1. Educación

4
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 1
PÁGINA 64
En esta unidad vas a revisar algunas técnicas y razonamientos que se
utilizan en la resolución de situaciones cotidianas. Es decir, vas a fijar
procedimientos que tienen una aplicación inmediata en problemas a
los que nos enfrentamos todos los días. Y ahí radica su importancia:
vas a trabajar con matemáticas prácticas; matemáticas para la vida.
1
¿Qué cantidad, de entrada, debe pagar un cliente que compre el ordenador? ¿Qué
cantidad pagará en cada una de las doce mensualidades pendientes?
• Entrada:
25% de 960 € = 25 · 960 = 240 €
100
• Mensualidades:
Faltan por pagar 960 – 240 = 720 €.
Cada mensualidad ascenderá a 720 = 60 €.
12
2 Un cliente ha pagado 80 € de entrada por la compra de un televisor. ¿Cuál era
el precio del aparato?
80 € es el 25% del precio del televisor.
Por tanto, el precio total será 80 : 0,25 = 320 €.
3 ¿Cuál es el precio de un equipo de sonido, si cada una de las doce mensualidades aplazadas asciende a 39 €?
Cada mensualidad es 1 de 3 del precio total; es decir, 1 · 3 = 1 del precio total.
12
4
12 4 16
Si 1 del precio son 39 €, entonces el equipo de sonido cuesta 39 · 16 = 624 €.
16
PÁGINA 65
1
Una sandía de 3,4 kg ha costado 2,21 €. ¿Cuánto costará otra sandía de 4,8 kg?
A más kilos de sandía, más dinero
° El precio de la sandía es directaA menos kilos de sandía, menos dinero ¢£ mente proporcional a su peso.
(kg)
3,4
4,8
PESO
PRECIO (€)
2,21
x
°
§ 3,4 = 2,21 8 x = 4,8 · 2,21 = 3,12
¢
x
3,4
§ 4,8
£
Una sandía de 4,8 kg costará 3,12 €.
4
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 2
2
Si cada día gasto 3,60 €, mis ahorros durarán 15 días. ¿Cuánto durarían si gastase 4,50 € diarios?
A más gasto diario, menos días durarán los ahorros; a menos gasto diario, más días
durarán los ahorros. La duración del dinero ahorrado es inversamente proporcional al gasto diario de ellos.
GASTO DIARIO
DÍAS QUE DURAN
3,60
4,50
15
x
°
§ 3,6
x
3,6 · 15
=
8 x=
= 12
¢
15
4,5
§ 4,5
£
Gastando 4,50 € al día, los ahorros durarían 12 días.
3
Un hortelano tiene agua almacenada en su pilón para regar un campo de dos
hectáreas durante tres días. ¿Cuánto le duraría el agua si decidiera regar solamente 1,2 ha?
A más hectáreas, menos días °
¢
A menos hectáreas, más días £
El número de días para regar un campo con una cantidad fija de agua es inversamente proporcional al número de hectáreas del campo.
No- DE HECTÁREAS
No- DE DÍAS
2
1,2
3
x
°
§ 2
x
=
¢
1,2
3
§
£
8 x=
2·3
=5
1,2
El agua le duraría 5 días si decidiese regar 1,2 ha.
4
En el comedor del colegio se han consumido 132 barras de pan durante tres
días. Si una barra cuesta 0,35 €, ¿qué presupuesto debe destinar el administrador del comedor para la compra de pan cada semana?
A más días, más barras de pan se consumen
°
¢
A menos días, menos barras de pan se consumen £
El número de días es directamente proporcional al número de barras de pan consumidas. Consideramos que, durante una semana, solo 5 días se abre el comedor del
colegio.
No- DE DÍAS
BARRAS DE PAN
3
5
132
x
°
§ 3 132
132 · 5
=
8 x=
= 220
¢
5
x
3
§
£
En una semana se consumirán 220 barras de pan.
Presupuesto = 220 · 0,35 = 77 € a la semana.
