhZedc\VcYZVXjZgYd#
'mn&
V
)m'n'
Y
Muchas
soluciones
'mn&
W
)mn'
Una solución
'm*n&%Una solución *m&&n'
Z
)m&%n'%
&%m''n)
Muchas
soluciones
'mn&
'mn)
Sin solución
mn(
mn-
Sin solución
X
[
5.1. y 5.3. Representar con literales los valores desconocidos de un problema, plantear
un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros y resolverlo gráficamente.
6 6cVa^XZcadhh^\j^ZciZhh^hiZbVhYZZXjVX^dcZheVgVYZiZgb^cVgXj{aZhiZcYg{c
jcVhdajX^‹c!Xj{aZhiZcYg{cbjX]VhhdajX^dcZhnXj{aZhcdiZcYg{chdajX^‹c#
7 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdgdegd[ZhdgV!]V\Vcadh^\j^ZciZ#
V8dbeVgZcaVhde^c^dcZhYZadhZfj^edhhdWgZadhh^hiZbVhYZZXjVX^dcZhVciZg^dgZh#
W:cadhXVhdhZcadhfjZ]VnVY^[ZgZcX^Vh!\gV[^fjZcZah^hiZbVYZZXjVX^dcZheVgVfjZkZVc
fj^‚cZhi^ZcZcgVo‹c#
X:cigZidYdh!XdbeaZiZcadhh^\j^ZciZhZcjcX^VYdh#
AVh\g{[^XVhYZYdhZXjVX^dcZhYZeg^bZg\gVYdXdcYdh^cX‹\c^iVhhZg{cYdhgZXiVheVgVaZaVh
n!edgiVcidcdhZXgjoVc!XjVcYd/
Tienen la misma pendiente
AVh\g{[^XVhYZYdhZXjVX^dcZhYZeg^bZg\gVYdXdcYdh^cX‹\c^iVhhZg{cjcVhdaVgZXiVXjVcYd/
Tienen la misma pendiente y ordenada al origen
AVh\g{[^XVhYZYdhZXjVX^dcZhYZeg^bZg\gVYdXdcYdh^cX‹\c^iVh! hZXgjoVg{cZcjcejcid
XjVcYd/
Tengan distinta pendiente
211
219
฀฀฀
฀฀฀
฀
219
Sugerencias didácticas
Lección
Lección 90
91
El profesor debe hacer la observación de que en una traslación la figura
no cambia de tamaño, de sentido ni de posición.
El tema de las traslaciones es muy importante en geometría, pues es
una transformación en el plano que puede ser vista como una función
lineal y satisface ciertas propiedades.
IgVhaVYVcYd[^\jgVh
AVigVhaVX^‹cZhjcVigVch[dgbVX^‹cZcZaeaVcdfjZ!Va^\jVafjZaVh^bZig†V!hZZhijY^VYZhYZZa
ejcidYZk^hiVbViZb{i^Xd#
1 AVigVhaVX^‹cYZjcV[^\jgVY^Wj"
_VYV Zc jc eaVcd ejZYZ XdchZ"
\j^ghZbdk^‚cYdaVhdWgZZaeaVcd
ZcjcVb^hbVY^gZXX^‹c#
Valoración del desempeño
• Aprender el concepto de traslación.
• Ser capaz de trasladar figuras haciendo uso de escuadras y compás.
>bV\^cVfjZigVhaVYVhZaig^{c\jadgd_d
YZ VWV_d! Zh YZX^g! fjZ ad YZha^oVh Zc
jcVhdaVY^gZXX^‹c!h^c\^gVgadc^
aZkVciVgad YZa eVeZa n ad YZ_Vh Zc
YZiZgb^cVYdaj\Vg#
BVgXVXdcjcVeVadb^iVadhig^{c\jadhh^\j^ZciZhfjZejY^ZgVchZgZaig^{c\jadgd_dfjZigVhaVYVhiZ
nXdcjciVX]ZadhfjZcdadhZg†Vc#
IZhj\Zg^bdhY^Wj_VgngZXdgiVgjcig^{c\jadYZXVgidcX^aad^\jVaVaig^{c\jadgd_dnh^bjaVgadh
YZha^oVb^Zcidh#
A
B
D
C
G
F
E
J
H
K
I
2 :a ig^{c\jad6¼7¼8¼ Zh egdYjXid YZ
jcVigVhaVX^‹cYZaig^{c\jad678#
VIgVoVadhhZ\bZcidh66¼!77¼!88¼#
C’
WKZg^[^XVXdcijhZhXjVYgVhfjZZhidhhZ\"
bZcidhhdceVgVaZadh#
A’
C
B’
XKZg^[^XVh^hjhbZY^YVhhdc^\jVaZh#
A
Yª8j{cidb^YZc4
B
4.1 cm
:cbViZb{i^XVhhZY^XZfjZjcV[^\jgVZhjcVigVhaVX^‹cYZdigVh^adhhZ\bZcidhfjZ
jcZcejcidhXdggZhedcY^ZciZhYZaVhYdh[^\jgVhi^ZcZcaVb^hbVbZY^YVnhdceVgVaZ"
adhZcigZh†#
212
220
฀฀฀
220
฀฀฀
฀
Otros recursos
3 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdgdegd[ZhdgVkZg^[^fjZcXj{aZhig^{c\jadhYZaVVXi^k^YVY&
hdc¹igVhaVX^dcZhºYZaig^{c\jadgd_dnXj{aZhcd#:cXVYVXVhdbZcX^dcZcedgfj‚#
Para profundizar en el estudio de las traslaciones en un plano, le
recomendamos visite el siguiente sitio:
http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/lessons/trans.html
AVYZ[^c^X^‹cYZigVhaVX^‹cYZagZXjVYgdVciZg^dgegdedgX^dcVjcV^YZVYZX‹bdigVhaVYVg[^\jgVh
\Zdb‚ig^XVhZcZaeaVcd/edgXVYVk‚gi^XZYZaV[^\jgVhZigVoVchZ\bZcidh^\jVaZhneVgVaZadh!Xjndh
ZmigZbdhhZjcZc#DWhZgkV/
4 8dchigjnZZcijXjVYZgcdjcig^{c\jadnjcXjVYg^a{iZgdXjVaZhfj^ZgVnigVoVjcV
igVhaVX^‹cYZXVYVjcd# Respuesta libre
5 :cZah^\j^ZciZeaVcdXVgiZh^VcdhZfj^ZgZigVhaVYVgZaig^{c\jad678YZbVcZgV
fjZZak‚gi^XZ6¼iZc\VXddgYZcVYVh&%!(#
!ªnYZ8¼4
(18, 3)
#
5.2. Determinar las propiedades de la traslación de figuras.
ª8j{aZhhZg{caVhXddgYZcVYVhYZ7¼4 (12, 8)
IgVoVZaig^{c\jadfjZgZhjaiVYZaVigVhaVX^‹c#
B
C
A
6 8dbeVgZchjhgZhjaiVYdhXdcadhYZhjhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVh#8dbZciZcaVh
gZhejZhiVhVaVhh^\j^ZciZhegZ\jciVh/VjcV[^\jgV6hZVea^XVjcVigVhaVX^‹cnhZ
dWi^ZcZaV[^\jgV6¼#ª:hedh^WaZfjZ6¼hZVYZbVndgiVbVŠdfjZ64ªEdYg†ViZcZg
Y^hi^ciV[dgbV4 No; No
213
221
฀฀฀
฀฀฀
฀
221
Sugerencias didácticas
Lección
Lección 91
92
Mediante la guía del profesor, el estudiante debe ser capaz de imaginar
las figuras que resultan de aplicar ciertas transformaciones, como una
rotación, o bien, una combinación de rotación con una traslación.
Encontrar el centro de rotación de una figura estimula la intuición
geométrica del estudiante, por lo cual sugerimos que nuevamente
consulte la página del artista Escher e imprima varios dibujos donde
él aplica traslaciones y rotaciones de una misma figura para hacer
mosaicos; pídale al estudiante que encuentre los centros de tales
rotaciones.
GdiVcYd[^\jgVh
AVgdiVX^‹cZhdigVYZaVhigVch[dgbVX^dcZhfjZhZZhijY^VcZcbViZb{i^XVh#6aXdbW^cVg
igVhaVX^dcZhngdiVX^dcZhhZejZYZcdWiZcZgbjX]Vhb{hedh^X^dcZhZcZaeaVcd#
1 AV^YZVYZgdiVX^‹ciVbW^‚chZegZ"
hZciVZcY^kZghVhh^ijVX^dcZhXdi^Y^V"
cVh0edgZ_Zbead!adhh^\j^ZciZhdW_Z"
idhgdiVc/Zab^cjiZgdYZjcgZad_!aVh
XVcVhi^aaVhYZaVgjZYVYZaV[dgijcV!aV
gjZYVYZjcVW^X^XaZiV#
2 GZVa^oVadh^\j^ZciZ/
VGZXdgiVZceVeZaigVcheVgZciZjcX†gXjadYZ-XbYZY^{bZigd#
W8dadXVZaX†gXjadhdWgZZhiV]d_VYZbVcZgVfjZhjXZcigdXd^cX^YVXdcZaejcid8#
XHj_ZiVZaX†gXjadYZbVcZgVfjZejZYV\^gVghdWgZhjXZcigdedgZ_Zbead!XdcaVejciVYZaa{e^o
dXdcjcVa[^aZg#
Y8VaXVZcZaX†gXjadZaig^{c\jadEFG#
Z<^gVZaX†gXjadZa{c\jadfjZYZhZZhngZbVgXVZaig^{c\jadZcZaaj\VgYdcYZ]VnVaaZ\VYdeVgV
fjZhZbVgfjZZcZhiV]d_V#
[Fj^iVZaX†gXjadnbVgXVXdca{e^oZaig^{c\jad#9ZZhiVbVcZgV]VhgdiVYdZaig^{c\jadEFG#
\GZVa^oVYdhdigZhgdiVX^dcZhb{hYZaig^{c\jad#
R
P
Q
C
:a{c\jadfjZ\^gVhiZeVgVgdiVgZaig^{c\jadhZaaVbV{c\jadYZgdiVX^‹cnZaejcid8
hZYZcdb^cVXZcigdYZgdiVX^‹c#
:aXZcigdYZgdiVX^‹cejZYZZhiVg[jZgVYZaV[^\jgV!hZgjcdYZhjhk‚gi^XZh!ZhiVghd"
WgZVa\jcdYZhjhaVYdhd!^cXajhd!YZcigdYZaV[^\jgV#
214
222
฀฀฀
222
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฀
Valoración del desempeño
3 EVgV]VXZgiVg_ZiVh!AZinjh‹aV[^\jgVYZjcXdcZ_d#6cdiVZcXVYViVg_ZiVaVigVch"
[dgbVX^‹cfjZVea^X‹VaV[^\jgV/gdiVX^‹c!igVhaVX^‹cdh^bZig†VVm^Va#
¡Felicidades!
¡Felicidades!
• Aprender el concepto de rotación, ángulo de rotación y centro de
rotación.
• Aprender a rotar una figura.
¡Felicidades!
