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Tarea 3a
1. Obtén el gradiente en el punto P dado, así como también la razón de cambio de
z en ese punto y en la dirección indicada.
a) z = f ( x , y ) = y 2 e xy ; P = (0,2) ; dirección hacia el punto (5, 7) .
b) z = f ( x , y ) = x 2 cos( xy ) ; P = (
π,
π ) ; dirección indicada por v = 4 ˆ
i +ˆ
j.
c) z = f ( x , y ) = ln( x 2 + y 2 + 1) ; P = (0, 0) , dirección θ =
π
6
.
2. Obtén la pendiente en el punto P dado de la curva de corte que se forma al
intersectar la superficie z = f ( x , y ) dada con el plano perpendicular al plano
xy que pasa por el punto dado en la dirección indicada.
a) z = f ( x , y ) = x e xy ; P = (1, 1) ; dirección hacia el punto (3, 4) .
i + 2ˆ
j.
b) z = f ( x , y ) = sen( xy ) ; P = (0, 0) ; dirección indicada por v = 2 ˆ
c) z = f ( x , y ) = x ln( y 2 + 1) ; P = (1, 2) , dirección θ =
3. La temperatura en
0
π
.
3
C en cada punto de una placa en la cual se ha colocado un
sistema coordenado cartesiano está dada por la fórmula T ( x , y ) = 100 e− x
2 −y2
. Al
π
empezar a movernos a partir del punto P (1, 3) en la dirección θ = , ¿La
4
temperatura aumenta o disminuye? ¿En qué dirección θ se debe partir para
conseguir el máximo aumento de temperatura?
4. Para cada una de las siguientes funciones de temperatura T ( x , y ) de una placa
0
(en C ), obtén un vector en la dirección del máximo crecimiento de temperatura
en el punto P que se indica. ¿Cuál es el valor máximo de la razón de cambio en
cada caso?
a) T = T ( x , y ) = 3 − x + 2 y
b) T = T ( x , y ) = 100 − x 2 − 9 y 2
c) T = T ( x , y ) = 100 e
− x2 − y 2
P = ( 2, 3)
P = (1, 3)
P = (2, 1)
5. La temperatura (en grados centígrados) en un punto arbitrario ( x , y ) de una
placa está dada por la fórmula T = T ( x , y ) = 100 e− x
2 −y2
. Si nos ubicamos en el
punto (2, 2) de la placa
a) Obtén un vector que al colocarlo con punto inicial en el punto considerado (o
sea el punto (2, 2)), nos indique la dirección de la mayor disminución posible
de temperatura por unidad de distancia recorrida a partir del punto. (Este
vector indica la dirección inicial del flujo de calor a partir del punto).
b) ¿Cuánto disminuye la temperatura por unidad de distancia recorrida a partir
del punto (2, 2) en la dirección del vector obtenido en el inciso a)?