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Fı́sica del Estado Sólido
Práctico 5
Vibraciones de los Cristales
1. Medición de las Constantes de Fuerza
Considere una red lineal monoatómica, siendo M la masa de cada átomo y a la distancia
entre ellos. Sea βp la constante de fuerza entre dos átomos que distan pa, es decir, β1 para
interacción de primeros vecinos, β2 para segundos vecinos, etc.
a) Verifique que la relación de dispersión en este caso es:
ω2 =
2 X
βp (1 − cos pka)
M
p>0
b) Demuestre que si se conoce experimentalmente la relación de dispersión ω(k) las
constantes de fuerza pueden deducirse a través de:
Ma
βp = −
2π
Z
+π
a
dk ω 2 (k) cos pka
−π
a
2. Cadena Lineal Diatómica
Desarrolle el modelo para una cadena lineal diatómica formada por una red lineal (de
periodicidad a) y una base de dos átomos de masas M1 y M2 (suponiendo M1 ≥ M2 ),
siendo la distancia entre los átomos de la base b. Considere el caso en que solamente hay
fuerzas elásticas (de constante β) entre átomos diferentes y próximos (distancias interatómicas menores que a). Llame us y vs a los desplazamientos (en torno a sus posiciones
de equilibrio) de los átomos de masas M1 y M2 , respectivamente, ubicados en la celda
s-ésima.
a) Plantee las ecuaciones de movimiento para átomos genéricos de cada tipo y busque
soluciones de ondas sinusoidales de frecuencia angular ω y vector de onda k:
us = u0 eiska e−iωt
vs = v0 eiska e−iωt
siendo u0 y v0 las amplitudes de oscilación correspondientes a cada tipo de átomo,
encuentre la relación entre ω 2 y k.
b) Comportamiento en el Centro de la Zona de Brillouin
Para ka << 1 (centro de la Zona de Brillouin):
i. Calcule las velocidades de grupo de los fonones acústicos y ópticos cerca del centro
de la primera Zona de Brillouin. ¿Cómo se relaciona la primera con la velocidad de
1
propagación del sonido y cuál es el signo de la segunda?
ii. Halle la relación entre las amplitudes de vibración de cada tipo de átomo v0 /u0
para las dos ramas (acústica y óptica).
c) Comportamiento en el Borde de la Zona de Brillouin
Halle la relación entre las amplitudes de vibración de cada tipo de átomo v0 /u0 para
las dos ramas (acústica y óptica) cuando el vector de onda es: k = kmax = π/a.
Demuestre que para este valor de k las dos redes se comportan como si no estuvieran
acopladas; una red permanece en reposo mientras que la otra se mueve.
d ) Doblamiento en el Borde de la Zona de Brillouin
Compare la solución para las vibraciones de una cadena monoatómica con la de una
cadena diatómica, cuando los átomos (además de las constantes de acoplamiento
entre ellos) son idénticos entre sı́ (M1 = M2 ) y se encuentran equidistantes (b =
a/2). Observe que el perı́odo de la cadena diatómica es el doble del de la cadena
monoatómica.
e) En el caso de que la diferencia entre las masas sea muy grande (M1 >> M2 ) encuentre
soluciones analı́ticas aproximadas para los modos ópticos y acústicos.
3. Energı́a de una onda vibracional
Considere una onda longitudinal:
us = u0 cos(ωt − ska)
que se propaga en una red lineal monoatómica de átomos de masa M , espaciado a e
interacción entre vecinos más próximos de constante β.
a) Demuestre que la energı́a total de la onda es:
1 X dus 2
1 X
E= M
+ β
(us − us+1 )2
2
dt
2
s
s
en donde s se extiende sobre todos los átomos.
b) Por sustitución de us en esta expresión, demuestre que la energı́a total por átomo
promediada en el tiempo es:
1
1
1
M ω 2 u20 + β(1 − cos pka)u20 = M ω 2 u20
4
2
2
4.
a) Demuestre a partir de us+q = u0 ei(s+q)ka e−iωt , que el momento lineal de un cristal
lineal que contiene N átomos iguales de masa M , equidistantes a, en el que se excita
una onda de vector de onda k es:
p=
N
−1
X
r=0
M
N
−1
X
∂ur
= iωM u0 e−iωt
eirka
∂t
r=0
Evalúe este resultando usando que, para k 6= 0, el valor de la suma que aparece en
la expresión anterior es:
1 − eiN ka
1 − eika
2
b) Aplicando la condición periódica en los lı́mites ur = ur+N (Born - von Karman)
demuestre los valores de k quedan restringidos por: eiN ka = 1.
c) Utilice estos resultados para demostrar que un fonón posee una cantidad de movimiento nula, excepto cuando k = 0.