Otros recursos
simetría axial
rotación
Para profundizar más en el tema de rotaciones, le recomendamos visite
el siguiente sitio:
http://enciclopedia.us.es/index.php/Rotaci%C3%B3n_
%28matem%C3%A1ticas%29
traslación
4 :cXjZcigVZaXZcigdYZaVgdiVX^‹cfjZigVch[dgbVjcig^{c\jadZcZadigd#
5 8dch^YZgVfjZZaejcidbVgXVYdZhZaXZcigdYZgdiVX^‹cnfjZXVYV[^\jgVhZkVV
\^gVghZ\cZa{c\jad^cY^XVYd#9^Wj_VZcaViZgXZgVXdajbcVX‹bdfjZYVaV[^\jgV#
H^ZhcZXZhVg^d!gZXdgiV[^\jgVh^\jVaZheVgVfjZejZYVhbVc^ejaVgaVh#
Figura inicial
Ángulo de rotación
Figura final
5.2 Determinar las propiedad de la rotación de figuras.
90º
180º
180º
6 8dbeVgZcadhgZhjaiVYdhYZadhZ_ZgX^X^dh'!(n)XdcadhYZhjhXdbeVŠZgdhn
XdbeVŠZgVh#
215
223
฀฀฀
฀฀฀
฀
223
Sugerencias didácticas
Lección
Lección 92
93
Esta lección, además de tratar el tema de las reflexiones
(transformaciones en el plano mediante las que se obtiene una figura
simétrica a otra respecto a un eje, llamado eje de simetría), pretende que
el alumno se dé cuenta de que reflejar dos veces equivale, en el caso de
rectas paralelas a un traslación, y en el caso de rectas que se cortan, a una
rotación.
Con ayuda del profesor, el estudiante debe llegar a la conclusión
de que las transformaciones básicas en el plano son las rotaciones y las
traslaciones.
El profesor puede pedirle al estudiante que intente identificar
simetrías en la naturaleza, o bien en las construcciones hechas por el
hombre, y que ubique los ejes de tales simetrías.
:agZ[aZ_dYZagZ[aZ_d
ªGZXjZgYVhX‹bdigVoVgjcV[^\jgVh^b‚ig^XVVdigVXdcgZheZXidVjcZ_Z4:hXdbdY^Wj_VgZa
gZ[aZ_dYZjcV[^\jgV#AVh^bZig†VZhjcVigVch[dgbVX^‹cb{hZcZaeaVcd#
1 IgVoVaV[^\jgV'h^b‚ig^XVVaV[^\jgV&XdcgZheZXidVaVgZXiVg#9Zhej‚higVoVaV
[^\jgV(h^b‚ig^XVVaV[^\jgV'XdcgZheZXidVaVgZXiVi#DWhZgkVfjZaVhgZXiVhgn
ihdceVgVaZaVh#
Figura 1
Figura 2
Figura 3
t
r
Vª8j{aYZaVhigVch[dgbVX^dcZh/gdiVX^‹c!igVhaVX^‹cdh^bZig†VeZgb^iZdWiZcZgY^gZXiVbZciZaV
[^\jgV(VeVgi^gYZaV[^\jgV&XdcgZheZXidVjcZ_Z4
traslación
WEVgVXdciZhiVgadh^\j^ZciZXdch^YZgVadhaVYdhYZadhXjVYg^idhXdbdjc^YVYZhYZbZY^YV#
ª8j{cidb^YZaVY^hiVcX^VZcigZjck‚gi^XZYZaV[^\jgV&nhjXdggZhedcY^ZciZZcaV[^\jgV(4
12
#DWhZgkVfjZZhVY^hiVcX^VZh^\jVaVYdhkZXZhaVY^hiVcX^VZcigZaVheVgVaZaVhgni#
8jVcYdjcV[^\jgVhZgZ[aZ_VYdhkZXZhXdcgZheZXidVYdhgZXiVheVgVaZaVh!ZagZhjaiVYd
[^cVaZhjcVigVhaVX^‹cYZaV[^\jgVdg^\^cVa#AVbV\c^ijYYZaVigVhaVX^‹cZhZaYdWaZ
YZaVY^hiVcX^VZcigZaVheVgVaZaVh#
2 IgVoVaV[^\jgV'h^b‚ig^XVVaV[^\jgV&XdcgZheZXidVaVgZXiVg!Vh†XdbdaV[^\jgV
(h^b‚ig^XVVaV[^\jgV'XdcgZheZXidVaVgZXiVi#
r
t
Figura 2
Figura 1
H8DB6I'"&%+W
Figura 3
216
224
฀฀฀
224
฀฀฀
฀
Valoración del desempeño
VDWhZgkVfjZaV[^\jgV(XdggZhedcYZVjcVgdiVX^‹cYZaV[^\jgV&0YZiZgb^cVZaXZcigdnZa{c\j"
adYZaVgdiVX^‹c#8dch^YZgVfjZZa{c\jadYZgdiVX^‹ci^ZcZhjk‚gi^XZZcZaXZcigdYZgdiVX^‹c0
jcdYZhjhaVYdheVhVedgjck‚gi^XZYZaV[^\jgV&nZadigdedgZak‚gi^XZXdggZhedcY^ZciZZc
aV[^\jgV(#
8Zcigd/Véase marcado en el plano
Íc\jad/
• Aprender a trazar una figura simétrica a otra con respecto a un eje.
• Aprender los resultados de componer varias transformaciones en el
plano.
90º
W8dbegjZWVfjZZa{c\jadYZgdiVX^‹cZh^\jVaVaYdWaZYZa{c\jadfjZ[dgbVcaVhgZXiVhbVg"
XVYdXdcgd_d#
Otros recursos
Le recomendamos visite la siguiente página electrónica, ya que puede
ser de gran interés para el alumno, pues trata el tema de las simetrías en
la naturaleza desde un punto de vista estético y artístico:
http://www.iac.es/cosmoeduca/gravedad/complementos/enlace7.htm
3 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdgdegd[ZhdgVgZk^hZchjhgZhejZhiVhnaZVcaVh^\j^ZciZ
^c[dgbVX^‹c#
8jVcYdjcV[^\jgVhZgZ[aZ_VYdhkZXZhXdcgZheZXidVYdhgZXiVhfjZhZXdgiVc!ZagZhja"
iVYd[^cVaZhjcVgdiVX^‹cYZaV[^\jgVdg^\^cVa#:aXZcigdYZgdiVX^‹cZhZaejcidYZXdgiZ
YZaVhgZXiVhnZa{c\jadYZgdiVX^‹cb^YZZaYdWaZfjZZa{c\jadfjZ[dgbVcaVhgZXiVh#
4 AVh^\j^ZciZiVWaVhZgZ[^ZgZVkVg^VhigVch[dgbVX^dcZhZcZaeaVcd#6cdiZc¹H†ºd
¹CdºZcaVhXVh^aaVheVgV^cY^XVgfj‚VheZXidhYZjcV[^\jgVXVbW^VcnXj{aZhcd
XdcXVYVigVch[dgbVX^‹c#
Simetría
Rotación
Traslación
Escala
¿Se conservan las medidas de los ángulos de la figura?
Sí
Sí
Sí
Sí
¿Se conservan las medidas de los lados de la figura?
Sí
Sí
Sí
No
¿Se conserva la forma de la figura?
Sí
Sí
Sí
Sí
DWhZgkVfjZZaig^{c\jad(ZhjcVgdiVX^‹cYZa
ig^{c\jad&#
5.2. Determinar las propiedades de la traslación y rotación de figuras.
5 IgVoVZah^b‚ig^XdYZaig^{c\jad&XdcgZheZXidVaZ_ZkZgi^XVaeVgVdWiZcZgZaig^{c"
\jad'!Vh†XdbdZah^b‚ig^XdYZaig^{c\jad'XdcgZheZXidVaZ_Z]dg^odciVa#
Triángulo 1
Triángulo 2
Vª8j{aZhZaXZcigdYZgdiVX^‹c4
El origen (0, 0)
Wª8j{cidb^YZZa{c\jadYZgdiVX^‹c4
180º
Triángulo 3
8jVcYdjcV[^\jgVhZgZ[aZ_VYdhkZXZhXdcgZheZXidVYdhgZXiVheZgeZcY^XjaVgZhhZdW"
i^ZcZjcVgdiVX^‹cYZ&-%§#
AVgdiVX^‹cYZ&-%§iVbW^‚chZYZcdb^cVh^bZig†VXZcigVa#:cZhiZXVhd!ZaXZcigdYZ
gdiVX^‹chZaaVbVXZcigdYZh^bZig†V#
217
225
฀฀฀
฀฀฀
฀
225
Sugerencias didácticas
Lección
Lección 93
94
Además de pedirle a los estudiantes que construyan las figuras con
sus distintos triángulos de cartulina, es conveniente que el profesor
nuevamente consulte la página del artista Escher e imprima varios
dibujos donde se apliquen traslaciones, rotaciones y reflexiones de
una misma figura para hacer mosaicos, y solicite al estudiante que
identifique tales transformaciones.
Sobre todo pida que busquen en la internet dibujos construidos
mediante transformaciones en el plano.
;^\jgVhZcbdk^b^Zcid
=VhiVVfj†]VhZhijY^VYdigZhigVch[dgbVX^dcZhZcZaeaVcd/h^bZig†VXdcgZheZXidVjcZ_Z!
igVhaVX^‹cngdiVX^‹c#ªEjZYZh^YZci^[^XVgaVh4
1 8dchigjnZZcXVgija^cV&'ig^{c\jadh^h‹hXZaZhXdbdZah^\j^ZciZ#Adh{c\jadh^\jV"
aZhb^YZc(%§nZaaVYdbVndgb^YZ*Xb#9Zhej‚hgZegdYjXZadhY^hZŠdhfjZhZ
bjZhigVcnXdciZhiVaVhegZ\jciVh#
V:caV[aZX]V/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
฀
ªFj‚ig^{c\jadZhh^b‚ig^XdYZaig^{c\jad*XdcgZheZXidVaZ_Z]dg^odciVa4
฀
ªFj‚ig^{c\jadhhdcigVhaVX^dcZhYZaig^{c\jad&%4
El 11
1, 3, 5, 8 y 12
W:cZa]Zm{\dcd/
฀
:cXjZcigVYdhig^{c\jadhfjZgZhjaiVcYZVea^XVg
1
2
jcVh^bZig†VVaig^{c\jad(# 1, 4 y 6
฀
:cXjZcigVYdhig^{c\jadhfjZgZhjaiVcYZVea^XVg
4
5
3
6
jcVgdiVX^‹cVaig^{c\jad&# 2, 4 y 5
X:caVZhigZaaV/
฀
ª8j{aZhYZaVhigZhigVch[dgbVX^dcZhhZVea^XVgdcVa
4
5
3
฀
ig^{c\jadeVgV[dgbVgaVZhigZaaV4 Simetría y rotación
9ZhXg^WZaVhigVch[dgbVX^dcZhfjZ]Vg†VheVgVdWiZcZg/
6
2
7
1
8
12
9
11
Zaig^{c\jad,VeVgi^gYZaig^{c\jad)# Simetría
10
Zaig^{c\jad,VeVgi^gYZaig^{c\jad'# Simetría
2 8dbeVgZchjhgZhjaiVYdhXdcadhYZhjhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVh#
218
226
฀฀฀
226
฀฀฀
฀
3 8dadgZVZcadhh^\j^ZciZhY^hZŠdhadfjZhZ^cY^XV#
Dos triángulos que resulten de aplicar una simetría
al triángulo rojo.
Valoración del desempeño
Dos triángulos que resulten de aplicar una rotación
al triángulo azul.
• Identificar los tres tipos diferentes de trasformaciones en el plano
(traslaciones, rotaciones reflexiones).
