1. Educación

´ ticas
Matema
Curso 2014-2015
´ gicas
Primero de Biolo
´
Hoja 1: Algebra
lineal y din´amica de poblaciones
1. Resolver los siguientes SEL usando el m´etodo de Gauss:



2x1 + x2 + x3 = 3
x1 + x2 − x3 = 0


3x1 + 2x2 − x3 = 2
x1 + x3 − x4 = 5
x2 + x3 + x4 = 2






x1 + x2 − x3 = 1
x − x2 + x3 = 0
 1

x2 − x3 = 2
−x1 + x2 + x3 = −5
x1 + x2 − x3 = 1


x1 − x3 = 1
2. Realizar las siguientes multiplicaciones de matrices:

1 2 1
3
−1 5 2 −2




3
2
0
1 −1 −2
0
3 −1
2 −1
5
3. Sea A la matriz




;





1
2
−1
5
0 −1
−1 −3


3
2
0 7 −3
1 −1 −2 1 −3




.

1
1 −2

3 
 4 −1

2
3 −1
Realiza la siguientes multiplicaciones de matrices


2
0 0


 0 −5 0  A;
0
0 3


2
0 0


A  0 −5 0  ;
0
0 3




0 1 0


A 1 0 0 .
0 0 1
0 1 0


 1 0 0  A;
0 0 1
4. Calcula la matriz
a b
c d
tal que:
a b
c d
3 2 0
−2 1 4
=
5 1 −4
4 5
4
.
5. Hallar la matriz inversa de:
1 2
−1 4
6. Las hembras de una poblaci´on se pueden clasificar en dos grupos de edad (hembras
j´ovenes y hembras adultas). La matriz de Leslie que describe la evoluci´on de esta
poblaci´on es la siguiente:
2 4
L=
0, 11 0
1
(a) Si inicialmente hay 100 hembras de cada clase, ¿cu´antas habr´a en el siguiente
per´ıodo de tiempo?
(b) A largo plazo, ¿cu´al ser´a la tasa de variaci´on de cada uno de los grupos? ¿Se
extinguir´a la poblaci´on?
(c) A largo plazo, ¿cu´al ser´a la proporci´on de hembras j´ovenes y adultas?
7. En cierta especie animal, las hembras se clasifican en juveniles (hasta 1 a˜
no de edad)
y adultas (de 1 a 2 a˜
nos de edad).
Solamente el 40% de las hembras j´ovenes sobreviven cada a˜
no y pasan a adultas.
Tienen una descendencia de 1,1 hembras al a˜
no.
Las hembras adultas no sobreviven al a˜
no siguiente, y tienen una descendencia media
de 1,6 hembras cada a˜
no.
(a) Construir la matriz de Leslie correspondiente a este modelo de evoluci´on.
(b) Calcular la tasa de crecimiento o decrecimiento a largo plazo.
(c) Calcular la proporci´on aproximada de hembras j´ovenes que formar´an parte de
la poblaci´on a largo plazo.
8. Se lleva a cabo un estudio sobre una poblaci´on de ballenas azules. Las hembras son
clasificadas en cuatro grupos de edad, y sobre cada grupo se obtiene la siguiente
informaci´on en t´erminos de fertilidad (n´
umero medio de cr´ıas hembras en cada
per´ıodo) y en terminos de mortalidad:
grupo de edad: 0 a 3
no. medio de cr´ıas:
0
mortalidad: 43%
4a7
0’63
43%
8 a 11
1’00
43%
12 a 15
0’90
100%
Formular un modelo matricial para la evoluci´on de esta poblaci´on. Si en un determinado momento, la poblaci´on est´a formada por 20, 30, 40 y 20 ballenas hembra de
cada tipo de edad, ¿cu´al ser´a la composici´on de la poblaci´on (aproximadamente) al
cabo de dos per´ıodos de tiempo?
9. En una granja de cr´ıa de cerdos, los animales son clasificados seg´
un sus edades de
la siguiente forma:
- Cochinillos: De 0 a 1 a˜
no.
- Lechones: De 1 a 2 a˜
nos.
- J´ovenes: De 2 a 3 a˜
nos.
- Adultos: De 3 a 4 a˜
nos.
El procedimiento de gesti´on de las hembras de la granja es el siguiente:
- Se sacrifica al 60% de las que van naciendo para su consumo como cochinillos.
- Se sacrifica para su consumo a todas las hembras cuando llegan a los 4 a˜
nos.
No se sacrifica a ninguna de las dem´as, y se supone que ning´
un animal muere
por otras causas.
2
- Se dedica a todas las hembras j´ovenes y adultas a la cr´ıa. Se sabe que, en
media, cada hembra joven tendr´a 0,5 camadas de 5 cochinillos, cada hembra
adulta tendr´a 0,8 camadas de 5 cochinillos, y que el 50% de todos los nuevos
nacidos ser´an hembras.
Formular el modelo apropiado para describir la evoluci´on de la poblaci´on de las
hembras.
10. La poblaci´on de cierta especie de animales en un bosque est´a dividida en dos grupos
de edad (j´ovenes y adultos). La correspondiente matriz de Leslie es:
1 3/2
1/2 0
A=
a) Interpreta el significado de cada uno de los elementos de la matriz anterior.
b) Calcula el autovalor dominante de A y un autovector asociado.
c) Sea X(k) el n´
umero de animales de cada grupo en la etapa k. Si en la etapa
