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Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
ÓRDENES DE MAGNITUD.
SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS.
¿Cómo medimos el universo?
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1.
2.
Introducción.
Progresiones. Órdenes de magnitud.
Definición 1
Definición 2
3. Sistema Internacional de Unidades (SI)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
4. El sistema anglosajón
Ejemplo 3
5. Magnitudes binarias.
5.1. Ondas sonoras
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
4
5
6
10
10
14
14
15
16
17
17
18
19
19
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Ejemplo 7
Rango audible
Ejemplo 8
Ejemplo 9
5.3. Ondas electromagnéticas
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Ejemplo 12
Ejemplo 13
Ejemplo 14
Ejemplo 15
Ejemplo 16
Ejemplo 17
5.4. Medidas de almacenamiento digital.
Ejemplo 18
Ejemplo 19
Ejemplo 20
Ejemplo 21
Ejemplo 22
6. Ejercicios.
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
5.2.
19
20
20
21
22
24
24
25
25
25
25
25
25
26
28
28
28
28
28
29
29
29
29
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7.
Ejercicio 4
Ejercicio 5
Ejercicio 6
Ejercicio 7
Ejercicio 8
Ejercicio 9
Ejercicio 10
Ejercicio 11
Ejercicio 12
Ejercicio 13
Ejercicio 14
Ejercicio 15
Ejercicio 16
Ejercicio 17
Ejercicio 18
Test de repaso.
29
30
30
30
30
30
30
31
31
31
31
31
31
32
32
32
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1.
I NTRODUCCIÓN .
Enrique R. Aznar
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Para poder medir, tenemos que emplear una unidad de medida. Si queremos
medir longitudes, podemos utilizar el metro.
Pero en metros ¿Cuál sería la longitud de una línea que se extendiera desde
aquí hasta una estrella? ¿Cuál es la longitud de una línea tendida desde un
lado del átomo hasta el otro?
Claramente, necesitamos un número muy grande para la primera medida y
otro muy pequeño para la segunda.
Hoy día, sabemos que la distancia a Próxima Centauri, es aproximadamente
40 400 000 000 000 000 metros (40.4 ∗ 1015 m). O sea, 40 400 billones de
kilómetros = 40.4 petámetros (40.4 Pm) = 4.27 años luz.
La segunda medida, la del átomo mas pequeño, es aproximadamente 0.000
000 000 1 metros (10−10 m). O sea, una décima de mil millonésima de metro
= 0.1 nanómetros (0.1 nm) = 100 picómetros (100 pm) = 1 Ängstrom (1 Ä).
También, se sabe que la edad de la tierra es aproximadamente 4 600 millones
de años. O sea, 4.6 Giga años ( 4.6 Ga)1.
1En geología, también se usan los eones que son los períodos en los que se encuentra
dividida la historia de la Tierra desde el punto de vista geológico y paleontológico. No tiene
una equivalencia exacta ya que cada periodo tiene una duración diferente. Equivale a un
determinado período paleontológico.
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La edad del sistema solar no es muy diferente. Mientras que la edad de todo
el universo se estima es unos 10 o 15 mil millones de años (10-15 Ga).
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Las unidades pequeñas de tiempo las medimos en base 60 (minutos y segundos). Con esas unidades bastaban para medir hasta que en el s. XX se
empezó a buscar partículas subatómicas con ayuda de aceleradores.
La mayoría de las partículas tienen una vida media de 10−8 segundos.
Algunos bosones tienen vida media de hasta 3 ∗ 10−25 segundos.
Lo mismo sucede cuando medimos áreas, volúmenes, presiones o densidades. Encontramos números muy grandes y muy pequeños.
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Así, vemos que necesitamos una forma cómoda de poder escribir números
grandes y pequeños. También unidades de medida nuevas que sirvan para
expresar ciertas medidas con pocos dígitos (a lo sumo 2 o 3 cifras).
2.
P ROGRESIONES . Ó RDENES DE MAGNITUD .
Necesitamos una escala o escalera conveniente para escribir y designar números
desde muy grandes a muy pequeños.
No nos resultaría útil ninguna progresión aritmética2 como medio para construir una escalera del Universo. Tardaríamos demasiado tiempo y habría
2Es la forma más natural, sumar una cantidad fija. Aprendemos contando de 1 en 1.
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que concentrar excesivamente la atención en unos números muy grandes en
el extremo más alejado de la escalera, y lo mismo para los muy pequeños.
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La alternativa consiste en multiplicar cada número por una cantidad, para
obtener así el número siguiente. Esto sería una «progresión geométrica»3.
La progresión geométrica es apropiada para construir una escalera del Universo. Tal progresión se hace mayor o menor con mucha más rapidez. Podemos alcanzar números realmente grandes en un tiempo razonable.
Da pasos pequeños en el extremo más bajo de la escala y pasos cada vez más
grandes hacia el nivel superior. Pero, ¿qué número debemos emplear como
multiplicador para construir una progresión geométrica particularmente útil?
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Como nuestro sistema numérico tiene base 10, éste es un multiplicador particularmente sencillo. Si comenzamos con el 1 y lo multiplicamos cada vez
por 10, obtenemos 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000, etc.
En Estados Unidos se tiene la costumbre, cuando se opera con números
grandes, de dividir los dígitos en grupos de tres, separados por comas. Sin
embargo, en muchos otros países, se emplean las comas en el sentido de
«puntos decimales». Para evitar confusiones, el sistema SI recomienda que
dichos grupos de tres dígitos se separen, simplemente, por un espacio.