Otros recursos
Le recomendamos visite la siguiente página, ya que contiene
diversos tipos de ejercicios interactivos, donde puede jugar con las
transformaciones en un plano mediante dibujos:
http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/movimientos.
htm
4 8dcijhig^{c\jadhYZXVgija^cVXdchigjnZY^hZŠdhfjZXjbeaVcXdcaVhh^\j^ZciZhXdc"
Y^X^dcZhnY^Wj_VadhgZhjaiVYdhZcijXjVYZgcd# Respuesta libre
VJcY^hZŠdYZ+ig^{c\jadhZcidiVafjZhZdWiZc\VcVaVea^XVgigVhaVX^dcZhVjcig^{c\jad#
WJcY^hZŠdYZ(ig^{c\jadhfjZgZhjaiZcYZgdiVX^dcZhYZjcig^{c\jad#
XJcY^hZŠdYZ'ig^{c\jadhh^b‚ig^XdhXdcgZheZXidVjcZ_Z#
YJcY^hZŠdXdcXjVafj^ZgcbZgdYZig^{c\jadhVea^XVcYdh^bZig†Vh!gdiVX^dcZhnigVhaVX^dcZh#
9ZhXg^WZaVhigVch[dgbVX^dcZh#
Traslación
5.2. Construir y reconocer diseños que combinan transformaciones en el plano.
5 6ea^XVaVhigVch[dgbVX^dcZhcZXZhVg^VhVaV[^\jgVVojaeVgVdWiZcZgaV[^\jgVgd_V0ji^a^oV
ijh^chigjbZcidhYZ\ZdbZig†V#9Z_VadhigVodhYZXVYVigVh[dgbVX^‹cXaVgVbZciZ^cY^"
XVYdh#
9ZhXg^WZaVhigVch[dgbVX^dcZh#
Simetría; Cuadro 2: Rotación (P.R.)
6 BjZhigVVijhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVhaVhXdbedh^X^dcZhfjZgZVa^oVhiZ#
7 GZhjZakZZaVcZmd*e{\^cVh'))n')*#
I:8CDAD<Ï6
219
227
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227
Sugerencias didácticas
DigVhi‚Xc^XVheVgVgZhdakZgh^hiZbVh
YZZXjVX^dcZh>
Lección
Lección 94
95
Como en esta lección y en las dos siguientes, el estudiante aprenderá
varias técnicas para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas, es de suma importancia que el profesor remarque que más
allá de aprenderse de memoria tales técnicas, debe razonarlas, ya que las
tres técnicas que va a aprender se basan en el mismo principio: lograr
reducir el sistema a una sola ecuación con una incógnita (que ya sabe
cómo se hace), para ello se usarán diversas estrategias, en este caso,
sustituir una variable que ya se despejó, en términos de otra.
De igual importancia es que el profesor se cerciore de que el alumno,
además de resolver el sistema, también haya aprendido a plantearlo para
la resolución de ciertos problemas.
:cZhiVaZXX^‹cnZcaVhYdhh^\j^ZciZhXdcdXZg{hkVg^Vhi‚Xc^XVhfjZeZgb^iZcgZhdakZgjch^hiZbVYZYdh
ZXjVX^dcZhXdcYdh^cX‹\c^iVh!h^cgZXjgg^gVaV\g{[^XV#IdYVhaVhi‚Xc^XVhWjhXVcadb^hbd/bVc^ejaVgaVh
YdhZXjVX^dcZhXdcYdh^cX‹\c^iVheVgVhVXVgYZZaaVhjcVcjZkVZXjVX^‹cXdcjcVhdaV^cX‹\c^iV#
1 GZcZiZXdcjcXdbeVŠZgd#
VIgViZcYZgZhdakZgZah^\j^ZciZh^hiZbVYZYdhZXjVX^dcZhh^c]VXZgaVh\g{[^XVh/
h^hiZbV
(V 'W .
'V W *
1
HdajX^‹cV2
W2
3
Wª8‹bddWiZcZgjcVcjZkVZXjVX^‹cfjZiZc\VhdaVbZciZjcV^cX‹\c^iV!nVhZVVdW4:hYZX^g!
ªX‹bdad\gVgZa^b^cVgjcVYZaVh^cX‹\c^iVh4KZVcX‹bdhZejZYZad\gVgZhidXdcaVi‚Xc^XVaaV"
bVYVYZhjhi^ijX^‹c#
AVXaVkZZhaVh^\j^ZciZ/Hjhi^ij^g!ZcjcVYZaVhZXjVX^dcZh!jcVYZaVh^cX‹\c^iVhedghjkVadg
Zci‚gb^cdhYZaVdigV^cX‹\c^iV#
Técnica de sustitución
Paso
1
Qué queremos
™FjZgZbdhZmegZhVgZakVadgYZjcV^cX‹\c^iV
Zci‚gb^cdhYZaVdigV# EVgVZaad! hZZhXd\Z
XjVafj^ZgVYZaVhYdhZXjVX^dcZhnhZ¹YZheZ"
_VºXjVafj^ZgVYZaVhYdh^cX‹\c^iVh#
™:hXd\ZgZbdhaVhZ\jcYVZXjVX^‹cnYZheZ_V"
gZbdhaVWedgfjZZhb{h[{X^a#
Transformación
de las ecuaciones
'V ฀W ฀*
Qué logramos
NV XdcdXZbdh Za kV"
adgYZW!ZmegZhVYdZc
i‚gb^cdhYZV#
:h* ฀'V#
W ฀* ฀'V
(V ฀'W ฀.
2
«=Zbdh ad\gVYd jcV
ZXjVX^‹cXdcjcVhdaV
^cX‹\c^iV
™:caVZXjVX^‹cfjZcd]ZbdhjhVYd!hjhi^ij^"
bdhWedghjkVadg/* 'V#
(V ฀'* ฀'V ฀.
(V ฀&% ฀)V ฀.
3
:cXdcigVbdhfjZ
VkVaZ&#
™6]dgV!gZhdakZbdhaVZXjVX^‹cXdcjcV
^cX‹\c^iV#
V ฀&
4
5
™8dcdXZgZakVadgYZWhZg{[{X^a!ejZh
hVWZbdh!hZ\cZaeVhd&!fjZW * ฀'V
™:cidcXZh!hjhi^ij^bdhVedghjkVadg
fjZZh&#
™:cidcXZhV &nW (#
™HdaVbZciZcdh[VaiVkZg^[^XVgfjZZhdhYdh
kVadgZhhVi^h[VXZcaVhYdhZXjVX^dcZh°
W ฀* ฀'V
:cXdcigVbdhfjZ
WkVaZ(#
W ฀* ฀'& ฀(
(& ฀'( ฀.
AdhkVadgZhV &n
W (h†gZhjZakZcaVh
YdhZXjVX^dcZh#
'& ฀( ฀*
220
228
฀฀฀
228
฀฀฀
฀
Valoración del desempeño
2 JcVkZofjZjcVi‚Xc^XVhZ]VXdbegZcY^Yd!]VnfjZegVXi^XVgaVeVgVYdb^cVgaV#
JhZcaVi‚Xc^XVVciZg^dgeVgVgZhdakZgadhh^\j^ZciZhh^hiZbVh#
'V ฀W ฀*
V
V2
V ฀'W ฀&
W'V ฀W ฀+ V2
(V ฀'W ฀)
'V ฀(W ฀''
X V2
V ฀'W ฀+
Y(V ฀'W ฀*V2
V ฀'W ฀&*
3
W2
8
W2
62
_
7
5
–1
10
• Plantear problemas que involucren dos ecuaciones con dos
incógnitas.
• Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante
el método de sustitución.
Otros recursos
10
_
W2
W2
7
5
Le recomendamos visite la siguiente página electrónica, ya que contiene
diversos tipos de ejercicios interactivos que le ayudarán al estudiante a
plantear y resolver sistemas de 2 × 2:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/
matematicas-14.html
3 EVgVXVYVjcdYZadhh^\j^ZciZhegdWaZbVh!eaVciZZcYdhZXjVX^dcZhngZhj‚akVcaVh
XdbdjhiZYZhfj^ZgVc!\g{[^XVbZciZ!XdcaVi‚Xc^XVYZhjhi^ijX^‹c!dedgZchVndn
Zggdg#
VEZch‚YdhcbZgdh#H^Vaeg^bZgdaZgZhidZahZ\jcYddWiZc\d'#H^Vaig^eaZYZaeg^bZgdaZhjbd
ZahZ\jcYd!iVbW^‚cdWiZc\d'#ªFj‚cbZgdheZch‚4
:XjVX^‹c'
3x + y = 2
HdajX^‹c/
x = 1 y y = –1
5.1. Representar con literales los valores desconocidos de un problema
y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.
:XjVX^‹c&x – y = 2
WEZch‚YdhcbZgdh#:aeg^bZgdb{hZahZ\jcYdbZYV *#:aeg^bZgdbZcdhZahZ\jcYd!bZYV
*#ªFj‚cbZgdheZch‚4
:XjVX^‹c&x + y = –5
:XjVX^‹c'
x–y=5
HdajX^‹c/
y = –5, x = 0
XBVg†VXdbeg‹)%gZ\aVheVgVhjhVajbcdh! jcVhV*ndigVhV,# <Vhi‹'(%# ª8j{ciVhgZ\aVh
YZXVYVi^edXdbeg‹4
:XjVX^‹c&x + y = 40
:XjVX^‹c'
5x + 7y = 230
HdajX^‹c/
x = 25, y = 15
Y:caVWdYZ\V]Vn'*VgX]^kZgdh!jcdhYZ(XV_dcZhndigdhYZ)XV_dcZh#:cidiVa]Vn-*XV_dcZh#
ª8j{cidhVgX]^kZgdh]VnYZXVYVi^ed4
:XjVX^‹c&x + y = 25
:XjVX^‹c'
3x + 4y = 85
HdajX^‹c/
y = 10, x = 15
ZHZ[dgb‹jcijWdYZ)'#*bZigdhjc^ZcYd&*igVbdh#JcdhigVbdhZgVcYZ'#,bZigdhndigdh
YZ(#&bZigdh#ª8j{cidhigVbdhYZXVYVi^edhZjhVgdc4
:XjVX^‹c&
x + y = 15
:XjVX^‹c'
2.7 x + 3.1y = 42.5
HdajX^‹c/
y = 5, x = 10
4 8dcijhXdbeVŠZgdhnXdcVnjYVYZijegd[Zhdg!gZk^hZchjhgZhdajX^dcZhVVa\jcdh
YZadhegdWaZbVh#
221
229
฀฀฀
฀฀฀
฀
229
Sugerencias didácticas
Lección
Lección 95
96
El método de “suma y resta” suele ser el más laborioso para los
estudiantes, ya que les resulta muy largo el procedimiento. Para evitar
esto, el profesor puede recordarles que basta multiplicar la primera
ecuación por el coeficiente de la segunda y viceversa, de modo que el
término que quiera cancelar quede con los mismos coeficientes.
DigVhi‚Xc^XVheVgVgZhdakZg
h^hiZbVhYZZXjVX^dcZh>>
8dcdXZg{hjcVi‚Xc^XVb{heVgVgZhdakZgjch^hiZbVYZYdhZXjVX^dcZhXdcYdh^cX‹\c^iVh#
1 GZcZiZXdcjcXdbeVŠZgdngZVa^XZcadh^\j^ZciZ/
VEdc\VcadhcbZgdhfjZ[VaiVcZcaVh
^\jVaYVYZh^n^^/
WªH^hjbVcadhYdhb^ZbWgdh^ofj^ZgYdhYZ
aVh^\jVaYVYZh! ªXgZZcfjZhVa\VjcgZhja"
iVYd^\jVadY^hi^cidVaYZaVhjbVYZadh
Ydhb^ZbWgdhYZgZX]dh4«KZg^[†fjZcad
^ ,* ^^ &&'. '%
(*
8
68
^ ,* '% 8
^^&&'. (* 68
115
115
115
,*&&'.
