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2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMA 2.- PROGRAMACIÓN LINEAL.
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ
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1.- Inecuaciones lineales y sistemas con dos incógnitas
Una inecuación lineal con dos incógnitas es aquella que se puede expresar de la forma ax + by > c
El signo > puede ser cualquiera de los otros tres (< , ≤ ó ≥)
Resolver una inecuación es averiguar los valores de las incógnitas para que se cumpla la desigualdad.
Por ejemplo, 3x + 2y < 5 es una inecuación lineal con dos incógnitas.
Su recta asociada es 3x + 2y = 5.
La solución de una inecuación lineal con dos incógnitas siempre corresponde a un semiplano cuyo
borde es la recta asociada.
Para resolver una inecuación lineal con dos incógnitas, se representa sobre los ejes de
coordenadas la recta asociada y se determina el semiplano que contiene a las soluciones de la
misma.
Un sistema de inecuaciones es un conjunto de dos o más inecuaciones.
Para resolver un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas, se resuelve cada
inecuación, representando las rectas en los mismos ejes de coordenadas, y luego se determina la
región común que contiene a todas las soluciones de las inecuaciones.
ACTIVIDAD
1 Represente el recinto que determinan las inecuaciones:
2x ≥ 10 + y , x ≤ 2(5 – y) , x ≥ 0 , y ≥ 0 (Propuesto para Selectividad 2014)
2.- Problemas de programación lineal
Considera el siguiente problema: Queremos averiguar para qué valores de x e y la expresión
z = 6x + 4y + 1 toma el valor máximo (o mínimo) si sabemos que x e y cumplen las siguientes
condiciones:
x  0 , y  0

x  y   3
x  y  8

(Conjunto de inecuaciones)
Este tipo de problemas se llaman “problemas de programación lineal”.
En general, un problema de programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una
expresión del tipo z = Ax + By + C, (llamada función objetivo) donde x e y cumplen un conjunto
de inecuaciones, llamadas restricciones
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Para resolver un problema de programación lineal, se pueden seguir los siguientes pasos:
1º) Elegimos las incógnitas, escribimos la función objetivo y las restricciones
2º) Resolvemos el sistema de inecuaciones formado por las restricciones obteniendo así el recinto ó
región factible
3º) Hallamos los vértices del recinto, que serán los posibles puntos donde alcance el máximo o
mínimo la función objetivo
4º) Calculamos lo que vale la función objetivo en cada vértice del recinto y determinamos en qué
vértice se halla el máximo o mínimo valor.
[ Ojo: Puede ocurrir que el máximo (o el mínimo) se alcance en 2 vértices consecutivos.
En este caso, la solución óptima del problema es el segmento que une los vértices)
Para recintos no acotados, es posible que no exista la solución óptima.
ACTIVIDADES
2 Dadas las inecuaciones y ≤ x + 5 , 2x + y ≥ – 4 , 4x ≤ 10 – y , y ≥ 0
a) Represente el recinto que limitan y calcule sus vértices.
1
b) Obtenga el máximo y el mínimo de la función f ( x, y )  x  y en el recinto anterior,
2
así como los puntos en los que se alcanzan.
(Propuesto para Selectividad 2014)
3 Sea R la región factible definida por las siguientes inecuaciones x ≥ 3y , x ≤ 5 , y ≥ 1
a) Razone si el punto (4.5 , 1.55) pertenece a R.
b) Dada la función objetivo F(x,y) = 2x – 3y calcule sus valores extremos en R.
c) Razone si hay algún punto de R donde la función F valga 3.5. ¿Y 7.5?
(Propuesto para Selectividad 2013)
4 En un problema de programación lineal, la región factible es la región acotada cuyos vértices son
A(2,–1) B(–1,2) C(1,4) D(5,0). La función objetivo es la función f(x,y) = 2x + 3y + k cuyo valor
máximo, en dicha región, es igual a 19. Calcule el valor de k e indique dónde se alcanza el máximo y
dónde el mínimo.
(Propuesto para Selectividad 2013)
Hacer actividades de la ficha de la 1 a la 6
5 Plantee, sin resolver, el siguiente problema:
“Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños, pequeños y
grandes.
La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1000 envases en total.
En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños
y 200 envases grandes.
La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños.
El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro por cada envase pequeño y de 20 céntimos de
euro por cada envase grande. ¿Qué número de envases de cada tipo proporciona el mínimo coste de
almacenaje?”
(Propuesto para Selectividad 2013)
6 Plantee, sin resolver, el siguiente problema:
“Un barco puede transportar vehículos de dos tipos: coches y motos. Las condiciones de la nave
obligan a que el número de motos no pueda ser inferior a la cuarta parte del de coches ni superior a
su doble; además, la suma del número de motos más el doble del número de coches no puede ser
mayor que 100. ¿Cuántos vehículos, como máximo, puede transportar este barco?”
(Propuesto para Selectividad 2014)
Hacer actividades de la ficha de la 7 a la 12
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