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CONTINUACION UNIDAD # II: FÍSICA INTRODUCTORIA
TIRO VERTICAL Y CAIDA LIBRE
OJETOS QUE CAEN LIBREMENTE
En ausencia de resistencia de aire, todos los objetos que se dejan caer cerca de la superficie de la
tierra caen hacia ella con la misma aceleración constante bajo la influencia de la gravedad terrestre.
En el movimiento de caída libre no existe resistencia del aire, sólo influye el efecto del campo
gravitatorio. Al dejar caer simultáneamente, desde la misma altura, una moneda y un pedazo de
papel, ambos experimentarán el mismo movimiento y llegarán al suelo al mismo tiempo si se
desprecian los efectos de la resistencia del aire.
Un objeto que cae libremente es cualquiera que se mueve con libertad bajo la influencia de la
gravedad, sin importar su movimiento inicial. Los objetos lanzados hacia arriba o hacia abajo y los
que se sueltan desde el reposo todos caen libremente una vez que se ha liberado. Cualquier objeto
que cae libremente experimenta una aceleración dirigida hacia abajo, independientemente del
movimiento inicial del objeto.
La magnitud de la aceleración de caída se denota por g. En la superficie de la tierra, el valor de g es
aproximadamente 9.80 m/s2.
Ignorando la resistencia del aire y suponiendo que la aceleración de caída libre no varía con la
altitud en distancias verticales cortas, el movimiento de un objeto en caída libre que se mueve
verticalmente es equivalente al movimiento de una partícula bajo aceleración constante en una
dimensión.
Ejercicios de aplicación
Examine las siguientes situaciones: a) aumente, b) disminuye, c) aumenta y luego disminuye,
d) disminuye y luego aumenta, e) permanece igual. A partir de estas opciones, seleccione lo que le
ocurre a i) la aceleración y ii) la rapidez de una bola después de que se lanza hacia arriba en el aire.
-
Se golpea una pelota de béisbol de modo que viaja recto hacia arriba después de ser
golpeada por el bate. Un aficionado observa que a la bola le toma 3.00 s llegar a su altura
máxima. Determine a) la velocidad inicial de la bola y b) la altura que alcanza.
-
Una bola se lanza directamente hacia arriba, con una rapidez inicial de 8.00 m/s, desde una
altura de 30.0 m. ¿Después de qué intervalo de tiempo la bola golpea al suelo?
-
Un objeto en caída libre requiere 1.50 s para recorrer los últimos 30.0 m antes de golpear el
suelo. ¿Desde qué altura sobre el suelo cayó? Resp.38.2 m
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
En esta unidad se estudiará la cinemática de una partícula moviéndose en dos dimensiones.
Vectores de posición, velocidad y aceleración
Vector de posición → se traza desde el origen de algún sistema coordenado a la posición de la
partícula en el plano xy. Observar figura.
En la figura se observa una partícula que se mueve en el plano xy que ubica con el vector de
r
posición r .
r r
ri y rf son los vectores de posición para la partícula en los puntos A y B en los tiempos ti y t f
respectivamente. La trayectoria de A a B no es necesariamente una línea recta.
El desplazamiento de la partícula al moverse de A a B en el intervalo de tiempo ∆t = ti − t f es igual
r r r
al vector ∆r = rf − ri .
r
Como se observa en la figura la magnitud de ∆r es menor que la distancia recorrida a lo largo de la
trayectoria curva que sigue la partícula.
Velocidad promedio
La velocidad promedio de una partícula en un intervalo de tiempo ∆t se define como el
desplazamiento entre el intervalo de tiempo.
r
r
∆r
V prom =
∆t
r
La velocidad promedio es una magnitud física vectorial dirigida a lo largo de ∆r .
La velocidad promedio entre dos puntos no depende de la trayectoria en el sentido de que es
proporcional al desplazamiento, el cual sólo depende de los vectores de posición inicial y final no
de la trayectoria que sigue la partícula en su movimiento.