XAZVcaV^c[dgbVX^‹cYZagZXjVYgd#
YªHjXZYZg{adb^hbdh^hZgZhiVcb^ZbWgd
Vb^ZbWgdYdh^\jVaYVYZh4:mea‹gZcadXdc
Va\jcdhZ_Zbeadh# :hXg^WZVfj†aVXdcXaj"
h^‹cVaVfjZaaZ\jZc/
se obtiene una nueva igualdad
8jVcYdhZhjbVc¹b^ZbWgdVb^ZbWgdº
Ydh^\jVaYVYZh! hZdWi^ZcZh^ZbegZjcV
cjZkV^\jVaYVY/
VW
XY
V XW Y
2 AVi‚Xc^XVeVgVgZhdakZgh^hiZbVhYZYdhZXjVX^dcZhXdcYdh^cX‹\c^iVhaaVbVYV
¹YZhjbVdgZhiVºhZWVhVZcZaeg^cX^e^dVciZg^dg#AV^YZVZhhjbVgdgZhiVgb^ZbWgd
Vb^ZbWgdaVhYdhZXjVX^dcZhYZbVcZgVfjZhZZa^b^cZjcV^cX‹\c^iV!fjZYVcYd
jcVcjZkVZXjVX^‹cXdcjcVhdaV^cX‹\c^iV#
EVgVZbeZoVgVXdcdXZgaVi‚Xc^XVYZhjbVngZhiV!eg^bZgdgZhdakZg{cjch^hiZbVYZZXjVX^dcZh
ZcZafjZZhbjn[{X^ajhVgaV/
VHjbZcb^ZbWgdVb^ZbWgd m'n
aVhZXjVX^dcZh
(m'n
4x
&'
'+ 38
WDWhZgkZcfjZaVcjZkVZXjVX^‹cfjZdWi^ZcZc!i^ZcZjcVhdaV^cX‹\c^iV#
GZhj‚akVcaV#ª8j{cidkVaZm4
9.5
XHjhi^ijnVcmedghjkVadgZcXjVafj^ZgVYZaVhYdhZXjVX^dcZhdg^\^cVaZh#DWiZcYg{cdigVZXjV"
X^‹cXjnV^cX‹\c^iVZhn#GZhj‚akVcaV#
ª8j{cidkVaZn4
1.25
222
230
฀฀฀
230
฀฀฀
฀
Valoración del desempeño
3 :ah^hiZbVYZZXjVX^dcZhVciZg^dg[jZ[{X^aYZgZhdakZgedgfjZaVhZXjVX^dcZhi^ZcZc
i‚gb^cdhdejZhidh!ZhYZX^g!i‚gb^cdhfjZVahjbVgadhY^ZgdcXZgd/'nn 'n#EZgd!
ªejZYZjhVghZaVi‚Xc^XVYZhjbVdgZhiVXjVcYdaVhZXjVX^dcZhcdi^ZcZci‚gb^cdh
dejZhidh4H†hZejZYZ#
VKZVcX‹bdhZedYg†VgZhdakZgZah^hiZbV 'm ฀(n ฀-
*m ฀'n ฀.
™:aeg^bZgeVhdXdch^hiZZcdWiZcZgYdhcjZkVhZXjVX^dcZh! Zfj^kVaZciZhVaVhVciZg^dgZh! eZgd
ZcaVhfjZVeVgZoXVci‚gb^cdhdejZhidh#
• Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante
los métodos de “sustitución” y de “suma y resta”.
Otros recursos
La siguiente página electrónica contiene diversos tipos de ejercicios
interactivos que le ayudarán al estudiante a plantear y resolver sistemas
de 2 × 2:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/
matematicas-14.html
™JcVWjZcV^YZVedYg†VhZg!edgZ_Zbead!bjai^ea^XVgadhYdhb^ZbWgdhYZaVeg^bZgVZXjVX^‹cedg
*! nadhYdhb^ZbWgdhYZaVhZ\jcYVedg'#6h†VeVgZXZg{cadhi‚gb^cdhdejZhidh&%mZcaV
eg^bZgVn&%mZcaVhZ\jcYV#
GZXjZgYVfjZ!XjVcYdhZbjai^ea^XVcadhYdhb^ZbWgdhYZjcV^\jVaYVYedgjcb^hbdc"
bZgd!hZdWi^ZcZjcVZXjVX^‹cZfj^kVaZciZ!ZhYZX^g!jcVZXjVX^‹cXdcaVb^hbVhdajX^‹c#
WEdc\VcadfjZ[VaiZniZgb^cZcaVgZhdajX^‹c0
Técnica de suma y resta
'm ฀(n ฀Bjai^ea^XVbdhadhYdhb^ZbWgdhYZaVeg^bZgVZXjVX^‹c
*'m ฀(n *-
edg*
&%m &*n )%
5.1. Representar con literales los valores desconocidos de un problema
y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.
*m 'n .
Bjai^ea^XVbdhadhYdhb^ZbWgdhYZaVhZ\jcYVZXjVX^‹c
'*m 'n '.
edg'
&%m )n & &%m ฀&*n
)%
&%m )n &% ฀&&n ฀ ''
HjbVbdhb^ZbWgdVb^ZbWgdaVhZXjVX^dcZhdWiZc^YVh#
GZhdakZbdhaVZXjVX^‹cXdcjcV^cX‹\c^iVfjZdWijk^bdh# n 2
Hjhi^ij^bdhnedghjkVadgZcXjVafj^ZgVYZaVhdigVhYdh :XjVX^‹cYZ^cX‹\c^iVm/
ZXjVX^dcZh!dWiZcZbdhVh†jcVZXjVX^‹cXdc^cX‹\c^iVm!aV
2x + 3(2) = 8
gZhdakZbdh#
m2
1
4 GZhjZakZadhh^\j^ZciZhh^hiZbVhYZZXjVX^dcZhXdcaVi‚Xc^XVYZhjbVdgZhiV#DW"
hZgkVfjZZcVa\jcdhh^hiZbVhcdZhcZXZhVg^ddWiZcZgZXjVX^dcZhZfj^kVaZciZh!
ejZhnVi^ZcZci‚gb^cdhdejZhidh#:cdigdh!WVhiVXdcdWiZcZgjcVZXjVX^‹cZfj^"
kVaZciZ#
–104
32
x = 1, y = 3
V 'm n *
m n '
x = 3, y = 4 x = _, y = _ x = 2, y = 3
19
119 Y & & * W 'm (n + X -m n -
*m n &&
(m 'n &+
m
&
m
n +
& & n +
x = 2, y = –2
Z *m )n '
)m *n '
5 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdg!bjZhigZcVhjhXdbeVŠZgdhX‹bdgZhdak^ZgdcVa\jcdhYZ
adhh^hiZbVh!XdbZciZcaVhY^[^XjaiVYZhfjZijk^Zgdc!XdbeVgZcadhgZhjaiVYdh#:c
eVgi^XjaVgXdbZciZcX‹bdgZhdak^ZgdcZa^cX^hdY#
223
231
฀฀฀
฀฀฀
฀
231
Sugerencias didácticas
Lección
Lección 96
97
El profesor puede hacer hincapié en algo que suele olvidársele al
estudiante con frecuencia: cuando utiliza el método de “igualación” para
resolver un sistema de 2 × 2, primero debe despejar ambas ecuaciones
para dejarlas en función de la misma variable y así pueda realizar lo que
su nombre indica, una igualación.
EgdWaZbVhY^kZghdh
:cZhiVaZXX^‹cjhVg{hh^hiZbVhYZZXjVX^dcZheVgVgZhdakZgegdWaZbVhY^kZghdhnXdcdXZg{h
jcVi‚Xc^XVb{h#
1 EVgVXVYVjcdYZadhh^\j^ZciZhegdWaZbVh[dgbjaZcjch^hiZbVYZZXjVX^dcZhn
gZhj‚akVcadZchjXjVYZgcdXdcaVi‚Xc^XVfjZjhiZYZhfj^ZgVc#
Valoración del desempeño
• Plantear problemas que involucren dos ecuaciones con dos
incógnitas.
• Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante
el método de “igualación”.
VAVXV_ZgVYZjcWVcXdgZX^W^‹*%%#%%ZcbdcZYVhYZ*#%%nYZ&%#%%#AVb{fj^cVXjZciV"
bdcZYVh^cY^XVfjZhdc-'bdcZYVhZcidiVa#ª8j{ciVhbdcZYVhYZ*#%%nXj{ciVhYZ&%#%%
gZX^W^‹aVXV_ZgV4
H^hiZbVYZZXjVX^dcZh
HdajX^‹c
5x + 10y = 500
x + y = 82
x = 64, y = 18
WJcY†V! aVhZŠdgV?jVcVkZcY^‹ZchjeVeZaZg†V(%XjVYZgcdh! edgadhXjVaZhgZX^W^‹)'%eZhdh#
9dŠV?jVcVh‹adkZcYZXjVYZgcdhYZ&'eZhdhnYZ&*eZhdh# ª8j{cidhXjVYZgcdhkZcY^‹YZ
XVYVegZX^d4
H^hiZbVYZZXjVX^dcZh
HdajX^‹c
x + y = 30
12x + 15y = 420
x = 10, y = 20
X:cjcV\gVc_V]VnXZgYdhn\Vaa^cVh#H^hZXjZciVcaVheViVhhdc'*'!h^hZXjZciVcaVhXVWZoVhhdc
,%#ª8j{cidhXZgYdhnXj{ciVh\Vaa^cVh]VnZcaV\gVc_V4
H^hiZbVYZZXjVX^dcZh
HdajX^‹c
x + y = 70
4x + 2y = 252
x = 56, y = 14
2 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdgdegd[ZhdgV]V\Vcadh^\j^ZciZ#
V8dbeVgZcZah^hiZbVYZZXjVX^dcZhfjZ[dgbjaVgdceVgVXVYVegdWaZbV# :cXVhdYZfjZcd
Xd^cX^YVc!VkZg^\“Zch^]VnVa\cZggdg#
WGZk^hZcadhegdXZY^b^Zcidhji^a^oVYdheVgVgZhdakZgXVYVh^hiZbVYZZXjVX^dcZh#
X8dbeVgZcaVhhdajX^dcZhZcXdcigVYVh#
YKZg^[^fjZcfjZXVYVhdajX^‹cXjbeaZXdcaVhXdcY^X^dcZhYZaegdWaZbV#
3 EVgVgZhdakZgh^hiZbVhYZZXjVX^dcZhXdcYdh^cX‹\c^iVhjhiZYZhXdcdXZcjcV
i‚Xc^XV\g{[^XVnYdhi‚Xc^XVhVcVa†i^XVh/aVi‚Xc^XVYZhjhi^ijX^‹cnaVYZhjbVd
gZhiV#6]dgVkVcVXdcdXZgjcViZgXZgVi‚Xc^XVVcVa†i^XVaaVbVYV¹YZ^\jVaVX^‹cº#Hj
eg^cX^e^dZhh^beaZ/YZheZ_VgaVb^hbV^cX‹\c^iVZcaVhYdhZXjVX^dcZh#
224
232
฀฀฀
232
฀฀฀
฀
Otros recursos
V8dbeaZiZcaVgZhdajX^‹cYZah^\j^ZciZh^hiZbV 'm ฀n ฀+
m ฀n ฀(
Le recomendamos visite la siguiente página electrónica, ya que contiene
diversos tipos de ejercicios interactivos que le ayudarán al estudiante a
plantear y resolver sistemas de 2 × 2:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/
matematicas-14.html
Técnica de igualación
Pasos por seguir
Ejecución de los pasos
9ZheZ_ZYZnZcaVeg^bZgVZXjVX^‹c/
'm n +
EVhd&# HZYZheZ_VmdhZYZheZ_VnZcVb"
n+ 'm
WVhZXjVX^dcZh#:cZhiZXVhdZhb{h[{X^aYZh"
9ZheZ_ZYZnZcaVhZ\jcYVZXjVX^‹c/
eZ_Vgn#
m n (
n 3 – x
EVhd'#HZ¹^\jVaVcºadhkVadgZhYZndWiZc^Ydh
ZcZaeVhd&#
+ 'm 3 – x
6h†hZdWi^ZcZjcViZgXZgVZXjVX^‹cXdc
jcVhdaV^cX‹\c^iV#
EVhd(#HZgZhjZakZaVZXjVX^‹cVciZg^dgeVgV
m dWiZcZgZakVadgYZm#
3
EVhd )# HZ jhV Za kVadg YZ m Zc XjVafj^ZgV
YZaVhZXjVX^dcZhdg^\^cVaZheVgVdWiZcZgZa n kVadgYZn#
0
WGZhjZakVcadhh^\j^ZciZhh^hiZbVhedgaVi‚Xc^XVYZ^\jVaVX^‹c/
'm n -
(m 'n *
n + 'm
(m n &)
m n )
+m &%n %
5.1. Representar con literales los valores desconocidos de un problema
y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.
