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Curso: Matemática
,
UAI – MA – 03 – 4M - 2015
SOLUCIONARIO
ENSAYO PSU
MATEMÁTICA
1. La alternativa correcta es D
3
3 2
63 42
32 23
22
32 23
33 23 24
32 23
33 27
32 23
33
2
27
3
3 24
3 16
48
2. La alternativa correcta es A
11
2:3
3
1
Recíproco de
11
1
2
3
3
1
22
9
9
22
es igual a
9
22
1
9
22
2
3. La alternativa correcta es D
5
5
5( 5
5
1
1)
5
5( 5
( 5)2
12
5
5 5
5 1
1
1)
5
2 5
4
1
2
a 5
a 5
a 5
a 5
a
4. La alternativa correcta es B
p
8p 4p
2p 1
p
2p 4p 4p
2p 1
p
4p (2p 1)
2p 1
p
4p
4
5. La alternativa correcta es E
1 1 1
,
, ,..... reescribiremos las fracciones de modo de
2
4 8
encontrar una forma más homogénea para estas:
Dada la sucesión
1,
( 1)1 ( 1)2 ( 1)3 ( 1)4
,
,
,
,.....
20
21
22
23
Por tanto la expresión general para la sucesión sería
será
( 1)n
2n 1
( 1)n
.
2n 1
2
( 1)n
, con lo que el opuesto
2n 1
6. La alternativa correcta es E
Como se indica que 0 < a < 1, se elegirá un número
1
intervalo como a
.
4
1 1
a
1
I) Falso.
4 2
2
II) Verdadero.
a
III) Verdadero.
Si a
1
1
2
a
a2
0
1
4
2
2
2
1
16
que se encuentre en ese
2
0.
7. La alternativa correcta es E
m, n, p, q números negativos, entonces
I)
Falso.
n – m > 0, entonces implicaría que n > m, afirmación que no se
puede comprobar con la información dada.
-n > p + q, entonces 0 > n + p + q, como todas las letras
representan números negativos, la suma de ellos también es
negativa, es decir menor que cero.
mn – p > 0, entonces mn > p. La multiplicación de dos números
negativos, m y n, da como resultado un número positivo, mn,
que será mayor que cualquier expresión negativa, p.
II) Verdadero.
III) Verdadero.
8. La alternativa correcta es C
a
b=
a + a
(1
4) =
1 1
(9
4) =
9
b
4
, entonces
1 12
2
(1
9
4
3 92
3 81
84
3
4) (9
4) = 2 84 = 168
9. La alternativa correcta es A
(0,4)n
2
2
3
4
9
n 2
4
9
n
4
9
4
9
n
9
4
2
3
2
2
3
n
n
n
2
2
2
9
4
2
9
4
9
4
10. La alternativa correcta es D
3
1
7
como m es positivo, dado el intervalo que lo contiene, se puede
17 m 8
trabajar con los recíprocos invirtiendo las desigualdades:
17
3
m
8
7
5, 6
m
1,14...
Por lo que los números enteros que se encuentran en el intervalo son {2, 3, 4, 5}.
11. La alternativa correcta es C
La cantidad de palitos utilizados forman una secuencia {4, 7, 10…}, que es aritmética
ya que la diferencia entre dos elementos sucesivos es constante e igual a 3, por tanto
la expresión general es 4 + 3 (n – 1), donde n es el lugar de la figura y también
corresponde a la cantidad de cuadrados, entonces:
Figura (k + 1)
cantidad de palitos: 4 + 3(k + 1 – 1) = 4 + 3k
Figura k
cantidad de palitos: 4 + 3(k - 1)
= 4 + 3k - 3 = 1 + 3k
Entonces:
(4 + 3k) – (1 + 3k) = 4 + 3k – 1 – 3k = 3.
4
12. La alternativa correcta es E
1 1
81 9
1
3
3
92 91
31 3
1 9
81
1 9
3
8
81
3
8
3
81
1
27
13. La alternativa correcta es D
A partir del enunciado se pueden plantear dos ecuaciones:
x 3
y 4
x
y
4
3
1
2
Trabajando la primera ecuación : x
3
y
4
De la segunda ecuación
2(x 4) y 3
2x 8 y 3
Reemplazando la expresión de x en esta última ecuación:
2
3
y
4
3
y
2
3
y
2
8
y
3
8
y
3
y
3
8
1
y
2
y
11
22
Reemplazando el valor de y en x: x
3
y
4
3
22
4
16,5 .
