1. Educación

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FUERZAS DISTRIBUIDAS – CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDES
Centro de Gravedad (G)
El peso de un cuerpo o la fuerza de atracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo rígido puede representarse
por una sola fuerza equivalente W aplicada en el centro de gravedad G de coordenadas
.
Coordenadas del
Centro de Gravedad (G)
Forma Discreta
Coordenadas del
Centro de Gravedad (G)
Forma Continua
Centro de Masa (c.m.)
El centro de masa (c.m) es el punto donde, para efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del
sistema. El centro de masa coincide con el centro de gravedad en cuerpos bajo un campo gravitatorio
uniforme.
Donde M es la masa total.
Coordenadas del
Centro de Masa (c.m.)
Centroide de Volumen (C)
El centroide es el centro geométrico de un cuerpo, por lo que depende únicamente de la forma o geometría del
cuerpo. El centroide de un cuerpo coincide con su centro de masa si el cuerpo es de densidad uniforme.
Donde V es el volumen total.
Coordenadas del
Centroide de Volumen (C)
Extendiendo el concepto de centroide:
Centroide de Área (C)
En una placa de espesor constante (e = constante) o cuerpo bidimensional, las coordenadas del centroide se
expresan como:
Coordenadas del
Centroide de Área (C)
Donde A es el área total.
Nota: Las integrales
y
se conocen como el 1er momento del área A respecto al eje X y al eje Y
respectivamente. Son conceptos útiles en la mecánica de materiales para determinar los esfuerzos de corte en
vigas sujetas a cargas transversales.
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Centroide de Línea (C)
En un cuerpo lineal de área transversal constante, como un alambre o cable, las coordenadas del centroide se
expresan como:
Coordenadas del
Centroide de Línea (C)
Donde L es la longitud total del cuerpo.
Simetrías:


Si un cuerpo tiene un eje de simetría, el centroide estará ubicado sobre el eje de simetría. Si el cuerpo posee
más de un eje de simetría, el centroide se ubicará en la intersección de tales ejes de simetría.
Si un cuerpo tiene un centro de simetría, el centroide estará ubicado en el centro de simetría.
Existen figuras planas básicas de centroide conocido que han sido tabulados, tales como el rectángulo,
triangulo, círculo, semi-parábola, etc. (Ver Tabla de Centroides).
Para calcular el centroide de una figura compuesta, debe subdividirse la misma en figuras de centroide
conocido y calcularlo como un promedio ponderado de los centroides respecto a las áreas.
El cálculo de centroides tiene múltiples aplicaciones prácticas, entre las que puede mencionarse:
1. Cálculo de superficies y volúmenes de sólidos de revolución (Teorema de Pappus-Guldinus).
2. Estática de fluidos.
3. Estudio de vigas con cargas distribuidas.
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MOMENTO DE INERCIA – 2do Momento de Área
Momento de Inercia (Ix , Iy)
El momento de inercia es una medida de lo que se opone un cuerpo a la aplicación de un momento de
flexión.
K: es la constante de proporcionalidad que es función del material.
Calculando el momento respecto a X:
Integrando para obtener el momento total:
Momento de Inercia respecto a X.
Momento de Inercia respecto a Y.
Momento Polar de Inercia (J0)
El momento polar de inercia suele asociarse con la resistencia del área a la torsión.
Momento Polar o Momento de
Inercia respecto al eje Z, que
pasa por “o”.
Como
Nota: Los momentos de inercia siempre son positivos.
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Producto de Inercia (Ixy)
El producto de inercia tiene una aplicación más matemática que física. Se utiliza para calcular el momento
de inercia de figuras inclinadas.
Nota: El producto de inercia puede ser positivo, negativo o cero. El Ixy = 0 si la figura es simétrica y alguno de los
ejes coincide con el eje de simetría.
II
I
-
+
III
IV
+
-
Existen figuras planas básicas cuyos momentos de inercia (Ix ; Iy) y productos de inercia (Ixy) han sido
tabulados (Ver Tabla de Centroides). Tales valores han sido calculados respecto a los ejes mostrados en la tabla.
Teorema de Ejes Paralelos (Teorema de Steiner)
Cuando los ejes de la figura a la cual se le desea calcular alguno de estos parámetros no coinciden con los
ejes de la tabla porque están paralelos o trasladados, es necesario aplicar el Teorema de Ejes Paralelos
El momento de inercia respecto a un eje de referencia es
igual al momento de inercia respecto al eje centroidal (IXc) más
la distancia entre el eje centroidal y el eje de referencia
al
cuadrado multiplicada por el área.
Análogamente:
Nota: Para poder aplicar directamente el Teorema de Steiner en el Producto de Inercia, los ejes centroidales de
la tabla y los de la figura deben estar, además de paralelos, en la misma dirección y sentido. En caso contrario,
debe multiplicarse por (-1) el IXcYc por cada “giro” que tenga que hacerse a los ejes de la tabla para que
coincidan con los de la figura (o viceversa).
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Momento de Inercia respecto a Ejes Inclinados
Cuando los ejes de la figura a la cual se le desea calcular alguno de los parámetros Ix , Iy , Ixy ; no coinciden
con los ejes de la tabla porque estos están rotados, el cálculo se hace a través de las ecuaciones paramétricas o
a través de la construcción del Círculo de Mohr.
(1)
Aplicando las definiciones de Momento y Producto de Inercia se tiene que:
(2)
Sustituyendo (1) en (2) y aplicando algunas identidades trigonométricas, se obtiene:
(3)
Ecuaciones Paramétricas para el
Momento y Producto de Inercia
respecto a Ejes Inclinados
Reordenando las expresiones anteriores, se llega a:
(4)
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Haciendo un cambio de variables:
La ecuación (4) puede expresarse como:
.
Ecuación de una Circunferencia de
radio R y centro (a, 0)
Círculo de Mohr
Donde:
Todos los puntos sobre la circunferencia representan un par de valores (Ix, Ixy) o (Iy, Ixy). El círculo de Mohr es la
solución grafica de las ecuaciones paramétricas.

Construcción del Círculo de Mohr:
Ver la guía “Procedimiento para construir el círculo de Mohr” disponible en la página web.
Los momentos y el producto de inercia de una figura compuesta es igual a la suma algebraica de los
momentos y producto de inercia de las figuras componentes. El Ix, Iy e Ixy de la figura que deba restarse del total
tendrá signos contrarios al calculado en forma individual.
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