Velocidad instantánea
A medida que una partícula se mueve entre dos puntos, su velocidad promedio tiene la dirección de
r
∆r . Si el punto final de la trayectoria se mueve de Da C a B. Observar figura. El desplazamiento
respectivo y los correspondientes intervalos de tiempo se hacen cada vez más pequeños, la
dirección del desplazamiento tiende a la línea tangente a la trayectoria en el punto A.
r
∆r
La velocidad instantánea se define como el límite de la velocidad promedio
cuando ∆t
∆t
tiende a cero.
r
r
r
∆r dr
v = lim
=
∆t →o ∆t
dt
r
La dirección del vector v es a lo largo de una línea tangente a la trayectoria en el punto A y en la
dirección del movimiento.
r
r
La magnitud de v , lo cual se denota v = v , de una partícula se llama rapidez .
Cuando una partícula se mueve a lo largo una trayectoria, como se muestra en la siguiente figura, el
r
r
r
vector velocidad instantánea v cambia de vi en el tiempo ti a v f en el tiempo. Si se conoce la
velocidad en tales puntos, entonces se puede determinar la aceleración promedio de la partícula.
La aceleración promedio de la partícula se define como el cambio en su vector velocidad
r
instantánea ∆v dividido por el intervalo de tiempo ∆t el cual se produce dicho cambio.
r r r
r
∆v v f − vi
a prom =
=
∆t t f − ti
r
La aceleración promedio es una magnitud física vectorial dirigida a lo largo de ∆v
r
Atendiendo a la figura anterior, el vector ∆v tiene la dirección y el sentido que se muestra en la
siguiente figura.
r r r
∆v = v f − vi
Si la aceleración promedio de una partícula cambia en el transcurso de diferentes intervalos de
tiempos, entonces es conveniente definir su aceleración instantánea.
La aceleración instantánea de una partícula se define como el valor límite de la aceleración
promedio cuando ∆t tiende a cero.
r
r
r
∆v dv
a = lim
=
∆t → o ∆t
dt
Cuando una partícula acelera puede ocurrir atendiendo a varios cambios:
1. La magnitud del vector velocidad ( la rapidez ) puede cambiar con el tiempo como por ejemplo
en el movimiento en línea recta ( unidimensional )
2. La dirección del vector velocidad puede cambiar con el tiempo aún permaneciendo la rapidez
constante como por ejemplo en un movimiento bidimensional a lo largo de una trayectoria curva.
3. Tanto la rapidez como la dirección del vector velocidad pueden cambiar simultáneamente.
Ejemplo: Un automovilista se dirige al sur a 20.0 m/s durante 3.00 min, luego da vuelta al oeste
y viaja a 25.0 m/s durante 2.00 min y finalmente viaja al noroeste a 30.0 m/s durante 1.00 min. Para
este viaje de 6.00 min, encuentre a) el desplazamiento vectorial total, b) la rapidez promedio y c) la
velocidad promedio.
Movimiento en dos dimensiones con aceleración constante
Consideraremos el movimiento bidimensional de una partícula en el cual la aceleración permanece
constante tanto en magnitud como en dirección.
El movimiento en dos dimensiones se puede representar como dos movimientos independiente en
cada una de las dos direcciones perpendiculares asociadas a los ejes x y y. De lo expuesto, se puede
decir que al producirse cualquier influencia en la dirección y esta no afecta el movimiento en la
dirección x y viceversa.
y
x
y
x
En el primer caso el objeto se mueve con velocidad constante en la dirección x.
En el segundo caso se ha aplicado una fuerza en la dirección perpendicular lo cual provoca que el
objeto tenga una componente de velocidad en el eje y. La aplicación de esta fuerza no afecta la
componente de velocidad en el eje x.
De lo expuesto se puede concluir que el movimiento en dos dimensiones se puede modelar como
dos movimientos independientes en direcciones.
Representaciones y componentes vectoriales de velocidad y posición de una partícula que se mueve
r
con aceleración constante a .
r r r 1r
rf = ri + vi t + at 2
2
r
Ejemplo: Una partícula que inicialmente se ubica en el origen tiene una aceleración a = 2.00
r
m / s 2 al norte y una velocidad vi = 5.00 m/s al norte. Encuentre a) el vector de posición y de
velocidad de la partícula en cualquier tiempo t y b) las coordenadas y rapidez de la partícula en
t=2.00s.