Entonces de las alternativas se ve que el valor de y = 22, está dentro de las
alternativas.
5
14. La alternativa correcta es A
5 3)2
4 2
5 3 4 2
5 3
(4 2
4 2
5 3 4 2
5 3
(4 2)2
16 2
32
(5 3)2
2 4 2 5 3 25 3
16 2 25 3
40 6 75
32 75
107
40 6
43
15. La alternativa correcta es E
log 130
13
log13 log 10 1,1139 1 0,1139
10
log (13 10) log13 log 10 1,1139 1 2,1139
log 132
2log 13
log 1, 3
I) Verdadero.
II) Falso.
III) Verdadero.
log
2(1,1139)
2,2278
16. La alternativa correcta es B
log 160.000x 4
log160.000
log x 4
log(16 104 )
log x 4
log16
log104
log x 4
log24 log104 log x 4
4 log2 4 log10 4 log x
4 log2 4 log x 4 1
4(log2 log x 1)
4(log(2x) 1)
17. La alternativa correcta es C
x
10 1
+
1
10
x
10
10 x
1+
1
10
x
10
x10
x10 1
10
x
6
10
x10 1
18. La alternativa correcta es D
Se trata de aplicar proporcionalidad entre la inversión y las utilidades:
total inversión
total de utilidades
aporte individual
ganancia individual
6p
2p
s
x
s
3
x
19. La alternativa correcta es A
z
1
1
2
2
3i 2
3i
3i
2
3i
(3i)2
2
2
2 3i
4 9i2
2 3i
4 9
2 3i
13
2
13
3
i
13
20. La alternativa correcta es A
Con la información que se tiene
2y
x
z
ecuaciones:
Con las dos primeras igualdades se tiene:
2y
x z
2yz
x
y
z
(x y)(x
2yz
x
2
xz
z)
xy
yz
2
0 x
xz xy 3yz
x2 – xz + xy - 3yz = 0
(1)
Con la primera y tercera igualdad se tiene:
2y
2x
x z
y
2y2
2x(x
2
2y
2
2x
2
z)
2xz
2
2y
2x
2xz 0
2
2
2y – 2x + 2xz = 0
(2)
Con la segunda y tercer igualdad se tiene:
x y 2x
z
y
xy
y
2
xy
y2
2xz
2xz
0
y2 + xy – 2xz = 0
(3)
7
=
2x
x+y
=
, se pueden formar dos
y
z
Entonces se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
x2 – xz + xy - 3yz = 0
2y2 – 2x2 + 2xz = 0
y2 + xy – 2xz = 0
(1)
(2)
(3)
Se multiplica la ecuación (1) por -2, la ecuación (3) se multiplica por 2 y se suman:
-2x2 + 2xz - 2xy + 6yz = 0
(1)
2y2 + 2xy – 4xz
=0
(3)
2y2 – 2x2 - 2xz + 6yz = 0
Se resta a la ecuación obtenida la ecuación (2):
2y2 – 2x2 - 2xz + 6yz = 0
-2y2 + 2x2 - 2xz
=0
(2)
-4xz + 6yz =0
-4xz = - 6yz
4xz = 6yz
como z es distinto de cero, se puede dividir por z
4x = 6y
x 3
/2
y 2
2x
y
3
21. La alternativa correcta es E
Sea a el lado del cuadrado, P el perímetro, y A el área:
P = 4a
A = a2
Entonces si:
5P
8A
5(4a)
8a2
20a
8a2
20
8a
20
8
5
2
Con a
a
a
5
, el perímetro queda como P
2
4
8
5
2
10 .
22. La alternativa correcta es E
La ecuación x2
(x
x
4x 5
2 5)2
0
2 5
0
x
20
0 se puede factorizar como (x
2 5)2 entonces:
/
2 5
Por tanto las soluciones son irracionales e iguales.
