1. Healthcare

Matemáticas de NIVEL I – Números enteros, fracciones y decimales - 1
2. Números enteros, fracciones y decimales
1. Números enteros
En la vida cotidiana surgen situaciones numéricas que no se pueden expresar mediante
números naturales: temperaturas sobre cero y bajo cero, alturas sobre el nivel del mar y
por debajo del nivel del mar, saldos bancarios acreedores y saldos deudores, etc.
Para dar solución a estos problemas, se crearon los números negativos que son los
números que se escriben con un signo menos delante,
(−1 ; −2 ; −3 ; ... )
y, que junto con
los naturales, forman el conjunto de los números enteros, que se representan por
ℤ={0, +±1, ±2, ±3, ...}
Los números enteros forman un conjunto ordenado, cuyos elementos se pueden situar o
representar gráficamente sobre la recta numérica:
La representación gráfica permite ordenarlos con facilidad. Si a y b son dos números
enteros,
Decimos que a es menor que b si a está situado a la izquierda de b y lo expresamos mediante
a< b
Análogamente,
Decimos que a es mayor que b si a está situado a la derecha de b y lo expresamos mediante
a< b
¿LO SABÍAS?
En la actualidad nadie cuestiona los números negativos. De hecho, estamos acostumbrados a usarlos
en las transacciones comerciales. Sin embargo, en Occidente la introducción de estos números fue muy
tardía y encontró mucha resistencia. Las soluciones negativas a problemas matemáticos fueron
consideradas erróneas ya que implicaban la compra o venta de productos inexistentes o, incluso, la
posibilidad de que a alguien se le pudiera quitar aquello que no tenía.
En Oriente, en cambio, los números negativos fueron utilizados desde la antigüedad. Los empleaban
los chinos, quienes los distinguían en los ábacos mediante el color rojo. La identificación de estos
números con el color rojo ha pervivido hasta nuestros días (no en vano «estar en números rojos»
significa tener un saldo negativo.
Matemáticamente, los números negativos se indican con el signo negativo, que tiene su origen en la
evolución de la letra m (inicial de la palabra minus) , que al alargarse, acabó tomando la forma de una
raya horizontal.
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2 - Matemáticas de NIVEL I – Números entero, fracciones y decimales
1.1 Valor absoluto de un número entero
Existen numerosas situaciones en las que no interesa el signo de un número entero, sino
que solo nos interesa el valor del número. Estas situaciones nos llevan al concepto de valor
absoluto de un número entero.
Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que resulta de suprimir el
signo (+) ó (-) que le precede.
Para indicar que se trata del valor absoluto del número, lo escribimos entre dos rayas
verticales. Observa los ejemplos:
∣−3∣=3
∣+3∣=3
∣−7∣=7
∣0∣=0
Actividades y ejercicios
2.1 Describe tres situaciones en las que tenga sentido el uso de números negativos.
2.2 Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros:
−15, + 25, −503, −2, +10, 0, ∣−50∣, −108, −147, + 144
2.3 Calcula los siguientes valores absolutos:
∣+7∣=
∣−5∣=
∣+11∣=
2.4 Indica el valor de cada letra en el siguiente gráfico:
1.2 Opuesto de un número entero
El opuesto de un número entero es otro número entero con igual valor absoluto y distinto signo.
► Todo número entero tiene su opuesto.
► La suma de dos números opuestos es igual a cero.
−3 es el opuesto de +3⇒−3+3=0
► El opuesto de cero es 0.
Actividades y ejercicios
2.5 Escribe los opuestos de cada uno de los siguientes números enteros y ordénalos de
menor a mayor:
−15, + 25, −503, −2, +10, 0, |−50|, −108, −147, + 144
2.6 Responde a las siguientes cuestiones: (a) ¿Qué números tienen por valor absoluto 5?;
(b) ¿Cuántas unidades hay entre -4 y su valor absoluto?; (c) Si un número y su opuesto
están separados por 8 unidades, ¿cuáles son estos números?
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Matemáticas de NIVEL I – Números enteros, fracciones y decimales - 3
2. Operaciones con números enteros
Veamos la forma de realizar las diferentes operaciones elementales con números enteros.
► SUMA Y RESTA
•
La suma o adición de números enteros es una operación por la cual a cada dos
números le hacemos corresponder otro de forma que:
a) si tienen el mismo signo, se suman prescindiendo del signo y al resultado le ponemos
el signo común.
b) Si uno de ellos es cero, el resultado es el otro número.
c) Si tienen distinto signo, se restan prescindiendo del signo y al resultado le
ponemos el signo del que tenga mayor valor absoluto.