m *n )+
m 'n ฀ (
4 AZVcZah^\j^ZciZegdWaZbV!Za^_VcXj{aYZadhh^hiZbVhYZZXjVX^dcZhfjZYZhej‚h
hZegZhZciVcadgZhjZakZ!ZcXjZcigZcaVhdajX^‹cnkZg^[^fjZcfjZXjbeaVXdcaVh
XdcY^X^dcZhYZaegdWaZbV#
6XijVabZciZ!aVhZYVYZhYZaVbVYgZnaV]^_VhjbVc)-VŠdh#9ZcigdYZ+VŠdh!aVZYVYYZaVbVYgZ
hZg{X^cXdkZXZhaVZYVYYZaV]^_V#ª8j{aZhhdcaVhZYVYZhVXijVaZhYZaVbVYgZnYZaV]^_V4
m ฀n ฀)-
m ฀+ ฀*n ฀+
m ฀n ฀)-
+m ฀n
m ฀n ฀)-
m ฀+ ฀n ฀+
5 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdgdegd[ZhdgVXdbeVgZchjhgZhejZhiVhYZaegdWaZbVVc"
iZg^dg!XdcaVhYZdigdhZfj^edh#
6 8dcWVhZZcZah^\j^ZciZh^hiZbVYZZXjVX^dcZh]V\VcadfjZhZ^cY^XV#
m ฀'n ฀(
m ฀n ฀%
Respuesta libre
V:hXg^WVcjcegdWaZbVfjZhZejZYVgZhdakZgXdcZhZh^hiZbVYZZXjVX^dcZh#
WGZhjZakVcZaegdWaZbVfjZ^ckZciVgdc#
x = 1, y = 1
X8dcVnjYVYZhjegd[Zhdg!XdbeVgZchjegdWaZbVXdcZaYZdigdhZfj^edh#
225
233
฀฀฀
฀฀฀
฀
233
Sugerencias didácticas
Lección
Lección 97
98
Puede pedir a los estudiantes que investiguen más fenómenos en los
que la probabilidad de un evento afecte a otro; un caso muy interesante
son los juegos de azar como el Melate o Tris. Puede pedirles que
investiguen las probabilidades no sólo de ganar un juego de estos sino,
por ejemplo, de acertar en una cifra o dos, etc., y preguntarles qué clase
de probabilidad se forma: ¿independiente o no?
>cYZeZcY^ZciZhdcd^cYZeZcY^ZciZh
:cjcZkZcidXdbejZhidedgYdhZkZcidhejZYZhjXZYZgfjZ/aVdXjggZcX^VYZjcd^c[ajnVZcaV
dXjggZcX^VYZdigd!dW^Zc!fjZaVdXjggZcX^VYZjcdcdiZc\VcVYVfjZkZgXdcaVdXjggZcX^VYZa
digd#
1 ªFj‚h^\c^[^XVfjZZcjcZkZcidXdbejZhidaVVeVg^X^‹cdcdVeVg^X^‹cYZjcdYZ
ZaadhCDV[ZXiZaVegdWVW^a^YVYVh^\cVYVVadigdZkZcid46cVa^XZcadhh^\j^ZciZh
XVhdhnXdciZhiZcadfjZhZegZ\jciV#
Valoración del desempeño
8Vhd&
8Vhd'
HZkVcVaVcoVgYdhbdcZYVh!jcVYZ*eZhdhn :ck^V_Zh^ciZgcVX^dcVaZh!eVgVhVa^gYZaVZgdejZg"
• Distinguir cuando la probabilidad de un evento afecta la
probabilidad de otro.
• Calcular probabilidades de eventos dependientes.
jcVYZ&%eZhdh#:aZkZcidZheZgVYdZh{\j^aV" id]VnfjZVegZiVgZaWdi‹cYZjchZb{[dgd#H^
{\j^aV#
hZegZcYZZaXdadgkZgYZcdhZgZk^hVZaZfj^eV"
Hjedc\VbdhfjZnVhZaVco‹aVbdcZYV
YZ*eZhdhnXVn‹{\j^aV#ª8gZZcfjZaVegd"
_Z#H^hZegZcYZZaXdadggd_d!h†hZgZk^hVZaZfj^"
eV_Z#:ahZb{[dgdhZV_jhi‹YZbVcZgVfjZ[jZgV
WVW^a^YVYYZfjZaVbdcZYVYZ&%eZhdhXV^\V ^\jVaYZegdWVWaZfjZhVa^ZgVgd_ddkZgYZ#
{\j^aVZh & !bVndgfjZ & dbZcdgfjZ & 4
_1
'
'
'
2
=VceVhVYd)eZghdcVhVaVhfjZaZhhVa^‹
ZaXdadgkZgYZ#ª8gZZcfjZaVegdWVW^a^YVYYZ
fjZVaVh^\j^ZciZeZghdcVaZhVa\VXdadgkZgYZ
Zh & dbZcdhYZ & 4
'
8Vhd(
'
_1
2
8Vhd)
:cjcVegjZWVYZdeX^‹cbai^eaZAj^hXdciZhi‹ ?jVckVVaVcoVgYdhYVYdh! jcdWaVcXdnjcd
VaVoVgYdhgZVXi^kdh#8VYVgZVXi^kdiZc†V)de" cZ\gd#:aZkZcidZheZgVYdZh/hZ^hZcZaYVYd
X^dcZh!YZaVhXjVaZhh‹adjcVZgVXdggZXiV#
WaVcXdnX^cXdZcZaYVYdcZ\gd#
AVco‹ZaYVYdWaVcXdncdXVn‹hZ^h#ª8gZZc
HZZhi{XVa^[^XVcYdaVegjZWVnAj^hVXZgi‹
ZcjcVYZaVhegZ\jciVh#ª8gZZcfjZaVegdWVW^" fjZaVegdWVW^a^YVYYZfjZZaYVYdcZ\gdXV^\V
a^YVYYZfjZVX^ZgiZZcaVdigVegZ\jciVZh & ZcX^cXdZh & dbVndgdbZcdgfjZ & 4
)
+
+
dbZcdhYZ & 4
1
_1
_
)
6
4
2 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdgdegd[ZhdgV!]V\Vcadh^\j^ZciZ/
V8dbeVgZcaVhegdWVW^a^YVYZhfjZVh^\cVgdcZcadhXVhdhVciZg^dgZh#H^]VnY^[ZgZcX^Vh!WjhfjZc
Vg\jbZcidheVgVigViVgYZXdckZcXZghZjcdhVdigdh#
W6cVa^XZcXVYVjcdYZadhh^\j^ZciZhZcjcX^VYdhnXdbZciZch^Zhi{cdcdYZVXjZgYdXdcad
fjZhZY^XZ#
8Vhd&/:a]ZX]dYZfjZaVbdcZYVYZ*eZhdh]VnVXV†Yd{\j^aVcdV[ZXiVaVegdWVW^a^YVYYZ
fjZaVbdcZYVYZY^ZoeZhdhXV^\V{\j^aV#EdgadiVcidaVegdWVW^a^YVYYZXVZg{\j^aVZc
aVbdcZYVYZY^ZoZh & #
'
226
234
฀฀฀
234
฀฀฀
฀
Otros recursos
8Vhd'/:afjZ]VnVhVa^Yd)kZXZhhZ\j^YVhZaXdadgkZgYZcdV[ZXiVaVegdWVW^a^YVYVh^\cVYVVXVYV
jcdYZadhYdhXdadgZhfjZZh & #EdgadiVcidaVegdWVW^a^YVYYZfjZaVh^\j^ZciZkZohVa\V
'
kZgYZZh & #
Para recordar a los estudiantes las nociones básicas de la probabilidad
que vio en bloques anteriores, puede sugerirles que visiten el siguiente
sitio:
http://graduado.sagrado.edu/mco611/conceptos_probabilidad.pdf
'
8Vhd(/:a]ZX]dYZ]VWZgVXZgiVYdZcjcVegZ\jciVXdciZhiVYVVaVoVg!cdV[ZXiVaVegdWVW^a^YVYYZ
VXZgiVgdcdVXZgiVgZcaVdigV#EdgadiVcidaVegdWVW^a^YVYYZVXZgiVgZcaVdigVegZ\jciV
Zh & !naVegdWVW^a^YVYYZcdVXZgiVgZh ( #
)
)
8Vhd)/AdfjZhjXZYZXdcZaYVYdWaVcXdZh^cYZeZcY^ZciZYZadfjZhjXZYZXdcZaYVYdcZ\gd#
EdgadiVcidaVegdWVW^a^YVYYZfjZXV^\V*ZcZaYVYdcZ\gdZhYZ & #
+
6
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
5
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
4
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
3
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
2
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
1
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
1
2
3
4
5
6
:aZmeZg^bZcidXdch^hiZZcaVcoVgYdhYVYdh!jcd
WaVcXdnjcdcZ\gd#
:aZkZcidXdbejZhidZh/
FjZaVhjbVhZV&%nfjZhZVjcYdWaZ! Zh
YZX^gZab^hbdcbZgdZcVbWdhaVYdh#
ª6[ZXiVaVVeVg^X^‹cYZjcYdWaZZa]ZX]dYZ
fjZ]VnVVeVgZX^YdaVhjbV&%4
KZVbdh/
ª8j{aZhaVegdWVW^a^YVYYZjcYdWaZ4
_1
6
ª8j{aZhaVegdWVW^a^YVYYZjcYdWaZhVW^ZcYd
fjZaVhjbVZh&%4
Dado negro
_1
3
4.4 y 5.4 Distinguir eventos dependientes e independientes.
Dado blanco
3 AdhXVhdhVcVa^oVYdhVciZg^dgbZciZhdcVa\jcdhZ_ZbeadhYZZkZcidh^cYZeZcY^ZciZh!
ejZhidfjZZa]ZX]dYZfjZ]VnVdXjgg^YdjcdYZZaadhcd^c[ajnZZcaVegdWVW^a^"
YVYVh^\cVYVVadigd#6]dgVVcVa^oVg{cjcZ_ZbeadYZjcZkZcidXdbejZhidedg
YdhZkZcidhfjZCDhdc^cYZeZcY^ZciZh
4 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdg!VcVa^XZcadhh^\j^ZciZhZcjcX^VYdhnZmea^fjZcedgfj‚
hdcX^Zgidh#
V6ciZhYZhVWZgfjZaVhjbVZh&%!aVegdWVW^a^YVYYZjcYdWaZZh + 2 & #
(+
ªEdgfj‚4
+
Hay una probabilidad entre seis posibles
&
WNVhZaVcoVgdcadhYVYdhnhZhVWZfjZaVhjbVZh&%!ZcidcXZhaVegdWVW^a^YVYYZjcYdWaZZh ( #
ªEdgfj‚4
Hay una probabilidad entre tres posibles
&
&
X9VYdfjZ + cdZh^\jVafjZ ( !h†V[ZXiVaVegdWVW^a^YVYYZjcYdWaZZa]ZX]dYZ]VWZgdXj"
gg^YdjcVhjbV&%#
Y8dcZab^hbdZmeZg^bZcidYZaVcoVgYdhYVYdh!jcdWaVcXdnjcdcZ\gd!^ckZciZcdigdZkZcid
XdbejZhidcd^cYZeZcY^ZciZnZhXg†WVcad/ Respuesta libre. Probabilidad que la suma sea 2,
sabiendo que no se trata de un doble
227
235
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฀
235
Sugerencias didácticas
Lección
Lección 98
99
El profesor debe hacer hincapié en que la explicación de la fórmula de la
probabilidad de un evento compuesto por dos eventos independientes
se calcula multiplicando las probabilidades de ambos eventos y,
lógicamente, si ambas probabilidades son menores que uno, entonces
la probabilidad compuesta será menor que las independientes. Esto
debe sonarle razonable al estudiante, ya que un evento compuesto
siempre exige un número mayor de condiciones y no sería raro que la
probabilidad de que estas condiciones se den simultáneamente sea más
pequeña que la probabilidad de que se dé solamente una de ellas.