Nota: Esto demuestra que la cantidad ~k, denominada cantidad de movimiento del
cristal, y usualmente asimilada al momento lineal del fonón, es un momento puramente cuántico (asociada a reglas de selección de transiciones entre estados cuánticos),
y que no es posible interpretarla como la cantidad de movimiento de la vibración de
los átomos estudiados clásicamente.
5. Cristal de moléculas diatómicas
Considere los modos normales de una cadena lineal diatómica en los cuales todos los
átomos tienen la misma masa M . La periodicidad de la cadena es a mientras que la
separación entre los átomos de la base es b, de forma que δ = b/a ≤ 1/2 . Las constantes
de fuerza son: β1 entre los átomos de la base, y β2 entre un átomo de la base y el más
próximo de uno de los dos átomos que pertenecen a otra base.
a) Determine y represente cualitativamente los espectros ω(k) acústico y óptico de fonones de esta red.
b) Halle en forma exacta ω(k) para k = 0 y k = π/a.
c) Evalúe para δ = 1/2 y:
i. β2 = 10β1
ii. β2 = β1
6. Dispersión Inelástica
Considere una onda electromagnética (fotones de energı́a ~ωi y cantidad de movimiento
h~ki ) viajando por un medio material cristalino en el que los átomos vibran con frecuencia
angular ωq , siendo ~q el vector de onda de la onda vibracional correspondiente. Estudie
la dispersión inelástica de dicha onda electromagnética utilizando la teorı́a general de
dispersión usando una densidad de dispersión dependiente del tiempo ρ(~r, t), donde la
dependencia temporal se origina solamente en el desplazamiento de los átomos respecto a su posición de equilibrio. Considere el caso de una red monoatómica, en la que el
desplazamiento del átomo n-ésimo puede escribirse como:
~rn = T~n + ~un (t)
donde T~n (puntos de la red directa) son las posiciones de equilibrio y ~un (t) es el desplazamiento (respecto al equilibrio) originado por la onda vibracional.
a) Asumiendo átomos puntuales, de forma que la densidad de dispersión de equilibrio
es:
ρ(~r) =
X
δ(~r − T~n )
n
calcule la amplitud de dispersión expandiéndola en potencias de ~un (t), asumiendo
que el desplazamiento es pequeño.
3
b) Verifique que el término de orden cero en la expansión anterior corresponde a la
deducción usada en la difracción de rayos X que conduce a la condición de Laue para
difracción.
c) Utilizando el mismo argumento para el término de primer orden deduzca que los
fotones dispersados tienen energı́a ~ωd y cantidad de movimiento ~~kd están dados
por las siguientes reglas de selección:
~ωd = ~ωi ± ~ω(~q)
~
~~kd = ~~ki ± ~~q + ~G
Nota: El signo + corresponde a la absorción de un cuanto de energı́a de la onda
vibracional (fonón) por la onda electromagnética, mientras que el signo – corresponde
a la emisión de uno de esos cuantos. Cuando la relación de dispersión ω(~q) corresponde
a fonones acústicos se denomina dispersión de Brillouin, mientras que para fonones
ópticos se denomina dispersión Raman. Observe que la periodicidad de la red cambia
~ denominado
la regla de conservación de cantidad de movimiento en un término ~G
cantidad de movimiento del cristal.
7. Red cuadrada
a) Considere vibraciones transversales de una red plana cuadrada de filas y columnas
de átomos idénticos. Sea ulm el desplazamiento normal al plano de la red del átomo
de la columna l y fila m (ver figura). Sea M la masa de cada átomo y suponga que
las constantes de fuerza son tales que la ecuación del movimiento es:
M
d2 ulm
= β [(ul+1,m + ul−1,m − 2ul,m ) + (ul,m+1 + ul,m−1 − 2ul,m )]
dt2
b) Suponiendo soluciones de la forma:
ulm = u0 ei(lkx x+mky y−ωt)
donde a es la separación entre los átomos vecinos más próximos; demuestre que se
satisface la ecuación del movimiento si:
ω 2 M = 2β (2 − cos kx a − sen ky a)
esta es la relación de dispersión para el problema.
