1. Educación

XXIII C ON G R E S O N A C I O N A L
AMH
DE
H I D R Á U LI C A
PUERTO VALLARTA, JALISCO, MÉXICO, OCTUBRE 2014
AMH
MODELOS MATEMÁTICOS DE AGUA SUBTERRÁNEA Y SU IMPORTANCIA EN MÉXICO
Flores Fernández Giovanni Carlo1, Sánchez Quispe Sonia Tatiana2, Correa González Alejandra1
y Ávila Olivera Jorge Alejandro3
1
Estudiante, Maestría en Ciencias en Ingeniería Ambiental, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.
Avenida Francisco J. Mujica S/N, Ciudad Universitaria, Col. Felicitas del Río, Morelia, Michoacán, C.P. 58030
2
Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Avenida Francisco J. Mujica S/N,
Ciudad Universitaria, Col. Felicitas del Río, Morelia, Michoacán, C.P. 58030
3
Instituto de Investigaciones sobre los Recursos Naturales, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.
Av. San Juanito Itzicuaro S/N, Col. Nueva Esperanza, Morelia, Michoacán, México. C.P. 58337
[email protected], [email protected], [email protected],
[email protected]
INTRODUCCIÓN
una estimación de los méritos relativos de cada una de las
alternativas.
En la actualidad las prácticas urbanas, industriales y agrícolas
excesivas han ocasionado una creciente demanda de agua
subterránea que desde la década de los setenta ha aumentado
de manera significativa el número de acuíferos
sobreexplotados, identificándose para diciembre de 2010 cerca
de 101 acuíferos bajo esta condición, de los cuales se extrae el
49% de agua subterránea para todos los usos, con efectos en la
disminución del rendimiento de los pozos, incremento de los
costos de extracción, asentamiento y agrietamiento del
terreno, contaminación del agua subterránea, intrusión salina
en acuíferos costeros y la fuerte competencia entre sectores,
entre otros aspectos. (CONAGUA 2012)
Una manera de describir la circulación del agua subterránea es
a partir de expresiones matemáticas ecuaciones derivadas
parciales que han sido aplicadas principalmente a acuíferos
relativamente uniformes, con una geometría y condiciones en
los límites muy simples, adaptables en su mayor parte a
acuíferos de limitada extensión.
La evolución del aprovechamiento del agua subterránea
partiendo del desarrollo de bombas sumergibles en los últimos
años 100 años junto con el avance en las ciencias geológicas e
hidrología de los últimos 60 años han llevado a producir los
conocimientos básicos necesarios para estudiar las fuentes y
estimar los recursos de agua subterránea.
La localización de aguas subterráneas representaba en el
pasado una gran dificultad que ha sido en parte resuelta
gracias a diversas técnicas de monitoreo, investigación y
explotación que siguen en constante mejoría; pero el
determinar la cantidad y calidad del agua, así como aplicar un
manejo de los recursos bajo los principios de la hidrología
sigue siendo complejo.
Para algunos sistemas de cuenca el agua subterránea llega a
ser un recurso renovable donde las recargas naturales pueden
llegar a estar limitadas en tiempo y espacio, aun así siguen
teniendo una gran ventaja sobre las aguas superficiales por la
gran cantidad almacenada en los depósitos subterráneos,
donde las extracciones a dichos cuerpos es completamente
responsabilidad y decisión del hombre por lo cual debe evitar
valores de extracción que excedan la recarga y tender a uno
óptimo basado en las características cuantitativas del
acuíferos, los cambios en las recargas y descarga así como la
determinación de magnitud de variaciones en diversos
componentes hidrológicos. (Carrera 2007)
Para la evaluación y predicción de la evolución a consecuencia
de la utilización del agua subterránea se requiere de una
descripción cuantitativa de las propiedades, así como la
descripción de los planes de uso que deben incluir el análisis
de todos los esquemas posibles de desarrollo o explotación y
Un modelo matemático de agua subterránea es una
herramienta diseñada para representar una versión
simplificada de una situación de campo real; es un esfuerzo
por interpretar procesos físicos, químicos y biológicos, la meta
es predecir el valor de una variable no conocida como la carga
en un acuífero.
