1. Educación

Julián Moreno Mestre
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Ejercicios de introducción a los logaritmos:
1º Calcular los valores de los siguientes logaritmos sin usar la calculadora:
a) log 2 8
b) log 3 9
c) log 4 2
d) log 27 3
e) log 5 0.2
f) log 2 0.25
g) log 0.5 16
h) log 0.1 100
Sol: a) 3; b) 2; c) 0.5; d) 1/3; e) –1; f) –2; g) –4; h) –2.
2º Opera sin usar la calculadora:
a) log 3 27 + log 3 1
b) log 5 25 − log 5 5
d) log 0.1 − log 0.01
e) log 5 + log 20
Sol: a) 3; b) 1; c) 5; d) 1; e) 2; f) 1.
3º Opera sin usar la calculadora:
log 32
log 3
b)
a)
log 2
log 81
Sol: a) 5; b) 0.25; c) 2; d) 1.
c) log 4 64 + log8 64
f) log 2 − log 0.2
c) ( log 2 3)·( log 3 4 )
d)
log 9 25
log 3 5
4º Sabiendo que:
log 2 = 0.301
log 3 = 0.477
log 7 = 0.845
Calcule sin usar la tecla log de la calculadora el valor de los siguientes logaritmos:
a) log 8
b) log 9
c) log 5
d) log 54
e) log 75
f) log 0.25
g) log(1/ 6)
h) log(1/ 36)
i) log(1/ 98)
j) log(2 / 3)
k) log 0.3
l) log1.25
Sol: a) 0.903; b) 0.954; c) 0.699; d) 1.732; e) 1.875; f) –0.602; g) –0.778; h) –1.556;
i) –1.991; j) –0.176; k) –0.523; l) 0.097.
5º Conocidos los valores de los logaritmos ln a = 0.6 y ln b = 2.4 , calcule:
⎛ a −3
⎛ ab ⎞
4
3
e)
d)
ln
ln
⎜
⎜⎜ 2 ⎟⎟
b) ln b
a) ln a
c) ln ab
⎜ 3 b2
e
⎝
⎠
⎝
Sol: a) 0.3; b) 0.6; c) 1.5; d) 1/3; e) –2.5.
⎞
⎟
⎟
⎠
6º Halla:
⎛ 3 64·23 ⎞
a) log 2 ⎜⎜ 4
⎟⎟
⎝ 2 · 128 ⎠
⎛ 33 ·9·3−1 ⎞
⎛ 0.01· 3 100 ⎞
c)
log
b) log 3 ⎜
⎟
⎜⎜
⎟
⎜ 812 ·3−2 ⎟
10−1 ·0.1 ⎟⎠
⎝
⎝
⎠
−
2
⎛ 1000·10 ⎞
⎛ e3 · e3 ⎞
3
f) log ⎜
⎟ g) ln ⎜ 2 −4 ⎟
⎜ 105 ·10−1 ⎟
⎜ e ·e ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 16·2 ⎞
j) log 4 ⎜ 2
⎟
⎝2 · 8⎠
⎛ 5−2 · 625 ⎞
d) log 5 ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 25· 125 ⎠
⎛ 27·3 ⎞
⎛ 64·23 ⎞
h) log 3 ⎜ 2
⎟
e) log 2 ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 3 · 81 ⎠
⎝ 32· 8 ⎠
⎛ 125· 625 ⎞
i) log 5 ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟
⎝ 5 ·25 ⎠
Sol: a) –5/2; b) –9/2; c) 2/3; d) –7/2; e) –1; f) –1; g) 13/2; h) 0; i) –1; j) 3/4.
2
– 82 –
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Ejercicios de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.
1º
Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:
1
a) log(2 x) = −1
b) log x 2 =
2
3
d) log x = −1
e) log x =
2
2
x
⎛ −4⎞
h) log ⎜
g) 5log(2 x) = 20
⎟=2
⎝ 5 ⎠
j) 3log(5 x) = −9
c) log(3x) = 2
f) log(3x 2 ) = −2
i) log( x + 1) 2 = 2
⎛ x2 ⎞
l) log 2 ⎜ ⎟ = 2
⎝ 4⎠
k) log x = 3
3
⎛ x+2⎞
ñ) ln ( x + e ) = 1
n) log 5 ( 5 x ) = 2
m) log 3 ⎜
⎟ =1
⎝ 3 ⎠
Sol: a) 1/20; b) ± 4 10 ; c) 100/3; d) 1/10; e) 10 10 ; f) ± 3 / 30 ; g) 5000; h) 252;
i) 9, –11; j) 1/5000; k) 10; l) 4; m) 7; n) 5; ñ) 0.