MOVIMIENTO DE PROYECTIL
El movimiento de proyectil es una clase de movimiento en dos dimensiones bajo aceleración
constante, donde ax = o a y = − g
La siguiente figura muestra la trayectoria parabólica de un proyectil que sale del origen con
r
velocidad vi .
r
r r
v f = vi + at ,
r
El vector v cambia tanto en magnitud como en dirección. Este cambio es el resultado de la
aceleración en la dirección y negativa. La componente x de velocidad permanece constante en el
tiempo ya que ax = o a lo largo de la dirección horizontal. La componente y de velocidad es cero
cuando el proyectil alcanza su máxima altura.
Cuando se analiza el movimiento de un proyectil se debe representar como la sobre posición de dos
movimientos:
1- movimiento de una partícula bajo velocidad constante en la dirección horizontal
2- movimiento de una partícula bajo aceleración constante ( caída libre ) en la dirección vertical.
La siguiente figura ilustra un proyectil lanzado sobre una superficie plana desde el origen en ti = o
r
con una velocidad inicial vi .
La altura máxima del proyectil es h y el alcance horizontal es R.
Se puede comprobar que:
v 2 sen 2θi
v 2 sen2θ
h= i
, R= i
2g
g
Un proyectil se dispara de forma tal que su alcance horizontal es igual a tres veces su altura
máxima. ¿Cuál es el ángulo de proyección?
PARTÍCULA EN MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
La siguiente figura muestra un objeto que se mueve en una trayectoria circular con rapidez
constante.
Este movimiento que experimenta el objeto es llamado circular uniforme. ( MCU).
r
Aunque la rapidez del objeto es constante, este tiene una aceleración que depende del cambio de v .
Siendo la velocidad una magnitud física vectorial, la aceleración puede ocurrir en dos formas:
1) Por un cambio en la magnitud de la velocidad.
r
2) Por un cambio el la dirección de v .
r
El vector v siempre es tangente a la trayectoria del objeto y perpendicular al radio de la trayectoria
circular.
r
El vector aceleración en un movimiento circular uniforme siempre es perpendicular a v y siempre
apunta hacia el centro del círculo.
Determinación de la magnitud de la aceleración del objeto.
La siguiente figura muestra los vectores de posición y velocidad en los puntos A y B, así como
también el vector desplazamiento para un ∆t .
r r r
La figura para ∆v = v f − vi es
El ángulo θ entre los dos vectores de posición es el mismo que el ángulo entre l os vectores
r
r
velocidad en el sentido de que el vector v es siempre perpendicular al vector de posición r . Por lo
tanto los dos triángulos son semejantes.
Estableciendo una correspondencia entre las longitudes de los lados para los triángulos se tiene que:
r
r
∆v
∆r
r
=
, donde v = vi = v f y r = ri = rf . Resolviendo la ecuación para ∆v y sustituyendo en
v
r
r
r
∆v v ∆r
a prom =
=
∆t r ∆t
r
Si ∆t → o , entonces ∆r se aproxima a la distancia recorrida por el objeto a lo largo de la
r
∆r
trayectoria circular y la relación
se aproxima a la rapidez v. Además la aceleración promedio se
∆t
convierte en la aceleración instantánea en el punto A. En tal sentido, en el límite ∆t → o la
v2
magnitud de la aceleración es ar = . A esta aceleración se le llama centrípeta o radial.
r
Periodo de movimiento circular.
El periodo para el movimiento de una partícula que se mueve con rapidez constante en un círculo
de radio r se define como el intervalo de tiempo requerido para una revolución completa de la
partícula.
En el intervalo de tiempo T, la partícula se mueve una distancia 2π r , entonces la rapidez v
2π r
2π r
se determina a partir de la expresión v =
, despejando T se tiene T =
.
T
v
Aceleraciones tangencial y radial.
La siguiente figura muestra el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria curva
uniforme, donde la velocidad cambia tanto en magnitud como en dirección.
r
El vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria; sin embargo, el vector aceleración a está a
cierto ángulo con la trayectoria. En los puntos A y B están dibujados los círculos discontinuos que
representan la curvatura de la trayectoria.
r
La dirección del vector aceleración a cambia de un punto a otro. Este vector se puede escribir
r r r
como a = at + ar
La componente de la aceleración tangencial causa un cambio en la rapidez v de la partícula,
mientras que la componente de la aceleración radial proviene de un cambio en dirección del vector
velocidad.