4
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 3
5
Ricardo compra en la pescadería tres cuartos de kilo de calamares a 8,60 €/kg
y una pescadilla de 650 gramos a 6,20 €/kg. ¿Cuánto le devolverán si paga con
un billete de 20 euros?
A más peso, más precio
° El precio de un producto es directamente
¢
A menos peso, menos precio £ proporcional al peso que tenga.
Calamares
(kg)
1
3/4 = 0,75
PESO
(€)
8,60
x
°
§
¢ 8 x = 8,60 · 0,75 = 6,45 €
§
£
(€)
6,20
x
°
§
¢ 8 x = 6,20 · 0,650 = 4,03 €
§
£
PRECIO
Pescadilla
(kg)
1
0,650
PESO
PRECIO
TOTAL PAGADO
= 6,45 + 4,03 = 10,48 €
Pagando con un billete de 20 €, le devolverán 9,52 €.
PÁGINA 66
1
Una empresa ha cobrado 30 € por el alquiler de una máquina cortacésped durante 5 días. ¿Cuánto recibirá por el alquiler de dos cortacésped durante 4 días?
El número de máquinas cortacésped y el número de días son directamente proporcionales al coste del alquiler.
P. DIRECTA
P. DIRECTA
N-o DE MÁQUINAS
N-o DE DÍAS
1
2
5
4
(€) °
§ 1·5
30
=
8
¢
30
2
·
4
x
§
x
£
COSTE
8 x = 30 · 2 · 4 = 48
1·5
La empresa ha cobrado 48 € por el alquiler de 2 máquinas durante 4 días.
4
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 4
2
Con un caño que arroja un caudal de medio litro por segundo, se llena un camión cisterna en 3 horas. ¿Qué caudal debería proporcionar el caño para llenar dos cisternas a la hora?
El número de cisternas que se llenan es directamente proporcional al caudal. El
tiempo que tarda en llenarse una cisterna es inversamente proporcional al caudal.
P. DIRECTA
P. INVERSA
N-o DE CISTERNAS
TIEMPO
1
2
(h)
(l/s) °
§ 1·1
0,5
0,5
=
¢
x
§ 2·3
x
£
CAUDAL
3
1
8
8 x = 2 · 3 · 0,5 = 3
1
Para llenar dos cisternas en una hora, es necesario un caudal de 3 l/s.
3
Una pieza de tela de 2,80 m por 1,20 m cuesta 42 €. ¿Cuál será la longitud de
otra pieza de la misma tela que mide 0,80 m de ancha y cuesta 16,50 €?
El precio de la tela es directamente proporcional a su longitud. El ancho es inversamente proporcional a la longitud.
P. INVERSA
P. DIRECTA
(cm)
120
80
ANCHO
PRECIO (€)
(cm) °
§
80 · 42
280
=
8
¢
280
x
§ 120 · 16,5
x
£
LONGITUD
42
16,5
8 x = 120 · 16,5 · 280 = 165
80 · 42
La longitud de la pieza ha de ser de 1,65 m.
4
Un pintor ha cobrado 480 € por cuatro jornadas de 8 horas. ¿Cuánto cobrarán dos pintores por tres jornadas de 10 horas?
El número de pintores que trabajan y el número de jornadas trabajadas son directamente proporcionales al sueldo cobrado.
P. DIRECTA
P. DIRECTA
N-o DE PINTORES
JORNADAS
SUELDO
1
2
4
3
480
x
°
§ 1·4
480
=
8
¢
x
§ 2·3
£
8 x = 480 · 2 · 3 = 720 € trabajando 3 jornadas de 8 h
1·4
720
Por 3 jornadas de 1 h cobrarían
= 90 €.
8
Por 3 jornadas de 10 h cobrarían 90 · 10 = 900 €.
Dos pintores por tres jornadas de 10 h cobrarían 900 €.
4
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 5
5
Un taller de reprografía, trabajando 8 horas al día, ha obtenido un beneficio
de 1 120 € en 12 días. ¿Qué beneficio obtendrá en los próximos 10 días si aumenta la jornada laboral en una hora diaria?
