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APLICACIONES DE GRADIENTE Y DERIVADA
DIFERENCIAL
Hallar un vector normal a la curva de nivel f (x, y)=c. f (x, y)=xy, c=-3,
P (−1, 3).
x
.
f (x, y)=xy=−3, y= −3
p
√
Donde ∇f =(y, x) luego ∇f (-1,3)=(3, −1) ⇒k ∇f k= (−1)2 (3)2 = 10
Por lo tanto u= √310 , − √110 . Es el vector normal en la curva de nivel en
el punto (−1, 3).
Ejemplo 2:Utilizar un gradiente para hallar un vector unitario normal a
la gráfica del punto dado. xe4 − y=5, (5, 0).
xey − y=5
xey =5 + y
x= 5+y
ey
Luego el gradiente de f esta dado por ∇f =(ey , xe4 − 1)
Evaluando ∇f en el punto (5,0) se tiene: ∇f =(e0 , 5eo − 1)=(1, 4).
√
√
Luego k ∇f k= 12 + 42 = 17
Por lo tanto u= √117 , √417 .
Vector unitario normal a la gráfica en el punto (5,0).
Ejemplo 3:Topografı́a. La superficie de una montaña se modela mediante
la ecuacion h(x, y)=5000 − 0,001x2 − 0,004y 2 .Un montañista se encuenta en
el punto (500, 300, 9390) ¿En que dirección debe moverse para ascender con
mayor rapidez?.
Calculando el Gradiente de f se tiene:
1
1
∇f = − 500
x, − 125
y
1
Evaluando el gradiente en x=500 y y=300
∇f = −1, − 12
donde k ∇f k= 13
5
5
−12
−5 −12
5
= −5
, −12
= 13 î, 13 ĵ. Es la dirección en que el
Por lo tanto v= −1
13 , 13
13
13
5
5
montañista debe ascender con mayor rápidez.
Investigación: Un equipo de oceanografos esta elaborando un mapa del fondo
del oceáno para ayudar a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido,
desarrollen el modelo.
D=250 + 30x2 + 50 sin π2 y con 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2.
donde D es la profundidad en metros y x, y son las distancias en kilometros.
π( 1 )
1. D=250 + 30(1)2 + 50
sin 22
√
D=250 + 30 + 50 · 22
D=315.35
Es la profundidad a la que se encuentra el barco si se localiza en las
cordenadas x=1, Y =0.5
2. ∇D= 60x,25π cos π2 y
√
∇D|(1, 1 ) = 60, 25π 22
2
Ahora la consideración de la dirección al eje x positiva (1,0) y multiplicando el gradiante
por el vector direccional se tiene:
√ 2
∇D · v= 60, 25π 2 · (1, 0)=60.
Es la pendiente del fondo del oceáno en dirección del eje x positivo a
partir del punto donde se encuentra el barco.
3. De manera similar,
consideremos
v=(0,1)
√
√ 2
Ası́ ∇D · v= 60, 25π 2 · (1, 0)=25π 22
Es la pendiente del fondo del oceáno en dirección del eje y positivo en
el punto donde se encuentra el barco.
2
4. La dirección de mayor tasa o ritmo de cambio de profundidad a partir
del punto donde se encuentra el barco es:
√
60î + 25π ·
3
2
ĵ.
2