EgdWaZbVhXdcjgcVh
JcZmeZg^bZcidYZVoVgbjnXdbcZhZafjZXdch^hiZZcZmigVZgjcVWdaV!h^ckZg!YZjcVXV_V
fjZXdci^ZcZkVg^VhWdaVh#
1 8VaXjaVaVegdWVW^a^YVYYZadhh^\j^ZciZhZkZcidh#8VYVkZofjZhZhVXVjcVWdaV
WaVcXVhZ]VXZYZaVjgcV^ofj^ZgYVnaVhWdaVhcZ\gVhhZhVXVcYZaVjgcVYZgZX]V#
4
5
1
5
6
3
4
2
1
2
6/HVXVgjcVWdaVWaVcXVfjZiZc\VZacbZgd*#
E62 1
_
6
7/HVXVgjcVWdaVWaVcXVfjZcdiZc\VZacbZgd*#
E72 5
_
6
8/HVXVgYdhWdaVh!jcVWaVcXVnjcVcZ\gV!XjnV
hjbVhZVY^Zo#E82 1
_
12
9/HVXVgYdhWdaVh!jcVWaVcXVnjcVcZ\gV!
XjnVhjbVhZVjccbZgdeVg#
E92 1
_
2
:/HVXVgYdhWdaVh!jcVWaVcXVnjcVcZ\gV!
XjnVhjbVhZVY^ZodigZh#E:2 5
_
36
3
6
;/HVXVgYdhWdaVh!jcVWaVcXVnjcVcZ\gV!fjZ
iZc\VcZab^hbdcbZgddXjnVhjbVhZV
h^ZiZ#E;2 1
_
3
</ HVXVgYdhWdaVh! jcVWaVcXVnjcVcZ\gV!
fjZiZc\VcZab^hbdcbZgdnXjnVhjbV
hZVh^ZiZ#E<2 0
=/ HVXVgYdhWdaVh! jcVWaVcXVnjcVcZ\gV!
fjZiZc\VcZab^hbdcbZgdnXjnVhjbV
1
hZV&%#E=2
_
36
>/ HVXVgjcVWdaVWaVcXVXdcZacbZgd*n
jcVWdaVcZ\gVXdcZacbZgd*#E>2
1
_
36
2 8dbeVgZchjhgZhjaiVYdh#H^]VnY^[ZgZcX^VhVkZg^\“Zcfj^‚ci^ZcZgVo‹c#
3 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdg!XdbeVgZcadhgZhjaiVYdhYZadhZfj^edh#
4 8dcWVhZZcaVhgZhejZhiVhfjZZcXdcigVgdcZcZaegdWaZbV&!VcdiZcaV^c[dgbV"
X^‹cfjZ]VXZ[VaiVZcaVh^\j^ZciZiVWaV#
228
236
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236
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Descripción de los eventos
E, F, G
Se trata de dos eventos que son complementarios y por tanto la
suma de sus probabilidades es igual a uno.
A, B
Es un evento compuesto por dos eventos tales que: el hecho de que
suceda o no suceda uno de ellos, SÍ afecta la probabilidad de que el
otro suceda.
G, H
Es un evento compuesto por dos eventos tales que: el hecho de que
suceda o no suceda uno de ellos, NO afecta la probabilidad de que el
otro suceda.
I
Se trata de un evento compuesto por dos eventos que NO son mutuamente excluyentes.
H
Es un evento simple cuya probabilidad es
Valoración del desempeño
Eventos
Se trata de un evento compuesto por dos eventos que son mutuamente excluyentes.
3
36
• La probabilidad de un evento compuesto por dos eventos
independientes se calcula multiplicando las probabilidades de ambos
eventos.
• Calcular probabilidades de eventos dependientes.
Otros recursos
En la siguiente página encontrará más ejercicios y ejemplos de
probabilidades simples y compuestas:
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu4.html
A
5 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdg!XdbeVgZcaVhgZhejZhiVhYZadhZfj^edh#H^]VnY^[ZgZc"
X^Vh!Y^hXjiVc]VhiVfjZhZedc\VcYZVXjZgYd#
6 AZVcaVh^\j^ZciZ^c[dgbVX^‹c#
HZhVWZfjZZaZheVX^dbjZhigVaYZaZmeZg^bZcidfjZXdch^hiZZcaVcoVgYdhbdcZYVh
Zh/p66!6H!H6!HHrnVfj†hZkZfjZaVegdWVW^a^YVYYZaZkZcid{\j^aV"{\j^aVZh & #9VYd
)
fjZ{\j^aV"{\j^aVZhjcZkZcidXdbejZhidedgYdhZkZcidh^cYZeZcY^ZciZh!hjegdWVW^"
a^YVYiVbW^‚cejZYZdWiZcZghZbjai^ea^XVcYdaVhegdWVW^a^YVYZhYZVbWdhZkZcidh#6h†/
& m & & #
2
'
'
)
7 8VaXjaZcaVegdWVW^a^YVYYZadhh^\j^ZciZhZkZcidh#6a\jcdhhdc^cYZeZcY^ZciZhn
digdhhdcYZeZcY^ZciZh#
Eventos
Probabilidad
B: Caer águila-águila-águila, al lanzar tres monedas.
C: Caer doble y NO sumar 8 cuando se lanzan dos.
D: Caer 4-4, cuando se lanzan dos dados.
4.4 y 5.4. Distinguir eventos dependientes e independientes.
_1
36
_1
8
5
_
36
_1
A: Caer doble y sumar 8 al lanzar dos dados.
36
8 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdgdegd[ZhdgV!XdbeVgZcaVhgZhejZhiVhYZadhZfj^edh#
9 :cjcZmVbZcYZdeX^‹cbai^eaZ!eVgVXVYVegZ\jciVhZd[gZXZcXjVigddeX^dcZh
YZgZhejZhiV!YZaVhXjVaZhhdaVbZciZjcVZhXdggZXiV#6cdiZcadhgZhjaiVYdhfjZ
[VaiVcZcaVh^\j^ZciZiVWaV#
Preguntas contestadas
al azar
3
5
Probabilidad de
acertar a todas
_1
64
1
_
1024
Probabilidad de no
acertar a ninguna
27
_
64
243
_
1024
229
237
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฀
237
Sugerencias didácticas
GZeVhZbdhadVegZcY^Yd
Los temas de este bloque son más complejos, de manera que sugerimos
al profesor que este repaso lo realice el estudiante de manera individual,
ya que es un buen indicador de su aprendizaje, no sólo de este bloque 5,
sino de muchos otros temas que abordó durante el curso para llegar a la
solución de las preguntas planteadas en estas páginas.
>#HjWgVnVaVgZhejZhiVXdggZXiV
Valoración del desempeño
1 AVZcigVYVVaX^cZXjZhiV'*eVgVZhijY^VciZhn)%eVgVZaeWa^XdZc\ZcZgVa#
EdgaVkZciVYZ(%%WdaZidhhZgZjc^Zgdc&%*%%eZhdh#H^Xdch^YZgVbdhfjZmZh
ZacbZgdYZWdaZidheVgVZhijY^VciZhnnZacbZgdYZWdaZidhYZVYjaidh!ªXj{a
h^hiZbVYZZXjVX^dcZhgZegZhZciVZhiVh^ijVX^‹c4
• Valorar las estrategias que el alumno maneja para el planteamiento
y solución de problemas algebraicos y geométricos, resolviendo de
manera correcta las ecuaciones planteadas.
Vmn&%*%%
'*m)%n(%%
Wmn(%%
'*m)%n&%*%%
X'*mn(%%
m)%n&%*%%
Ym)%n(%%
'*mn&%*%%
2 6jcVaWVŠ^aaZeV\Vc&*%eZhdhadhY†VhfjZigVWV_Vn&%%adhY†VhfjZ!VXVjhV
YZaVaajk^V!cdejZYVigVWV_Vg#H^Vai‚gb^cdYZ'%Y†VhaVWdgVaZhgZX^W^‹'-%%!
ªXj{cidhY†VhcdigVWV_‹VXVjhVYZaVaajk^V4
V&%
W-
X+
Y)
3 ª8j{aYZadhh^\j^ZciZhh^hiZbVhYZZXjVX^dcZheZgb^iZZcXdcigVgZakVadgYZXVYV
{c\jad4
y
2x
x
Vmn&-%
'mn&-%
W'mn&-%
mn
Xmn&-%
n'm
Ymn'm&-%
n'm
4 HZaVcoVjcYVYdnhZYZhZVhVWZgaVegdWVW^a^YVYYZfjZhVa\VjccbZgdbZcdg
fjZ)djccbZgdbVndgfjZ*#ª8dcXj{adeZgVX^‹chZXVaXjaVZhiVegdWVW^a^YVY4
V& & +
'
X' & (
(
W& &
*
)
&
Y &
+
'
230
238
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238
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Otros recursos
5 HZaVcoVjcVbdcZYVnjcYVYdh^bjai{cZVbZciZ!ªXj{aZhaVegdWVW^a^YVYYZfjZ
XV^\V{\j^aVnjccbZgdeVg4
Y&
V&
W& X& '
)
-
La siguiente página ha sido recomendada varias veces en los repasos,
ya que es una guía muy completa sobre los cursos de matemáticas
de secundaria y aborda todas las temáticas de aritmética, álgebra,
geometría, estadística, probabilidad y cálculo, vistas en secundaria:
http://www.fermatsi.org/Lecciones.htm
>>#=VoadfjZhZiZ^cY^XV#
1 8VaXjaVaVegdWVW^a^YVYYZfjZVaaVcoVgjcYVYdhZdWiZc\VjccbZgd^beVgdjcd
1
2
bZcdgfjZYdh
_
2 :cXVYVeVgZ_VjcV[^\jgVZhjcVgdiVX^‹cYZaVdigV!bVgXVXdcjcejcidZaXZcigd
YZgdiVX^‹c#
3 JhVijh^chigjbZcidh\Zdb‚ig^XdhnXdbeaZiVaVigVhaVX^‹c#
B
A
A’
C
4 GZegZhZciV\g{[^XVbZciZZah^\j^ZciZ
h^hiZbVnZcXjZcigVadhkVadgZhYZmn
YZnfjZadhVi^h[VXZc#
y
'mn&
m(n'
m
n
–1
1
x
231
239
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฀฀฀
฀
239
Sugerencias didácticas
AVhbViZb{i^XVhZcjcVi^gVYZeVeZa
Para cerrar de manera lúdica este curso, recomendamos elaborar una
banda de Moebius siguiendo las instrucciones de la página; sería muy
formativo que el profesor pida al estudiante que observe las propiedades
geométricas (sobre todo de orientación) que encontró en este objeto
matemático. Una vez que recorte éste, pida al alumno que intente
deducir por qué se formaron dos aros entrelazados.