El número de horas trabajadas diariamente y el número de días trabajados son directamente proporcionales al beneficio.
P. DIRECTA
P. DIRECTA
HORAS/DÍA
N-o DE DÍAS
8
9
12
10
BENEFICIO (€)
1 120
x
°
§ 8 · 12
1 120
=
¢
9
·
10
x
§
£
8
8 x = 9 · 10 · 1 120 = 1 050
8 · 12
Trabajando 9 h/día, en los próximos 10 días se obtendrá un beneficio de 1 050 € .
6
Un coche consume 6,5 litros de gasolina cada 100 kilómetros. Si la gasolina está a
0,82 € el litro, ¿cuál será el presupuesto para el combustible de un viaje de 480 km?
El consumo de gasolina es directamente proporcional a la distancia recorrida.
CONSUMO (l )
DISTANCIA (km) °
§ 6,5
100
6,5 · 480
6,5
100
=
8 x=
= 31,2 l
¢
x
480
100
§
x
480
£
El presupuesto es directamente proporcional al número de litros:
31,2 · 0,82 = 25,58 €
Para un viaje de 480 km, el presupuesto es de 25,58 €.
PÁGINA 67
1
Tres socios pusieron 2, 3 y 6 millones, respectivamente, para crear una empresa.
a) ¿Cómo se repartirán las ganancias?
b) Si las ganancias del primer año fueron de 75 900 €, ¿cuánto corresponderá
a cada uno?
a) En total pusieron 2 + 3 + 6 = 11 millones.
Por tanto, el socio que puso 2 millones se llevará 2 de las ganancias; el que puso
11
3 millones, 3 , y el que puso 6 millones, 6 .
11
11
2 · 75 900 = 13 800 €.
11
Segundo socio: 3 · 75 900 = 20 700 €.
11
6 · 75 900 = 41 400 €.
Tercer socio:
11
b) Primer socio:
4
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 6
2
¿Es lo mismo repartir en partes proporcionales a 2, 3 y 4 que repartir en partes proporcionales a 6, 9 y 12? Justifica tu respuesta comparando las fracciones
correspondientes al reparto en cada clase.
• 2, 3, 4, 8 2 + 3 + 4 = 9 8 2 , 3 , 4
9 9 9
• 6, 9, 12, 8 6 + 9 + 12 = 27 8 6 , 9 , 12
27 27 27
• Como 2 = 6 , 3 = 9 y 4 = 12 , sí es lo mismo.
9 27 9 27
9 27
3
Dos hermanas compran cinco juegos de toallas por 175 €. Una se queda con
tres juegos, y la otra, con dos. ¿Cuánto debe pagar cada una?
Cinco juegos de toallas cuestan 175 €.
Cada juego de toallas cuesta 175 = 35 €.
5
La cantidad pagada por cada hermana será:
• La primera 8 3 · 35 = 105 €
• La segunda 8 2 · 35 = 70 €
4
Tres amigas que comparten piso reciben una factura de la compañía eléctrica por
un importe de 62,40 €. Amelia llegó al piso hace 60 días; Laura, 20 días después, y Cristina solo lleva en la casa 20 días. ¿Cuánto debe pagar cada una?
Amelia lleva en el piso 60 días
Laura lleva en el piso 40 días
Cristina lleva en el piso 20 días
° Se divide el importe de la
§ factura entre el número total
¢
§ de días 60 + 40 + 20 = 120
£
62,4 = 0,52 € por día
120
El pago de la factura se hará como sigue:
Amelia 8 60 · 0,52 = 31,20 €
Laura 8 40 · 0,52 = 20,80 €
Cristina 8 20 · 0,52 = 10,40 €
PÁGINA 68
1
Si mezclamos 12 kg de café de 12,40 €/kg con 8 kg de café de 7,40 €/kg, ¿cuál
será el precio de la mezcla?
