1. Healthcare

Númerosreales
Propiedades
Lecturainicial
• Analizareldocumento:http://
www.profesorenlinea.com.mx/matematica/
Numeros_reales.html
• Siloconsideranecesario,verelvideo:
https://www.youtube.com/watch?v=ZhDcvReFAE
Axiomas
Paradosnúmerosrealescualesquieray
x y
x + y ∈!
cualesquierasedefinelasumayla
x ⋅ y ∈!
multiplicación,quesatisfacenalgunos
axiomas.
Axiomasrelacionadosconlasuma
• propiedadconmutativadelasuma
x+ y= y+ x
• propiedadasociativadelasuma
x + (y + z) = (x + y) + z
• existeunnúmeroneutroaditivo(0),talque
x+0= x
4
Axiomas
(−x)
x
• Paratodonúmerorealexisteotrotal
que x + (−x) = 0
(−x)
• estenúmeroeselinversoaditivode
x
Axiomas
• Propiedadconmutativadelproducto
x⋅y = y⋅x
• existeunnúmero(1)llamadoelneutro
multiplicativo,talque
x ⋅1 = x
−1
x
• paratodonúmero,existeotro()
x
llamadosuinversomultiplicativo,talque
−1
x ⋅(x ) = 1
Axiomas
• Propiedaddistributivadelproducto
x ⋅(y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z
Definiciónderesta
• Larestadedosnúmerosrealessedefinea
partirdelasuma
x + (−y) = x − y
Definicióndedivisión
• Ladivisión(cociente)dedosnúmerosrealesse
define
x
−1
x ⋅(y ) =
y
siempreque y ≠ 0
Leydetricotomía
• Paranúmerosrealescualesquieraunoes
mayorqueelotroosoniguales.
• ysolosecumpleunadelascondiciones
x < y, x = y, x > y
Axiomasdeorden
• Enlosnúmerosrealessedefinenlasrelaciones
deordenentredosnúmeros.
• Lasrelacionesdeordenimplicanelusode
algunodelossímbolos
<, ≤, >, ≥
• estasrelacionescumplenconvariosaxiomas.
Axiomaconsecuenciadelatricotomía
z
• Si,alsumarunnúmerocualesquiera
x<y
enamboslados,secumple x + z < y + z
• Porejemplo,para3<5,sisumamos4,setiene
que3+4<5+4,osea,7<9
• Ytambién,para3<5,sisumamos-4,setiene
que3+(-4)<5+(-4),osea,-1<1
Propiedaddetransitividad
x<y
y<z
• Siy,entonces
x<z
• Ejemplo:
8 < 15
y,entonces
8 < 12 12 < 15
• Ejemplo:
ay,entonces
+b <c
c<d+e
a+b <d+e
Desigualdadestrictaynoestricta
• Lasdesigualdadesestrictasseconstruyencon
>y<.
• Lasdesigualdadesnoestrictasseconstruyen
≤ y ≥
con.
• Sedefinenotraspropiedadesdeorden.
Productoporunnúmeropositivo
y<x
• Si,ysemultiplicaporunnúmero
z
positivo,secumplelamismarelaciónde
orden,estoes: yz < xz
• Ejemplo:Si,almultiplicarpor
3x + 2 < 4x
1/4,setiene 1
1
4
(3x + 2) < 4 (4x)
Productoporunnúmeronegativo
y<x
• Si,ysemultiplicaporunnúmero
z
negativo,larelacióndeordeninvierte:
yz > xz
• Ejemplo:Si,almultiplicarpor
3x + 2 < 4x
-1/4,setiene
− 14 (3x + 2) > − 14 (4x)
Cotasuperiordeunconjunto
• Consideremosunsubconjuntonovacío A ⊂ !
x
• Siexisteunnúmeroqueesmayoroiguala
cualquiernúmeroenA,sedicequeAestá
acotadosuperiormente,
x
yesunacotasuperioromayorantedeA.
• Matemáticamente,esunacotasuperiordeA
x
si,
∀a ∈A ⇒ x ≥ a
Cotasuperiorysupremodeunconjunto
• Sihayunelementomenorentrelascotas
superiores,éstaesunacotasuperiormínimao
supremo.
• Entonces,siexisteunsupremo.
• SielsupremoperteneceaA,entoncesAtiene
máximoysupA=máxA.
Cotainferiordeunconjunto
Demaneraanáloga:
• SedefinecotainferiorominorantedeA.
• SiAtienecotasinferiores,estáacotado
inferiormente.
• Lamayordelascotasinferioreseselínfimode
A.
• SielínfimodeAperteneceaA,entoncesA
tienemínimoymínA=ínfA.
Conjuntoacotado
• Siunconjuntoestáacotadoinferiory
superiormente,sedicequeestáacotado.
Máximoymínimodeunconjunto
• Ejemplo:Considerarelconjunto
A = {a ∈! : 0 ≤ a < 1}
Lascotasinferiores(minorantes)sontodoslos
númerosmenoresoigualesacero.
Elmayordesusminorantes(elínfimo)escero.
YaqueelínfimoperteneceaA,Atienemínimoy
escero.
Máximoymínimodeunconjunto
A = {a ∈! : 0 ≤ a < 1}
Lascotassuperiores(mayorantes)sontodoslos
númerosmayoresoigualesa1.
Elmenordesusmayorantes(elsupremo)es1.
ComoelsupremonoperteneceaA,Anotiene
máximo.
Aestáacotado(esminoradoymayorado).