También es interesante sugerir al estudiante que dibuje un muñeco
caminando por la banda y que vea después de una vuelta a donde ha
llegado tal muñeco, así descubrirá una de las principales propiedades de
orientación de esta banda.
EVgVgZVa^oVgaVhh^\j^ZciZhVXi^k^YVYZhcZXZh^iV"
g{hXjVigdi^gVhYZeVeZa!YZ(*XbYZaVg\dn)Xb
YZVcX]d!eZ\VbZcidna{e^XZhYZYdhXdadgZh#
™6XVYVi^gVe‚\VaZhjhYdhZmigZbdh!eZgd
\^gVbZY^VkjZaiVjcdYZadhZmigZbdhYZ
YdhYZZaaVhVciZhYZeZ\Vg!XdbdadbjZhigV
aV^ajhigVX^‹cYZaVYZgZX]V#
™IdbVYdhYZaVhi^gVh!jcVeZ\VYVZc[dgbV
cdgbVandigVXdcbZY^VkjZaiV!nigVoVjcVa†cZVZcbZY^dYZaVi^gV!iZgb^cVYd
YdcYZXdbZco‹#
™ªFj‚dWhZgkVh4
El trazo de la normal se da en un solo lado de la tira. El trazo
de la que tiene la media vuelta abarca los dos lados de la tira
™ >ajb^cVaVhXVgVhYZaVhYdhi^gVhgZhiVciZh#
™ ªFj‚dWhZgkVh4
Lo mismo que en el caso del trazo de la línea
ª8j{ciVhXVgVhi^ZcZcaVhi^gVhfjZeZ\VhiZjc^ZcYdhjhZmigZbdh!h^c\^gVgaVi^gV4
Dos
ª8j{ciVhXVgVhejZYZYZX^ghZfjZi^ZcZcaVhi^gVhfjZeZ\VhiZYVcYdbZY^VkjZaiVV
jcdYZadhZmigZbdh4
Una
AVi^gVfjZjc^hiZYVcYdbZY^VkjZaiV!
i^ZcZjcVhdaVXVgVnZhXdcdX^YVXdbd
¹aVWVcYVYZBŽW^jhº!Zc]dcdgVa
bViZb{i^XdVaZb{c6j\jhi;ZgY^cVcY
BŽW^jh!fj^Zc]^odZahdgegZcYZciZ
YZhXjWg^b^ZcidYZfjZZm^hiZc
hjeZg[^X^ZhfjZi^ZcZcjchdadaVYd!Xdbd
ZhiVi^gV#
DigV egde^ZYVY Xjg^dhV YZ ZhiV
WVcYVZhfjZhjXdcidgcdZhi{[dgbV"
YdedgjcVXjgkVh^beaZXZggVYV#
232
240
฀฀฀
240
฀฀฀
฀
Valoración del desempeño
6]dgVcZXZh^iVg{hjcVhdX]di^gVhYZeVeZaYZ)%XbYZaVg\dn*XbYZVcX]deVgV
[dgbVgWVcYVhYZBŽW^jhnWVcYVhcdgbVaZh#
• Ser capaz de elaborar una banda de Moebius y explicar algunas de
sus propiedades con sus propias palabras.
IdbVjcVWVcYVYZBŽW^jhnjcVcdgbVa#8‹giVaVhedgaVb^iVY!XdbdhZbjZhigV#
™ª8j{ciVhWVcYVhdWijk^hiZVaXdgiVgaVi^gVYZBŽW^jh4
™AVWVcYVfjZdWijk^hiZ!ªZhcdgbVadZhYZBŽW^jh4
™ª8j{ciVhWVcYVhdWijk^hiZVaXdgiVgaVi^gVcdgbVa4
1
De Möbius
Otros recursos
2
Puede obtener más información sobre la banda de Moebius en el
siguiente sitio:
http://www.sitographics.com/conceptos/notas/moebius.html
6]dgVidbVjcVYZaVhi^gVhnYVjcVkjZaiVXdbeaZiVVciZhYZjc^gaV#
ª8j{ciVhXVgVhi^ZcZ4
2
ªFj‚eVhVh^XdgiVhaVi^gVVaVb^iVYadc\^ijY^cVabZciZ4
Mantiene las 2 caras
:caVh^\j^ZciZiVWaV!VcdiVZagZhjaiVYdYZb{hkjZaiVhnXdgiZhZcjcVi^gV#
Número de medidas
o vueltas
Resultado de un
corte por el centro
Propiedades
0
2 bandas
La mitad de ancho
y el mismo largo
1
2
1 banda con 1 vuelta,
2 caras
La mitad de ancho,
doble largo
1
2 bandas entrelazadas
con 1 vuelta
La mitad de ancho
y el mismo largo
1 banda con 2 caras
La mitad de ancho,
doble largo
2 bandas entrelazadas
con 2 caras
La mitad de ancho
y el mismo largo
1 banda con 2 caras
La mitad de ancho
y el mismo largo
1y 1
2
2
2y 1
2
Dibujo
(Hacer dibujos)
=VoYdhX^ciVh!jcVcdgbVandigVYZBŽW^jh#×cZaVh[dgbVcYd{c\jadgZXidXdbdhZ
bjZhigVZcaV^ajhigVX^‹cnYZhej‚hXdgiVaVhYdhVadaVg\d#
ªFj‚hjXZY^‹4
Quedaron unidas
AVhegde^ZYVYZhfjZcdXVbW^VcXjVcYdaZVea^XVhVaVWVcYVYZBŽW^jhX^Zg"
iVhigVch[dgbVX^dcZhdYZ[dgbVX^dcZhhdcZhijY^VYVhedgjcVgVbVYZaVh
BViZb{i^XVhfjZhZaaVbVIdedad\†V#
GZ[ZgZcX^Vh#
]iie/$$Zh#l^`^eZY^V#dg\$l^`^$7VcYVTYZTBŽW^jh#
233
241
฀฀฀
฀฀฀
฀
241
Sugerencias didácticas
Y para terminar...
Finalmente, en el juego de esta página se pretende que el estudiante
use las herramientas de transformaciones en el plano (traslaciones,
rotaciones y reflexiones) para solucionarlo, de manera que el docente
puede aprovechar este momento para percatarse de cómo está siendo
manejado el tema por los alumnos.
Dibujemos puntos
9^Wj_VZcXVYViVWaZgdXjVigdejcidhYZbVcZgVfjZZcXVYV[^aV!XVYVXdajbcVnXVYVY^V"
\dcVaeg^cX^eVa]VnVjchdadejcid#
Valoración del desempeño
• Resolver el juego haciendo uso de traslaciones, rotaciones y
reflexiones.
EdgZ_Zbead!Vfj†iZbdhigVbdhYdhhdajX^dcZh#
A
B
Otros recursos
Nuevamente recomendamos una página de juegos matemáticos,
con lo cual se promueve en el alumno un mayor acercamiento a las
matemáticas, desde una perspectiva muy lúdica y divertida:
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/RecursosInternet/Juegos/
QuienTiene.asp
=VndigVhhZ^hhdajX^dcZhY^Wj_VcYdadhejcidhZcdigVhXVh^aaVh#:cXj‚cigVaVh#
C
D
E
F
G
H
AVhdX]dhdajX^dcZhZhi{cgZaVX^dcVYVhZcigZh†VigVk‚hYZh^bZig†VhngdiVX^dcZh#EdgZ_Zbead!dW"
hZgkVadhejcidhYZaVhhdajX^dcZh6n7!nkZg{hfjZhdch^b‚ig^XdhXdcgZheZXidVaVa†cZVgd_V#
DWhZgkVfjZaVhdajX^‹cYZaVYZgZX]VhZdWi^ZcZgdiVcYd.%§aVhdajX^‹c6#
H^cd]VhZcXdcigVYdidYVhaVhhdajX^dcZhY^hi^ciVh!egjZWVXdch^bZig†VhngdiVX^dcZheVgV]V"
aaVgaVh#AdhZ_ZhejZYZchZgkZgi^XVaZh!]dg^odciVaZhd^cXa^cVYdh#
L
7jhXVaVhgZaVX^dcZhYZh^bZig†VngdiVX^‹cfjZ]VnZcigZidYVhaVhhdajX^dcZh#IZhdgegZcYZg{
dWhZgkVgfjZidYVhaVhhdajX^dcZhhZejZYZcdWiZcZgVeVgi^gYZjcVhdaV!edgbZY^dYZjcVd
YdhigVch[dgbVX^dcZh#
L
234
242
฀฀฀
242
฀฀฀
฀
El geoplano circular
1 Necesitas una tabla cuadrada (un buen tamaño es de 20 cm × 20 cm), un plumón,
un compás, un transportador, 29 clavos de una pulgada y un martillo.
2 Localiza el centro del cuadrado (puede
ser trazando muy suave las diagonales, el
punto donde se cortan es el centro). Con
tu compás traza una circunferencia lo más
grande posible, cuyo centro coincida con
el centro del cuadrado.
0
3 Con ayuda de tu transportador marca un
punto cada 15º.
4 Clava un clavo en cada uno de los
puntos marcados, otro en el centro y uno en cada esquina, deja una
parte del clavo fuera de la tabla
para que puedas sujetar ligas.
243
243
¿Geometría en la computadora?
Conoce GeoGebra
Puedes descargarlo gratis de la página http://www.geogebra.org/cms/
GeoGebra
Y aparecerá una pantalla como la siguiente:
Menú
Herramientas
1
Zona gráfica
Vista
Algebraica
Campo de Entrada
La barra de herramientas es la que contiene comandos para hacer construcciones geométricas.
Al hacer clic en alguno de los botones de la barra de herramientas aparece una lista
de comandos.
Por ejemplo, la lista de comandos del botón donde hay un punto o donde está la recta se muestra a continuación.
244
244
Para elegir un comando basta hacer clic en él y colocarse en la Zona Gráfica, entonces el apuntador toma la forma de una pequeña cruz. Al hacer clic, puedes iniciar los trazos. Para seleccionar
algún elemento, la cruz se cambia por el apuntador (la flecha).
Si no necesitas la Vista Algebraica o los ejes de coordenadas, puedes ocultarlos haciendo clic en
Vista, del menú, y hacer clic en estos elementos.
Haz clic en
Ejes
y en
Vista Algebraica
Exploreneeinvesiguen
investiguen
Exploren
1 Exploren y empiecen a conocer el programa haciendo lo siguiente.
a) Tracen un punto. Hagan clic en el botón derecho del ratón y seleccionen Muestra rótulo,
aparecerá la letra A. Es el nombre del punto.
b) Tracen una recta que pase por el punto A
c) Tracen otro punto. Hagan clic en el botón derecho del ratón y seleccionen Muestra rótulo,
aparecerá la letra B.
d) Tracen una semirrecta que se inicie en el punto B.
e) Tracen el segmento AB.
f) Borren lo que tienen en pantalla. Para ello seleccionen todo lo que han trazado y opriman la
tecla
(la que normalmente se usa para borrar) o la tecla suprimir.
g) Busquen la herramienta para trazar un triángulo y trácenlo.
h) Tracen un polígono de seis lados. Cuando lo hayan trazado, seleccionen uno de los vértices
y muévanlo para deformar el polígono.
i) Tracen un polígono regular de seis lados.
j) Tracen tres rectas que tengan diferentes relaciones entre sí, por ejemplo:
• las tres pasan por un punto,
• dos son paralelas y una las corta.
Exploren las diferentes posiciones que pueden tener tres rectas.
k) Encuentren dos maneras diferentes de trazar un cuadrado.
2 Compartan sus observaciones y hallazgos con otros compañeros.
245
245
El cuarto vértice
Conoce
GeoGebra
Conoce
CABRI
El botón con una recta perpendicular contiene los siguientes comandos.