(+ 4)+(+3)=+ 7
(−4)+(−3)=−7
(−6)+(−4)=−10
•
(+7)+0=+7
(−6)+0=−6
0+0=0
(−3)+(+7)=+10
(+3)+(−7)=−4
(−5)+(−5)=0
La resta o diferencia de números enteros es una operación por la que a cada dos
números le hacemos corresponder otro que resulta de sumar al primero el opuesto
del segundo.
(+10)−(+ 7)=(+10)+(−7)=+3
(−3)−(+8)=(−3)+(−8)=−11
•
(+10)−(−7)=(+10)+(+7)=+17
(+5)−(+8)=(+5)+(−8)=−3
Al suprimir un paréntesis precedido del signo «más», los signos interiores no
varían:
+(5−7+ 4)=5−7+ 4
•
Al suprimir un paréntesis precedido del signo «menos», los signos interiores se
cambian: «más» por «menos» y «menos» por «más»:
−(5−7+ 4)=−5+7−4
•
Para sumar varios números positivos y negativos, conviene sumar los positivos por
un lado y los negativos por otro, restar ambos resultados y anteponer el signo del
que tenga el mayor valor absoluto:
6+ 2−7−4+1=(6+ 2+1)−(7+ 4)=9−11=−2
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4 - Matemáticas de NIVEL I – Números entero, fracciones y decimales
► MULTIPLICACIÓN
La multiplicación o producto de dos números enteros es una operación por la cual a
cada dos números le hacemos corresponder otro que resulta de multiplicar los valores
absolutos de ambos números atendiendo a los siguientes criterios de signos:
a) si tienen el mismo signo, el resultado es positivo.
b) Si tienen distinto signo, el resultado es negativo.
(+ 4)· (+3)=+12
(−4)· (−3)=+12
(−4)· (+3)=−12
(+4)·(−3)=−12
► DIVISIÓN
El cociente o división de dos números enteros es una operación por la cual a cada dos
números le hacemos corresponder otro que resulta de dividir los valores absolutos de
ambos números atendiendo a los mismos criterio de signos que los del producto:
(+15) :(−3)=−5
(−15) ·(+3)=−5
(+15): (+3)=+5
(−15) ·(−3)=+5
¿POR QUÉ MENOS por MENOS es MÁS?
Regla de los signos para la
multiplicación y la división
¿Cómo es posible que dados dos números negativos al
multiplicarlos se conviertan «por arte de magia» en un
número positivo?
+ · + = +
+ : + = +
Una justificación poco matemática:
+ · - = -
+ : - = -
- · - = -
- : - = -
- · - = +
- : - = +
Los amigos de mis amigos son mis amigos;
Los amigos de mis enemigos son mis enemigos;
Los enemigos de mis amigos son mis enemigos;
Y los enemigos de mis enemigos son mis amigos;
En “The Riemann Hypothesis. The Greatest Unsolved
Problem in Mathematics" de Israel Geland., podemos leer esto:
3 × 5 = 15: Si te dan tres veces cinco dólares tienes 15 dólares.
3 × (-5) = -15: Si pagas tres veces una multa de cinco dólares es como pagar una multa de 15 dólares.
(-3) × 5 = -15: Que no te den tres veces cinco dólares es como que no te den 15 dólares.
(-3) × (-5) = 15: No pagar tres veces una multa de cinco dólares es como que te den 15 dólares.
Y ahora una demostración rigurosa:
Como el opuesto de 1 es – 1 , y la suma de dos números opuestos es cero:
Si multiplicamos por (-1):
respecto de la suma:
−1 ·(1+(−1))=0
−1 · 1+(−1)·(−1)=0
sumamos 1 a los dos miembros:
1+(−1)=0
Y por la propiedad distributiva del producto
De donde:
1+(−1)+(−1)·(−1)=1+ 0
−1+(−1)·(−1)=0
O sea,
(−1) ·(−1)=1
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Si ahora
Matemáticas de NIVEL I – Números enteros, fracciones y decimales - 5
► POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS
Una potencia es una expresión de la forma
a
n
, en la que el número a se llama base
y el número n exponente. Sabemos que desarrollo, cuando a y n son números naturales
es:
n veces
a =a⏞
· a · a ·… · a
n
Cuando se calculan potencias con base entera, el procedimiento de cálculo es el mismo
que el estudiado para potencias de base natural, teniendo presente las reglas de los
signos estudiadas para el producto:
(+ 2)3=(+2)·(+2) ·(+2)=+8
3
(−2) =(−2)·(−2)·(−2)=−8
(+3)4=(+3) ·(+3)·(+ 3) ·(+3)=+27
(−3)4=(−3)·(−3)·(−3)·(−3)=27
La potencia de un número entero a, elevado a un exponente n natural, se efectúa
multiplicando a consigo mismo tantas veces como indica el exponente. Hay que tener
en cuenta dos casos según el signo de la base a:
a)
Si a es positivo el resultado es siempre positivo.
