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EJERCICIOS DE ESTAD´ISTICA
1o GRADO DE FARMACIA
CURSO 2011 - 2012
1. EJERCICIOS DE ESTAD´ISTICA DESCRIPTIVA
1.- Se le ha tomado la temperatura corporal a un grupo de pacientes afectados de gripe, con los resultados
siguientes:
Temperatura o C
37
37,2
37,5
38
38,1
38,5
39
No de pacientes
1
5
15
6
10
5
2
Calcule:
a) Media aritm´etica.
b) Moda y mediana.
c) Coeficiente de variaci´
on de Pearson.
2.- Un ec´
ologo est´
a interesado en el tama˜
no de la hoja de una determinada especie vegetal. Para ello
recoge una muestra con los siguientes resultados:
Longitud (cm)
2,5
3,2
4
5,5
5,8
6,1
2
4
9
6
6
3
N´
umero de hojas
Determine los valores de:
a) Primer y tercer cuartiles.
b) Moda y mediana.
c) Percentiles 42 y 86.
3.- La siguiente distribuci´
on de frecuencias se refiere a las edades de los empleados de una empresa
Intervalos
16
22
28
34
40
46
52
58
64
-
Frecuencias
22
28
34
40
46
52
58
64
70
11
15
32
28
16
25
14
10
6
Calcule:
a) Media aritm´etica, intervalo mediano, mediana, intervalo modal, cuartiles de primer y tercer orden,
percentiles 32 y 81.
b) Desviaci´
on t´ıpica, coeficiente de variaci´
on de Pearson y recorrido semiintercuart´ılico.
c) Dibuje el histograma correspondiente y comente, a partir de ´el, la forma de esta distribuci´
on de datos.
4.- Dadas las observaciones siguientes:
11
15
19
23
13
25
26
20
27
20
24
22
20
10
28
27
33
29
15
29
29
26
25
20
21
16
18
31
27
20
a) Agrupe los datos en cinco intervalos de longitud constante, comenzando por el valor 10.
b) Utilizando los intervalos anteriores, calcule: media, intervalo mediano, mediana, intervalo modal,
cuartiles de primer y tercer orden y el percentil 82.
c) Calcule: desviaci´
on t´ıpica, coeficiente de variaci´
on y recorrido intercuart´ılico.
5.- En un estudio acerca del comportamiento de la mosca del vinagre Drosophila melanogaster, un bi´
ologo
midi´
o el tiempo en segundos que una mosca pasaba ase´
andose en un determinado periodo de 6 minutos
de duraci´
on. Los tiempos de aseo observados para 20 moscas distintas fueron:
34, 24, 10, 16, 52, 76, 33, 31, 46, 24, 18, 26, 57, 32, 25, 48, 22, 48, 29, 19
a) Construya un diagrama de tallo y hojas para este conjunto de datos. Comente, a partir de su forma,
la posible simetr´ıa y normalidad de la distribuci´
on de los datos.
b) Calcule el valor del coeficiente de variaci´
on de Pearson.
6.- Se ha estudiado en cierto desierto, el n´
umero de seres vivos por km2 , eligiendo aleatoriamente 20 ´
areas
2
de 1 km . Los datos obtenidos fueron:
17 18 21 21 21 24 24 25 29 29 29 29 31 31 33 33 33 41 41 49
Dibuje el diagrama de cajas y com´entelo. Indique si hay alg´
un dato at´ıpico.
7.- Se ha desarrollado una nueva vacuna contra la difteria para aplicarla a ni˜
nos. El nivel de protecci´
on
est´
andar obtenido por las antiguas vacunas era de 1 µg/ml, un mes despu´es de la inmunizaci´
on. Despu´es
de un mes, se han obtenido estos datos del nivel de protecci´
on de la nueva vacuna:
12,5
13,3
13,8
14,1
13,0
14,6
13,5
13,1
13,2
12,1
12,2
13,7
13,4
13,4
14,0
12,8
13,6
12,6
13,3
12,7
a) Construya un diagrama de tallo y hojas doble para estos datos.
b) ¿Se sorprender´ıa si le dijeran que X, el nivel de protecci´
on transcurrido un mes de la nueva vacuna,
tiene una distribuci´
on en forma de campana?
c) Mediante la inspecci´
on del diagrama de tallos y hojas, haga un c´
alculo aproximado del nivel de
protecci´
on medio utilizando la nueva vacuna. ¿Se sorprender´ıa si le dijeran que la nueva vacuna tiende a
proporcionar un mayor nivel de protecci´
on que la est´
andar?
8.- Las edades de un grupo de 15 personas son:
47, 52, 52, 57, 58, 58, 60, 65, 66, 66, 71, 71, 72, 73, 96
Construya el diagrama de cajas e identifique, si existen, los datos at´ıpicos.
9.- Al examinar 158 casos de par´
alisis de Bell se anotaron las diferentes terapias seguidas por estos
pacientes, resultando el conjunto de datos:
C, DQ, ET, NT, OT
(C: corticoides; DQ: descompresi´
on quir´
urgica; ET: electroterapia; NT: ning´
un tratamiento; OT: otras
modalidades).