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3
Si el número por el que multiplicamos es 2, tendríamos 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. En
informática, se adopta esta progresión, 2n , para las unidades de almacenamiento.
Definición 1. Se llama progresión geométrica a la sucesión que se obtiene
multiplicando un número fijo b consigo mismo. A b se le llama base de la
progresión. Se llama orden de magnitud a cada nivel de la progresión.
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Una serie geométrica basada en el 10 como multiplicador es realmente simple. Se emplea con mucha frecuencia. Dos objetos difieren por un orden de
magnitud en alguna propiedad medida si un valor es 10 veces la del otro.
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Hay dos órdenes de magnitud de diferencia si la medida de la propiedad de
uno es 10 x 10 = 100 veces el otro, tres órdenes de magnitud de diferencia si
la medida de la propiedad de uno es 10 x 10 x 10 = 1 000 veces el otro, etc.
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No obstante, si consideramos la serie 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, ...,
los números, a medida que se hacen grandes, ocupan un espacio considerable
y resulta difícil estar seguro del número de ceros. Por dicha razón, se ha
elaborado una notación más compacta para representar tales números.
En lugar de escribir la serie de la citada forma, podemos hacerlo así: 1, 10,
10 x 10, 10 x 10 x 10, etc. Los números crecientes de dieces aumentan con
una firmeza cada vez menos manejable, y el conjunto es incluso más confuso
y menos fácil de leer. Por tanto, no escribimos cada uno de los dieces, sino,
simplemente, los numeramos de la siguiente manera.
101 es un único 10, 102 es el producto de dos dieces, 103 , resultado de tres
10 multiplicados, etc. El 10 es la base, el número superior, el exponente. El
103 se llama número exponencial.
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Es obvia la utilidad de dichos números exponenciales. Si usamos 10 como
base de la progresión geométrica, obtenemos hacia arriba
101
102
103
104
105
= 10
= 10 x 10 = 100
= 10 x 10 x 10 = 1 000
= 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000
= 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100 000
Véase cómo el exponente, en una cifra exponencial de este tipo, es siempre
igual al número de ceros en la misma cifra escrita sin abreviar. Así, 1051
sería, con todos sus números, 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
000 000 000 000 000 000 000. Tenemos, pues, que 1051 es una forma mucho
más breve y un modo mucho menos confuso de escribir el número.
La expresión 101 se llama «diez a la primera potencia»; 102 , «diez a la segunda potencia»; 103 , «diez a la tercera potencia»; 104 , «diez a la cuarta
potencia», etcétera. Para abreviar, las personas familiarizadas con el sistema omiten la palabra «potencia» y hablan de «diez a la cuarta», «diez a la
quinta», etcétera. A veces se dice también «diez elevado a cuatro», etc.
En los casos de 102 y 103 , por razones de índole geométrica, se dice simplemente «diez al cuadrado» y «diez al cubo».
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1
En cuanto a 10 , raramente se considera como un número exponencial. Dado
que 101 es igual a 10, el exponente se omite casi siempre.
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Los números exponenciales son algo más que una mera forma breve de escribir números grandes, puesto que también simplifica en extremo la multiplicación y la división. Así, tenemos 10 000 x 100 000 = 1 000 000 000.
Traducido a cifras exponenciales: 104 x 105 = 109 .
Tenemos que 4 + 5 = 9. Vemos que, en la multiplicación citada, sumamos
los exponentes de los dos números a fin de conseguir el exponente del producto. Ésta es la regla general: En vez de multiplicar números ordinarios, se
convierten éstos en números exponenciales y se suman dichos exponentes.
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La división es la inversa de la multiplicación. Así, 100 000/1 000 = 100. En
números exponenciales, 105 /103 = 102 . Como, 5 - 3 = 2. Para los números
exponenciales la división implica la sustracción o resta de los exponentes.
Veamos ahora la siguiente división: 1 000/1 000 = 1. Esto está perfectamente
claro. No obstante, si lo escribimos en números exponenciales, se convierte
en 103 /103 = 1. Según la regla de la sustracción del exponente, como 3 - 3 =
0, 103 /103 sería igual a 100 . Esto nos da dos respuestas: 1 y 100 . La única
forma de mantener la consistencia supone que sean iguales y que 100 = 1.
En la vida corriente nadie emplea 100 en lugar de 1, pero a veces es útil.
Por ejemplo, si aplicamos la regla de la sustracción de los exponentes, tienen
sentido todos los exponentes negativos:
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−1
0−1
0
1
10 = 10
= 10 /10 = 1/10 = 0.1
10−2 = 100−2 = 100 /102 = 1/100 = 0.01
10−3 = 100−3 = 100 /103 = 1/1000 = 0.001
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Así, podemos decir que la progresión geométrica continúa también hacia
abajo, alcanzando órdenes de magnitud cada vez más pequeños:
1 = 100 , 0.1 = 10−1 , 0.01 = 10−2 , 0.001 = 10−3 , . . . .
Definición 2. Se llama progresión geométrica generalizada en base b a la
sucesión de números, b n , donde n es un número entero, positivo o negativo.
Cada número, b n , de la sucesión es un orden de magnitud4.
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3.
S ISTEMA I NTERNACIONAL DE U NIDADES (SI)
En francés, se llama Système International d’Unités. Sistema Internacional
de Unidades en nuestro idioma. Tales reglas suelen llamarse versión SI.
El sistema métrico decimal se estableció en Francia (1790). Las reglas del
SI se uniformaron mediante un acuerdo internacional en la década de 1950.