23. La alternativa correcta es B
Si
y
son soluciones de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 entonces
b
. Aplicando el mismo razonamiento a la ecuación x2 + 3x + 7 = 0, se tiene
a
3
3.
que la suma de las raíces es
1
24. La alternativa correcta es C
Para una función f(x)= ax2 + bx +c, se tiene que:
-
Si a > 0 la función tiene sus ramas hacia arriba; si a < 0 las ramas están hacia
abajo.
b
Eje de simetría corresponde a xs
, si b = 0, entonces el eje de simetría es el
2a
eje Y.
Corte con el eje Y corresponde al valor de c : punto (0, c)
Corte con el eje X corresponde a f(x) = 0
f(x) = x2 + 8x + 7
g(x) = x2 – 8x + 7
h(x) = x2 + 7
A)
B)
C)
D)
todos
todas
todas
todas
Eje de simetría
b
xs
2a
8
xs
4
2
( 8)
xs
4
2
0
xs
0
2
Corte eje Y
c : (0, c)
Orientación
de las
ramas
0
(0,7)
Hacia arriba
(7,0)
49 - 56 + 7 = 0
(0,7)
Hacia arriba
(7,0)
49 + 7
(0,7)
Hacia arriba
Corte eje X
f(x) = 0
(7,0)
49 + 56 + 7
0
tienen el mismo eje de simetría x = 0
las parábolas cortan al eje x en el punto (7, 0).
las parábolas cortan al eje y en el punto (0, 7).
tienen sus ramas hacia abajo.
9
Falso
Falso
Verdadero
Falso
25. La alternativa correcta es E
Sea x la cantidad de monedas de $50, e y la cantidad de monedas de $100, entonces
las ecuaciones que se pueden plantear:
x
50x
y
20
100y
1650
x
y
20
2y
33
x
La primera ecuación se multiplica por-2 y se suman ambas ecuaciones:
-2x – 2y =-40
x + 2y = 33
-x = -7
x = 7.
26. La alternativa correcta es D
“El cuádruplo del doble del sucesor de a es igual al antecesor del cuadrado del
sucesor de a” se debe escribir en forma algebraica:
Sucesor de a:
Doble del sucesor de a:
Cuádruplo del doble del sucesor de a:
a+1
2(a + 1)
4(2(a+1))
Cuadrado del sucesor de a:
Antecesor cuadrado del sucesor de a:
(a + 1)2
(a + 1)2 – 1
Por tanto la respuesta es 4 · 2 · (a + 1) = (a + 1)2 – 1
27. La alternativa correcta es D
x
y
+
=0
3
2
x
y
+
=1
4
6
La primera ecuación se multiplica por 6 y la segunda por 12:
2x
3x
3y
2y
0
12
La primera ecuación se multiplica por 3 y la segunda por 2:
6x 9y 0
6x 4y 24
con lo que -5y = 24, por lo que 5y = -24.
10
28. La alternativa correcta es B
La función cuadrática debe tener a > 0, ya que las ramas se abren hacia arriba y el
corte con el eje Y debe ser negativo, es decir c < 0, siendo f(x) = 2x 2 – 2x -1, la
única función descrita en la alternativas que cumple ambas condiciones.
29. La alternativa correcta es B
Se pide el cuociente entre
x+2
x2 + x 2
y
:
3x 6
x 2
x + 2 x2 x 2
:
x 2
3x 6
x+2
3x 6
x 2 x2 x 2
x+2
x 2
3(x 2)
(x 2) (x 1)
30. La alternativa correcta es D
Factorizando
-x4 + x3 – x2 + x se tiene:
= -1(x4 – x3 + x2 - x)
= -1 x (x3 – x2 + x - 1)
= -1 x (x2 (x – 1) + (x - 1))
= -1 x ((x – 1) (x2 + 1))
= x ((1 - x) (x2 + 1))
o
El único factor que no corresponde es (x2 – 1)
31. La alternativa correcta es D
f(2) = 3 = 4a – 2 + a
3 = 5a - 2
3 + 2 = 5a
5 = 5a
1=a
2a = 2
11
3
x 1
32. La alternativa correcta es C
Si la recta tiene por ecuación 3y + 5x – 15 = 0, entonces se puede escribir como
ecuación principal, y = mx + n con m la pendiente y n el corte con el eje Y o
5
x 5
coeficiente de posición, como y
3
I)
Falso.