Tratamiento
C DQ ET NT OT
o
N de pacientes 73 36
19
21
9
a) Obtenga la tabla de frecuencias e indique qu´e porcentaje de pacientes toma corticoides.
b) Construya el diagrama de sectores.
´ LINEAL
2. EJERCICIOS DE REGRESION
1.- Durante una hora se administra por perfusi´
on endovenosa continua un medicamento. Al finalizar
la perfusi´
on se determinan las concentraciones plasm´
aticas de medicamento y los resultados son los
siguientes:
Tiempo (h)
Concentraci´
on (µg/ml)
1
1, 5
2
3
6
15
11, 8
11, 0
10, 9
10, 1
9, 6
5, 7
a) Dibuje el diagrama de dispersi´
on (nube de puntos) de los datos anteriores.
b) Determine, a partir de la forma de la nube, si el modelo de regresi´
on lineal es adecuado. En
caso positivo, d´e la expresi´
on matem´
atica que relaciona la concentraci´
on con el tiempo.
c) Estime el valor de la concentraci´
on a las 9 horas.
d) Calcule el coeficiente de correlaci´
on e interpr´etelo.
2.- Se ha medido el aclaramiento de creatinina en pacientes tratados con captopril tras la suspensi´
on
del tratamiento con di´
alisis, resultando los siguientes datos:
D´ıas tras la di´
alisis
1
5
10
15
20
25
35
Creatinina (mg/dl)
5, 7
5, 2
4, 8
4, 5
4, 2
4, 0
3, 8
a) Halle la expresi´
on de la ecuaci´
on lineal que mejor exprese la variaci´
on de la creatinina, en
funci´
on de los dias transcurridos tras la di´
alisis.
b) Calcule el coeficiente de correlaci´
on y estime a partir de su valor el grado de bondad del
ajuste.
c) ¿En qu´e porcentaje la variaci´
on de la creatinina es explicada por el tiempo transcurrido desde
la di´
alisis?
d) Si un individuo presenta 4,1 mg/dl de creatinina, ¿cu´
anto tiempo es de esperar que haya
transcurrido desde la suspensi´
on de la di´
alisis?
3.- En un ensayo cl´ınico realizado tras el posible efecto hipotensor de un f´
armaco, se eval´
ua la
tensi´
on arterial diast´
olica (TAD) en condiciones basales (X), y tras 4 semanas de tratamiento (Y),
en un total de 10 pacientes hipertensos. Se obtienen los siguientes valores de TAD:
X
95
100
102
104
100
98
96
100
110
99
Y
85
94
84
88
85
92
76
90
102
89
a) Utilizando el m´etodo de los m´ınimos cuadrados, obtenga la ecuaci´
on de la recta que expresa
la TAD tras el tratamiento en funci´
on de la TAD basal
b) ¿Cu´
al es el valor de TAD esperado tras el tratamiento en un paciente que present´
o una TAD
basal de 95 mm de Hg? ¿Cu´
anto vale el residuo de esta estimaci´
on?
4.- Se realiza un estudio para estimar la correlaci´
on entre la variable aleatoria X: valor de un cierto
´ındice de obesidad para cada individuo, y la variable aleatoria Y : tasa metab´
olica en reposo de
cada individuo. Se mide cada variable sobre 43 sujetos elegidos y se obtienen los siguientes valores:
P
P
P
x = 1482, 5
y = 10719
xy = 379207, 5
P 2
P 2
x = 53515, 25
y = 2736063
a) Obtenga la ecuaci´
on de la recta de regresi´
on de Y sobre X y estime la tasa metab´
olica en
reposo para un individuo cuyo ´ındice de obesidad es de 50.
b) Calcule el coeficiente de correlaci´
on e interpr´etelo.
5.- Se han realizado 9 tomas de presi´
on intracraneal en animales de laboratorio, por un m´etodo
est´
andar directo y por una nueva t´ecnica experimental indirecta, obteni´endose los resultados siguientes, en mm de Hg:
X
Y
9
6
12
10
28
27
72
67
30
25
38
35
76
75
26
27
52
53
a) Halle la ecuaci´
on lineal que exprese la relaci´
on existente entre las presiones intracraneales,
determinadas por los dos m´etodos.
b) ¿Qu´e tanto por ciento de la variabilidad de Y es explicada por la regresi´
on?
6.- Se quiere estudiar la asociaci´
on entre el consumo de sal (en gramos) y la tensi´
on arterial (en
mm de Hg). A una serie de voluntarios se les administra distintas dosis de sal en su dieta y se mide
su tensi´
on arterial un tiempo despu´es.
X (sal)
Y (tensi´
on)
1,8
2,2
3,5
4,0
4,3
5,0
100
98
110
110
112
120
a) Compruebe la idoneidad del modelo lineal de regresi´
on.
b) Obtenga la recta de regresi´
on que exprese la tensi´
on arterial en funci´
on de la cantidad de sal
ingerida.
c) Prediga la tensi´
on arterial de un individuo cuya dieta contiene 2,7 g de sal.