Aun cuando los avances tecnológicos han ayudado a resolver
más eficazmente los problemas y evaluar los recursos
subterráneos, el uso de modelos numéricos de aguas
subterráneas es un campo relativamente nuevo que fue
desarrollado de manera extensa hasta mediados de 1960.
Desde entonces, el progreso significativo se ha basado en el
desarrollo y aplicación de modelos numéricos para el manejo
del recurso agua subterránea.
El manejo aquí se define para incluir la planeación,
implementación y adaptación del control de políticas y
programas relacionados a la exploración, inventario,
desarrollo y operación de recursos de agua de los acuíferos. A
pesar de este progreso, aún existe un desequilibrio entre la
necesidad, existencia y el uso actual de modelos de agua
subterránea en su administración pero esto puede servir para
mejorar el manejo de recursos de agua subterránea.
En México se han realizado estudios basados en dichos
modelos para poder describir el flujo del recurso hídrico
subterráneo, así como definir otras condiciones bajo diversas
problemáticas y condiciones características de las zonas de
estudio, en las cuales las simulaciones bajo diversos planes de
aprovechamiento han determinado el probable estado futuro
de estos sistemas, apoyando a la generación de ajustes a las
reglas de operación y planes de extracción y recarga con el fin
de mejorar la disponibilidad hídrica del país, siendo entonces
necesario conocer que modelos han sido utilizados para dichos
proyectos así como sus alcances y resultados.
AMH
XXIII C ON G R E S O N A C I O N A L
DE
H I D R Á U LI C A
PUERTO VALLARTA, JALISCO, MÉXICO, OCTUBRE 2014
MODELOS MATEMÁTICOS
Los modelos matemáticos son una representación del mundo
real aplicadas al tratamiento predictivo, donde se discretizan
en 2 o 3 dimensiones dependiendo del estudio y se aplican
funciones que describen el comportamiento aproximado de las
propiedades que se quieren estudiar.
La modelación matemática de los acuíferos permite integrar
la interpretación de información, mejorar el entendimiento del
funcionamientos de los acuíferos, simular su comportamiento
ante distintas alternativas de utilización de aguas subterráneas
y tratar de elegir la más conveniente para optimizar el recurso.
Los modelos conceptuales permiten conocer la geometría del
acuífero, sus parámetros hidrogeológicos, el comportamiento
de las extracciones y direcciones de flujo subterráneo, por
tanto un modelo matemático es una herramienta poderosa que
sirve para simular y predecir el comportamiento de un sistema
hidrológico, realizar análisis de riesgo y una gestión de
acuíferos sustentables con poco costo y en corto tiempo,
donde las simulaciones evidencian el resultado de políticas de
administración que se piensen aplicar. (Tinoco 2008)
En estos modelos se simula el flujo de agua subterránea
indirectamente a través de una ecuación o un conjunto de
ecuaciones que representan los procesos físicos que ocurren en
el sistema además de aquellas que describen las cargas o flujos
en las fronteras del modelo.
Un método de aplicación común de modelos matemáticos en
hidrogeología es el método de diferencias finitas, que consiste
en la determinación de valores finales aproximados a partir de
valores iniciales ciertos, aplicados a una función no
diferenciable, mediante el cálculo en etapas finitas.
El método de elementos finitos puede resumirse en cinco
pasos básicos.
- Discretizar la región,
- Especificar la aproximación de la ecuación,
- Desarrollar el sistema de ecuaciones,
- Resolver el sistema de ecuaciones,
- Calcular cantidades de interés (Borgo 1998).