Ejemplo 1: Un tren frena mientras entra a una curva horizontal cerrada, y frena de 90.0 Km/h a
50.0 Kh/h en los 15.0 s que tarda en cubrir la curva. El radio de la curva es de 150 m. Calcular la
aceleración en el momento en que la rapidez del tren alcanza 50.0 Km/h. Suponga que continúa
frenando a este tiempo con la misma relación.
Ejemplo 2: En la figura se representa la aceleración total de una partícula que se mueve en el
sentido de las manecillas del reloj en un círculo de 2.50 m de radio en cierto instante de tiempo. En
este instante, encuentre a) la aceleración radial, b) la rapidez de la partícula y c) su aceleración
tangencial
Ejemplo 3: Patinador se desliza a lo largo de una trayectoria circular de radio 3.00 m. Si avanza
alrededor de la mitad de la circunferencia, siendo P el punto de partida, determine:
a) El vector posición inicial y el vector posición final
b) El vector desplazamiento y su magnitud
c) Velocidad instantánea y rapidez instantánea en P
d) Velocidad media y rapidez promedio si el tiempo empleado es de 1.2 s.
e) Aceleración radial en los puntos P y Q
Ejemplo 2: Repetir el ejercicio anterior cuando avanza de P a R.
VELOCIDAD RELATIVA
La velocidad de un objeto depende del marco de referencia en el cual se está midiendo.
Experiencia 1: Dos autos moviéndose hacia la derecha con velocidades 40 Km/h y 50 Km/h
(constante).
Observador estacionario
Para el pasajero la rapidez del auto más rápido es 10 Km/h, para el observador estacionario la
rapidez del auto más rápido es 50Km/h.
Experiencia 2: Desde el avión se deja caer un objeto.
Al dejar caer un objeto desde el avión el observador dentro de este describe el movimiento del
objeto en línea recta hacia la tierra.
Para el observador en la tierra la trayectoria seguida por el objeto al caer es parabólica.
ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN GALILENA
Una partícula localizada en el punto A es descrita por dos observadores, uno en el marco de
referencia S, y el otro en el marco S ' , el cual se mueve a la derecha con una velocidad constante
r
vo .
r
r
El vector r es el vector de posición de la partícula relativo a S, y r ' es su vector de posición
relativo a S ' .
r
r
r r
r r
r r
Los vectores r y r ' se relacionan entre sí mediante la expresión r = r ' + vo t o r ' = r - vo t ,
transformación galileana de coordenadas.
Es decir, después de un tiempo t, el marco S ' se desplaza hacia la derecha del marco S en una
r
cantidad vo t.
r
r
r r
Si se diferencia la ecuación r ' = r - vo t con respecto al tiempo y se nota que vo es constante, se
obtiene
r
r
r
d r ' /dt = d r /dt - vo
r
r r
r
v ' = v - vo , transformación galileana de la velocidad, donde v ' es la
r
velocidad de la partícula observada en el marco S ' y v es la velocidad observada en el marco S´
r
r r
r
r r
Las ecuaciones r ' = r - vo t y v ' = v - vo se conocen como ecuaciones de transformación
galileanas.
Ejemplos
• Un tren viaja con una rapidez de 20.0 m/s relativa a la tierra. Un pasajero de pie en el fondo
del tren lanza una pelota con una rapidez de 20.0 m/s relativa desde el extremo posterior del
tren, en la dirección opuesta al movimiento del tren. ¿Cuál es la velocidad de la pelota relativa
a la tierra? Resp. cero
•
Un tren está viajando a 27 m/s relativa a la tierra y un pasajero de pie en el tren lanza una
pelota a15 m/s con respecto al tren en la misma dirección con la que el tren se mueve. Hallar la
rapidez de la pelota con respecto a la tierra. Resp. 42 m/s
•
Un bote se dirige hacia el norte cuando cruza un río ancho con una velocidad de 10.0 Km/h
relativa al agua. El río tiene una velocidad uniforme de 5.00 Km/h hacia el este. Calcule la
velocidad del bote con respecto a un observador ubicado en la tierra.
Resp. 11.2 Km/h 26.6o al este del norte.