3. EJERCICIOS DE PROBABILIDAD
1.- La probabilidad de que una mujer viva dentro de 30 a˜
nos es 0,25 y la probabilidad de que viva su hijo es
0,9. Calcule la probabilidad de que al cabo de ese tiempo:
a) Ambos vivan.
b) S´
olo viva la madre.
c) S´
olo viva el hijo.
d) Al menos viva uno de los dos.
2.- Los quinientos individuos de una muestra se distribuyen en vacunados y no vacunados, y enfermos y no
enfermos, de acuerdo con la tabla:
Vacunados
No Vacunados
Total
Enfermos
42
96
138
No enfermos
243
119
362
Total
285
215
500
Si se elige un individuo de la muestra al azar:
a) ¿Cu´
al es la probabilidad de que est´e enfermo o haya sido vacunado?
b) Si el individuo elegido est´
a enfermo, ¿cu´
al es la probabilidad de que no haya sido vacunado?
3.- Sean dos sucesos A y B de los que se sabe que P (A) = 1/2, P (A ∪ B) = 3/4 y P (B) = 5/8. Calcule:
a)
P (A ∩ B)
P (A ∩ B)
P (A ∪ B)
P (B ∩ A)
b) ¿Son independientes los sucesos A y B? Justif´ıquelo.
4.- De un grupo de ni˜
nos considerados de alto riesgo, el 60% tiene bronquitis, el 70% tiene infecci´
on de
garganta y el 40% tiene ambas dolencias. Se escoge un ni˜
no al azar:
a) ¿Cu´
al es la probabilidad de que tenga bronquitis o infecci´
on de garganta?
b) ¿Cu´
al es la probabilidad de que no tenga bronquitis y no tenga infecci´
on de garganta?
c) Si tiene los bronquitis, ¿cu´
al es la probabilidad de que tenga infecci´
on de garganta?
d) Si tiene infecci´
on de garganta, ¿cu´
al es la probabilidad de que no tenga bronquitis?
5.- Los resultados de un estudio realizado en mil mujeres se recogen en la tabla siguiente:
Clasificaci´
on OMS
Normal
Osteopenia
Osteoporosis
Total
Menopausia
No
Si
189
280
108
359
6
58
303
697
Se elige una mujer al azar. Calcule la probabilidad de que:
a) Tenga osteopenia o tenga osteoporosis.
Total
469
467
64
100
c) Tenga osteoporosis o menopausia.
c) Pueda clasificarse como “normal”.
d) Siendo menop´
ausica, tenga osteoporosis.
¿Son independientes los sucesos “tener menopausia” y “tener osteoporosis”?
6.- En un estudio sobre alcoh´
olicos se informa de que el 40% de los mismos tiene padre alcoh´
olico y el 6%,
madre alcoh´
olica. El 42% tiene al menos uno de los padres alcoh´
olicos. Cu´
al es la probabilidad de que
elegido uno al azar:
a) Tenga el padre y la madre alcoh´
olicos.
b) Tenga madre alcoh´
olica si lo es el padre.
c) Tenga la madre alcoh´
olica pero no el padre alcoh´
olico.
d) Tenga la madre alcoh´
olica si el padre no es alcoh´
olico.
7.- De los sucesos dependientes A y B, se sabe que P (A ∩ B) = 0, 2; P (B|A) = 0, 5; P (A|B) = 0, 4. Calcule:
a) P (A), P (B) y P (A ∪ B).
b) P (A ∩ B) y P (A ∪ B).
8.- Un laboratorio farmac´eutico proyecta fabricar un f´
armaco, del cual ya existen en el mercado dos marcas
A y B. Se sabe que a la hora de comprar ese f´
armaco la marca A es elegida por el 30% de los consumidores,
la marca B por el 50% y el 10% compran A y B.
Para decidir si compensa el nuevo proyecto el laboratorio necesita conocer, para un comprador elegido al
azar, la probabilidad de que:
a) Compre al menos una de las dos marcas, A o B.
b) No compre ni A ni B.
c) Compre A, supuesto que tambi´en compra B.
d) No compre A, supuesto que tampoco compra B.
9.- El 1% de los individuos de una determinada poblaci´
on padece cierta enfermedad. Una prueba para
diagnosticarla da positiva en el 90% de los que la padecen y en el 5% de los que no la padecen. Se elige al
azar un individuo de la poblaci´
on:
a) Si se le somete a la prueba de diagn´
ostico, calcule la probabilidad de que ´esta sea positiva.
b) Supuesto que la prueba ha sido positiva, halle la probabilidad de que el individuo tenga la enfermedad.
c) Si se obtienen del individuo dos muestras de sangre y se aplica a ambas la prueba de diagn´
ostico
independientemente, calcule la probabilidad de que las dos den el mismo resultado.
