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HOJA Nº 10. CINEMÁTICA - 2
1.
Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su velocidad en función del
tiempo. Sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0.
a. Dibuja una gráfica de la aceleración en función del tiempo
b. Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el instante t=8s.
c. Escribe la expresión de la posición x del móvil en función del tiempo t, en los tramos AB
y BC
Solución
Sabemos que la trayectoria es una linea recta por el enunciado.
La gráfica la voy a dividir en tramos 0A (primer tramos), AB, BC, CD, DE. Los valores los leo en la gráfica
OA: la velocidad aumenta porporcionalmente al tiempo, es una aceleración constante y la calculo a partir de
la pendiente de la recta en este caso
a = 10/1 = 10 m/s
2
AB: velocidad constante (10 m/s), aceleración = 0
BC, aceleración constante (igual razonamiento que OA), en este caso la aceleración es
a = (vfinal - vinicial)/(incremento de tiempo) = (24-10)/(4-3) = 14 m/s
2
CD: igual que AB, pero v=24 m/s
DE: aceleración constante la calculo como en OA y BC
a = (vfinal - vinicial)/(incremento de tiempo) = (0-24)/(8-5) = - 8 m/s
2
Espacio total recorrido: igualmente los trato por tramos
2
0A: MRUA, V0 = 0, a = 10 m/s , duración t = 1s
△x = 0·t + 1/2·10·t2 = 5·1 = 5 m
AB: MRU, v = 10 m/s, t = 2s
△x = v·t = 10·2 = 20 m
2
BC. MRUA, a = 14m/s , v0 = 10 m/s, t = 1 s
△x = 10·t + 1/2·14·t2 = 10·1 +7·1 = 17 m
CD. MRU, v = 24 m/s, t = 1s
△x = v·t = 24·1 = 24 m
2
DE. MRUA , a = -8 m/s , v0 = 24 m/s, t =3 s
△x = 24·t - 3·t2 = 24·3 - 1/2·8·32 = 36 m
Recorrido total 5 + 20 + 17 +24 +36 = 102 m
También puede resolverse por el área bajo el gráfico Vt. Compruébalo.
2.
Un vehículo que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 s y recorre 400
m hasta detenerse. Calcular:
a. ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?.
b. ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?.
Solución
Datos del movimiento:
t = 25 s
Tiempo que dura el movimiento
x = 400 m espacio recorrido por el vehículo
vf = 0 m/s velocidad al final del movimiento
Ecuaciones del movimiento (MRUA)
vf = v0 + a.t
x = v0.t + 1/2 a.t ²
Al final el móvil se deteine, es decir pasados 25 segundos se para Vf =0. Aplicando la ecuación de la
velocidad y en ese tiempo recorre 400m. Planteamos las ecuaciones del movimiento, pero sustituyendo los
datos que conocemos:
400 = v0.25 + 1/2 a.25 ²
0 = v0 + a.25
Como ves tienes dos ecuaciones con dos incógnitas: vo y a
Se trata de resolverlas, elige tu método preferido, yo elijo en este caso sustitución
v0 = - a·25
400 = - a·25·.25 + 1/2 a.25 ²
400 = - 625·a + 1/2 a.625
400 = - 312,5·a
2
despejo y tengo que a = - 1,28 m/s
Ya la velocidad inicial era
v0 = - a·25; v0 = - (-1,28)·25 = 32 m/s
3.
v0 = 32 m/s
Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de
588 m/s. Calcular:
a. Aceleración.
b. ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s?.
Solución
El cohete parte del reposo
v0 = 0 m/s
y alcanza una velocidad final
vf = 588 m/s
En un tiempo de movimiento
t = 30 s
Parte desde el punto de referencia x0= 0
Ecuaciones de este tipo de movimientos (MRUA):
vf = v0 + a.t
x = x0 + v0.t + a.t ²/2
a) En este caso puedo calcular directamente la aceleración con la ecuación de la velocidad
vf = v0 + a.t
588 = a.30
2
a = 588 / 30 m/s
a = 19,6 m/s ²
b) Espacio recorrido ues acudimos a la ecuación de la posición:
x = x0 + v0.t + a.t ²/2
x = a.t ²/2
x =19,6·30²/2
x = 8820 m
4.