(+4)³=(+ 4)·(+ 4)·(+ 4)=+64
(+3)2=(+3)·(+ 3)=+ 9
b) Si a es negativo el resultado es positivo si n es par y negativo si n es impar.
(−4)2=(−4) ·(−4)=+16
3
(−3) =(−3)·(−3)·(−3)=−27
•
Las potencias de exponente 1 de cualquier número dan como resultado dicho número:
1
a =a
•
Las potencias de exponente 0 de cualquier número dan como resultado 1:
a 0=1
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6 - Matemáticas de NIVEL I – Números entero, fracciones y decimales
► OPERACIONES COMBINADAS
El orden de prioridad de las operaciones es el siguiente:
1º) Se realizan las operaciones que están dentro de los paréntesis.
2º) Se realizan las potencias.
3º) Se hacen las multiplicaciones y divisiones.
4º) Se efectúan sumas y restas.
(En igualdad de prioridad conviene trabajar de izquierda a derecha).
(15−4)+ 3−(12−5 · 2)+(5+16 :4)−( 5−23 )=
Con potencias y
Paréntesis...
(15−4)+ 3−(12−5 · 2)+(5+16 :4)−( 5−8 )=
(15−4)+ 3−(12−10)+(5+ 4)−( 5−8 )=
11+3−2+ 9−(−3 )=
11+3−2+9+ 3=( 11+3+ 9+3)−2=26−2=
24
Actividades y ejercicios
2.7 En esta página tienes una explicación fácil paso a paso con ejemplos.
2.8 En la página de EMATEMÁTICAS puedes realizar ejercicios interactivos.
2.8
En la página de VITUTOR tienes ejercicios clasificados según el tipo de operación.
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Matemáticas de NIVEL I – Números enteros, fracciones y decimales - 7
2.9 Calcula:
(a)
(b)
3−5+ 2−8−11+ 8−17=
(15−11)−[ ( 4−13+ 21 )−( 11−13+ 43 ) ] =
(c)
3 · 2−5=
(d)
5−3 · 2=
2.10 Calcula:
(a)
(−2 )2=
(b)
(−2 )5=
(c)
(−1 )7=
(d)
(−1 )20=
2.11 Calcula:
(a)
2+ 3· 4−5 ·(−2)=
(b)
8−7 · [ 8+ 5·(−1) ] + 24 : (−7+13 )=
(c)
(−36): [ −16:(−7+3)+ 8:(−2+6)] =
(d)
(−8)3 : [ 4−(−6)2 ·(−3)] −4 ·(−10)2=
2.12 Calcula:
(a)
2+ 3· 4−5 ·(−2)=
10
5
4
(b)
(−2) ·(−1) :(−2) =
(c)
(−2)3−3 ·(−3)2 ·(−2)2 + 4· [−3+(−1)3 · 5 ]=
(d)
(−3)3 ·(−2)·(−5)−[ 3 ·(−2)3+(−2) ]− [ 5−3· (−2) ] =
2.13 La temperatura de una barra de hierro en un día de invierno es de 2ºC bajo cero. Se
calienta y pasa a una temperatura de 50ºC sobre cero. ¿Cuál es la variación de su
temperatura?
2.14 Una colección de libros antiguos de lujo consta de 150 títulos. El precio de los tres
primeros juntos es de 325 euros,y el recio de los restantes hasta la mitad de la colección
es de 250 euros cada libro. La segunda mitad de la colección se vende a 220 euros cada
libro. ¿Cuál es el importe de toda la colección?
2.15 Al enchufar a la corriente un congelador la temperatura desciende 2ºC cada 8
minutos. En el momento de enchufarlo, el interior del congelador está a 16ºC. A) ¿Cuánto
tiempo tardará en alcanzar -24ºC? B) ¿A qué temperatura se encontrará al cabo de dos
horas de tenerlo encendido?
2.16 Comenta la siguiente frase, que a veces se oye decir: «Ahora estamos a -2 ºC bajo
cero».
2.17 Teresa se encuentra en la planta -9 de un edificio. Si ha llegado hasta esta planta
bajando en 3 tramos de igual número de pisos, ¿cuántos pisos bajó en cada tramo? Utiliza
números enteros con paréntesis.
2.18 Calcula razonadamente el valor de las letras:
(a)
a+∣a∣=10 ; (b)
−5+∣b∣=0 ; (c)
c +∣−4∣=0
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8 - Matemáticas de NIVEL I – Números entero, fracciones y decimales
3. Fracciones
Existen numerosas situaciones en las que la unidad aparece fraccionada:
•
Dos de cada cinco jóvenes universitarios...
•
La distancia de la maratón es de 42,140 km...
•
El 80 por ciento de los alumnos...