10.- El 20% de los f´
armacos depositados en el almacen de un laboratorio est´
an en el l´ımite de su caducidad.
La probabilidad de que un f´
armaco de este tipo produzca los efectos deseados es del 40%, y la de que los
produzca un f´
armaco que no est´
a en dicho l´ımite es del 80%.
a) Se toma al azar un f´
armaco del almacen. Calcule la probabilidad de que produzca los efectos deseados.
b) Si un f´
armaco elegido al azar no produce los efectos deseados, ¿cu´
al es la probabilidad de que no se
encuentre en el l´ımite de su caducidad?
4. EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETAS
1.- Una asociaci´on de cardiolog´ıa afirma que solo el 10% de los adultos mayores de 30 a˜
nos
logran completar una prueba de esfuerzo f´ısico especialmente dise˜
nada para ellos. Se toman
al azar cuatro personas mayores de 30 a˜
nos y se someten a la prueba de esfuerzo. Calcule la
probabilidad de que:
a) Dos personas pasen la prueba.
b) Ninguna persona pase la prueba.
c) Una sola persona no pase la prueba.
d) M´as de una pero menos de cuatro personas pasen la prueba.
e) Una o m´as pero tres o menos, no pasen la prueba.
Si se toma una muestra de 50 personas, cu´al es la probabilidad de que al menos dos personas
pasen la prueba.
2.- La diabetes mellitus tipo 1 y la enfermedad cel´ıaca (EC) son alteraciones cr´onicas que
comparten susceptibilidad gen´etica, presencia de anticuerpos o´rgano espec´ıficos e influencia
de factores ambientales. Un estudio sobre este tipo de pacientes dio como resultado que el
6,4% de los diab´eticos tienen EC. Se desea saber:
a) Si se eligen ocho diab´eticos al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que m´as de uno de ellos
sea cel´ıaco?
b) Si se eligen cinco diab´eticos al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que exactamente el primero
y el u
´ltimo sean cel´ıacos y los dem´as no?
3.- Al secuenciar una prote´ına sintetizada “in vitro” se encuentra que est´a compuesta de alanina y leucina. Sabiendo que la alanina supone el 60% de los amino´acidos que la componen,
cu´al es la probabilidad de que:
a) Al menos cuatro de los cinco primeros amino´acidos de la cadena sean leucina.
b) Exactamente tres de los cinco primeros amino´acidos de la cadena sean alanina.
4.- Se supone que la probabilidad de tener un hijo albino en matrimonios normales portadores
del gen para el albinismo es 1/4. Calcule la probabilidad de que en una de estas familias,
compuesta por cinco hijo:
a) Ninguno sea albino.
b) Al menos uno sea albino.
c) Exactamente el primero y el tercero sean albinos y los dem´as no.
d) No m´as de dos sean albinos.
5.- Una determinada planta nuclear desprende una cantidad detectable de gases radiactivos,
un promedio de dos veces al mes.
a) Halle la probabilidad de que no se produzcan tales emisiones durante un per´ıodo de tres
meses.
b) Halle la probabilidad de que haya, como m´aximo, cuatro de tales emisiones durante ese
per´ıodo.
c) ¿Cu´al es el n´
umero esperado de emisiones durante tres meses? Si han sido detectadas 12
o m´as emisiones, ¿puede pensarse que habr´ıa que dudar del promedio de dos al mes?
6.- Tras una serie de an´alisis se determin´o que el n´
umero medio por cm3 de una cierta especie
de bacterias contenidas en el agua de un embalse es de 4.
a) ¿Cu´al es la distribuci´on de probabilidad del n´
umero de bacterias de esa especie en una
3
gota de agua que mide 1/10 cm ?
b) ¿Cu´al es la probabilidad de no encontrar ninguna bacteria de esa especie en una gota de
agua?
c) ¿Y la de encontrar al menos 2 bacterias?
7.- La probabilidad de que un individuo sufra una reacci´on por una inyecci´on de un determinado suero es de 0,001. Determine la probabilidad de que de un total de 2000 individuos
tengan reacci´on:
a) Exactamente tres.
b) M´as de dos individuos..
8.- Un agente de seguros vende p´olizas individuales contra cierto tipo de accidentes. Una
encuesta estima que a lo largo de un a˜
no cada persona tiene una posibilidad de cada mil de
ser v´ıctima de un accidente del tipo que cubre la p´oliza y que el agente podr´a vender una
media de cuatro mil p´olizas de seguros de este tipo al a˜
no. Se pide:
a) Probabilidad de que el n´
umero de accidentes no pase de cuatro.
b) N´
umero de accidentes esperados por a˜
no.
c) Probabilidad de que ocurran m´as de dos accidentes por a˜
no.
d) Probabilidad de que ocurran doce accidentes por a˜
no.
5. EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS
1.- Una especie de ranas pone entre 0 y 100 huevos en cada “puesta”. Se tiene una poblaci´on
de 380 ranas hembras y se sabe que la puesta de huevos sigue una distribuci´on normal de
media 55 y desviaci´on t´ıpica 10.
a) Calcule la probabilidad de que una rana ponga m´as de 50 huevos.
b) ¿Cu´antas ranas de las 380 cabe esperar que pongan entre 65 y 80 huevos?
c) Si se decide seleccionar al 5% de las ranas m´as ponedoras para la investigaci´on, ¿cu´al es
el m´ınimo n´
umero de huevos que debe poner una rana para ser seleccionada?
2.- En la observaci´on del n´
umero de gl´obulos rojos (en millones) de los habitantes de una
gran ciudad se observ´o que segu´ıan aproximadamente una distribuci´on normal de media 4,5
y desviaci´on t´ıpica 0,5. Se pide:
a) Probabilidad de que un habitante tomado al azar tenga m´as de cinco millones de gl´obulos
rojos.
b) Tanto por ciento de habitantes con menos de 3,75 millones.
c) N´
umero m´ınimo de gl´obulos rojos del 20 por ciento m´as alto de la ciudad.
d) N´
umero m´aximo de gl´obulos rojos del 10 por ciento m´as bajo de la ciudad.
3.- Un bi´ologo comprob´o que la probabilidad de que al inyectar a una rata un determinado
producto sobreviviera despu´es de una semana era de 0,5. Si el bi´ologo inyecta el producto a
un lote de cien ratas, se pide calcular la probabilidad de que vivan:
a) M´as de sesenta y cinco.
b) Entre cuarenta y sesenta.
c) Menos de treinta.
d) M´as de cuarenta y cinco. ¿Qu´e significa esta probabilidad?
4.- En una cierta prueba, el 35 por ciento de la poblaci´on examinada obtuvo una nota superior
a 6; el 25 por ciento, entre 4 y 6, y el 40 por ciento, inferior a 4. Suponiendo que las notas
siguen una distribuci´on normal, halle la nota media y la desviaci´on t´ıpica. ¿Qu´e porcentaje
de la poblaci´on tiene una nota que se diferencie de la media en menos de dos unidades?
5.- ¿Cu´al ser´ıa la probabilidad de que en 1000 tiradas de un dado salga el n´
umero 5, m´as de
150 veces y menos de 200?
6.- El di´ametro de una v´alvula card´ıaca en una especie animal se distribuye normalmente
con media de 3,5 mm y una desviaci´on t´ıpica de 0,04 mm.
a) ¿Cu´al es la proporci´on de v´alvulas con un di´ametro mayor de 3,425?
b) ¿Cu´al es la probabilidad de que una v´alvula tenga un di´ametro entre 3,4 y 3,6 mm?
c) ¿Cu´al es el valor del di´ametro m´ınimo por debajo del cual se encuentra el 20 por ciento
de las v´alvulas?
7.- Durante cierta epidemia de gripe, enferma el 30% de la poblaci´on. En un aula con 120
estudiantes, cu´al es la probabilidad de que:
a) Al menos 40 estudiantes padezcan la enfermedad.
b) Haya exactamente 50 estudiantes con gripe.
8.- Se fumiga una plantaci´on de zanahorias con un producto t´oxico. Se sabe que la cantidad
de producto que absorbe una zanahoria (en mg) es una variable aleatoria con distribuci´on
normal de media 4 y desviaci´on t´ıpica 1,5. Se considera que una zanahoria est´a contaminada
si ha absorbido m´as de 6 mg del producto t´oxico.
a) Calcule la probabilidad de que una zanahoria seleccionada al azar haya sido contaminada
en el proceso de fumigaci´on.
b) Si se seleccionan al azar 5 zanahorias, ¿cu´al es la probabilidad de que al menos dos de
ellas est´en contaminadas?
´ PUNTUAL Y POR INTERVALO
6. EJERCICIOS DE ESTIMACION
1.a) En una determinada marca de cigarrillos se efect´
ua un experimento para comprobar
el contenido en alquitr´an; a tal fin se prueban veinte cigarrillos elegidos al azar de lotes
diferentes. Se encuentran los siguientes datos muestrales para el contenido de alquitr´an:
x0 = 22 mg
s0 = 4 mg
Encuentre un intervalo de confianza del 90% para el contenido medio de alquitr´an en un
cigarrillo de la citada marca.
b) Se quiere conocer la permanencia media de pacientes en un hospital, con el fin de estudiar
una posible ampliaci´on del mismo. Se tienen datos referidos a la estancia expresada en d´ıas
de ochocientos pacientes, obteni´endose los siguientes resultados:
x = 8, 1 d´ıas
s = 9 d´ıas
Halle un intervalo de confianza del 95% para la estancia media.
2.- El porcentaje de calcio observado en dientes sanos de 10 individuos de una especie animal
es:
36,6
35,9
35,6
35,4
34,9
36,5
35,6
35,2
35,6
35,4
Se pide:
a) Intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje medio de calcio.
b) ¿Se podr´ıa aceptar que el porcentaje medio de calcio es igual a 36?
c) Intervalo de confianza del 95 % para la varianza de dicho porcentaje.
d) ¿Se podr´ıa aceptar que la varianza de dicho porcentaje es igual a 1,5?