CAFÉ A
CAFÉ B
MEZCLA
Precio de la mezcla =
CANTIDAD
PRECIO
COSTE
12 kg
9 kg
20 kg
12,40 €/kg
7,40 €/kg
12 · 12,40 = 148,8 €
8 · 7,40 = 59,2 €
208 €
COSTE TOTAL
CANTIDAD TOTAL
= 208 € = 10,40 €/kg
20 kg
4
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 7
2
Si mezclamos un lingote de 3 500 g con un 80% de oro con otro lingote de
1 500 g con un 95% de oro, ¿qué proporción de oro habrá en el lingote resultante?
• El lingote resultante pesará 3 500 g + 1 500 g = 5 000 g.
• En el primer lingote hay 0,8 · 3 500 = 2 800 g de oro.
• En el segundo lingote hay 0,95 · 1 500 = 1 425 g de oro.
• Por tanto, en el lingote resultante hay 2 800 + 1 425 = 4 225 g de oro.
• La proporción de oro en el lingote final será:
4 225 = 0,845 8 84,5%
5 000
3
Un barril contiene 1 hl de vino de alta graduación, cotizado a 3,60 €/l. Para
rebajar el grado alcohólico se le añaden 20 litros de agua. ¿Cuál es ahora el precio del vino?
• Tenemos 100 + 20 = 120 l de “vino aguado”.
• Suponiendo que el agua es gratis, el precio total de la mezcla será el mismo que el
del vino; es decir: 100 · 3,60 = 360 €.
• Por tanto, el precio del vino aguado será:
360 € = 3 €/l
120 l
4
Un litro de agua pesa 999,2 g, y un litro de alcohol, 794,7 g.
¿Cuál es el peso de un litro de la disolución obtenida al mezclar 3 l de agua con
7 l de alcohol?
• En total, tenemos 10 l de mezcla.
• Los 3 l de agua pesan 3 · 999,2 = 2 997,6 g.
• Los 7 l de alcohol pesan 7 · 794,7 = 5 562,9 g.
• La mezcla, en total, pesa 2 997,6 + 5 562,9 = 8 560,5 g.
• Por tanto, el peso por litro de la disolución será:
8 560,5 g = 856,05 g/l
10 l
4
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 8
5
Un joyero quiere fundir un lingote de 2 kg de oro de ley 0,85 con otro lingote
de 1,5 kg de oro y cuya ley es 0,9. ¿Cuál es la ley del lingote resultante?
(La ley de una aleación es el cociente entre el peso del metal precioso y el peso
total de la aleación).
• El lingote resultante pesará 2 + 1,5 = 3,5 kg.
• El primer lingote contiene 0,85 · 2 = 1,7 kg de oro.
• El segundo lingote contiene 0,9 · 1,5 = 1,35 kg de oro.
• Por tanto, el lingote resultante contiene 1,7 + 1,35 = 3,05 kg de oro.
• La ley del lingote final será:
3,05 ≈ 0,87
3,5
PÁGINA 69
1
Un coche va a 120 km/h y un camión a 90 km/h.
a) Si el coche sigue al camión a 75 km de distancia, ¿cuánto tardará en alcanzarlo?
b) Si están a 504 km y se dirigen uno hacia el otro, ¿cuánto tardarán en cruzarse?
a) El coche se aproxima al camión a una velocidad de 120 – 90 = 30 km/h.
Por tanto, en salvar los 75 km que les separan, tardará: 75 = 2,5 h.
30
b) Ahora, el coche y el camión se aproximan a 120 + 90 = 210 km/h.
Por tanto, tardarán en cruzarse: 504 = 2,4 h.
210
2
Un tren que avanza a una velocidad de 70 km/h lleva una ventaja de 90 km a
otro tren que avanza por una vía paralela a 110 km/h. Calcula el tiempo que
tarda el segundo en alcanzar al primero y la distancia recorrida hasta lograrlo.
• Ambos trenes se aproximan a una velocidad de 110 – 70 = 40 km/h.
• Como les separan 90 km, el segundo tren tardará 90 = 2,25 h en alcanzar al primero.
40
• El segundo tren habrá circulado 2,25 h a 110 km/h; es decir, habrá recorrido
2,25 · 110 = 247,5 km hasta alcanzar al primer tren.