0 hay u
´nicamente 10 animales j´ovenes en el bosque, calcula X(1), X(2), X(3)
y X(4). A partir de X(4) calcula la proporci´on exacta de individuos de cada
grupo respecto al total de la poblaci´on en la etapa 4.
d) Calcula la misma proporci´on de forma aproximada mediante el autovector asociado al autovalor dominante, y compara el resultado obtenido en este apartado
con el del apartado anterior.
11. Estudiamos una poblaci´on de aves. Clasificamos las hembras en tres grupos de edad:
j´ovenes (de 0 a 1 a˜
no), adultas f´ertiles (de 1 a 2 a˜
nos), y adultas no f´ertiles (de 2 a 3
a˜
nos). Sabemos que un 12% de las hembras j´ovenes y un 54% de las adultas f´ertiles
sobreviven cada a˜
no. Ninguna de las adultas no f´ertiles sobrevive. Cada hembra
joven produce (en promedio) una hembra al a˜
no y cada adulta f´ertil produce dos.
a) Describir la evoluci´on de la poblaci´on en forma matricial.
b) Transcurridos unos a˜
nos, determina en qu´e tanto por ciento crecer´a o decrecer´a
anualmente la poblaci´on de hembras.
c) Determina cu´al deber´ıa ser el tanto por ciento de supervivencia de las hembras
j´ovenes para que la poblaci´on se mantuviera estable.
12. Una poblaci´on de aves se encuentra repartida entre dos humedales A y B. Se sabe
que cada d´ıa un 70% de aves del humedal A se traslada a B mientras que un 50%
de aves de B lo hace a A.
a) Dibuja el diagrama de estados y escr´ıbelo despu´es en forma matricial.
b) Si inicialmente hab´ıa el mismo n´
umero de aves en cada humedal, ¿que porcentaje de ´estas est´an en cada uno de ellos despu´es de dos d´ıas?
c) Si inicialmente hab´ıa 120 aves en cada humedal ¿qu´e evoluci´on seguir´a el sistema a largo plazo?
13. Una balsa de lodo, que permanece con volumen constante, contiene productos
t´oxicos. La balsa desagua por filtraci´on trav´es de un curso de agua cercano en
el que observamos, tras la citada filtraci´on, una concentraci´on de t´oxicos igual al
3
10% de la que hay en la balsa. Una depuradora opera en la balsa y trata cada hora
el 0 1% del contenido de la balsa con una efectividad del 85% sobre el lodo que
trata. Aguas abajo otra depuradora trata todo el caudal de la corriente con una
efectividad del 40%. Formula un modelo que estudie cuento tardar´a en reducirse la
concentraci´on de t´oxicos en un factor 10 a la salida de la segunda depuradora.
14. Supongamos que
0
1
0.6 0.8
A=
es la matriz de transici´on de una poblaci´on de cotorras, dividida para su estudio en
j´ovenes y adultas.
a) Demuestra que, a la larga, la poblaci´on crecer´a por un factor aproximado de
1.27.
b) Los granjeros y otras personas del ´area no quieren que la poblaci´on crezca.
Pueden controlarla permitiendo la caza de cotorras adultas. Si h es la proporci´on de adultas cazadas en cada per´ıodo, ¿cu´al ser´a ahora la matriz de
transici´on? (Observaci´on: La proporci´on h se considera sobre el total de adultas al final del periodo, una vez que ya se ha tenido en cuenta la natalidad y
la mortalidad debida a otras causas distintas a la caza)
c) Prueba que h = 0.6 es una caza demasiado intensiva, es decir, la poblaci´on de
cotorras se extinguir´ıa.
d) Es posible seleccionar h de manera que la poblaci´on no crezca ni desaparezca.
¿Cu´al ser´ıa ese valor de h?
e) Responder a las preguntas anteriores cambiando la matriz A por
A =
0.8 1
0.6 0
15. La oficina de antiguos alumnos de la Universidad observa que, de los alumnos que
pagan la cuota anual un a˜
no, el 80 % tambi´en la paga el a˜
no siguiente mientras que,
de los que no la han pagado un a˜
no, un 30 % s´ıla pagar´a al siguiente. Estudiar el
comportamiento a largo plazo del pago de cuotas.
16. En cierto r´ıo hay tres peque˜
nas lagunas del mismo tama˜
no. Una f´abrica vierte cada
semana en la primera de ellas una cantidad c de contaminante altamente soluble
en el agua. Si cada laguna desagua semanalmente un 10% de su volumen hacia la
siguiente, aguas abajo, encontrar cual ser´a la situaci´on de equilibrio.
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