3.- En una muestra de 28 virus se ha medido, mediante t´ecnicas de microscop´ıa electr´onica,
el di´ametro de la c´apside, resultando, de media, 12500 ˚
A con una desviaci´on t´ıpica de 2100
˚
A. El di´ametro se distribuye normalmente con media y desviaci´on t´ıpica desconocidas
a) D´e una estimaci´on puntual para la media y la varianza poblacionales.
b) Construya un intervalo de confianza del 95% para el tama˜
no medio del di´ametro de la
c´apside y otro para la desviaci´on tipica.
4.- En el estudio del c´ancer de pulm´on se considera que su tama˜
no es una variable aleatoria
con distribuci´on aproximadamente normal. Una muestra de ocho pacientes afectados ha
dado, en cent´ımetros, los resultados siguientes:
7,5
2,5
9,0
6,5
3,3
6,5
1,5
6,5
a) Determine un intervalo de confianza del 95% para el tama˜
no medio de este tipo de c´ancer.
b) Calcule un intervalo de confianza del 90% para la desviaci´on tipica del tama˜
no.
5.- Se desea estimar la proporci´on de j´ovenes que fuman regularmente. De 1000 j´ovenes
entrevistados, 200 fumaban regularmente.
a) Calcule una estimaci´on puntual para p.
b) Obtenga un intervalo de confianza del 99% para la proporci´on de j´ovenes que fuman regularmente. ¿Le sorprender´ıa leer en un art´ıculo que esta proporci´on es de 0,23? Justif´ıquelo.
6.- Un avance en el tratamiento del acn´e es el f´armaco a´cido cis-13-retinoico. En un reciente
estudio, se prob´o este f´armaco en 70 pacientes afectados de un acn´e bastante grave. En 60
de estos pacientes se produjo una limpieza radical de sus lesiones activas. Se pide:
a) Construya un intervalo de confianza del 99% para la proporci´on de pacientes sobre los
que el f´armaco ser´ıa eficaz.
b) ¿Se podr´ıa aceptar que el f´armaco ser´ıa eficaz en el 98% de los pacientes sobre los que se
aplique?
c) ¿Qu´e tama˜
no deber´ıa tener la muestra para que la proporci´on resultante de ella est´e dentro
de una distancia de 0,04 de la verdadera proporci´on, p, con una confianza del 99%?
7.- Un laboratorio farmac´eutico est´a interesado en comparar el tiempo que tarda en surtir
efecto un f´armaco nuevo con el del f´armaco que comercializa actualmente. Sobre dos muestras
independientes de 25 enfermos cada una, se estudia el tiempo que tardan en remitir los
s´ıntomas, resultando para el actual una media muestral de 18,21 horas con una cuasivarianza
muestral de 5,31 horas2 . Para el nuevo la media muestral ha sido de 16,82 horas, con una
cuasivarianza muestral de 4,05 horas2 .
Se supone que los tiempos de remisi´on de los s´ıntomas de ambos f´armacos tienen distribuciones normales independientes.
a) Determine un intervalo de confianza para la diferencia de los tiempos medios de remisi´on
de los s´ıntomas, con un nivel de confianza del 95%.
b) ¿Es significativa la diferencia? Justif´ıquelo.
8.- En un estudio de angina de pecho en ratas, se dividi´o aleatoriamente a 18 animales
afectados, en dos grupos de 9 individuos cada uno. A un grupo se le suministr´o un placebo y
al otro el f´armaco experimental FL113. Despu´es de un ejercicio controlado sobre una rueda
de andar, se determin´o el tiempo de recuperaci´on de cada rata. Se piensa que el FL113
reducir´a el tiempo medio de recuperaci´on. Se dispone de la siguiente informaci´on:
Placebo
x1 = 329 segundos
s1 = 45 segundos
n1 = 9
FL113
x2 = 238 segundos
s2 = 43 segundos
n2 = 9
a) Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de los tiempos medios de
recuperaci´on de las ratas que recibieron placebo y las que recibieron el FL113.
b) ¿Es cierta la suposici´on de que el FL113 reducir´a el tiempo medio de recuperaci´on?
Justif´ıquelo.
9.- Se est´a haciendo un estudio sobre hipertensi´on. De una ciudad se toma una muestra
de trece pacientes y de otra ciudad se toma otra muestra de diecis´eis pacientes. Los datos
obtenidos son los siguientes:
x1 = 166 mm.
x2 = 164,7 mm.
s1 = 28 mm.
s2 = 7 mm.
Determine un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias, bajo la hip´otesis
de normalidad de los datos.
10.- Se inoculan dos organismos aislados durante dos epidemias distintas, a dos muestras
diferentes obtenidas de la misma poblaci´on. A las dos semanas enferma el 68,5% de las 200
pruebas realizadas con el primer organismo, y el 65,3% de las 150 pruebas efectuadas para
el segundo caso.
