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TEMA: Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo del método de Cholesky
Problema:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de Cholesky
 6 15 55 
A = 15 55 225
55 225 979
100
y C= 150
100
Solución:
En el método de Cholesky el primer paso es encontrar la matriz L usando las fórmulas
i 1
l ki 
a ki   l ij l kj
k 1
j 1
y
l ii
l kk  a kk   l kj2
j 1
La primera ecuación se usa para elementos fuera de la diagonal y la segunda para elementos en
la diagonal principal.
Entonces.
l11  a11  6 = 2.4495
l31 
a31
55
= 22.454

l11 2.4495
l 21 
a 21
15
= 6.1237

l11 2.4495
Ya sabemos que l12 = 0
2
l 22  a 22  l 21
 55  6.12372 = 4.1833
l32 
a32  l 21l31 225  (6.1237)(22.454)

= 20.916
l 22
4.1833
De igual forma l13 = l23 = 0 y
l 33  a33  (l 312  l 322 )  979  (22.4542  20.9162 ) = 6.1106
La matriz L es igual a
0
0 
2.4495

L  6.1237 4.1833
0 
22.454 20.916 6.1106
En el método de Cholesky U = LT
2.4495 6.1237 22.454
U   0
4.1833 20.916
 0
0
6.1106
El siguiente paso es encontrar el vector D de la misma manera que en el método de
descomposición de LU
i 1
di 
ci   lij d j
j 1
lii
c2  l 21d1 150  (6.1237)(40.8246)
=-23.9045

l 22
4.1833
d1 
c1
100
=40.8246

l11 2.4495
d3 
c3  (l31d1  l32 d 2 ) 100  ((22.454)(40.8246)  (20.916)(23.9045))
=-51.826

l33
6.1106
d2 
Finalmente se calcula el vector de incógnitas comenzando por la última x, donde n es el grado de
la matriz, en este ejemplo n=3
di 
xi 
n
u
j i 1
ij
xj
u ii
d3
=-51.826/6.1106=-8.481
u33
d  u 23 x3
x2  2
= [-23.9045-(20.916)(-8.481)]/4.1833 = 36.690
u 22
x3 
x1 
d1  (u12 x2  u13 x3 )
= [40.8246 – ((6.1237)(36.69)+(22.454)(-8.481))]/2.4495 = 2.685
u11
El resultado se puede comprobar multiplicando A por X y el resultado debe ser igual a C.