En cada una de las expresiones anteriores aparece la fracción en alguna de sus formas:
como proporción, como operador, como decimal o como porcentaje.
Una fracción es una expresión de la forma
a
b
en la que a y b son números enteros que
se denominan respectivamente numerador y denominador.
La fracción representa el número o valor que resulta al realizar la división del numerador
entre su denominador. Generalmente se trata de un número decimal que se llama
expresión decimal de la fracción.
Por ejemplo, la expresión decimal de la fracción
3
es 0,75.
4
Una fracción se puede interpretar como partes de la unidad: la mitad, la quinta parte,
la milésima parte... En ese caso, el denominador indica el número de partes iguales en que
se divide la unidad, o un todo individualizado y el numerador indica el número de partes que
se toman en consideración.
Así, para expresar que hemos dividido una pieza de tela en cinco partes iguales de las
que hemos tomado tres, escribimos fracción
3 entre 5:
3
. Su expresión decimal se obtiene dividiendo
5
3 :5=0,6
¿LO SABÍAS?
El denominador de una fracción da nombre a la fracción, es decir, la clasifica en
medios, tercios, cuartos, etc.
El numerador de una fracción es el que la numera dentro del conjunto al que
pertenece. Por ejemplo dentro de las fracciones cuyo denominador es “2”, es decir, el
conjunto de los “medios”, numeramos sus elementos en uno, dos, tres... (un medio,
dos medios, tres medios, etc...).
El numerador de una fracción debe ser siempre un número entero y el denominador un
número natural (nunca puede ser cero ni negativo). Una fracción se puede leer diciendo el
número del numerador, seguido por las palabras «partido por» y el número del
denominador. A menudo también se dice el número del numerador seguido por el del
denominador más el sufijo «avos», si bien, esta segunda forma no se aplica cuando el
denominador es uno de los diez primeros números naturales en cuyo caso se habla de
medios (2), tercios (3), cuartos (4), quintos (5), … décimos (10).
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Matemáticas de NIVEL I – Números enteros, fracciones y decimales - 9
ALGUNOS TIPOS DE FRACCIONES
► Fracciones propias
Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su expresión decimal es
un número menor que la unidad:
5 2 4
; ;
6 5 7
► Fracciones impropias
Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su expresión decimal es
un número mayor que la unidad:
6 5 7
; ;
5 2 4
Las fracciones impropias se pueden expresar como suma de un número entero y una
fracción propia. Para ello, se realiza la división entera del numerador entre el
denominador. El cociente es el número entero y el resto de la división es el numerador
de la fracción propia.
16 3
1
5
⇒
16
1
=5+
3
3
► Número mixto
Es aquél que consta de una parte entera y una fraccionaria:
1
1
5 =5+
3
3
Generalmente se trata de una fracción impropia. Para encontrar la fracción impropia
que equivale al número mixto se procede como puede verse en el siguiente ejemplo:
1
1 5 · 3+1 16
5 =5+ =
=
3
3
3
3
► Fracciones aparentes (números enteros)
Si el numerador de una fracción es un múltiplo del numerador, la fracción se
denomina aparente y su valor es el número entero que resulta de dividir el numerador
entre el denominador:
12
=4
3
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10 - Matemáticas de NIVEL I – Números entero, fracciones y decimales
► Fracciones decimales
Son aquellas, que una vez reducidas, su denominador es 10 o una de sus potencias:
1
=0,1
10
3
=0,03
100
► Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando se simplifican dando lugar a la misma
fracción irreducible. Si dos fracciones son equivalentes, el producto de los extremos
es igual al producto de los medios:
a c
= son equivalentes si a · d=b · c
b d
3.1 Simplificación de fracciones
Si el numerador y el denominador de una fracción se pueden dividir por un mismo
número, al hacerlo diremos que hemos simplificado o reducido la fracción. La nueva
fracción que se obtiene es equivalente a la primera pues su expresión decimal es la
misma.
Simplificar la fracción
120
36
Se va dividiendo sucesivamente numerador y denominador entre un divisor
común:
120 120 :2 60 60 :2 30 30 :3 10
=
= =
= =
=
36
36 :2 36 18 :2 9
9 :3
3
Método rápido de simplificación: Para conseguir la fracción irreducible
directamente, se divide numerador y denominador por el máximo común divisor de
ambos. En el ejemplo anterior:
3
M.C.D.(120,36)=2 · 3=12
⇒
120 120:12 10
=
=
36
36: 12
3
Cuando una fracción no se puede reducir debido a que el numerador y el denominador
son números primos entre sí, se dice que es una fracción irreducible.
La fracción
3
es irreducible.
7
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Matemáticas de NIVEL I – Números enteros, fracciones y decimales - 11
3.2 La fracción como operador
¿Cuánto dinero le corresponde a un heredero al que se le asignan los dos
tercios de una herencia de 840.000 euros?