Existen diversos programas que aplican los modelos
matemáticos con el fin de producir herramientas que faciliten
la representación y caracterización de los cuerpos hídricos
subterráneos, como se ven estos afectados por diversos
factores a través de la simulación y a partir de la definición de
distintos escenarios determinar cuáles condiciones son las más
adecuadas para lograr un manejo sustentable. Algunos de
estos son:
FEFLOW – El sistema de flujo de elementos finitos es un
programa de modelación de flujo y procesos de transporte de
calor y/o componentes disueltos en medios porosos y
fracturados, desarrollado por DHI-WASY GmbH, la sucursal
alemana del grupo DHI. Este programa usa el análisis de
elementos finitos para solucionar la ecuación de flujo para
condiciones tanto saturadas como no saturadas así como el
transporte de masa y calor, donde las simulaciones pueden ser
en estado fijo o transitorio con diversos métodos de paso de
tiempo y acercamientos de cálculo de superficie.
AMH
Este programa de creación un tanto reciente ha comenzado a
tener cierto auge en su utilización principalmente por
institutos de investigación, universidades y organizaciones de
gobierno, ofreciendo un sistema integrado de motor de
simulación con interfaz de usuario gráfica, con proyecciones
en 2D y 3D, con diversos manejos de las superficies freáticas,
de las condiciones de borde de los sistemas incluyendo pozos
multicapa, permitiendo un mejor análisis y pos procesamiento
a través de las opciones de visualización por diagramas,
vectores e imágenes.
SHARP – Modelo cuasi tridimensional de diferencias finitas
que simula el flujo de agua dulce y salada separadas por una
interface aguda en sistemas acuíferos costeros de capas,
desarrollado por el Servicio Geológico de los Estados Unidos
(USGS),
describe
matemáticamente
el
fenómeno
hidrodispersivo utilizando una ecuación de flujo para cada
dominio de agua dulce y agua salada; estas ecuaciones se
integran verticalmente y se acoplan obteniendo un sistema de
ecuaciones diferenciales parciales no lineales que describen
las cargas hidráulica.
AEM – El método de elemento analítico es un método
numérico usado para la solución del flujo constante en
acuíferos con propiedades constantes, siendo capaz también de
tratar con sistemas mayores obteniendo soluciones de alta
precisión desarrollado por O.D.L. Strack en la universidad de
Minnesota, su aplicación se ha realizado para determinar el
flujo de agua subterránea gobernada por una variedad de
ecuaciones diferenciales parciales lineales las cuales pueden
ser superpuestas para obtener soluciones más complejas,
donde cada solución es infinita en espacio y/o tiempo, este
método cuenta con grupos de investigadores que continúan
desarrollando modelos que buscan incluir flujo rotacional
aplicable a propiedades de acuíferos variables y flujo
transitorio.
HydroGeoSphere (HGS) – Es un modelo de agua subterránea
de elementos finitos con control de volumen en 3D,
desarrollado conjuntamente por la Universidad de Waterloo y
la Universidad de Laval, se basa en los regímenes de flujo
superficial y subterráneo para conceptualizar los sistemas
hidrológicos, tomando en cuenta todos los componentes del
ciclo hidrológico, resolviendo las ecuaciones el flujo
superficial, transporte de energía y sólidos simultáneamente,
proveyendo de un balance completo.
ZOOMQ3D – Es un programa que sigue un modelo numérico
de diferencias finitas, que simula el flujo de agua subterraneo
de los acuíferos, desarrollado de la colaboración entre la
Universidad de Birmingham, el Servicio Geológico Británico
y la Agencia Ambiental de Inglaterra y Wales, generado para
investigar los recursos hídricos subterráneos y hacer
predicciones de futuros cambios en su cantidad y calidad.
AQUIVAL – Es un módulo de simulación de acuíferos
incorporado al sistema AQUATOOL desarrollado por la
Universidad Politécnica de Valencia, que utiliza el método de
los auto valores de (Sahuquillo, 1983) para describir el
comportamiento lineal en forma distribuida, siendo su
principal característica es la eficiencia computacional, que
reduce el tiempo y memoria utilizados, de tal manera que
permita incluirlo dentro de modelos más complejos de gestión
conjunta de recurso hídricos y así simular muchas alternativas
para largos periodos de simulación.
