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Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Taller Cálculo Diferencial— (27/04/2015)
Profesores: Oscar Casas y Darı́o López
1. Halle el valor de cada uno de los siguientes lı́mites:
" #
n
3
X
i
1
+1
a) lı́m
n→∞
n
n
i=1
"
3
#
n
X
3
3i
3i
b) lı́m
1+
−2 1+
n→∞
n
n
n
i=1
1
c) lı́m
x→0 x
Zx
(1 − tan 2t)1/t dt
0
2. Utilizando sumas de Riemann halle el valor de la integral definida
Z 4
(x2 + 2)dx
1
3. Encuentre una función f (x) y un número a tales que
Z x
√
f (t)
dt
=
2
6+
x
t2
a
4. Si F (x) =
Z
x
f (t)dt, donde f (t) =
0
Z
sen t
√
1 + u4 du, encuentre F ′′ (x)
1
5. Encuentre el área de la región acotada por la parábola y = x2 , su recta
tangente en (1,1), y el eje x.
6. Para este ejercicio considere la región acotada por las gráficas de la funciones y = 2x − x2 y y = x.
a) Halle el área de la región.
b) Halle el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la
región alrededor del eje x
c) Halle el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la
región alrededor de la recta x = 2
1
7. Evalúe
Z 2
a)
1
x−4
dx
2
(x − 8x + 1)3
f)
b)
x x + 2 dx
c)
Z
z2
√
dz
3
1 + z3
1/6
Z2 p
h)
x (x − 1)dx
1+x
dx
1 + x2
√
Z
sen x
p
e)
√ dx
x cos x
d)
sen(x)
dx
1 + cos2 (x)
Z1/2
g)
csc(πt) cot(πt)dt
√
Z
Z
Z
1
i)
Zπ/6
tan3 θdθ
−π/6
8. Halle el volumen del sólido que se obtiene al girar la región acotada por
la curva y = x3 + x + 1; y = 1; x = 1, alrededor de la recta x = 2.
9. Halle el área de la región acotada por las gráficas de la función
f (x) = 3x3 − x2 − 10x y la función g(x) = −x2 + 2x
10. Con base en la siguiente gráfica. Halle el volumen de cada uno de los
sólidos descritos.
2
y=
√
x
y = x3
R3
R2
R1
a) R1 alrededor del eje y
c) R2 alrededor del eje x
b) R1 alrededor de x = 1
d ) R3 alrededor de y = −1
11. La recta horizontal y = c interseca la curva y = 2x − 3x3 en el primer
cuadrante como se muestra en la figura. Encontrar el valor de c para que
la áreas de las dos regiones sombreadas sean iguales.
y = 2x − 3x3
y=c
12. El área de la región en el plano xy acotada por el eje x, la√curva
√
y = f (x), f (x) ≥ 0, y las rectas x = 1 y x = b es igual a b2 + 1 − 2
para todo b ≥ 1. Encuentre f (x).
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