El sistema SI establece de forma rígida unos tipos estándar de pronunciación,
deletreo, abreviación, etc.
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4Como las potencias 10n son positivas y se hacen cada vez más grandes si n es positivo
o cada vez más pequeñas si n es negativo. La sucesión de magnitudes tiende a infinito por
la derecha y a cero por la izquierda.
A fin de que el uso científico de las medidas constituya un idioma auténticamente internacional, sin posibilidad alguna de equívocos a causa de las
barreras idiomáticas.
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La unidad SI unidimensional de medición es el «metro», voz derivada del
latín y que significa «medida». El metro se simboliza por «m», por lo cual
se puede escribir indistintamente «1 metro» o «1 m».
Téngase en cuenta que «m» es un símbolo y no una abreviación, por lo cual
no se debe emplear el punto.
El SI define no sólo una unidad de medida unidimensional sino de tiempo el
segundo (s), de masa el gramo (gr) y de volumen el litro (l).
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Pero lo importante del SI no son las unidades iniciales de medida sino la
forma de escalarlas en base 10 y sus órdenes de magnitud.
En el sistema métrico decimal todo es una fracción o múltiplo de diez. Hay
una denominación o prefijo de unidad diferente para cada órden de magnitud.
Un prefijo métrico del SI es una palabra que precede a una unidad básica
de medida para indicar un decimal múltiplo o fracción de la unidad. Los
prefijos multiplicativos decimales han sido una característica del SI.
De momento, se han previsto 49 órdenes de magnitud, en el intervalo [10−24 , 1024 ].
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TABLE 1. Múltiplos y fracciones de 10
número/factor notación nombre abreviación Dado en
10
1E1
deca
da
1795
100
1E2
hecto
h
1795
1 000
1E3
kilo
k
1795
1 000 000
1E6
Mega
M
1960
1 000 000 000
1E9
Giga
G
1960
12
10
1E12
Tera
T
1960
1015
1E15
Peta
P
1975
18
10
1E18
Exa
E
1975
1021
1E21
Zetta
Z
1991
24
10
1E24
Yotta
Y
1991
0.1
0.01
0.001
0.000 001
0.000 000 001
−12
10
10−15
10−18
10−21
10−24
1E-1
1E-2
1E-3
1E-6
1E-9
1E-12
1E-15
1E-18
1E-21
1E-24
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
1795
1795
1795
1960
1960
1960
1964
1964
1991
1991
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5
Cada prefijo tiene un símbolo único que se antepone al símbolo de la unidad.
El prefijo kilo, por ejemplo, se puede añadir a gramo para indicar la multiplicación por mil; un kilogramo es igual a mil gramos (1 kg = 1 000 g).
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El prefijo centi, se puede añadir a metro para indicar la división por cien; un
centímetro es igual a la centésima parte de un metro (1 cm = 0.01 m).
Aunque hay infinitas magnitudes, el intervalo [10−24 , 1024 ] es suficiente para
medir prácticamente todas las cantidades6 en la naturaleza.
La unidad básica de información o almacenamiento en informática es el bit
que toma dos valores 0, 1. El Byte = 8(23 ) bits, es un múltiplo binario suyo.
Los discos duros hoy día almacenan Terabytes, el número de posibles datos
en un Terabyte7 es 1012 Bytes magnitud media en la tabla.
El espacio de almacenamiento de Megaupload (archivo-servicio de alojamiento),
en el momento en que fue cerrada en 2012, era de 25 petabytes que es del
orden 1017 . La cantidad de información que puede ser almacenada en un
gramo de ADN es del orden de 1021 .
5Hoy día, los prefijos están estandarizados para su uso en el SI, por la Oficina Interna-
cional de Pesas y Medidas en resoluciones que datan desde 1960 a 1991.
6En la famosa leyenda de la invención del ajedrez, se calcula el número 264 =
18446744073709551616 = 1.84467 ∗ 1019 que es del orden de 1019 . Esta cantidad de granos
de trigo es mayor que el la producción actual de toda la tierra.
7Como 1 Tebibyte = 240 Bytes = 1 099 511 627 776 Bytes, a veces se confunde con el
Terabyte. Pero son diferentes y el ICE así lo establece.
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Ejemplo 1. Los cálculos para la masa de la luna dan unos
73 490 000 000 000 000 000 000 kg = 7.349 ∗ 1022 Kg = 73.49 ∗ 1024 gr
mientras que para la tierra se tiene
5 973 600 000 000 000 000 000 000 Kg = 5.9736∗1024 Kg = 5.9736∗1027 gr
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En ambos casos, se obtienen órdenes de magnitud en el límite superior.
Si en vez de en gramos, usamos la tonelada = 1 000 kg = 106 gr, se obtienen
73.49 ∗ 1018 t = 73.49 Exatoneladas para la luna
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5.9736 ∗ 1021 t = 5.9736 Zettatoneladas para la tierra
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Como 5973.6/73.49 = 81.2845, si se toma como unidad la masa de la luna,
se tiene que la masa de la tierra es 81.3 veces la masa de la luna8.
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Ejemplo 2. La distancia de la tierra al sol varía desde 147 098 290 km
hasta 152 098 232 km. Aproximadamente la media es unos 150 millones de
km. A esta cantidad se le llama unidad astronómica (ua9) y se suele tomar
como unidad para medir otras distancias dentro de nuestro sistema solar.
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Así, como la distancia media a Júpiter es de unos 780 millones de km y
780/150 = 5.2. Se dice que la distancia media Tierra-Júpiter es de 5.2 ua.