Un motociclista parte del reposo y tarda 10 s en recorrer 20 m. ¿Qué tiempo necesitará para
alcanzar 40 km/h?.
Solución
Parte del reposo
v0 = 0 m/s
Considero un tiempo de
t = 10 s
recorre en ese tiempo
x = 20 m
posición inicial
x= 0
Pues tenemos un movimiento rectilineo uniformemente acelerado, las ecuaciones generales son
v = v0 + a.t
x = v0.t + a.t ²/2
En nuestro caso particular estas ecuaciones se quedan en
v = a.t
x = ½a.t ²
¿tiempo para alcanzar una velocidad de 40 km/h = (40 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 11,11 m/s?
Solo puedo calcularlo a partir de la ecuación de la velocidad
11,1 = a.t; t = 11,1/a
pero no se l aceleración, debe haber una forma de calcularla con los datos del ejercicio. Sabemos que
recorre 20m en 10s sustituimos estos valores en la segunda ecuación
20 = ½a.10 ²
Pues vemos que podemos calcular la aceleración con la ecuación de la posición
20 = 1/2·a·100;
20 = a·50; a = 0,4 m/s
2
Ahora si puedo calcular el tiempo necesario tarda en alcanzar 11,1 m/s,
v = a·t; 11,1 = 0,4·t;
5.
t = 27,77 s
De un edificio de 50 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad
de 20m/s. Al mismo instante y desde el suelo se lanza hacia arriba una moneda con velocidad
30m/s. ¿En qué instante se encuentran los objetos?¿Van subiendo o bajando cada uno?
Solución
Piedra lanzada hacia arriba
Vp0 = 20 m/s
Altura de partida
h = 50 m
Moneda lanzada hacia arriba
Vm0 = 30 m/s
Altura de partida
h=0m
Tenemos dos movimientos acelerados, lanzamientos verticales. Ambos poseen una aceleración constante
2
de - 9,8 m/s (hacia abajo)
Se encuentran cuando están a la misma altura, por tanto planteemos las ecuaciones de posición de ambos
movimientos. Recuerda la ecuación de posición para estos movimientos es en general
2
y = h + v0·t - 1/2·9,8·t
El factor 1/2·9,8 lo voy a cambiar por su valor 4,9 (para clarificar las ecuaciones)
piedra
y = 50 + 20·t - 4,9·t
moneda
y = 30·t - 4,9·t
2
2
Cuando se encuentran ambas posiciones son la misma por tanto podemos igualarlas
2
2
50 + 20·t - 4,9·t = 30·t - 4,9·t
Queda
50 + 20·t = 30·t; 50 = 30·t - 20·t; 50 = 10·t; t = 5 s
Se encuentran a los 5 s de movimiento, por tanto estarán a
moneda
2
y = 30·5 - 4,9·5 = 150 - 4,9·25 = 27,5 m
No es necesario pero puedes confirmar que la piedra también se encuentra en esa posición
piedra
2
y = 50 + 20·5 - 4,9·5 = 50 + 100 - 4,9·25 = 27,5 m
Se cruzan a 27,5 m del suelo.
6.
La bombilla que cuelga del techo de un ascensor se encuentra a 2,5
metros del suelo. Cuando el ascensor asciende con velocidad
constante de 2m/s la bombilla se suelta y cae al suelo del
ascensor. Calcula el tiempo que tarda la bombilla en chocar con el suelo del ascensor y la altura
que bajó el ascensor en ese tiempo
Solución:
Bombilla inicialmente a
h= 0 m
Inicia su caída a
-2 m/s
Cae con aceleración
-9,8 m/s
Ascensor baja a
- 2 m/s
Posición inicial del suelo
-2,5 m
2
Mi punto de referencia cuando empieza a caer la bombilla, que en ese momento se mueve con el ascensor
a -2 m/s
El suelo del ascensor en ese momento está a - 2,5 m (2,5 m debajo del punto de referencia)
Así pues es un ejercicio de encuentro de móviles: cuando se encuentra la bombilla con el suelo, cuando
tengan la misma y.