Para x = 8, al reemplazar en la ecuación y es distinto de cero,
por tanto la recta no intersecta al eje x en el punto (8, 0).
Como el coeficiente de posición es n = 5, intersecta al eje Y en
el punto (0, 5).
5
m=
.
3
II) Falso.
III) Verdadero.
33. La alternativa correcta es B
f(x)
4x
f(1)
4
4
4
3
3
I) Falso.
II) Verdadero.
III) Falso.
3
f(0)
4
3
4
3
7
f( 1)
4
4
3
8
3
11
f(1) = 3; f(-1) = 11.
f(1) + 1 = 3 + 1 = 4; f(-1) – f(0) = 11 – 7 = 4
1
1
f
4
4 3 3 3 6.
4
4
34. La alternativa correcta es C
I)
Falso.
II) Falso.
III) Verdadero.
La función f(x)
x
se indetermina cuando x = 0.
x
No, es constante igual a -1 antes de cero y constante igual a 1
después de cero.
Para x > 0, la función es constante igual a 1.
12
35. La alternativa correcta es C
La diagonal del cuadrado de lado 4p mide 4p 2 . Además tiene un área inicial de
(4p)2 = 16p2, y su perímetro es igual a 4(4p) = 16p.
El nuevo cuadrado tiene una diagonal igual a la mitad del cuadrado anterior, es decir
de 2p 2 , entonces el área, calculado como el semiproducto de las diagonales, es
2 2p 2 2p
4p2 . Con lo anterior se puede deducir que el lado es igual a 2p,
2
por tanto el perímetro es igual a 8p.
decir
I) Verdadero.
II) Verdadero.
III) Falso.
Área del nuevo cuadrado = p(4p).
El perímetro del nuevo cuadrado es 8p.
El cuadrado inicial tiene un área 300% superior al nuevo
cuadrado.
36. La alternativa correcta es E
Como L1 // L2 // L3, se puede aplicar el teorema de Thales con la proporcionalidad
entre los trazos:
2k
x
x
3
1
3k
2x + 2 = 3x – 9
11= x
Entonces FD = DE + EF = x + 1 + x – 3 = 2x – 2 = 2 11 – 2 = 20
37. La alternativa correcta es C
Al trazar las tangentes desde un punto a una
circunferencia, estas tienen la misma longitud.
Entonces CD = CE; DB = FB; AE =AF.
C
6
6
E
D
9
x
A
15
x
F
9
Colocando la información dada en la figura se
tiene que:
56 = 12 + 18 +2x
56 = 30 + 2x
26 = 2x
13 = x
B
13
38. La alternativa correcta es E
I)
Verdadero.
II)
Verdadero.
III)
Verdadero.
Si BC > AC y AC ≅ CD , se puede aplicar el postulado de
congruencia de LLA>.
Si ACDB es un paralelogramo el ángulo ABC y el ángulo DCB
son congruentes, además AC ≅ CD y como comparten el
segmento BC, se puede aplicar el postulado de congruencia
ALA.
DBC , y
Con BC es bisectriz del ángulo ABD y ACD, ABC
ACB
DCB y como comparten el segmento BC, se puede
aplicar el postulado de congruencia ALA.
39. La alternativa correcta es B
I)
II)
III)
Falso.
Falso.
Verdadero.
No hay ángulos que relacionen las rectas L4 y L5.
No hay ángulos que relacionen las rectas L3 y L5.
El ángulo exterior de 140° relaciona los ángulos de las
rectas L1, L2 y L3, ya que estas configuran un triángulo y
por tanto el vértice entre la recta L1 y L3 forma un ángulo
de 90°, ya que este ángulo suma 140° con los 50° del
vértice de L3 y L2.
40. La alternativa correcta es D
Falso.
Dos triángulos, si tienen sus tres ángulos interiores de igual medida, se
puede asegurar que son semejantes.
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y un
B) Falso.
ángulo interior de igual medida, siempre y cuando el ángulo se encuentre entre
los lados congruentes, para poder aplicar el postulado LAL, o el ángulo este
enfrentando al mayor de los lados congruentes, para aplicar el postulado LLA>.
Dos triángulos equivalentes solo tienen igual área, no necesariamente
C) Falso.
son congruentes.