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8Para medir las masas del sistema solar, se puede tomar como unidad la de la luna.
Para medir las masas de otras estrellas, se suele tomar como unidad la masa del sol.
9En el SI, se acepta un poco menos, 1 ua = 149 597 871 km
4.
E L SISTEMA ANGLOSAJÓN
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Este sistema se deriva de la evolución de las unidades locales a través de
los siglos, y de los intentos de estandarización en Inglaterra. Las unidades
mismas tienen sus orígenes en la antigua Roma.
El sistema anglosajón de unidades es un conjunto de unidades no métricas10.
Existen discrepancias entre los sistemas de Estados Unidos y el Reino Unido
(donde se llama el sistema imperial), e incluso sobre la diferencia de valores
entre otros tiempos y ahora.
Desde el punto de vista europeo, este sistema parece muy complicado y poco
práctico. Las unidades más grandes parecen ser un múltiplo arbitrario de la
siguiente unidad más pequeña.
Por ej., 3 pies = 1 yarda, 1 pie = 12 pulgadas11, por lo que 1 yarda equivale a
36 pulgadas. Lo mismo es cierto para el volumen, donde 1 galón es igual a
4 cuartos = 8 pintas = 16 vasos = 256 cucharadas = 768 cucharaditas.
Hoy en día, estas unidades están siendo lentamente reemplazadas por el SI.
10
Es oficial en solo 3 países en el mundo, como EE.UU., Liberia y Myanmar (antes
Birmania), además de otros territorios y países con influencia anglosajona pero de forma no
oficial, como Bahamas, Barbados, Jamaica, Puerto Rico o Panamá.
11
La pulgada es una unidad de longitud que equivale a la longitud de la primera falange
del pulgar (su falange distal). Una pulgada castellana equivalía a 23,22 milímetros. Actualmente en EE.UU. se usa una pulgada (inch o in) de 25,4 milímetros.
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TABLE 2. Conversión unidades EE.UU. a SI
longitud
1 pulgada (in)
1 pie (ft)
1 yarda (yd)
1 milla (mi)
1 mi náutica
SI
área
SI
volumen
SI
2
25.4 mm
1 in
6.4516 cm2 1 fl. onza 29.57 ml
2
30.48 cm
1 ft
9.290 dm2
1 taza
0.2365 l
2
2
0.9144 m
1 yd
0.8361 m
1 pinta
0.4732 l
1.609 km 1 acre (ac) 4.046 m2
1 cuarto 0.9464 l
1.852 km
1 mi2
2.590 km2
1 galón
3.785 l
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Se tiene que 12 pulgadas (inches) = 1 pie (foot), 3 pies = 1 yarda (yard), 2
yardas = 1 braza (fathom) y 1.760 yardas = 1 milla (mile).
El metro no difiere mucho de la yarda. Un metro equivale a 1.094 yardas, o,
aproximadamente, 1 1/10 yardas. Una yarda es igual a 0.9144 metros, o 9/10
de metro en números redondos. Para unas aproximaciones toscas se suelen
emplear incluso de forma intercambiable el metro y la yarda.
También, un metro es igual a 3.281 pies y a 39.37 pulgadas. Puede resultar
útil, como regla práctica, considerar el metro igual a 3 1/4 pies ó 40 pulgadas.
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Ejemplo 3. La mayoría de las cartas náuticas modernas indican la profundidad en metros. Sin embargo, la U.S. Hydrographic Office utiliza pies y
brazas. Por ej., considera aguas profundas a las de mayor de 100 brazas =
100 ∗ 2 ∗ 0.9144 = 182.88 m .
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5.
M AGNITUDES BINARIAS .
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Aunque nuestro sistema de numeración en base 10 lleva de forma natural
a las magnitudes SI que son sencillas de usar y recordar. Los hechos nos
muestran que a veces es más natural definir órdenes de magnitud en base 2.
Pasar de un orden de magnitud al siguiente multiplicando por 10 es demasiado. Si no se quiere perder la descripción de medidas intermedias, es mejor
tomar como base de la progresión geométrica un número menor12.
Veremos que la forma natural de escalar las medidas de las ondas tanto sonoras como electromagnéticas es en base 2.
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Para subdividir mas, en música, es necesario usar bases más pequeñas como
21/6 1.12246 (para los tonos) o incluso 21/12 1.05946 (para los semitonos).
5.1. Ondas sonoras. Las ondas sonoras consisten en aire (u otra sustancia), el cual es, de forma alternada, comprimido y expansionado por algún
tipo de vibración.
Se puede medir su frecuencia, en ciclos por segundo (Hercios).
O inversamente, la longitud de onda que recorre un sólo ciclo en metros.
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12
Isaac Asimov, en su libro La medición del universo, usa la mitad de ese intervalo para
poder describir las medidas de los seres y objetos que se encuentran en la naturaleza. O sea,
usa como base de la progresión geométrica el número 100.5 = 10 3.16
13
Si comenzamos en el piano con el do central , éste constituye el sonido que
empleamos, a veces, para entonar la escala. La onda sonora asociada con
dicha nota es, un poco menos de 1 metro de longitud.
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Ejemplo 4. El Do 3 tiene una frecuencia de 261.6 Hercios (Hz). Como la velocidad del sonido, en condiciones normales, es de 243 m/s, se puede obtener
la longitud de onda de esta nota14 dividiendo, 243/261.6 = 0.928899 metros.
Lo importante no es sólo la unidad sino que la forma de escalar esa unidad
sea apropiada a los intervalos a medir. Cómo las dos formas de medir ondas
sonoras son inversas, las formas de escalarlas se corresponden inversamente.