2º
Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) log x + log 50 = log100
b) log x 3 = log 6 + 2 log x
c) log x = 1 + log(22 − x)
d) 2 log x − log( x − 16) = 2
e) log x + log 20 = 3
f) 3log x + 2 log x 2 = log128
g) 1 − log x = 2 − 2 log x
h) log x − log 2 = 1 + log(21 − x)
i) log(7 x + 15) − log 5 = 1
j) 2 log x − log( x 2 − 2 x + 6) = 0
k) 2 log x = log(10 − 3 x)
l) log(2 x − 3) + log(3x − 2) = 2 − log 25
2
m) ( x − x + 3) log(4) = log1 − log 64
n) log 8 + ( x 2 − 5 x + 7) log 3 = log 24
o) log(35 − x3 ) = 3log ( 5 − x )
ñ) 2 log(5 x + 4) − 2 log 2 = log( x + 4)
q) log x + log( x + 3) = 2 log( x + 1)
p) 2 log x = 3 + log( x /10)
r) log 2 + log (11 − x
2
(
) = 2 log(5 − x)
)
s) log 2 log 2 ( x 2 ) = 2
t) log 5 ( x 2 ) + log 5 10 = log 5 x + log 5 50
u) log 3 x + log 3 (9 x) − 5 = log 3 ( x / 3)
v) log(7 − 3x) − log(1 − x) = log 5
w) log(2 x + 16) − log18 = log x
x) log( x + 1) = log
(
)
x − 1 + log
(
x+4
)
y) log( x − 1) + log(3x − 5) = log(2 x − 3)
Sol: a) 2; b) 6; c) 20; d) 80, 20; e) 50; f) 2; g) 10; h) 20; i) 5; j) 3; k) 2; l) 2;
m) No tiene solución; n) 3, 2; ñ) 0; o) 3, 2; p) 100; q) 1; r) 1/3, 3; s) ±4; t) 5; u) 81;
v) –1; w) 1; x) 5; y) 2.
3º
Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:
2 − log x
log 2 + log(11 − x 2 )
b) log x =
=2
a)
log x
log(5 − x)
log 5 125 7
log ( 35 − x 3 )
d) log 5 x +
=
c)
=3
log 5 x
2
log(5 − x)
Sol: a) 3, 1/3; b) 10, 1/100; c) 3, 2; d) 25, 125 .
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4º
Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) log x 27 = 3
b) log x 20 = 1
d) 6 log x 27 = 18
e) log x 4 + log x 8 = 5
g) log x 108 + log x 2 = 3
h) 4 log x 2 + 3log x 8 = 13
Sol: a) 3; b) 20; c) 5; d) 3; e) 2; f) 3; g) 6; h) 2; i) 2.
5º
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas:
⎧2 log x − 5log y = −1
⎧4 log x − 3log y = −1
⎧log x + log y 3 = 5
a) ⎨
b) ⎨
c) ⎨
3
2
log( xy ) = 5
⎩ 3log x + 2 log y = 8
⎩
⎩ log( x / y ) = 4
⎧log x + log y = 1
⎧log x 2 − 3log y = 2
⎧ log( x 2 y ) = 2
e) ⎨
d) ⎨
f) ⎨
2
⎩ x − y = 999 /10
⎩log( x / y ) = 1
⎩ log( x / y ) = 3
⎧log x − log y = 7
g) ⎨
⎩ log x + log y = 3
⎧ x − y = 15
j) ⎨
⎩log x + log y = 2
⎧log x + 3log y = 5
h) ⎨
2
⎩ log( x / y ) = 3
c) 4 log x 125 = 12
f) log x 3 + log x 9 = 3
i) log x 4 + 2 log x 32 = 7
⎧2 log x 2 − log y 2 = 4
i) ⎨
2
⎩ 2 log x + log y = 2
⎧log x 2 − 3log y = −1
l) ⎨
2
⎩ log( xy ) = 3
⎧ log x + log 2 y = 5
k) ⎨ 2 2
⎩log 2 x − log 2 y = 1
⎧log x + log y = log 2
⎧log x − log y = 1
⎧log x + log y = 3
ñ)
m) ⎨
n) ⎨ 2
⎨ 2
2
2
⎩ x + y =5
⎩ x − y = 11
⎩ log x − log y = 1
Sol: a) x = 100, y = 10; b) x = 100, y = 1000; c) x = 100, y = 10; d) x = 10, y = 1;
e) x = 100, y = 1/10; f) x = 10–5, y = 10–4; g) x = 105, y = 10–2; h) x = 100, y = 10;
i) x = 100, y =1; j) x = –5, y = –20; x = 20, y = 5; k) x = 4, y = 8; l) x = y = 10;
m) x = 100, y = 10; n) x = 1, y = 2; x = 2, y = 1; ñ) 10/3, –1/3.