D) Verdadero. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el
ángulo entre ellos de igual medida, aplicando el postulado de LAL.
Dos triángulos semejantes son congruentes, siempre y cuando la
E) Falso.
proporción de los lados es igual a 1.
A)
14
41. La alternativa correcta es E
Supongamos la longitud de cada lado de la figura sea igual a k, entonces:
Perímetro cuadrado = 4k
Perímetro polígono = 8k
k2 3
Área cuadrado = k2
Área total Triángulos equiláteros = 4
4
I)
Falso.
k2 3
La suma de las áreas de los triángulos equiláteros es
II)
Verdadero.
III)
Verdadero.
igual a k2 3 y el área del cuadrado es k2.
El perímetro del polígono es el doble del perímetro del
cuadrado, 8k = 2(4k).
Los triángulos equiláteros serán las caras de la pirámide y
el cuadrado su base.
42. La alternativa correcta es D
x
B
A
O
3k
Al estar inscrita en la circunferencia se tiene que
BAC
BDC ya que subtienden el arco BC, así
ABD
ACD ya que ambos ángulos
también
subtienden el arco DA.
Aplicando las proporciones indicadas que
DE : BE=1:3, y como el CED es equilátero y su
perímetro es
E
k
C
k
AB
BE
x
3k
k
D
54 , entonces 3k =
CD
ED
k
k
x = 3k =
54
43. La alternativa correcta es C
C
E
A
F
O
Con EG // AB , se tiene entonces:
G
CEG
CAB
CFE
COA
CFG
COB
B
15
54 .
44. La alternativa correcta es C
x
S
El perímetro del rectángulo está dado por:
R
y
8 = 2x + 2y
4=x +y
4–x=y
y
P
Área = x y = x (4 – x) = 4x – x2.
Q
x
45. La alternativa correcta es A
I)
Verdadero.
II)
III)
El centro de simetría de un rectángulo está dado por la
intersección de sus diagonales.
Las diagonales de un rectángulo no son perpendiculares.
Dado que las diagonales de un rectángulo no son
perpendiculares, estas no son ejes de simetría.
Falso.
Falso.
46. La alternativa correcta es C
L1
L2
El triángulo ABC es isósceles de bases AB,
CBA = 70°.
con lo que los BAC
x
x
110°
L3
B
x
A 70°
El ángulo x, dado que L1 y L2 son paralelas
y L3 y L4 también son paralelas es ángulo
exterior al triángulo ABC y suplementario
con el ángulo de 70°, con lo que mide
110°.
L4
70°
40°
C
16
47. La alternativa correcta es D
y
4
C(-2, 2)
La figura que se forma es un trapecio con bases
de 4 y 6, y altura 2
B(2, 2)
A(3, 0) x
D(-3, 0)
6
I)
Verdadero.
II)
III)
Falso.
Verdadero.
El área de la figura se determina como la multiplicación
de la semisuma de las bases con la altura:
a c
4 6
h
2
2 5 10 .
2
2
La altura de la figura mide 2.
Cada lado del trapecio es la hipotenusa de un triángulo
de cateto 2 y 1, por lo que AB y CD miden
5 . Entonces
el perímetro del trapecio es 4+6+ 5 + 5 = 10 + 2 5 .
48. La alternativa correcta es E
A) Falso. Los triángulos equiláteros, son siempre semejantes, pero no siempre
congruentes.
B) Falso. Si dos triángulos tienen igual perímetro no dice nada con respecto a si son
congruentes.
C) Falso. Si son equivalentes indica que tienen la misma área no que sean
congruentes.
D) Falso. Para ser congruentes deben tener los tres lados congruentes.
E) Verdadero. Ninguna de las anteriores.
49. La alternativa correcta es C
B
A
20°
40°
O
20°
D
E
20
C
Si AB ≅ BC , el ABC es isósceles por tanto el
CAB 20 .
Como
//
el
AB
DE
CAB
AED 20 , siendo este último un
ángulo inscrito que subtiende el arco AD, al
igual que , por tanto = 2 AED 40 .