En música se usa como intervalo básico la octava que es el intervalo que
separa dos sonidos cuyas frecuencias fundamentales tienen una relación de
2:1. El La4 de 880 Hz está una octava por encima respecto a La3 de 440 Hz.
La octava suele dividirse en subintervalos de sonidos que dan notas fácilmente reconocibles. En cada octava, se dan 7 notas que no están igualmente
espaciadas. Los intervalos son Do—Re—Mi-Fa—Sol—La—Si-Do.
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Se llama tono al intervalo grande y semitono al chico hay en total 6 tonos en
una octava. También 12 semitonos que se distinguen en la escala cromática.
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13Recibe este nombre porque se encuentra aproximadamente en la mitad del teclado.
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14Por convención, desde principios del siglo XX esta nota suena a una frecuencia de
261.625565 hercios. Es uno de los tonos más agudos del rango vocal del bajo y uno de los
tonos más graves que puede emitir un tenor.
Como la separación de una octava es (el múltiplo) 2. Dos notas consecutivas
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separadas por un tono se diferencian en un factor de 21/6 = 1.12246 . Así,
el tono siguiente tiene una frecuencia 1.12246 mas grande que el anterior.
Sus longitudes de onda están relacionadas inversamente. El tono siguiente
tiene una longitud de onda 1/1.12246 mas chica que el anterior15.
Ejemplo 5. El Do central del piano, Do 3 , tiene una frecuencia de 261.6
Hz. Por tanto, la nota que le sigue el Re 3 tiene una frecuencia 1.12246 más
grande. O sea, 261.6*1.12246 = 293.636 Hz.
Ejemplo 6. El Mi 3 como está dos tonos por encima del Do3 , tiene una
frecuencia 21/6 ∗ 21/6 = 1.12246 ∗ 1.12246 = 1.25992 más grande.
O sea, 261.6*1.25992 = 329.595 Hz.
Ejemplo 7. El F a3 como está dos tonos y medio por encima del Do3 , tiene
una frecuencia 21/6 ∗ 21/6 ∗ 21/12 = 1.33484 más grande.
O sea, 261.6*1.33484 = 349.194 Hz.
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Podemos pensar la escala musical como una progresión geométrica de frecuencias de base 2 si vamos de octava en octava16. O de base 21/6 = 1.12246
si vamos de tono en tono. O de base 21/12 = 1.05946, de semitono en
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15
Así, la escala de tonos de cualquier instrumento va de sonidos graves a agudos siguiendo
1
una progresión geométrica de base 21/6 en frecuencias ( 21/6
en longitudes de onda).
16En la afinación del piano, se aumentan los intervalos según se separan del Do central.
semitono. Una escala que aumenta en frecuencias y disminuye en longitudes
de onda.
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Así, la escala musical del piano de 88 teclas abarca un poco más de 7 octavas.
Mientras que el registro básico de la flauta traversa es de tres octavas.
5.2. Rango audible. Sabemos que la escala audible para el ser humano va
de 20 hercios (Hz) a 20 000 herzios = 20 kHz. Como la relación es un factor
de 1000 y 210 = 1024. Este rango equivale a casi diez octavas completas.
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Ejemplo 8. El número de octavas entre dos frecuencias puede calcularse
mediante el uso de logaritmos en base 2. Así, por ejemplo, el número exacto
de octavas que abarca el espectro audible es de
log2
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20000
= 9.965 octavas
20
No obstante, este margen varía según cada persona y se reduce con la edad17.
Frecuencias más graves de hasta 4 ciclos por segundo son perceptibles a
través del tacto, cuando la amplitud del sonido genera una presión suficiente.
Fuera del espectro audible. Por encima estarían los ultrasonidos, ondas acústicas de frecuencias superiores a los 20 kHz. Por debajo, los infrasonidos,
ondas acústicas inferiores a los 20 Hz.
17Se llama presbiacusia a la pérdida de audición con la edad.
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El espectro audible podemos subdividirlo en función de los tonos:
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• Tonos graves (frecuencias bajas, correspondientes a las 4 primeras
octavas, esto es, desde los 16 Hz a los 256 Hz).
• Tonos medios (frecuencias medias, correspondientes a las octavas
quinta, sexta y séptima, esto es, de 256 Hz a 2048 Hz ( 2 kHz).
• Tonos agudos (frecuencias altas, correspondientes a las tres últimas
octavas, esto es, de 2 kHz hasta poco más de 16 kHz).
Para clasificar voces para el uso coral, se distinguen cuatro grupos principales, cuya tesitura es menor que dos octavas:
Soprano
Contralto
Tenor
Bajo
De do4 a do6.
De mi3 a mi5.
De do3 a do5.
De mi2 a mi4.
Ejemplo 9. La frecuencia del Do3 es 261.6 Hz. Por tanto, el Do 5 tiene una
frecuencia dos octavas más grande . O sea, 261.6 ∗ 22 = 1046.4 Hz.
Inversamente, su longitud de onda es 4 veces mas chica. Así, el intervalo de
la voz de tenor va desde 0.928899 m hasta 243/1046.4 = 0.23 m.
El tono natural de un tenor debe ser el do4, en el medio, con frecuencia
261.6 ∗ 2 = 523.2 Hz y que equivale a 0.46445 m de longitud de onda.
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5.3. Ondas electromagnéticas. También hay ondas electromagnéticas, producidas por la oscilación de un campo electromagnético. Las empleadas en
la emisión de señales televisivas son casi de un metro de longitud.