2
de 840.000=2 ·840.000 : 24.000 euros.
7
Para calcular una fracción de una cantidad, se multiplica la cantidad por el numerador y el
resultado se divide entre el denominador.
3.3 Suma y resta de fracciones
•
Si tienen el mismo denominador
Se suman sus denominadores y se mantiene el mismo denominador:
2 5 4 2+5−4 3
+ − =
= =1
2 3 3
3
3
•
Si tienen distinto denominador
Se transforman las fracciones previamente en otras equivalentes con el mismo
denominador y se procede como en el caso anterior:
1 7 4
− + →
6 10 15
}
6=2· 3
10=2· 5 ⇒ m.c.m.( 6,10,15)=2 ·3 ·5=30
15=3 · 5
1 7 4 1 ·5 7 · 3 4 · 2 5 21 8 13−21
8
4
− + =
−
+
= − + =
=− =−
6 10 15 6 · 5 10 · 3 5 · 2 30 30 30
30
30
15
3.4 Multiplicación de fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los
numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores:
a c a· c
· =
b d b· d
Ejemplos:
•
2 4 2·4 8
· =
=
3 5 3· 5 15
•
5 (−4) 5 ·(−4) −20
10
·
=
=
=−
6
5
6·1
6
3
•
2 5 2 · 5 10 5
· =
= =
3 4 3 · 4 12 6
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12 - Matemáticas de NIVEL I – Números entero, fracciones y decimales
En el último ejemplo, la simplificación se puede hacer antes de efectuar la multiplicación:
1
2 3 1 ·5 5
· =
=
5 4 3·2 6
2
3.5 Fracciones inversas
► Dos fracciones son inversas si su producto es la unidad.
► Toda fracción distinta de cero tiene inversa.
► La inversa de la fracción
m
n
con
m≠0 es
n
, es decir aquella que resulta de
m
cambiar el numerador por el denominador y viceversa.
Ejemplos:
•
La fracción inversa de
•
Como
2=
2
3
es
3
2
2
, la fracción inversa de 2 es
1
1
2
3.6 Cociente de fracciones
El cociente de dos fracciones es igual al producto de la primera por la inversa de
la segunda:
a c a·d
: =
b d b·c
Ejemplos:
•
7 2 7 5 7· 5 35
: = · =
=
4 5 4 2 4·2 8
•
7
7 1 7
:2= · =
4
4 2 8
Actividades y ejercicios
2.19 Calcula:
(a)
(c)
(b)
(d)
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Matemáticas de NIVEL I – Números enteros, fracciones y decimales - 13
3.7 Potenciación
Como sabemos, una potencia
a
veces como indica el exponente n:
n
es un producto reiterado de la base a tantas
n veces
a =a⏞
· a · a ·… · a
n
Por ejemplo, 75=7 · 7 ·7 · 7 ·7
► Principales propiedades de las potencias
DESCRIPCIÓN
PROPIEDAD
Potencia de un producto: es igual al
producto de las potencias de cada
multiplicando.
(a · b) =a · b
Potencia de un cociente: es igual al
cociente de las potencia del
numerador entre la potencia del
denominador.
(a : b) =a :b
Producto de potencias de la misma
base: es otra potencia de la misma
base cuyo exponente es la suma de
los exponentes.
Cociente de potencias de la misma
base: es otra potencia de la misma
base cuyo exponente es la resta de los
exponentes.
Potencia de una potencia: es otra
potencia de la misma base cuyo
exponente es el producto de los
exponentes.
n
n
n
n
n
n
EJEMPLO
4
m
n +m
()
5
2 · 2 =(2 · 2 · 2)·( 2· 2· 2 · 2 · 2)
a · b =a
an
n− m
=a
m
b
n m
(a ) =a
n ·m
4
6 4 64 1296
= 4=
=81
2
16
2
3
n
4
(2 · 3) =2 · 3 =16 ·81=1296
=2
3+5
8
=2
35 3 ·3 · 3· 3 ·3
2
5−3
=
=3 =3
3
3 · 3· 3
3
3 2
3
3
6
(10 ) =10 ·10 =10 =10
3· 2
3.7.1 CASOS ESPECIALES
► Potencias de exponente 1
La definición de potencia no permite calcular una potencia cuyo exponente sea 1.