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Cuando quieras trazar una recta paralela o una perpendicular, primero haz clic en el comando
que deseas; y luego tendrás que acerca el puntero a la recta (o segmento, lado del polígono, etc.) a
la que le vas a trazar la paralela o la perpendicular y haz clic; después colócate en otro lugar de
la zona de trabajo y vuelve a hacer clic. Observa:
En GeoGebra también se pueden medir segmentos, ángulos, áreas.
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Por ejemplo, para medir
un segmento selecciona
el comando Distancia o
longitud y después haz
clic sobre el segmento.
Para medir un ángulo selecciona el comando Ángulo y después haz clic
sobre los dos lados del
ángulo. Haz clic en tres
puntos: un punto sobre
uno de los lados del ángulo, el vértice y otro punto sobre el otro lado del
ángulo.
Exploren
Exploreneeinvestigen
investiguen
1 Realicen lo que se pide.
a) Tracen tres puntos que no estén alineados. Señalen cada punto y hagan clic en el botón derecho del ratón. Elijan Muestra rótulo, si son los primeros tres puntos que trazan aparecerá A,
B y C en cada punto. Si no se muestran estos rótulos, pueden cambiarlos usando Renombrar
(también se despliega al oprimir el botón derecho), este comando les permite poner la letra
que quieras a cada punto. Encuentren el cuarto vértice y nómbrenlo D, de tal manera que
ABCD sea un romboide.
b) Escriban aquí el procedimiento con el que encontraron el cuarto vértice.
c) Con el comando polígono unan los vértices A, B, C y D. Midan los cuatro ángulos del romboide.
Anoten todas las relaciones que encuentren entre las medidas de los ángulos del romboide.
d) Señalen el vértice A y muévanlo para deformar el romboide. Notarán que las medidas de los
ángulos cambian, ¿se conservan las relaciones que anotaron en el inciso 1c)?
2 Compartan con otras parejas sus procedimientos y resultados.
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Ecuaciones y pendientes
Conoce
GeoGebra
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Haz clic en Vista, del Menú. Aparece la siguiente lista.
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Haz clic en los comandos Ejes y Cuadrícula. Obtendrás una pantalla como la siguiente. Para cambiar la
escala de los ejes, señala los ejes, haz clic en el botón derecho y elige Vista gráfica. Aparece elegido el
eje x, haz clic en Distancia y elige la escala. Haz lo mismo para el eje y.
En este plano cartesiano puedes ubicar puntos, trazar rectas, figuras, entre muchas otras cosas. GeoGebra
tiene un comando para indicar la pendiente de una recta.
Por ejemplo, si trazas una recta y quieres saber su ecuación, basta con que selecciones el comando
Coord. o Ecuación y hagas clic sobre la recta: aparecerá la ecuación de la misma.
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Exploren e investiguen
1 Utilicen los comandos respectivos para que en la Zona Gráfica aparezcan los ejes
de coordenadas y la cuadrícula. Después, efectúen las siguientes actividades.
a) Para cada inciso, primero tracen una recta que tenga la pendiente que se indica enseguida.
Después verifiquen sus respuestas usando el comando Pendiente.
i) Pendiente = 1
ii) Pendiente = 2
iii) Pendiente = −1
iv) Pendiente = 0
b) Borren las rectas que tengan en pantalla. Tracen una nueva recta que pase por el origen de coordenadas.
i) Averigüen con el comando respectivo la pendiente de la recta.
ii) Midan el ángulo que la recta forma con la parte positiva del eje de las x, observen que el vértice del ángulo es el origen.
iii) Muevan la recta de tal manera que el ángulo varíe desde 0° hasta 180°. Observen qué pasa
con la pendiente cuando el ángulo varía y respondan.
• ¿Cuánto vale el ángulo cuando la pendiente es 0?
• ¿Cuánto vale la pendiente cuando el ángulo es de 45°?
• ¿Cuánto vale la pendiente cuando el ángulo es de 135°?
• ¿Cuál es el intervalo de valores del ángulo para los cuales la pendiente es positiva?
¿Y para la pendiente negativa?
2 Para cada recta consideren su pendiente (m) y su ordenada al origen (b) y escriban
su ecuación de la forma y = mx + b.
a) En GeoGebra, después de mostrar los ejes y la cuadrícula, escriban en el Campo de Entrada las
ecuaciones que encontraron. Aparecerán las rectas correspondientes, verifiquen si son las mismas
de la pantalla anterior. Si no es así, prueben con otras ecuaciones.
b) Usen el comando Coord. Ecuación para averiguar la ecuación de cada recta y verifiquen si sus
respuestas son correctas.
3 Comparen sus resultados y hallazgos con otros compañeros.
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Problemas sobre triángulos
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Conoce
GeoGebra
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Con GeoGebra puedes trazar una circunferencia dados su centro y uno de sus puntos.
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Para trazar el círculo, una vez que has seleccionado el comando, haz clic en el lugar donde quieres
que sea el centro del círculo y desliza el puntero; observarás que el círculo se traza.
Exploren
investigen
Exploren e investiguen
1 Realicen lo siguiente.
a) Tracen tres puntos no alineados y nómbrenlos A, B y C y después busquen la manera de trazar
la circunferencia que pasa por esos tres puntos.
Escriban el procedimiento que emplearon:
b) En el trazo anterior, unan A, B y C usando el comando triángulo. Deben tener un triángulo y la
circunferencia circunscrita; recuerden que el centro de esta circunferencia se llama circuncentro,
señálenlo y nómbrenlo P.
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Señalen uno de los vértices y muévanlo para cambiar el tipo de triángulo, busquen que el circuncentro quede dentro del triángulo, fuera de él o sobre uno de los lados.
i) ¿En qué tipo de triángulo el circuncentro queda dentro de él?
ii) ¿En qué tipo de triángulo el circuncentro queda fuera de él?
iii) ¿En qué tipo de triángulo el circuncentro queda sobre uno de los lados del triángulo?
c) Borren lo que tengan en pantalla, tracen un triángulo cualquiera y nombren a sus vértices P, Q
y R. Tracen las tres alturas y localicen el ortocentro, nómbrenlo O. Cambien la forma del triángulo hasta conseguir que el ortocentro quede dentro del triángulo, fuera de él o sobre uno de
los vértices del triángulo.
i) ¿En qué tipo de triángulo el ortocentro queda dentro de él?
ii) ¿En qué tipo de triángulo el ortocentro queda fuera de él?
iii) ¿En qué tipo de triángulo el ortocentro queda sobre uno de los vértices del triángulo?
d) Tracen tres puntos no alineados. Nómbrenlos A, B y O. Consideren que A y B son dos de los
tres vértices de un triángulo y O es el ortocentro. Encuentren C, el tercer vértice del triángulo.
Escriban el procedimiento que siguieron.
2 Comparen sus procedimientos y resultados con los de otras parejas.
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Teselando el plano
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Conoce
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En GeoGebra puedes reflejar, trasladar y rotar figuras.
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Si quieres trazar una figura simétrica a otra, después de elegir el comando respectivo tienes que señalar el eje de simetría para la simetría axial o el centro de simetría para la simetría central.
En el siguiente ejemplo se va a trazar la figura simétrica al cuadrilátero con respecto al punto medio
de uno de sus lados. Primero señala el punto medio.
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Una vez que está señalado el punto medio, traza el simétrico del cuadrilátero respecto a ese punto
con Refleja Objeto por Punto. También puedes ocultar cada punto señalándolo, haciendo clic en
el botón derecho y seleccionando Muestra objeto.
Exploreneeinvestigen
investiguen
Exploren
1 Realicen lo siguiente.
a) Utilicen las transformaciones en el plano para hacer teselados en GeoGebra. En cada caso usen
la figura indicada. Para colorear las figuras selecciónenlas, hagan clic en el botón derecho, elijan
Propiedades y la pestaña Color.
i) Triángulos equiláteros
ii) Hexágonos regulares
iii) Un cuadrilátero irregular
2 Platiquen con otros compañeros cómo lograron hacer estos teselados.
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Bibliografía
PARA EL ALUMNO
◆ Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una nueva ventana a las formas. Biblioteca Juvenil Ilustrada. Santillana, México, 2003.
◆ De la Peña, José Antonio. Geometría y el mundo. Biblioteca Juvenil Ilustrada. Santillana, México, 2004.
◆ De la Peña, José Antonio. Matemáticas y vida cotidiana. Biblioteca Juvenil Ilustrada. Santillana, México, 2003.
◆ Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números. Ediciones Siruela, Madrid, 1997.
◆ Hernández Garciadiego, Carlos. La geometría en el deporte. Biblioteca Juvenil Ilustrada. Santillana,
México, 2004.
◆ Perero, Mariano. Historia e historias de Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1994.
◆ Tahan Malba. El hombre que calculaba. Noriega Editores, México, 1994.
◆ VanCleave, Janice. Matemáticas para niños y jóvenes. Limusa, México, 1997.
PARA EL MAESTRO
◆ Alarcón, Jesús, Elisa Bonilla, Rocío Nava, Teresa Rojano y Ricardo Quintero. Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria. SEP, México, 2001.
◆ Alarcón, Jesús e Higinio Barrón. La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Guía de estudio y Lecturas. SEP, México, 2001.
◆ Berlanga, Ricardo, Carlos Bosch y Juan José Rivaud. Las matemáticas, perejil de todas las salsas. Colección La ciencia para todos. FCE, SEP, CONACYT, México, 2003.
◆ Boyer, Carl B. Historia de la matemática. Alianza Universidad Textos. Madrid, 1992.
◆ Chevallard, Yves, Mariana Bosch y Josep Gascón. Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. SEP, México, 2000.
◆ Espinosa, Hugo, Silvia García y Marco García. Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Secundaria. SEP, México, 2000.
◆ Fuenlabrada, Irma, David Block, Hugo Balbuena y Alicia Carvajal. Juega y aprende matemáticas. SEP,
México, 1992.
◆ García Arenas, Jesús y Celestí Bertrán Infante. Geometría y experiencias. Biblioteca de Recursos Didácticos Alhambra. Alhambra, México, 1995.
◆ Ifrah, Georges. Historia Universal de las Cifras. Tomos 1 y 2. SEP, México, 2000.
◆ Mankiewicz, Richard. Historia de las matemáticas. Del cálculo al caos. Paidós, Barcelona/Buenos Aires,
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◆ Mochón, Simón, Teresa Rojano y Sonia Ursini. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo. Enseñanza
de las Matemáticas con Tecnología. SEP, México, 2000.
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Bibliografía
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◆ Ursini, Sonia, Fortino Escareño, Delia Montes y María Trigueros. Enseñanza del álgebra elemental. Una
propuesta alternativa. Editorial Trillas, México, 2005.
MATERIAL VIDEOGRÁFICO
◆ ILCE. El mundo de las matemáticas. Video SEP, 5 volúmenes. México.
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PÁGINAS DE INTERNET
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◆ www.mlevitus.com/
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◆ http://www.amc.unam.mx/modules.php?name=Content&pa=showpage&pid=8
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◆ http://recursostic.educacion.es/descartes/web/
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BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
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Avanzados, México, 2001.
◆ Cabanne, N. Didáctica de las matemáticas. ¿Cómo aprender?¿Cómo enseñar? Bonum, Argentina, 2006.
◆ Clemens, S., et al. Geometría. Addison-Wesley Iberoameriana, México, 1989.
◆ Etayo, J., et al. Enseñanza de las Matemáticas en la Educación Secundaria. Rialp, España, 1995.
◆ Godino, J. y M. Batanero. Azar y probabilidad. Síntesis, España, 1996.
◆ Triola, M. Estadística. Pearson Addison-Wesley, México, 2004.
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Este material se terminó de imprimir en mayo de 2011,
en Compañía Editorial Ultra, S.A. de C.V.,
Centeno núm. 162, local 2, col. Granjas Esmeralda,
C. P. 09810, México, D. F.
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para el docente