Ecuación de caída de la bombilla
2
y = -2·t - 4,9·t
Ecuación de movimiento del ascensor (MRU)
y = -2,5 - 2·t
Cuando la bombilla cae ambos están a la misma distancia del pun to de referencia (misma y)
2
-2·t - 4,9·t = -2,5 - 2·t
Despejas t y obtenemos que tarda en llegar al suelo t = raiz(2,5/4,9) = 0,71 s
t = 0,71 s
En ese tiempo el ascensor ha llegado a
y = -2,5 -2·0,71 = -3,9 m
es decir ha recorrido 3,9 - 2,5 = 1,4 m
(usamos el valor absoluto de la diferencia entre posición final e inicial)
7.
Un ascensor de 3 m de altura sube con una aceleración de 1 m/s2. Cuando se encuentra a una
cierta altura se desprende la lámpara del techo.
Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo del ascensor. Tomar g=9.8 m/s2.
Solución
Otro ascensor. Punto de referencia el momento en que comienza a
caer la bombilla, que es cuando comienza a moverse el ascensor.
En este caso las velocidades iniciales son la misma en ambos casos
2
bombilla y = h + vo - 1/2·9,8·t
2
ascensor (suelo) y = v0 - 1/2·2·t
igualamos
2
2
3 + vo - 1/2·9,8·t = v0 - 1/2·2·t
eliminamos vo y despejamos t = raiz(3/5,9) = 0,71 s
8.
Un coche sale desde una ciudad A con una velocidad constante de 25 m/s. A los 2 minutos sale
otro a una velocidad de 12 m/s desde una ciudad B situada a 4 Km de distancia y se dirige a la
ciudad A. Ambos van en linea recta y sus velocidades son constantes. Determina el lugar en el que
se encuentran.
solución
Punto de referencia la ciudad A.Dirección AB positiva, BA negativa. Contamos el tiempo cuando sale A.
Coche A: posición
x = 25·t
Coche B posición
x = 4000 - 12·(t - 120)
lleva andando 120 segundos menos que A
se encuentran cuando sus posiciones son iguales
25·t = 4000 - 12·(t - 120)
despejando obtenemos que t = 147 s A lleva andando este tiempo cuando se encuentran
La distancia a la que se encuentran será x = 25·147 = 3676 m de la ciudad A
otra forma
Punto de referencia la ciudad A.Dirección AB positiva, BA negativa. Contamos el tiempo cuando sale B.
En este caso cuando sale B el coche A ya lleva andando 120 s y habrá recorrido 120·25 metros
Coche A: posición
x = 120·25 + 25·t
Coche B posición
x = 4000 - 12·t
se encuentran cuando sus posiciones son iguales
120·25 + 25·t = 4000 - 12·t
despejando obtenemos que t = 27 s el coche B lleva andando este tiempo cuando se encuentran, luego el
A ya lleva andando 120+27 = 147 s (salió 120 segundos antes)
La distancia a la que se encuentran será x = 4000 - 12·27 = 3676 m de la ciudad A
Repasa bien estos ejercicios y la hoja anterior.
Haz los ejercicios del libro.
Y recuerda que en esta primera parte de la cinemática debes
-
Saber deducir los vectores velocidad y aceleración a partir de los vectores posición
-
Saber deducir las velocidades y aceleraciones instantáneas
-
Calcular las componentes intrínsecas de la aceleración (aunque esto lo volveremos a ver con el
movimiento circular)
-
Manejar las gráficas de movimiento con soltura: interpretarlas y extraer información de ellas
-
Manejar las ecuaciones, usarlas no simplemente para calcular un espacio recorrido o una velocidad o
una aceleración a partir de las definiciones.
Doy por hecho que te sabes manejar bien con las unidades.Y si te fijas esto es un repaso con una
ampliación no demasiado compleja.