Halle un intervalo de confianza del 95% de esta diferencia de proporciones encontradas.
11.- Se supone que en una determinada raza de ganado vacuno los terneros aumentan 12 kg
de peso por cada dos semanas, en los primeros meses de vida. Para comprobarlo se midi´o
el peso de ocho terneros al cumplir las cuatro semanas, y posteriormente dos semanas m´as
tarde, con el siguiente resultado:
Ternero
Peso (4 semanas)
Peso (6 semanas)
1
130
138
2
125
140
3
128
139
4
127
141
5
129
137
6
123
137
7
131
142
8
130
142
Compruebe si la suposici´on es cierta calculando un intervalo de confianza del 95% para la
diferencia media de peso. Se considera que el peso se distribuye de forma aproximadamente
normal.
12.- El tratamiento anticoagulante por v´ıa oral se realiza con dicumar´ınicos. Se midi´o
el porcentaje de nivel de protrombina (que determina el grado de coagulaci´on) a nueve
pacientes, antes y despu´es del tratamiento con dicho f´armaco y se obtuvieron los siguientes
resultados:
Antes
95 85 77 100 92 67 81 94 99
Despu´es 40 37 28 49
37 21 45 52 37
a) Calcule un intervalo del 95% para la diferencia entre los porcentajes medios de actividad
de protrombina antes y despu´es del tratamiento.
b) ¿Se puede afirmar que con este tratamiento el porcentaje medio puede llegar a disminuir
en 53 puntos?
c) ¿Cu´antos pacientes deben ser estudiados para que la amplitud del intervalo de confianza
se reduzca a la tercera parte?
13.- Se sospecha que la concentraci´on de sulfonato de perfluorooctano (PFOS) en la sangre
de las personas de una cierta regi´on est´a aumentando con el tiempo. A ocho personas del
lugar, elegidas aleatoriamente, se les midi´o la concentraci´on de PFOS en el plasma en 1979
y en 1986, con los siguientes resultados:
Sujeto
1
2
3
4
5
6
7
8
PFOS (ng/mL) 1979
28,2
31,6
30,1
27,9
28,8
30,1
32,1
30,9
PFOS (ng/mL) 1986
30,6
31,9
32,8
30,8
33,7
29,8
33,6
30,4
Suponiendo que la concentraci´on de sulfonato de perfluorooctano (PFOS) en la sangre tiene
una distribuci´on normal, se pide:
a) Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las concentraciones
medias de PFOS en sangre entre 1986 y 1979.
b) ¿Ser´ıa admisible afirmar, al nivel de confianza anterior, que la concentracion de PFOS en
sangre ha aumentado en el per´ıodo de tiempo estudiado? Justif´ıquelo.
´
7. EJERCICIOS DE CONTRASTES DE HIPOTESIS
1.- Un fabricante garantiza a un laboratorio farmac´eutico que sus m´aquinas producen comprimidos con un di´ametro medio de 13 mm y una desviaci´on t´ıpica de 0,6 mm. Una muestra
de 100 unidades dio como media de los di´ametros 13,12 mm. ¿Cabe esperar, a partir de este
dato, que el fabricante dice la verdad, a un nivel de significaci´on del 5%?
2.- Normalmente las hojas de la mimosa p´
udica son horizontales. Si se toca ligeramente una
de ellas, las hojas se pliegan. Se afirma que el tiempo medio de contacto hasta el cierre
completo es de 2,5 segundos.
Se realiza un experimento midiendo el tiempo transcurrido, en segundos, entre el contacto
y el cierre completo con los siguientes resultados
3,0
2,9
2,8
2,7
2,6
2,4
2,5
2,4
2,6
2,7
¿Puede aceptarse la hip´otesis del enunciado con un nivel de significaci´on de 0,10?
3.- Un f´armaco alivia cierta dolencia en el 60% de los casos. Se toma una muestra de 144
personas que sufren esa dolencia y se les hace tomar un nuevo f´armaco, encontrando alivio
100 de ellas. ¿Se puede afirmar al nivel del 5% que el nuevo medicamento es m´as efectivo
que el antiguo?
4.- Un microbi´ologo quiere obtener placas para preparaciones microsc´opicas de espesor uniforme. Un proveedor afirma que sus placas tienen una varianza menor de 0,0158 micron 2.
Utilizando un micr´ometro sensible, el laboratorio toma al azar una muestra de 30 placas con
una cuasivarianza muestral resultante de s2 = 0, 0213 micron2. ¿Es compatible con dicho
resultado la pretensi´on del proveedor a un nivel de significaci´on del 5%?
5.- El contenido medio en prote´ınas del tejido muscular estriado en un an´alisis de 25 animales
de cierta raza de ganado vacuno es de 14 g por cada 100 g de tejido, con una cuasidesviaci´on
t´ıpica de 2 g, mientras que para el mismo n´
umero de animales de otra raza es de 14,5 g con
una cuasidesviaci´on t´ıpica de 3 g. Compruebe si las varianzas son iguales con una confianza
del 95%, suponiendo que la distribuci´on del contenido en prote´ınas es aproximadamente
normal.