AMH
XXIII C ON G R E S O N A C I O N A L
DE
H I D R Á U LI C A
PUERTO VALLARTA, JALISCO, MÉXICO, OCTUBRE 2014
COMSOL Multiphysics – Es un paquete de software que usa
el método de elementos finitos para el análisis y resolución de
diversas aplicación físicas y de ingeniería, desarrollado por la
Universidad Tecnológica Real de Estocolmo, Suecia. Cuenta
con diversos módulos específicos, entre ellos se tienen el de
flujo subsuperficial para la modelación de acuíferos, aplica las
ecuaciones de Richard, la ley de Darcy y las ecuaciones de
Navier-Stokes para el análisis de flujos subsuperficiale así
como para la modelación de transporte, reacción de sólidos y
transporte de calor en medios porosos.
MODFLOW – Este software simula el flujo subterráneo en un
medio poroso en una, dos o tres dimensiones, fue desarrollado
por el Servicio Geológico de los Estados Unidos (USGS), es
considerado como un estándar internacional para la
simulación y predicción de las condiciones del agua
subterránea así como las interacciones del agua superficial y
subterránea, utiliza el método numérico de diferencias finitas
para resolver mediante diversas interacciones la ecuación de
flujo del agua subterránea; por medio de la interfaz gráfica
Visual MODLFOW
se proporciona el ambiente más
adecuado para modelar de forma más completa y fácil pues se
pueden visualizar las simulaciones
bidimensionales y
tridimensionales del flujo de agua subterráneo y transporte de
contaminantes en cualquier momento durante el desarrollo del
modelo.
APLICACIÓN EN MÉXICO
Los estudios referentes a la modelación de los recursos
hídricos superficiales en México han sido variados en cuanto
a las problemáticas que estos buscan atender, la mayoría de las
veces se realizan con el fin de simular el comportamiento ante
distintas alternativas de explotación y de forma menos
frecuente para estudiar:
- Drenajes agrícolas.
- Redes de filtración en presas.
- Efecto de pantallas de inyección y drenajes en presas.
- Predicción de la elevación de niveles en acuíferos conectados
con embalses, que pueden crear salinización o encharcamiento
de suelos.
- Efecto del almacenamiento en laderas, en acuíferos o
embalses.
- Movimiento de contaminantes en acuíferos (Borgo 2007).
Innumerables son los estudios de modelación realizados,
donde muchas veces no son conocidos por la falta de
actualización y medios de consulta de las bases de datos
bibliográficos de las instituciones de investigación y
universidades que han llevado a cabo dichos proyectos.
Entre los que han llegado a identificarse se ha encontrado que
en ellos busca generarse modelos matemáticos que describan
el comportamiento del acuífero estudiado pues se necesita la
configuración de los abatimiento de los niveles piezométricos
ya que la explotación actual sobre los cuerpos estudiados está
generando desaparición de manantiales, el secado de lagunas,
daños ambientales, conflictos sociales y perjuicios
económicos.
La fuerte explotación del acuífero del valle de León
Guanajuato llevó a producir en 1998 un modelo matemático
por medio del programa Visual MODFLOW, donde se pudo
AMH
definir la evolución de cargas hidráulicas bajo 5 escenarios de
aprovechamiento, donde se tuvieron que realizar varios ajustes
por subestimación y sobrestimación de diferentes parámetros
siendo la conductividad hidráulica el parámetro de mayor
influencia en el calibrado (Comisión estatal de agua y
saneamiento de Guanajuato 1998).
En un estudio del acuífero del valle de Toluca se incluyó
además del software MODFLOW el uso de sistemas de
información geográfica IDRISI para facilitar la introducción
de datos de pozos utilizando modelos de elevaciones, teniendo
como objetivo la entrega del sistema de modelación, con el fin
de que fuese actualizado y usado en futuras planeaciones,
tareas de manejo, adaptación, análisis y presentación de datos
(Diez 2003).