17
50. La alternativa correcta es D
Para saber si son tríos pitagóricos se debe comprobar que la suma de los cuadrados
de los dos números menores, que serían los catetos, es igual al cuadrado del mayor
de los números, que sería la hipotenusa, ó también se puede explorar si las ternas
dadas son múltiplos de ternas pitagóricas más conocidas, como 3 – 4 – 5; 5 – 12 –
13; 8 – 15 - 17:
A)
B)
C)
D)
E)
3–4–5
10 – 24 –
11 – 60 –
13 – 83 –
16 – 30 –
terna conocida
9 + 16 = 25
múltiplo de la terna 5, 12, 13, multiplicada por dos.
121 + 3600 = 3721 coincide
169 + 6889 7225, no es terna pitagórica
múltiplo de la terna 8, 15, 17.
26
61
85
34
51. La alternativa correcta es B
RQ
QR , entonces el MNP es
MP y MQ
isósceles
de
base
MR,
con
lo
que
.
QMR
QRM 45
P
70°
Q
Si MPN = 70°:
90°
45°
45°
M
R
N
+ 45 + 70 = 180
+ 115 = 180
= 65°
52. La alternativa correcta es C
y
C
5
3
A
fig. 13
K
2
-2
7
Si el ABC es rectángulo en A, entonces se debe
cumplir que el producto de las pendientes de las
rectas AC y BA debe ser igual a -1.
A(2, 3) ; B(K, -2); C(7, 5)
mAB mAC
x
3 ( 2) 5 3
2 K 7 2
5
2
2 K 5
5
2 K
2
B
18
1
1
1
5
2
(2
2
K
4
K
K)
2
53. La alternativa correcta es A
C
D
Al trazar la tercera transversal de gravedad se
forman 6 triángulos equivalentes, es decir 6
triángulos con igual área, por tanto las áreas que
se piden comparar son iguales, entonces la razón
es 1 : 1.
E
F
A
B
54. La alternativa correcta es C
Contando los elementos del cuerpo geométrico se tiene que:
X = 12 (vértices)
Y = 18 (aristas)
Z = 8 (caras)
55. La alternativa correcta es C
F
Sea a el largo de AB, con 2AB = BC, por tanto
BC = 2a.
BCD un triángulo rectángulo isósceles, entonces
BC = DB = 2a, además si BE = 2BD = 4a.
E
2a
D
2a
A
a
B
2a
C
Área triangulo DBC =
Si el área del rectángulo ABEF es igual a 36 cm2,
entonces:
36 = 4a (a)
9 = a2
2a 2a
2
2a2
2 9
18
El polígono ACDEF está formado por el triángulo
DBC y el rectángulo ABEF, por tanto el área total
es igual a 36 + 18 = 54 cm2.
19
56. La alternativa correcta es B
N : cantidad de bolitas negras; B : cantidad de bolitas blancas; T: cantidad total de
bolitas.
PN
N
T
2N
1
PB
2
1 B
2 T
B
Para conseguir que la cantidad de bolitas blancas sea el doble de bolitas negras, es
necesario sacar una bolita negra.
57. La alternativa correcta es C
La probabilidad de que salgan defectuoso más la probabilidad de que no salgan
defectuosos es igual a 1.
3
20
chocolates que se tengan.
PDefectuoso
PNo Defectuoso
17
que es independiente de la cantidad de
20
58. La alternativa correcta es E
Calculando los parámetros estadísticos pedidos
x
2
3
5
6
8
10
Total
A)
B)
C)
D)
E)
f
3
2
1
4
3
2
15
x f
6
6
5
24
24
20
85
Fac
3
5
6
10
13
15
Falso. La moda es 6 ya que se repite cuatro veces.
Falso. La cantidad de datos corresponde a la suma de las frecuencias y es 15.
85
5, 6 .
Falso. El promedio es
15
Falso. La moda es 6 ya que se repite cuatro veces.
Verdadero. La mediana es el dato que está en el lugar 8, que es la mitad de los
datos y corresponde a x = 6.
20
59. La alternativa correcta es E
Son 30 bolitas entre rojas y azules, pero se desconoce la cantidad de bolitas de cada
color. Como la probabilidad corresponde al cuociente entre el número de bolitas y el
total, se puede determinar la cantidad de bolitas de color azul con su probabilidad:
PA
Bolitas Azules
Total
Bolitas Azules
30
Bolitas Azules
1
6
1
6
1
6
5
Entonces, se tienen 5 bolitas azules y 25 bolitas rojas:
PA PA sinreposición
5 4
30 29
1 4
6 29
1 2
3 29
2
87
60. La alternativa correcta es C
I)
II)
III)
Falso.