No obstante, si aplicamos el cociente de potencias de la misma base de forma que
el numerador sea una potencia de exponente una una unidad superior al exponente
del denominador:
5 4 625
=
=5
53 125
Por otra parte:
5 4 4−3 1
=5 =5 Por lo que podemos concluir que 51=5
3
5
Generalizando este resultado a cualquier base:
a 1=a
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14 - Matemáticas de NIVEL I – Números entero, fracciones y decimales
► Potencias de exponente 0
Análogamente al caso anterior, tampoco tiene sentido hablar de un número elevado
a cero, porque un número no se puede multiplicar por sí mismo cero veces. Sin
embargo, teniendo en cuenta las propiedades de las potencias podemos interpretar
este caso como sigue:
Como el cociente de dos números iguales es igual a 1:
53 125
=
=1
53 125
Por otra parte, podemos aplicar la propiedad del cociente de potencias de la misma base:
53 3−3 0
=5 =5
53
Por lo que podemos concluir que:
0
5 =1
Generalizando este resultado a cualquier base distinta de cero:
a 0=1
► Potencias de exponente entero
Para interpretar las potencias de exponente negativo consideremos lo siguiente:
0
a =a
Como por otra parte,
n+(−n)
n
=a · a
−n
a 0=1 , se tiene: a n · a−n=1 , de donde:
a−n=
1
n
a
Es decir una potencia de exponente negativo es el inverso de esta misma potencia con
exponente positivo:
10−3=
1
1
=
=0,001
3
1000
10
Este resultado se puede aplicar al caso en el que la base sea una fracción:
a
b
−n
b
a
n
() ()
=
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Matemáticas de NIVEL I – Números enteros, fracciones y decimales - 15
Ejemplos:
5
6
5+6 +1
12
•
3 · 3 ·3=3
•
25 · 2
1 1
=25+1−8=2−2= 2 =
8
2
2 4
•
5−2 ·(52)−3 :5−4=5−2 · 5−6 : 5−4=5−2−6 +4=5−4=
•
2 ·(2 · 3)
23 · 22 ·3 2 28 2 8 256
=
= =
=
6561
35 :2 3 · 3−2 36 · 2−3 ·3 4 38 3
3
=3
2
1
1
=
4
5 625
()
Actividades y ejercicios
2.20 Reduce utilizando las propiedades de las potencias, expresando el resultado como
fracción irreducible:
(a)
(b)
5
(d)
(c)
1 1
· = (e)
2 5
( )
1
2
5
(d)
5
1
= (f)
5
2
3
()()
·
2
3
2
= (e)
3
()()
·
2.21 Simplifica y expresa el resultado como potencia de exponente positivo:
(a)
2.22 Si las
(b)
32 :(2 :33 )2
−2
2
2 : (3 · 2 )
=
2
partes de los 100 representantes de una asamblea de distrito son
5
hombres, ¿cuántas mujeres hay?
2.23 Si me gasto la mitad de mi sueldo en alimentación y la tercera parte de lo que me
queda en ropa, ¿qué fracción de lo que tenía me he gastado en total?
2.24 ¿Cuánto es un tercio de dos quintos de noventa?
2.25 En una fiesta popular se preparó una paella de 1000 kg y se comieron las siete
octavas partes. ¿Cuánto pesaba la porción de paella que sobró?
2.26 En la vendimia de 2012 se cosecharon 360.000 toneladas de uva. Esta cantidad es
un cuarto inferior a la que se recolectó el año anterior. ¿Cuántas toneladas de uva se
recolectaron en el año 2011?
2.27 ¿Qué fracción de denominador 10 es equivalente a
?
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16 - Matemáticas de NIVEL I – Números entero, fracciones y decimales
3.8 Operaciones combinadas
El orden de prioridad de las operaciones es el mismo que el que vimos en los números
enteros. Lo repasamos a continuación:
1º) Se realizan las operaciones que están dentro de los paréntesis.
2º) Se realizan las potencias.
3º) Se hacen las multiplicaciones y divisiones.
4º) Se efectúan sumas y restas.
Veamos un ejemplo:
[( ) ( ) ] [( ) ]
[ ( )][ ]
2 1
2
− +13 −1
3 9
3
4−1
2−3
+13
9
3
2
:
2
:
1
1
−1 −2· =
2
2
1−2 2
− =
2
2
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
3
1 −3
+13· :
=
9
9
2
3 13 −3
+
:
=
9 9
2
16 −3
:
=
9
2
16 · 2
=
−3 · 9
32
−
27
Actividades y ejercicios
2.28 Practica operaciones combinadas con fracciones en EMATEMÁTICAS y VITUTOR.
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Matemáticas de NIVEL I – Números enteros, fracciones y decimales - 17
4. Números decimales
Para expresar cantidades numéricas que representan partes de la unidad se utilizan los
números decimales.