Para el caso del acuífero del valle de Guaymas en el estado de
Sonora se realizó el modelo para estudiar la intrusión salina en
el depósito subterráneo que ha sido gravemente explotando en
los últimos 40 años, superando los volúmenes recarga anual,
siendo SHARP el modelo utilizado para determinar el avance
de la intrusión salina en el valle, donde los resultados las
cargas hidráulicas simuladas y las elevaciones para cada
intervalo de tiempo (Borgo 1998).
La conjunción del SIG ARCGIS para la interpretación de
imágenes satelitales y análisis de modelos de elevación junto
con la aplicación del modelo MODFLOW fue necesaria para
describir el modelo de flujo de agua subterránea del acuífero
del Valle de Querétaro, realizándose un análisis de los
parámetros característicos de cada unidad estratigráfica con
estimación de su representatividad y confiabilidad,
aproximaciones numéricas con la validación de los diferentes
parámetros utilizados y mapas piezométricos de referencia y
de su evolución (Carreon 2012).
Por otra parte para el análisis de la contaminación por parte de
la industria minera Mexicana a los sistemas de agua
subterránea se realizó un estudio sobre la remediación de
sitios contaminados con metales pesados a partir de un
modelación de la ley de continuidad de Darcy usando
ecuaciones diferenciales parciales con el software COMSOL
3.2, donde se buscó calcular las concentraciones de las
especies químicas disuelta en acuífero que puedan ser
afectados en cada instante de tiempo y en cada punto,
indicándose que la remediación de suelos de metales pesados
es posible desde el punto de vista matemático, considerando
un suelo permeable (García 2007).
La herramienta de modelación MODFLOW forma parte
también del desarrollo de otros proyectos de investigación
describiendo la estructura geológica y el flujo subterránea de
la sub-cuenca de Pachuca-Zumpango en el centro de México,
donde las abstracciones sin control aunadas a la falta de
políticas de gestión han resultado en severos impactos
ambientales, donde a partir de la modelación se pudo
identificar las zonas de recarga y descarga, comprobadas por
los niveles piezómetricos así como el flujo local disminuyó
por la abstracción actual en la zona (Huizar 2002), de manera
similar con el uso de MODFLOW y Visual MODFLOW
junto a la utilización de SIG permitió la generación de un
modelo hidrogeológico de los acuíferos de valle de
Guadalupe, Ojos Negros y Real del Castillo que forman parte
de la cuenca de Guadalupe en Baja California, los cuales han
presentado un abatimiento gradual en el nivel freático en los
últimos años y que gracias al modelo producido con un
entorno tridimensional que lo hace más versátil ayuda a
AMH
XXIII C ON G R E S O N A C I O N A L
DE
H I D R Á U LI C A
PUERTO VALLARTA, JALISCO, MÉXICO, OCTUBRE 2014
definir los perfiles piezométricos con mayor detalle (Mendez
2012).
Para el caso del acuífero del valle de Puebla cuya intensa
explotación por las demandas urbanas e industrial ha generado
un declive de la tabla de agua subterránea, deterioro de
calidad, pobre productividad de pozos e incremento de costos
de bombeo y tratamiento, se produjo un modelo de
optimización de gestión de agua subterránea apoyado con la
herramienta de optimización MODRSP, donde se evalúan un
rango complejo de opciones de gestión para identificar las
estrategias que mejor ajustan los objetivos, manejando para el
caso 4 escenarios para analizar la respuesta hidrogeológica
para esquemas de bombeo futuro, donde la reducción de
extracción será posible al substituir el volumen removido de
35 pozos por el mismo volumen de agua de otra fuente
(Salcedo 2012).