6º
Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) 3x = 9
b) 2 x = 128
d) 2·5x = 50
e) 4 x +1 = 16
h) 612−3 x = 216
g) 22 x −1 = 4
j) 5− x = 1/ 25
2
m) 8 x +3 x + 2 = 1
o) (43− x ) 2− x = 1
k) 4 x = 2
n) 2 x + 2 = 0.52 x −1
p) (2 / 7)5 = 3.5x+1
c) 5x = 125
f) 63 x = 216
2
i) 21− x = 1/ 8
l) 9 x + 2 = 1
ñ)
3
a 7− x = a 2
q) 10 x
2 −11 x + 30
= (2·5) 2
3
s) 4 x ·5 x−1 = 1600
t) 3x −1 ·2 x = 12
r) 32 x −1 = 9 x −1/ 4
Sol: a) 2; b) 7; c) 3; d) 2; e) 1; f) 1; g) 3/2; h) 3; i) ±2; j) 2; k) ; l) –2; m) –2, –1; n) –1/3;
ñ) 1; o) 3, 2; p) –6; q) 7, 4; r) 11/2, 1/2; s) 3; t) 2.
2
7º
Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:
c) 7 2 x +3 − 8·7 x +1 + 1 = 0
b) 4 x − 5·2 x + 4 = 0
a) 5 x + 5 x−1 = 30
d) 3x −1 + 3x + 3x +1 = 117
e) 32( x +1) − 28·3x + 3 = 0
f) 22 x − 3·2 x+1 + 8 = 0
g) 9 x − 3x − 6 = 0
h) 5x +1 + 5 x + 5x −1 = 31/ 5
i) 2 x + 21− x = 3
5
6x+2
4 x −1
x
k) 5 − x−1 − 24 = 0
l) 2− x2 = 1
j) x + 2 = 128
5
2
6
Sol: a) 2; b) 2, 0; c) –1, –2; d) 3; e) –2, 1; f) 2, 1; g) 1; h) 0; i) 1, 0; j) 11; k) 2; l) –1, 0.
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8º
9º
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Calcula el valor de x:
b) 4 x+1 = 7
c) 3x+1 = 12
a) 2 x = 3
Sol: a) 1.585; b) 0.4037; c) 1.2616; d) 2.3562.
d) 7 x− 2 = 2
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas:
⎧3·2 x − 4·7 y = −172
⎧ 4 x +1 − 6 y = 40
a) ⎨
b)
c)
⎨ x
x
y
y
7·2
+
2·7
=
154
2·4
6
88
−
=
−
⎩
⎩
⎧ 2·3x +1 − 5 y + 2 = −2639
d) ⎨
x
y
⎩ 4·3 + 5 = 449
⎧5 x + y = 253
e) ⎨ x − y
⎩ 5 = 25
⎧a x + y = a 4
g) ⎨ x − y
2
⎩a = a
⎧ 8 y ·22 x = 128
h) ⎨ 2 y x−1
⎩3 ·3 = 27
⎧ 3x + 2 y = 31
⎨ x +1
y+2
⎩3 − 2 = 65
⎧ 15·5 x −1 − 6 y = 339
f) ⎨ x
y +1
⎩3·5 + 2·6 = 807
⎧⎪33 x − y = 310
i) ⎨ 2 x + y
=3
⎪⎩ 3
⎧ 2 x − 3 y −1 = 5
⎧ 3·2 x − 2·3 y = −6
⎧ 3·2 x − 5·3 y = 3
l)
j) ⎨ x
k)
⎨
⎨ x +1
y
y
x +1
y +1
⎩2 + 3 = 59
⎩2 + 8·3 = 712
⎩4·2 − 3·3 = −11
⎧2·3x + 2 y +3 = 86
⎧2 x + 2 y = 32
m) ⎨ x
n)
⎨ 2 x− y
y
=1
⎩5
⎩ 3 − 2 = 23
Sol: a) x = 3, y = 2; b) x = y = 3; c) x = 3, y = 2; d) x = y = 4; e) x = 4, y = 2;
f) x = 3, y = 2; g) x = 3, y = 1; h) x = –70, y = 49; i) x = 6/5, y = –7/5; j) x = y = 2;
k) x = y = 4; l) x = 5, y = 4; m) x = 3, y = 2; n) x = 1, y = 2.
– 85 –