Si en una fracción se divide el numerador entre el denominador, se puede obtener un
número entero o un número decimal que, a su vez, puede ser decimal exacto, decimal
periódico puro o decimal periódico mixto:
► Entero: si la fracción es aparente, es decir, el numerador es un múltiplo del
denominador, el cociente de la división del numerador entre el denominador es un
número entero:
12
=4
3
► Decimal exacto: el cociente presenta un número finito de cifras decimales y el resto
de la división es cero (división decimal exacta):
1
=0,5
2
► Decimal periódico puro: el cociente presenta una cifra o un grupo de cifras
decimales que se repite indefinidamente justo inmediatamente después de la coma
decimal (periodo):
8
=2,666...=2,6
3
► Decimal periódico mixto: el periodo no comienza inmediatamente después de la
coma. Las cifras decimales situadas delante del periodo forman el anteperiodo:
11
=0,7333...=0,73
15
Los números enteros junto con las fracciones, forman el conjunto de los números
racionales y se designa por ℚ . Se caracterizan porque:
•
Todos ellos se pueden expresar en forma de fracción, es decir, como cociente de
dos números enteros.
•
Su expresión decimal es un número entero, un número decimal exacto (expresión
decimal finita) o un número decimal periódico (puro o mixto).
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18 - Matemáticas de NIVEL I – Números entero, fracciones y decimales
Actividades y ejercicios
2.29 Obtener la expresión decimal de las siguientes fracciones, indicando el tipo de
decimal resultante. (Indicación: divide el numerador entre el denominador).
(a)
−
7
4
(b)
−
2
3
(c)
16
33
(d)
8
15
4.1 Operaciones con números decimales
► Para sumar o restar números decimales se colocan en columna, haciendo
corresponder los distintos órdenes de los números, tanto de la parte entera como los de
la parte decimal. Se suman o restan como si fueran números naturales manteniendo la
coma en su lugar:
► Para multiplicar dos números decimales se multiplican como si fueran números
naturales, sin tener en cuenta la coma decimal. El resultado tiene tantas cifras decimales
como la suma de las cifras decimales que tienen los factores.
► Para dividir dos números decimales se multiplican el dividendo y el divisor por la
unidad seguida de ceros hasta obtener en el divisor un número entero y se realiza la
división con los nuevos términos:
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Matemáticas de NIVEL I – Números enteros, fracciones y decimales - 19
4.2 Fracción generatriz de números decimales
Los números decimales exactos o periódicos, se pueden expresar mediante una fracción
que se denomina fracción generatriz de ese decimal, es decir, una fracción irreducible
tal que al dividir el numerador entre el denominador, se obtiene el número decimal. El
proceso de obtención de la fracción generatriz de un número decimal depende del tipo de
decimal de que se trate. A continuación estudiamos detalladamente los distintos casos.
► Número decimal exacto
Por ejemplo, el número 2,371:
Llamamos N al número decimal:
N =2,371
Se multiplican ambos miembros
por la unidad seguida de tantos
ceros como cifras decimales
haya (en este caso por 1000)
Se obtiene la fracción que
buscamos, despejando N
1000 N =1000 · 2,371
1000 N =2.371
N=
2371
→
1000
2,371=
2371
1000
En la práctica:
El numerador es el número decimal sin la coma; el denominador
es la unidad seguida de tantos
ceros como cifras decimales

2,38=
238 119
=
100 50
tenga el número.
► Número decimal periódico puro
Por ejemplo, el número
̂ :
3, 01
Llamamos N al número decimal:
Se multiplican ambos miembros
por la unidad seguida de tantos
ceros como cifras decimales
tenga el periodo (en este caso
por 100)
Se le resta al último resultado
el primero
Se obtiene la fracción que
buscamos, despejando N
N =3,010101...
100 N =100 · 3,010101...
100 N =301,010101...
100 N −N =301,01...−3,01...
99N=298
N=
298
→
99
3, 0̂1=
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298
99
20 - Matemáticas de NIVEL I – Números entero, fracciones y decimales
En la práctica:
El numerador es el número decimal sin la coma menos la parte
entera; el denominador está

Formado por tantos nueves
7, 3̂8=
738−7 731
=
99
99
como cifras tenga el periodo.
► Número decimal periódico mixto
Por ejemplo, el número
̂ :
7,01 233
1)Llamamos N al número decimal:
N =7,01233233...
2) Se multiplican ambos
miembros por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras
decimales tenga el anteperiodo
(en este caso por 100)
100 N =701,233...
3) Se multiplican ambos
miembros por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras
decimales tenga el periodo (en
este caso por 1000)
3) Se le resta al paso (3) el
paso (2)
1000 ·100 N =1000 ·701,233...
100000 N =701233,233...
100000 N −100 N =
=701233,233...−701,233...→
99900 N =700532
Se obtiene la fracción que
buscamos, despejando N
700532 175133
=
99900
24975
175133
7,01 2̂
33=
24975
N=
En la práctica:
El numerador es el número decimal sin la coma menos el número
hasta donde empieza el periodo
el denominador son tantos nueves
fl
3,7 3̂
12=
37312−37 37275 497
=
=
99900
99000 1332
como cifras periódica y tantos
ceros como cifras anteperiódicas.