Otro estudio realizado en el valle de México con objetivo de
determinar el abatimiento de los niveles piezométricos en los
pozos por sobreexplotación de acuíferos someros y evitar
daños a infraestructura, pues la recarga en la zona estudiada es
menor a la extracción, para ello el modelo considero la
evolución de 20 pozos donde se determinó que la recarga de
acuíferos profundos mantendrá niveles que pueden satisfacer
aun las extracciones pero las hundimientos de la ciudad
continuarán a menos que se prueben con otras medidas de
explotación (Tinoco 2008)
Como se puede apreciar el emplear modelos numéricos de
simulación permite identificar de manera más precisa el
sistema acuífero y evaluar el recurso del agua subterránea;
también permite la planificación de su explotación, a través
del diseño de redes piezométricas de monitoreo (Herrera
2007) o identificación de unidades hidroestatigráficas (Moreal
2011). Estos modelos parten de una síntesis elaborada a partir
de datos concretos recolectados en el terreno y de la
experiencia adquirida, donde una de las etapas más complejas
es la definición de rejilla de celdas así como la identificación
de los parámetros hidráulicos e hidrogeológicos pues no se
han realizado trabajos o estudios de campo con
la
profundidad y constancia necesarios para poder proporcionar
datos precisos fundamentales para la generación de los
modelos para cada zona de estudio.
CONCLUSIONES
En México se han usado diferentes modelos matemáticos de
agua subterránea para poder conocer el flujo del agua en
medios de suelo variados como parte de estudios hidrológico e
hidrogeológicos en sistemas de cuencas de relevancia, estos
estudios se han llevado a cabo de manera un tanto aislada
aplicando metodologías y softwares de alcances diferentes,
donde el uso del método de diferencias finitas aplicado a
través del programa MODFLOW es el que ha sido utilizado
ampliamente para generar los modelos de los sistemas
estudiados ya que resulta intuitivo, simple y con más
aplicación en trabajos de investigación.
Aun así existen ciertas modalidades o extensiones que no
satisfacen las necesidades del modelador, por lo cual resulta
necesario atender a las opciones que presentan otros modelos
que resultan más finos al momento de simular ciertas
características o fenómenos del flujo subterráneo, así como la
implementación de sistemas de información geográfica para
identificar y caracterizar de manera ágil y eficaz los sistemas
estudiados.
AMH
Los avances en informática han permitido realizar la
representación de sistemas complejos identificando los
parámetros o variables de los que dependen y de qué manera
es necesario modificarlos con el fin de llegar a obtener un
resultado deseado a través de una significante cantidad de
escenarios y simulaciones, es evidente que por medio de los
softwares desarrollados en años recientes es posible llegar a la
resolución de la creciente problemática en los sistemas de
acuíferos, pero aun así queda mucho por avanzar en términos
de modelación de tal manera que sea posible generar
interfaces más completas y poderosas. El grado de
complejidad y escala de los estudios muchas veces limita el
desarrollo de los proyectos en más de una interface, pero sólo
a partir de la comparación de resultados en modelos distintos
se puede apreciar con precisión las ventajas y desventajas que
presenta un programa con respecto a otro.
Es entonces fundamental ligar de manera eficiente y adecuada
los modelos hídricos subterráneos con los modelos de
fenómenos hidrológicos superficiales, atendiendo no solo a la
simulación de la cantidad sino también a la calidad de los
recursos hídricos, pues un modelo representativo debe
reproducir fielmente el comportamiento del acuífero y
cuencas: el estado del sistema, las acciones sobre él y las leyes
que lo relacionan, de tal manera que se describa el
funcionamiento del ciclo hidrológico con la mayor
aproximación a la realidad, pues en ello radica la importancia
de la aplicación de los modelos matemáticos, proporcionar
una herramienta eficiente que pueda describir de la forma más
completa y detallada el comportamiento de los sistemas de
cuerpos de aguas tanto superficiales como subterráneos con el
fin de establecer como se ve este afectado por factores
naturales y antropogénicos para poder así realizar las
modificaciones o adaptaciones pertinentes ya sea del entorno o
de las actividades de los sectores que hacen uso de ellos,
evitando de esta forma afectaciones ambientales, sociales y
económicas.