Falso.
Verdadero.
No se sabe si las bolitas restantes son todas verdes.
No se sabe cuántas bolitas verdes aún quedan en la bolsa.
A lo menos la probabilidad de obtener verde es la probabilidad
dada por el resultado obtenido 5 verdes de un total de 8.
61. La alternativa correcta es A
Recipiente A: 2 Rojos; 5 Blancos
Recipiente B: 8 Rojos; 3 Blancos
Probabilidad de escoger recipiente A = 1 de 2 =
1
2
Probabilidad de escoger un soquete rojo del recipiente A =
Por tanto la probabilidad pedida es
1 2
2 7
21
1
7
2
7
62. La alternativa correcta es B
En un dado de 6 caras se tiene seis números, y se pide la probabilidad de obtener en
dos lanzamientos números iguales:
P1 P1
P2 P2
1 1
6 6
P3 P3
1 1
6 6
P4 P4
1 1
6 6
1 1
6 6
P5 P5
P6 P6
1 1
6 6
1
6
1
6
6
1
6
1
6
1
6
63. La alternativa correcta es C
Si la media aritmética de tres de los números es
3
A
, entonces la suma de ellos es
2
A
. Entonces el promedio de los 5 números se puede expresar como:
2
A
2
5
A
3
2
3
x
A
x
5A
x
5A
x
7A
2
3A
2
La suma de los números está representada por x, por tanto la media aritmética es
7
A
x 2
7
igual a
A
2
2
4
64. La alternativa correcta es A
La expresión matemática que representa lo descrito en el enunciado:
4 0,2
5 0, 4
0, 8
2
x 0, 4
5,2
0, 4x
5,2
0, 4x
0, 4x
5,2 2, 8
2, 4
x
22
6
65. La alternativa correcta es C
I)
II)
III)
Falso.
sean a, b y c los números, la nueva media estaría dada por
a 1 b 1 c 1 a b c 3 a b c
1,
donde
se
3
3
3
observa que el promedio aumenta 1 unidad.
Cambian los números por tanto el número central cambia.
La varianza representa la dispersión de los datos, por tanto al
aumentar todos los datos una unidad, la dispersión se
mantiene constante.
Falso.
Verdadero.
66. La alternativa correcta es E
Probabilidad que llueva y Probabilidad que llueva =
45 45
9 9
81
0, 2025 20, 25%
100 100 20 20 400
67. La alternativa correcta es C
Sean A, B y C los tres sucesos complementarios, lo que indica que son los únicos
eventos que forman el espacio muestral y que por tanto sus probabilidades suman 1.
PB
2PA
PB
2
PC
PA
PA
PB
2
PB
PB
PC
1
PB
2PB
1
2PB
2
4PB
1
7PB
2
PB
2
7
23
2PB
68. La alternativa correcta es E
El conjunto de datos es {3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5} con 12 elementos
I)
Verdadero.
II)
Verdadero.
III)
Verdadero.
Como la cantidad de elementos es un número par, la
mediana es el promedio de los dos elementos centrales del
conjunto, 4 y 4, por tanto la mediana es 4.
El elemento que se repite más cantidad de veces es el
número 5.
La media aritmética es:
3
3
3
4
9
16 25
12
4
32
4 4 5
12
42 52
12
5
5
5
5
.
69. La alternativa correcta es E
La cantidad de bolitas impares y blancas es 1 entre 10, por tanto la probabilidad es
1
.