6.- En la leucemia mielobl´astica, usualmente se trata al paciente intensamente con quimioterapia en el momento del diagn´ostico. Esto ha producido una tasa de remisi´on del 70%.
Probando un nuevo m´etodo de tratamiento se utilizaron 50 voluntarios. ¿Cu´antos de los
pacientes deber´ıan haber remitido para que los investigadores pudiesen afirmar al nivel de
significaci´on 0, 025 que el nuevo m´etodo produce remisiones m´as altas que el antiguo?
7.- Se hizo un muestreo en dos municipios para averiguar su opini´on sobre la fluoraci´on del
agua potable antes de iniciar la campa˜
na. Los resultados de estas encuestas (siendo p la
proporci´on favorable) fueron
n1 = 110
n2 = 75
Municipio 1
Municipio 2
p1 = 0, 52
p2 = 0, 55
¿Podr´ıa afirmarse que los dos municipios tienen iguales proporciones de partidarios de la
fluoraci´on?
8.- Una muestra de 200 bombillas de la marca A dio una vida media de funcionamiento de
2280 horas, con desviaci´on t´ıpica de 80 horas. Otra muestra de 180 bombillas de la marca
B dio de vida media 2320 horas, con desviaci´on t´ıpica 100 horas. ¿Se puede afirmar, al nivel
0,01, que es mayor la vida media de las bombillas de la marca B?
9.- Se desea averiguar si la aspirina y un producto de comparaci´on son igualmente eficaces
para el alivio de los s´ıntomas de influenza. Se registran los tiempos, en minutos, desde la
toma de la medicina hasta cuando el paciente declara sentirse mejor, y los resultados son:
X 1 = 15, 2
X 2 = 13, 4
Aspirina
Producto de comparaci´on
s1 = 8, 7
s2 = 6, 9
n1 = 10
n2 = 20
Contraste la hip´otesis al nivel del 5%
10.- Las velocidades de difusi´on del bi´oxido de carbono a trav´es de suelos de porosidades
diferentes son:
Suelo fino
Suelo poroso
20
19
27
30
22
32
23
28
23
15
28
26
23
35
26
18
22
25
26
35
20
19
22
Compruebe si puede afirmarse que son diferentes al nivel de significaci´on del 5% (Se supone
que la distribuci´on es normal).
11.- En un reciente estudio de lesiones de rodilla entre jugadores de f´
utbol que juegan sobre
c´esped, se compararon dos tipos de calzados. En 266 jugadores que calzaban zapatos de
f´
utbol multiabrazados, se presentaron 14 lesiones de rodilla. De 2055 jugadores que calzaban
botas de f´
utbol convencionales, se encontraron 162 de tales lesiones. ¿Se puede afirmar al
nivel del 0,05 que la probabilidad de sufrir una lesi´on de rodilla cuando se calzan botas
convencionales es m´as alta que la de sufrirla con zapatos multiabrazados? ¿Y al nivel de
0,01?
12.- Se ha realizado un estudio para comparar la concentraci´on de plomo en el agua de dos
casas.Los datos de las muestras son:
Casa 1:
Casa 2:
n1 = 25
n2 = 25
X 1 = 390 ppb
X 2 = 10 ppb
s1 = 217, 5 ppb
s2 = 5 ppb
13.- Se efect´
ua un estudio sobre el color de los escarabajos tigre para conseguir pruebas que
apoyen el argumento de que la proporci´on de escarabajos negros puede variar de un lugar a
otro. En una muestra de 500 escarabajos capturados en una extensi´on pr´oxima a Providence,
Rhode Island, 95 eran negros. Una captura de 112 escarabajos en Aqueduct, Nueva York,
conten´ıa 17 individuos negros.
a) Plantee la hip´otesis nula y la hip´otesis alternativa del contraste de hip´otesis adecuado.
b) Calcule el valor del estad´ıstico del contraste.
c) Indique la conclusion del contraste, al nivel de significaci´on del 5%.
14.- En un estudio para investigar el efecto del ejercicio f´ısico en el nivel de colesterol en
plasma, han participado once individuos. Previo al ejercicio, se tomaron muestras de sangre
para determinar el nivel del colesterol de cada participante. Despu´es, los individuos fueron
sometidos a un programa de ejercicios que se centraba en carreras y marchas diarias. Al
final del periodo de ejercicios, se tomaron nuevamente muestras de sangre y se obtuvo una
segunda lectura del nivel de colesterol en plasma. Los resultados fueron los siguientes:
Individuo
1
Nivel previo (mg/dl)
182
Nivel posterior (mg/dl) 198
2
232
210
3
191
194
4
200
220
5
148
138
6
249
220
7
276
219
8
213
161
9
241
210
10
480
313
11
262
226
¿Se puede concluir de los datos anteriores, al nivel de significaci´on del 5%, que el ejercicio
f´ısico rebaja el nivel de colesterol de quienes lo practican? Justif´ıquelo.