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Las ondas de esta longitud suelen llamarse «ondas de radio», porque al principio se emplearon para la transmisión de señales de radio.
Como en el caso de la ondas de sonido, la frecuencia (f) y la longitud (λ) de
una onda electromagnética son cantidades inversas. Ya que la velocidad de
la luz, c = 299792458m/s , es constante y se tiene λ = c/ f .
Además, la energía que posee una onda es directamente proporcional a su
frecuencia, E = h ∗ f , donde h es la constante Plank. Por tanto, a mayor
frecuencia (menor longitud de onda) más energética es la onda18.
Las ondas electromagnéticas de alta frecuencia tienen una longitud de onda
corta y mucha energía mientras que las ondas de baja frecuencia tienen
grandes longitudes de onda y poca energía.
Por lo general, las radiaciones electromagnéticas se clasifican en 7 tipos,
basándose en su longitud la onda19. Ondas de radio, microondas, infrarrojos,
luz visible, ultravioleta, rayos X y rayos gamma.
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18Las de menor longitud de onda, los rayos gamma pueden ser mortales.
19Como las ondas sonoras, de menor a mayor frecuencia. O de menor a mayor energía.
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Aunque, formalmente el espectro electromagnético es infinito y continuo. Se
cree que el límite mínimo para una longitud de onda es la longitud de Planck
mientras que el límite máximo sería el tamaño del Universo.
Existen frecuencias de 30 Hz y menores que son relevantes en el estudio de
ciertas nebulosas. Por otro lado, se conocen frecuencias cercanas a 2.9∗1027
Hz, que han sido detectadas provenientes de fuentes astrofísicas.
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Al igual que las ondas de sonido, la radiación electromagnética puede dividirse en octavas. De hecho la luz visible cubre casi una octava20.
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color
violeta
azul
verde
amarillo
naranja
rojo
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nonómetros 380-450 450-495 495-570 570-590 590-620 620-750
Ejemplo 10. La frecuencia media de la luz visible (λ = 570 nm ) es f = λc =
299792458/(570 ∗ 10−9 ) = 525.952 ∗ 1012 526 THz (Terahercios).
Otras longitudes de onda que separan colores son respectivamente 666.2
THz, 605.6 THz, 508.1 THz y 483.5 THz.
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20De los 380 nanómetros hasta los 750 nm, ordenados de mayor a menor energía. Un
espectrómetro de laboratorio común detecta de 2 a 2500 nm.
−12
Ejemplo 11. Los rayos gamma llegan hasta los 10 pm = 10∗10 m de longitud de onda. El mínimo de frecuencia que tienen es f = λc = 299792458/10−11 =
0.299792458 ∗ 1020 30 ∗ 1018 H z = 30 EHz (Exahercios).
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Ejemplo 12. Los rayos X llegan hasta los 10 nm = 10∗10−9 m de longitud de
onda. Luego el mínimo de frecuencia que tienen es f = λc = 299792458/10−8 =
29.9792458 ∗ 1015 30 ∗ 1015 H z = 30 PHz (Petahercios).
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−9
Ejemplo 13. Los rayos ultravioleta llegan hasta los 380 nm = 380 ∗ 10 m
de longitud de onda. Luego el mínimo de frecuencia que tienen es f = λc =
299792458/(38 ∗ 10−8 ) = 7889275.2 ∗ 108 = 788.927 ∗ 1012 H z
789 THz
(Terahercios).
Ejemplo 14. La luz visible llega hasta los 780 nm = 780 ∗ 10−12 m de
longitud de onda. Luego el mínimo de frecuencia que tiene es f = λc =
299792458/(78∗10−11 ) = 3843493.05∗1011 = 384.349∗1012 H z 384 THz.
Ejemplo 15. El infrarrojo llega hasta 1 mm = 10−3 m de longitud de onda.
Luego el mínimo de frecuencia que tiene es f = λc = 299792458/10−3 =
299.792458 ∗ 109 H z 300 GHz (Gigahercios).
Ejemplo 16. La radiación de microondas llega hasta 30 cm = 0.3 m de
longitud de onda. Luego el mínimo de frecuencia que tiene es f = λc =
299792458/0.3 = 0.999308193 ∗ 109 H z 1 GHz.
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4
Ejemplo 17. La onda larga de radio llega hasta 10 km = 10 m de longitud
de onda. Luego el mínimo de frecuencia que tienen es f = λc = 299792458/104 =
29979.2458H z 30 kHz (kilohercios).
5.4. Medidas de almacenamiento digital. El almacenamiento de información digital se mide en bits que puede tomar 2 valores, 0 y 1. Un grupo
de 8 bits constituye un byte . El byte es la unidad más común de medición
de la información y toma 28 = 256 valores21.
Hasta hace pocos años la arquitectura de los ordenadores era 16 bits, posteriormente de 32 bits y en la actualidad de 64 bits. Eso quiere decir que los
registros del procesador aritmético tienen esos tamaños.
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Ese es el tamaño de palabra del ordenador. Los ordenadores pueden almacenar en una palabra respectivamente hasta 216 = 65536, o 232 = 4294967296,
o 264 = 18446744073709551616 números diferentes según su arquitectura.
Un ordenador tiene implementada por hardware la aritmética hasta el tamaño
de palabra. Eso quiere decir que es rapidísima la suma, resta, multiplicación
y división de números menores que el tamaño de palabra. Actualmente 264 .
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Volvamos al almacenamiento. Un dispositivo digital, como un disco duro,
puede almacenar información en forma de una sucesión de ceros y unos.