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Matemáticas de NIVEL I – Números enteros, fracciones y decimales - 21
Actividades y ejercicios
2.30 Encuentra la fracción generatriz reducida de los siguientes números decimales:
(a)
(b)
−5,7
̂
−2,7 36
(c)
0, ̂
8
2.31 Calcula expresando el resultado en forma de fracción irreducible:
(a)
3,79 ·0,9
(b)
(3,45+2,7)·(3,68−3,05)
(a)
1, ̂9 · 3,79
(a)
3,7 ̂9−3,7 · 0,9
4.3 Números y potencias de base 10
Observa las siguiente potencias de base es 10 y exponente entero. En estas potencias, el
exponente indica el número de ceros que se escriben a la derecha del 1, si el exponente
es positivo, y a la izquierda del 1, si el exponente es negativo:
...
...
Esto nos permite hacer la descomposición polinómica de los números decimales:
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22 - Matemáticas de NIVEL I – Números entero, fracciones y decimales
¿Y si el número es 0,0789?
0,0789=0,07+0,008+0,0009
0,0789=7·
=7 · 0,01+ 8· 0,001+9 · 0,0001
1
1
1
+8 ·
+9 ·
100
1000
10000
=7 ·10−2 +8· 10−3 +9 ·10−4
¿Y un número decimal cualquiera como 423,75?
423,75=4 · 102 + 2· 101 +37 ·10 0+ 7 ·10−1 +5 ·10−2
► Expresión abreviada de cantidades muy grandes o muy pequeñas
Todo lo anterior nos proporciona un método para expresar de modo abreviado cantidades
muy grandes o muy pequeñas. Pensemos por ejemplo en la distancia que nos separa de
la estrella mas cercana a nosotros, la Alfa C de la constelación de Centauro. Dicha
distancia, expresada en metros, habría que escribirla así:
40 400 000 000 000 000 m
Empleando las potencias, resulta más como decir
6
4,04 · 10 m
Esta es la llamada notación cientifica que consiste en el producto de un número
comprendido entre 1 y 10 por una potencia de 10 con exponente entero. El exponente
de la potencia de diez se denomina orden de magnitud.
Ejemplos:
6
9430000=9,35· 10
−4
0,00078=7,8 · 10
23000000=2,3 ·10
7
Para operar con números escritos en notación científica se procede de forma natural
teniendo en cuenta que cada numero está formado por dos factores: la expresión decimal
y la potencia de base 10.
El producto y el cociente son inmediatos, mientras que las suma y la resta exigen
preparar los sumando de modo que tengan todos el mismo orden de magnitud para
poder sacar factor común.
Ejemplos
( 5,24 ·10 6 ) · ( 6,3 ·10 8 )=5,24 · 6,3· 106+ 8=33,012 ·1014 =3,3012· 1015
( 5,24 ·10 6 ) : ( 6,3· 108 )=5,24: 6,3· 106−8=0,8317 · 10−2=8,317 · 10−3
9
10
9
9
9
9
9
5,83· 10 −7,5· 10 =5,83 ·10 −75 ·10 =(5,83−75)· 10 =−69,17 ·10 =−6,917· 10
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Matemáticas de NIVEL I – Números enteros, fracciones y decimales - 23
Actividades y ejercicios
2.32 Observa este numero escrito en notación decimal y notación científica equivalente:
0,03=3· 10−2
Escribe tes ejemplos correspondientes a números muy pequeños y otros tres que
correspondan a números muy grandes.
2.33 Opera y expresa en notación científica:
6
−4
5
(a)
(1,18· 10 ) ·(3,21 ·10 )· 10
(b)
(3,5 ·10 ):(5 · 10 )
(c)
3,2 ·10 −2,79 · 10
5
−4
7
6
2.34 Expresa con todas sus cifras estos números: (a)
3,715 ·107 ; (b)
8,24 ·10−5
2.35 Escribe la descomposición polinómica de los siguientes números:
(a)137,25;
(b) 36,207
4.4 Porcentajes
Los porcentajes son una forma frecuente de expresar una fracción. Por ejemplo, un 20%
significa 20 de cada 100, es decir,
•
•
20
100
si se escribe en forma de fracción
0,2 si se escribe en forma decimal
Actividades y ejercicios
2.36 Expresa como número decimal: (a) 15%; (b) 75%
2.37 Expresa en porcentaje: (a) 0,25; (b) 0,33; (c) 0,1; (d) 0,77
2.38 Expresa en porcentaje: (a)
5
; (b)
2
3
8
2.39 Expresa en porcentaje e indica cuál es mayor: (a) 0,5 y
1
; (b)
2
3
5
y 0,4
2.40 Aquí tienes una buena aplicación interactiva para el aprendizaje de las fracciones.
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