4
c) Demuestre que la región del espacio k para la cual existen soluciones independientes,
puede tomarse como una red cuadrada de lado 2π/a. Esta es la primera zona de
Brillouin de la red cuadrada. Represente ω en función de k para k = kx con ky = 0
y para kx = ky .
d ) Demuestre que para ka << 1 es:
q
p
2
ω = βa /M kx2 + ky2 =
r
βa2
k
M
8. Absorción Infrarroja
Considere la respuesta de un cristal lineal diatómico a la radiación electromagnética en
el infrarrojo. Suponga el cristal formado por iones de masas m y M con carga opuesta q
y −q y que sólo hay interacción elástica de primeros vecinos, con constante β. El campo
eléctrico puede suponerse:
E = E0 ei(kx−ωt)
y se desprecia la parte magnética.
a) Escriba cómo se modifican las ecuaciones de movimiento de la red diatómica forzada
por la acción del campo.
b) Suponga que la onda electromagnética se encuentra en la región del infrarrojo, o sea
λ = 1−100µm. Para un cristal con constante de red tı́pica a ' 5Å, compare el vector
de onda del campo electromagnético con el borde de la zona de Brillouin. Deduzca
que la respuesta del material se dará en el centro de la zona de Brillouin, por lo que
es razonable suponer k ' 0.
c) Bajo la aproximación anterior resuelva los desplazamientos atómicos
en función del
q
1
1
campo eléctrico y observe que poseen resonancias para ω0 = 2β m
+M
, correspondiente al valor de la rama de fonones ópticos en el centro de la zona de Brillouin.
9. Modo vibracional localizado en un defecto
Considere una cadena lineal monoatómica infinita, de átomos de masa M y acoplamiento
de primeros vecinos β. En el origen de coordenadas (correspondiente al ı́ndice s = 0) la
cadena posee un defecto o impureza sustitucional de masa m (es decir, un átomo de masa
m 6= M se encuentra en la posición del átomo de masa M que deberı́a estar en ese lugar).
a) Escriba las ecuaciones de movimiento para la impureza sustitucional (s = 0) y alguno
de sus primeros vecinos (s = 1 ó s = −1).
b) Escriba las ecuaciones seculares que se obtienen al buscar soluciones de ondas localizadas, es decir soluciones del tipo:
us = u0 (−1)s e(α|s| + iωt)
Nota: Si Re[α] < 0 esto corresponde a una oscilación localizada cuya amplitud es
máxima en la posición del defecto (s = 0).
c) Encuentre la frecuencia de oscilación propia ω0 del estado localizadoqescribiéndola en
función de la frecuencia máxima de la cadena lineal infinita, ωm =
de masas r = m/M .
5
4β
M
y la relación
d ) Grafique ω0 (r) discutiendo:
i. Para qué valores de r existen vibraciones localizadas.
ii. Cómo son los valores de ω0 en comparación con ωm .
e) Halle los valores de α en función de r, verificando cuándo son efectivamente modos
localizados, es decir, Re[α] < 0.
10. Anomalı́a de Kohn
En los metales es de esperar que las constantes de fuerza interplanares βp entre los planos
s y s + p sean de la forma (para una red monoatómica, siendo M la masa de cada átomo
y a la distancia entre ellos):
βp = A
sen(pk0 a)
pa
donde A y k0 son constantes y p puede ser cualquier número entero positivo.
a) Utilizando el resultado del ejercicio 1, parte a), halle una expresión para ω 2 y para
2
su derivada ∂ω
∂k .
b) Demuestre que
∂ω 2
∂k
es infinita para k = k0 . Interprete este resultado.
11. Modos de fonones blandos (Soft Phonons)
Considere una lı́nea de átomos de masas iguales, pero de cargas alternadas, en donde ep =
e(−1)p es la carga del ion p. El potencial interatómico es la suma de dos contribuciones:
1. Una interacción elástica de corto alcance que actúa entre los vecinos más próximos
únicamente, con constante de fuerza β1R = γ.
2. Una interacción de Coulomb entre todos los iones.
a) Demuestre que la contribución de la interacción de Coulomb correspondiente al vecino
a distancia pa se puede modelar (a primer orden en el desplazamiento) por constantes
de fuerza atómica elástica:
e2
βpC = 2(−1)p 3 3
p a
en donde a es la distancia de equilibrio entre los vecinos más próximos.
b) A partir del resultado del ejercicio 1, parte a), demuestre que la relación de dispersión
puede escribirse como:
ω2
= sen2
ω02
donde: ω0 =
4γ
M
yσ =
ka
2
+σ
∞
X
(−1)p
p=1
p3
(1 − cos pka)
e2
.
γa3
c) Demuestre que ω 2 es negativo (modo inestable) en el lı́mite de la zona ka = π si se
cumple σ > 4/(7ζ(3)) = 0,475, donde ζ es la función ζ de Riemann.
d ) Demuestre que la velocidad del sonido para valores pequeños de ka es imaginaria si
se cumple σ > 1/(2 ln 2).
e) Interprete fı́sicamente estos resultados.
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