21En base 2, en enteros sin signo, toma los valores desde 0 hasta 255=28 -1.
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4
Una sucesión de 4 bits, llamada nibble, puede almacenar 2 = 16 números
diferentes, normalmente designados por dígitos hexadecimales22.
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Una sucesión de 8 bits, llamada Byte, puede almacenar 28 = 256 números
diferentes, puede denotar un carácter alfanumérico en código ASCII23.
Una sucesión de 16 bits, llamada wyde, puede almacenar 216 = 65536 números
diferentes, puede denotar un carácter alfanumérico en código Unicode24.
Una sucesión de 32 bits, llamada tetrabyte o tetra, puede almacenar 232
números diferentes.
Una sucesión de 64 bits, llamada octabyte u octa, puede almacenar 264
números diferentes.
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Podemos usar los prefijos SI para denotar otras medidas de almacenamiento.
Por ej., 1 kilobyte = 1000 Bytes almacena hasta 28000 números diferentes.
1 Megabyte = 106 Bytes almacena hasta 28000000 números diferentes.
9
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12
Sucesivamente, 1 Gigabyte = 10 Bytes, 1 Terabyte = 10 Bytes, 1 Petabyte
= 1015 Bytes, 1 Exabyte = 1018 Bytes, 1 Zettabyte = 1021 Bytes, 1 Yottabyte
= 1024 Bytes.
22En base 16, son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
23Así se codifican los caracteres alfanuméricos del teclado de un ordenador.
24Así se codifican todos los caracteres de prácticamente todas las lenguas del mundo.
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10
3
Como 2 = 1024 es casi 100 = 10 . A veces se le dice kilobyte pero se
recomienda decir kibibyte para designar 210 Bytes = 8192 bits.
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Mebibyte a 220 Bytes. Gibibyte a 230 Bytes. Tebibyte a 240 Bytes. Pebibyte a
250 Bytes. Exbibyte a 260 Bytes. Zebibyte a 270 Bytes. Yobibyte a 280 Bytes.
Ejemplo 18. Como 220 = 1048576, se tiene que 1 Mebibyte = 8 ∗ 220 bits =
8388608 bits y puede almacenar hasta 28388608 números diferentes25.
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Ejemplo 19. Como 230 = 1073741824, se tiene que 1 Gibibyte = 8 ∗ 230 =
8589934592 bits y puede almacenar hasta 28589934592 números diferentes26.
Ejemplo 20. Como 240 = 1099511627776, se tiene que 1 Tebibyte = 8 ∗ 240
= 8796093022208 bits y puede almacenar 28796093022208 números27.
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Ejemplo 21. Como 250 = 1125899906842624, se tiene que 1 Pebibyte = 8 ∗
250 = 9007199254740992 bits y puede almacenar 29007199254740992 números28.
Ejemplo 22. Como 260 = 1152921504606846976, se tiene que 1 Exbibyte =
8 ∗ 260 = 9223372036854775808 bits y puede almacenar 29223372036854775808
números29.
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25Esto es menos que la capacidad de los antiguos disquetes llamados de 1.44 megas.
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26Un DVD de una sóla capa tiene hasta 4.7 Gibibytes de capacidad.
27Parece que la memoria humana puede tener hasta 1.25 Tebibytes de capacidad.
284 Pebibytes es el máximo de memoria que puede direccionar el procesador AMD64.
2916 Exbibytes es el máximo de memoria direccionable en arquitecturas de 64 bits.
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6.
E JERCICIOS .
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Dpto. de Álgebra
Ejercicio 1. Sabiendo que las rocas sedimentarias conglomerado, arenisca,
limolita, lutita y esquisto se diferencian en el tamaño del grano de sedimento del cuál se formaron (grava, arena, limo y arcilla) ¿ Esa clasificación
numérica sigue una escala de magnitudes decimal o binaria ? ¿ Cuántas
magnitudes u octavas separan cada uno de los límites de esa clasificación ?
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Ejercicio 2. Hace 600 millones de años empezó el Cámbrico y a partir de
entonces se datan los primeros fósiles. Escribe esa distancia en megaaños y
gigaaños. También, el número de años en notación científica.
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Ejercicio 3. La distancia media Luna-Tierra es de 380 000 km. Escribe esa
distancia en metros, megámetros y gigámetros. ¿ En qué unidad tiene sólo
dos cifras esa distancia ?
Ejercicio 4. La distancia media Sol-Tierra es de 150 millones de kilómetros.
Escribe esa distancia en metros, megámetros, gigámetros y terámetros. ¿ En
qué unidad tiene sólo dos cifras esa distancia ?
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Dpto. de Álgebra
Ejercicio 5. Júpiter se halla a una distancia media del Sol de unos 778
millones de kilómetros. Escribe esa distancia en gigámetros y terámetros. ¿
Es mayor que un terámetro esa distancia ?.
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Ejercicio 6. La distancia Plutón-Sol es 5 900 millones de km. Escribe esa
distancia en gigámetros y terámetros. ¿ Cuál de las dos es la unidad más
adecuada ?. Escribe la distancia en metros en notación científica.
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Ejercicio 7. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. Equivale aproximadamente a 9 460 730 000 000 km. Escribe esa distancia en
terámetros, petámetros y exámetros. ¿ Es mayor que 1 exámetro ?
Ejercicio 8. El Sistema Solar se encuentra en el Brazo de Orión de la Vía
Láctea, a unos 28 000 años luz del centro de la galaxia. Escribe esa distancia en exámetros y en zettametros. ¿ Es mayor que 1 zettametro ?