REFERENCIAS
BORGO, G. El modelo matemático SHARP para el estudio de
la intrusión salina en el acuífero del valle de Guaymas,
Sonora, México. Hermosillo, Sonora, México: Universidad de
Sonora División De Ciencias Exactas y Naturales
Departamento De Matemáticas. 1998.
CARREÓN, D.C. El modelo de flujo de agua subterránea en
el Acuífero Valle de Querétaro. Siete años de colaboración
inter-institucional. Juriquilla, Querétaro, México: Centro de
Geociencias. UNAM Campus Juriquilla Querétaro. 2012.
CARRERA, J. J. y GASKIN, S. J. The Basin of Mexico
aquifer system: regional groundwater level dynamics and
database development. Department of Civil Engineering and
Applied Mechanics, McGill University: Springer Verlag.
2007.
COMISIÓN ESTATAL DE AGUA Y SANEAMIENTO DE
GUANAJUATO. Estudio Hidrogeólico y Modelo Matemático
Del Acuífero del Valle de León, Gto. León, Guanajuato,
México: Geofísica de Exploraciones Guysa, S.A. DE C.V.
1998.
CONAGUA. Atlas Digital del Agua México 2012 Sistema
Nacional de Información del Agua. [Citado el 23 de agosto del
2014]. Sitio web:
http://www.conagua.gob.mx/atlas/index.html.
AMH
XXIII C ON G R E S O N A C I O N A L
DE
H I D R Á U LI C A
PUERTO VALLARTA, JALISCO, MÉXICO, OCTUBRE 2014
DÍEZ, J. A., GARFÍAS, J. y COLÍN, A. El modelado
geohidrológico como herramienta en la determinación de la
sustentabilidad de un acuífero. Toluca, Edo. De México,
México: Centro Interamericano de los Recursos del Agua,
Facultad de Ingeniería, Ciudad Universitaria Toluca,
Universidad Autónoma Edo de México. 2003.
GARCÍA, L., VARGAS, M. y CRUZ, A. Simulación
matemática de la ley de Darcy en celda de electroremediacion
de suelos. México D.F., México: XVII CONGRESO
INTERNACIONAL DE METALURGIA EXTRACTIVA,
2007.
HERRERA, G., SIMUTA, R. y BRAVO, A. Modelo de flujo
del agua subterránea y diseño de red de monitoreo para el
acuífero del valle de Querétaro. México: 4to Congreso
Internacional, 2do Congreso Nacional de Métodos Numéricos
en Ingeniería y Ciencias Aplicadas. 2007.
HUIZAR, R., HERNÁNDEZ, G., CARRILLO, M., ET. AL.
Geologic structure and groundwater flow in the Pachuca–
Zumpango sub-basin, central Mexico. Coyoacán, México:
Springer-Verlag. 2002.
AMH
MÉNDEZ, P. Modelación hidrogeológica de acuíferos de la
cuenca de Guadalupe, Baja California. Querétaro, México:
Universidad Autónoma de Querétaro Facultad de Ingeniería
Maestría en Ciencias. 2012.
MOREAL, R., RANGEL, M., GRIJALVA, A. ET. AL.
Metodología
para
la
definición
de
unidades
hidroestratigráficas: caso del acuífero del valle del río Yaqui,
Sonora, México. Volumen 63, núm. 1, 2011.
SALCEDO, E. R., ESTELLER, M. V., GARRIDO, S. E. ET.
AL. Groundwater optimization model for sustainable
management of the Valley of Puebla aquifer. México:
Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2012.
TINOCO, J. A. Modelo matemático del acuífero profundo del
valle de México usando diferencias finitas y superficies finitas
integradas: simulación numérica con el programa
MODFLOW. Morelia, Michoacán, México: Universidad
Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Facultad de Ciencias
Físico Matemáticas “Mat. Luis Manuel Rivera Gutiérrez”.
2008.