10
70. La alternativa correcta es B
P6
2
P6
3
3
P
2 otro número
Potro número
La suma de las probabilidades debe dar 1:
5Potro número
P6
3
P
2 otro número
3
P
2 otro número
5Potro número
5
13
P
2 otro número
Potro número
P6
3 2
2 13
1
1
1
1
2
13
3
13
24
En el dado tenemos como números pares al 6 con probabilidad de salir
al 4 con probabilidad de
3
13
3
, y al 2 y
13
2
, entonces la probabilidad pedida es:
13
2
13
2
13
7
13
71. La alternativa correcta es C
Con dos números iguales y uno diferente, en ese orden, se tiene:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
4
5
6
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
2
4
5
6
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
1
2
3
5
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
1
2
3
4
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
1
2
3
4
5
Entonces existen 30 opciones que cumplen con lo pedido, entre 216 (multiplicación
de 6 6 6):
30
216
5
36
72. La alternativa correcta es A
4 fichas blancas + 5 fichas negras = 9 fichas en total
La probabilidad pedida es que salga una vez una ficha de color Blanco:
P(X
I)
II)
III)
1)
5 4
9 8
Verdadero.
Falso.
Falso.
4 5
9 8
2
4 5
9 8
Es el resultado pedido.
Es otro valor.
Es otro valor.
25
73. La alternativa correcta es A
I)
II)
III)
Verdadero.
El eje de simetría es el valor del promedio de la
distribución.
No necesariamente ocurre que si 1 > 2, entonces 1 > 2.
La probabilidad de que los valores pedidos sean menores
que los promedios, para variables con distribución normal
es igual a 0,5 siempre.
Falso.
Falso.
74. La alternativa correcta es C
La altura del edificio:
(1)
Se conoce la sombra del edificio, pero faltan antecedentes para determinar la
altura.
(2)
Se tiene los datos de la altura de un hombre y su sombra en el mismo
momento, solamente.
Al juntar las informaciones se puede establecer semejanza entre las sombras del
hombre y del edificio, y las alturas del hombre y el edificio. Como la única incógnita
es la altura del edificio, esta se puede calcular.
H
7
1,8
1,2
H
10,5 m
75. La alternativa correcta es C
El área a determinar es un cuarto del área total de un círculo, por lo que la fórmula a
aplicar sería
(1)
(2)
r2
.
4
Con la medida del radio de la circunferencia mayor, R, se conoce el área total
del cuarto de circunferencia, desde el centro O, pero no se puede determinar
el área pedida.
Con este dato solo se conoce la relación entre los radios, pero no el valor de
cada uno de ellos, por tanto la información es insuficiente.
Al juntar ambas informaciones se conoce en valor de R y de
R
, así que se puede
2
determinar el valor del área pedida según
R2
4
R
4
4
R
2
R2
4
R2
16
3 R2
16
O
26
R
2
76. La alternativa correcta es B
(1)
Se cumple para cualquier triángulo rectángulo.
(2)
Al tener dos ángulos interiores de igual medida, implica que tiene dos ángulos
interiores de igual medida y por tanto es un triángulo isósceles.
77. La alternativa correcta es E
Sea N la edad de Natalia, P la edad del padre y h la edad del hermano menor:
(1)
(2)
N = P – 25, una ecuación con dos incógnitas no se puede resolver.
N = 2 h, una ecuación con dos incógnitas no se puede resolver
Con ambas informaciones se forma un sistema de dos ecuaciones pero con tres
incógnitas, por lo que no se puede resolver, por tanto se requiere información
adicional.
78. La alternativa correcta es C
Se desea determinar el valor de la expresión 6a +
a
b
1
2
2a
2
,
b
b . Es una ecuación con dos incógnitas, por lo
(1)
a: b = 1 : 2
(2)
que no se puede resolver. Información insuficiente
3a + 5b = 12. Es una ecuación con dos incógnitas, por lo que no se puede
resolver. Información insuficiente.
Al juntar (1) y (2), se tiene un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones y dos
incógnitas, por tanto juntas pueden contestar lo solicitado.
79. La alternativa correcta es A
El valor de la expresión (a + b)3
(1)
El valor dado de (a + b) se eleva al cubo y se determina lo solicitado.
(2)
El valor del producto de ab no permite contestar lo solicitado.
27
80. La alternativa correcta es E
La distancia entre dos edificios
(1)
(2)
Se conoce el tiempo que se demora en recorrer en bicicleta. Información
insuficiente.
Se conoce el tiempo que se demora en recorrer a pie. Información insuficiente.
Al juntar ambas informaciones no es posible conocer la distancia entre los edificios,
ya que se ignora la velocidad con la cual recorre esta distancia.
28