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Ejercicio 9. La luz de 700 nanómetros de longitud de onda presenta un
nítido color rojo; a los 610, naranja; a los 575, amarillo; a los 525, verde;
a los 470, azul, y a los 415, violeta. Escribe los 6 colores en metros y en
notación científica.
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Ejercicio 10. Los átomos más pequeños tienen, más o menos, 100 picómetros de longitud. Sabiendo que 1 Ängstrom (Ä) = 10−10 m. ¿ Cuántos Ä miden
los átomos más pequeños ?.
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Dpto. de Álgebra
Ejercicio 11. Los núcleos atómicos más grandes tienen un diámetro aproximadamente de 630 femtómetros. Escribe esa cantidad en metros y en notación científica. ¿ Cuántos attómetros son ?.
Ejercicio 12. Respectivamenente. ¿ Cuáles son los tonos naturales (medios)
de un bajo, tenor, contralto y soprano ?
Ejercicio 13. El infrarrojo cercano va de 780 nm hasta 2.5 µm . Aproximadamente, ¿ Cuántas octavas comprende ese intervalo de longitudes de
onda? ¿ Y el infrarrojo medio que va de 2.5 µm a 50 µm ?
Ejercicio 14. La onda corta de radio va de 10 a 180 metros. Aproximadamente, ¿ Cuántas octavas comprende ese intervalo de longitudes de onda?
¿ Y la onda media que va de 180 a 650 metros ?
Ejercicio 15. El límite violeta/azul está en la longitud de onda, λ1 = 450nm .
El azul/verde, λ2 = 495nm . El verde/amarillo, λ3 = 570nm . El amarillo/naranja, λ4 = 590nm y el naranja/rojo, λ5 = 620nm . Calcula sus frecuencias. ¿ Siguen aproximadamente una progresión aritmética o geométrica?
Ejercicio 16. ¿ Cuántas octavas comprende el intervalo entre 1 kibibyte y 1
Mebibyte ? ¿ Es un número exacto ? ¿ Y entre 1 kilobyte y 1 Megabyte ?
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Ejercicio 17. ¿ Cuántas octavas comprende el intervalo entre 1 Mebibyte y
1 Gibibyte ? ¿ Es un número exacto ? ¿ Y entre 1 Megabyte y 1 Gigabyte ?
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
Ejercicio 18. Aproximadamente, ¿ Cuántas octavas comprende el intervalo entre 2305 (capacidad de información del universo observable) y 10100
(número llamado Googol) ?
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7.
T EST DE REPASO .
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Para comenzar el cuestionario pulsa el botón de inicio.
Cuando termines pulsa el botón de finalizar.
Para marcar una respuesta coloca el ratón en la letra correspondiente y pulsa
el botón de la izquierda (del ratón).
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1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) 1 000 Pm equivalen a 1 Tm.
(b) 100 Pm equivalen a 1 Tm.
(c) 1 000 Tm equivalen a 1 Pm.
(d) 0.1 Tm equivalen a 1 Pm.
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2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) 0.001 Pm equivalen a 1 Em.
(b) 1 Pm equivale a 1E-15 m.
(c) 1 000 Pm equivalen a 1 Em.
(d) 0.001 nm equivalen a 1 fm.
3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) 1 Em equivale a 1E15 m.
(b) 1 Em equivale a 1E18 m.
(c) 1 Em equivale a 0.1 Zm.
(d) 1 Em equivale a 0.01 Zm.
4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) 1 000 pm equivalen a 1 µm.
(b) 100 pm equivalen a 1 nm.
(c) 1 000 pm equivalen a 1 nm.
(d) 1 000 pm equivalen a 1 fm.
5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) 0.001 nm equivalen a 1 pm.
(b) 0.01 nm equivalen a 1 pm.
Enrique R. Aznar
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(c) 0.001 nm equivalen a 1 fm.
(d) 1 000 nm equivalen a 1 fm.
6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) 1 Megabyte = 106 Bytes almacena hasta 21000000 números diferentes.
(b) 1 Megabyte = 106 Bytes almacena hasta 28000000 números diferentes.
(c) 1 Megabyte = 106 bits.
(d) 1 Megabyte = 8 ∗ 106 Bytes.
7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) 1 Mebibyte = 220 bits.
(b) 1 Mebibyte = 8 ∗ 220 Bytes.
(c) 1 Mebibyte = 220 Bytes.
(d) 1 Mebibyte = 1 Megabyte.
8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) 1 Ä (Ängstrom) equivale a 1E-10 cm.
(b) 1 Ä equivale a 1E-10 m.
(c) 1 Ä equivale a 10 picómetros.
(d) 1 Ä equivale a 0.1 pm.
Enrique R. Aznar
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9. En notación científica un número de años se escribe 0.6E9. Sabiendo que
un año tiene 31536000 segundos. Entonces:
(a) El número dado es mayor que un 1 Gigaaño.
(b) Es menor que un 1 Megaaño.
(c) Es menor que un 1 Petasegundo.
(d) Es menor que un 1 Exasegundo.
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10. La luna tarda 27 1/3 días en realizar una vuelta completa en el firmamento
respecto de las estrellas. Entonces:
(a) La luna tarda más de 1 gigasegundo en su vuelta.
(b) La luna tarda menos de 1 megasegundo en su vuelta.
(c) La luna tarda un poco menos de 2.4 ∗ 109 segundos en su vuelta.
(d) La luna tarda un poco más de 2.4 ∗ 109 segundos en su vuelta.
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