4
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 9
3
Dos manantiales vierten sus aguas en un depósito de 345 litros de capacidad.
Si el caudal del primero es de 50 l/min, y el del segundo, 40 l/min, ¿cuánto
tiempo tardarán en llenar el depósito?
• El caudal de los dos manantiales juntos será de 50 + 40 = 90 l/min.
• En llenar 345 l, los dos manantiales juntos invertirán:
345 ≈ 3,83 min
90
4
Una balsa contiene 28 600 l de agua para riego. Se abren simultáneamente el
desagüe de la balsa, que emite 360 l/min, y un grifo que alimenta a la balsa con
140 l/min.
¿Cuánto tarda la balsa en vaciarse?
• La balsa se vacía a razón de 360 – 140 = 220 l/min.
• En vaciar los 28 600 l de la balsa se tardará:
28 600 = 130 min = 2 h 10 min
220
PÁGINA 70
1
2
Calcula:
a) El 32% de 500.
b) El 86% de 60.
c) El 11% de 4 000.
d) El 140% de 900.
e) El 150% de 398.
f ) El 400% de 740.
a) 32 · 500 = 160
100
c) 11 · 4 000 = 440
100
e) 150 · 398 = 597
100
b) 86 · 60 = 51,6
100
d) 140 · 900 = 1 260
100
f ) 400 · 740 = 2 960
100
Calcula el tanto por ciento que representa:
a) 192 respecto de 800.
b) 30800 respecto de 35000.
c) 434 respecto de 1240.
d) 10 080 respecto de 8400.
e) 495 respecto de 900.
f) 1 820 respecto de 520.
a) 192 · 100 = 24%
100
c) 434 · 100 = 35%
1 240
e) 495 · 100 = 55%
900
b) 30 800 · 100 = 88%
35 000
d) 10 080 · 100 = 120%
8 400
f ) 1 820 · 100 = 350%
520
4
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 10
3
Dos hermanos compran un balón que cuesta 42 €. El mayor paga el 60%. ¿Qué
porcentaje paga el pequeño? ¿Cuánto supone este porcentaje?
Si el mayor paga el 60%, el pequeño paga el 40%.
40% de 42 € = 0,4 · 42 = 16,8
El pequeño paga 16,80 €.
4
Elena tenía en su cuenta 5 000 € y ha adquirido un televisor por 750 €. ¿Qué
porcentaje de sus ahorros ha gastado?
De un total de 5 000 €, se han gastado 750 €; ¿cuánto se ha gastado de cada 100 €?
TOTAL
°
750 §¢ 5 000 = 750 8 x = 750 · 100 = 15
100
x
5 000
x §£
PARTE
5 000
100
Se ha gastado el 15% de sus ahorros.
5
Alejandro quiere comprar una bicicleta que cuesta 360 €. Su padre se compromete a pagar el 50%, y su abuela, el 30%. ¿Cuánto pagará Alejandro?
Alejandro pagará el 100% – 50% – 30% = 20% de 360 €:
0,2 · 360 = 72 8 Alejandro pagará 72 €.
PÁGINA 71
6
En una tienda de informática han subido todos los productos un 7%. Un ordenador valía 840 €; una impresora, 80 €, y un escáner, 60 €.
¿Cuánto valen ahora?
Ordenador: 840 + 7 · 840 = 898,80 €
100
Impresora: 80 + 7 · 80 = 85,60 €
100
Escaner: 60 + 7 · 60 = 64,20 €
100
7
En un pantano había 1 840 hm3 de agua. En el último semestre ha disminuido un 35%.
¿Cuánta agua hay ahora?
Si ha disminuido un 35%, en el pantano queda un 65% de 1 840 hm3:
65 · 1 840 = 1 196 hm3
100
4
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 11
8
Hace un año compré un coche que me costó 8 000 €. Si lo vendiera ahora, me
darían un 35% menos de su valor inicial. ¿Cuál es el precio actual del coche?
Si ahora vale un 35% menos, quiere decir que vale un 65% de 8 000 €:
65 · 8 000 = 5 200 €
100
9
Un fontanero cobra 15 € por hora en horario normal, y un 18% más si se le
llama fuera de horario. ¿A cuánto subirá la factura para un arreglo que le ha
exigido dos horas y media de trabajo en la mañana de un domingo?
Fuera de horario cobraría 15 + 18% de 15 euros por hora, es decir:
118% de 15 = 1,18 · 15 = 17,7 € por hora
Como trabaja 2 h y media, cobrará: 2,5 · 17,7 = 44,25
Cobrará 44,25 €.
PÁGINA 72
10
Un comerciante poco honesto, antes de anunciar unas rebajas del 40% aumenta el 40% el precio de referencia de los artículos, creyendo que, de esa forma,
las cosas quedarán igual. Sin embargo, sí hay un cierto descuento.
a) ¿Cuál es el verdadero descuento?
b) Si un traje valía 550 €, ¿cuál será su valor en cada paso del proceso?
a) Aumento del 40% 8 Índice de variación: 1,4
A este aumento, se le aplica un descuento del 40% 8
8 Índice de variación: 0,6 · 1,4 = 0,84
Por tanto, se ha aplicado una rebaja total del 16%.
b) 550 € 8 Tras la primera subida: 550 · 1,4 = 770 €.
8 Tras la rebaja del 40%: 770 · 0,6 = 462 €.
11
Unas acciones suben un 18%. Después, bajan un 15% y suben un 20%.
¿Cuál es la variación total, expresada en porcentaje, del precio de dichas acciones?
• Subida del 18% (1,18) 8 Bajada del 15% (0,85) 8 Subida del 20% (1,2)
• Índice de variación total = 1,18 · 0,85 · 1,2 = 1,2036
• Por tanto, las acciones han subido un 20,36%.
12
Un pueblo tenía 25 000 habitantes. Su población aumentó un 18% y, después,
un 25%.
¿Cuántos habitantes tiene ahora?
25 000 · 1,18 · 1,25 = 36 875 habitantes.
4
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 12
PÁGINA 73
1
Un banco paga el 6% anual por el dinero depositado. Un inversor pone 20 000 €.
Al cabo de un año deja el dinero y los intereses y añade otros 10 000 €. ¿Cuánto
dinero le darán al acabar otro año?
• Tras el primer año, tendrá: 20 000 · 1,06 = 21 200 €.
• Tras añadir 10 000 €, tendrá: 21 200 + 10 000 = 31 200 €.
• Al acabar otro año, tendrá: 31 200 · 1,06 = 33 072 €.
2
¿Cuánto producen 1 000 € durante 6 meses al 4% anual?
6 meses es medio año. Un 4% anual significa un 2% semestral:
1 000 · 2 = 20 € producen en 6 meses.
100
3
Se depositan 6 000 € al 3%. Al acabar el año, se saca todo el dinero, se añaden
3 820 € y se deposita todo en otro banco al 5%. ¿Cuánto dinero hay al final de
otro año?
• Tras el primer año: 6 000 · 1,03 = 6 180 €
• Se añaden 3 820 €: 6 180 + 3 820 = 10 000 €
• Tras el segundo año: 10 000 · 1,05 = 10 500 €
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¿Cuánto producen 1 000 € durante 8 meses al 6% anual?
8 meses son 8 de año. Un 6% anual significa 8 · 6 = 4% en 8 meses.
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Por tanto, 1 000 € producen 1 000 · 0,04 = 40 € en 8 meses.
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Un inversor coloca 24 000 € al 4,8% anual durante 5 años.
¿Cuánto tendrá al final de ese periodo?
Tendrá 24 000 · (1,048)5 ≈ 30 340,15 €.
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¿En cuánto se transforman 24 000 € durante 5 años al 4,8% anual, si los periodos de capitalización son mensuales?
4,8 : 12 = 0,4. Un 4,8% anual significa un 0,4% mensual.
Como en 5 años hay 5 · 12 = 60 meses:
CF = 24 000 · (1,004)60 ≈ 30 495,38 €