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OLG - Equilibrio Competitivo
Ahorro e Inversion
Macroeconomia Monetaria y Financiera
UC3M
Spring, 2015
Hoy
• Vamos a estudiar como es posible buscar el equilibrio del
modelo de generaciones superpuestas en una economiade
mercado, es decir, cuando el planificador benevolente no existe y
los agentes actuan maximizando utilidad y observando precios
• Definimos la notacion, asignaciones y preferencias
• El objeto que estudiaremos es el de equilibrio competitivo
• Economia de propiedad privada
Dotaciones e intercambio
• Suponga que cada agente recibe las siguientes dotaciones
ωt = [ωt (t), ωt (t + 1)]
• El producto total en el periodo t viene dado por
Y ( t ) = N ( t ) × ωt ( t ) + N ( t − 1 ) × ωt−1 ( t )
• Importante: ahora tenemos propiedad privada, la propiedad
privada implica capacidad de realizar transacciones
Dotaciones e intercambio
• Supongamos que existen los prestamos entre agentes (libres de
riesgo)
• l(t) es la cantidad de bienes prestados por un agente en el
periodo t
• Si l(t) < 0 decimos que el agente esta tomando prestado, es un
deudor
• Definimos r(t) como la tasa de interes real bruta
• Comercio Intra-generacional vs comercio Inter-generacional
Restriccion presupuestaria
• Restriccion presupuestaria cundo joven
ct ( t ) ≤ ω t ( t ) − l ( t )
• Restriccion presupuestaria cuando viejo
ct ( t + 1 ) ≤ ω t ( t + 1 ) + r ( t ) l ( t )
• Intertemporal
ct ( t ) +
ct ( t + 1 )
ωt ( t + 1 )
≤ ωt ( t ) +
r(t)
r(t)
Restriccion presupuestaria
ct(t+1)
slope = -r(t)
ω
ωt(t+1)
0
ω (t)
t
Figura: Restriccion
presupuestaria
ct(t)
Restriccion presupuestaria
ct (t) +
ct (t + 1)
ωt ( t + 1 )
≤ ωt ( t ) +
r(t)
r(t)
• La restriccion presupuestaria pasa por el punto de la dotacion
• Del lado derecho tenemos ωt (t) +
ωt ( t + 1 )
,
r(t)
que es la riqueza del
agente (medida en valor presente)
• Riqueza intertemporal! Es una medida del ingreso del agente
sobre toda su vida
• No es la suma de las dotaciones, hay que evaluar todo en
terminos de valor presente
Restriccion presupuestaria
• Suponga que tenemos 1 bien. Que podemos hacer con ese bien?
• Opcion 1: consumirlo
• Opcion 2: ahorrarlo. Una forma de ahorrarlo es depositarlo en el
banco a una tasa de interes bruta real de r > 1
• Si elegimos la opcion 2, mañana tendremos 1 × r.
• Entonces, cual es el valor presente de 1 bien manana?
´
• Es la cantidad de bienes que tenemos que depositar hoy para
tener un bien mañana. Si queremos 1 bien mañana, tenemos que
ahorrar
1
r
bienes hoy
Restriccion presupuestaria
• La restriccion de presupuesto intertemporal implica que el valor
presente del consumo tiene que ser menor o igual que la riqueza
de toda la vida
• Si la riqueza aumenta, el agente estará menos restringido
• La demanda de algunos bienes aumenta con la riqueza (bienes
normales), pero la demanda de otros bienes cae cuando aumenta
la riqueza (bienes inferiores)
Decisiones de Consumo
• Cada agente elige una cesta de consumo
ct = [ct (t), ct (t + 1)]
• Maximización de la utilidad
Ut [ct (t), ct (t + 1)]
• que tiene las propiedades descritas en la clase anterior
• Sujeta a la restriccion presupuestaria intertemporal
Restriccion presupuestaria y
Preferencias
ct(t+1)
ω
ωt(t+1)
ωt(t)
ct(t)
Decisiones de Consumo
• Podemos reemplazar la restriccion en la funcion de utilidad
Ut [ct (t), r(t)ωt (t) + ωt (t + 1) − r(t)ct (t)]
• Sabemos que en el óptimo,
∂ut
=0
∂ct (t)
• Entonces
∂ut
∂ut
∂ut
:
+
r(t)(−1) = 0
∂ct (t) ∂ct (t) ∂ct (t + 1)
Decisiones de Consumo
• Es decir
r(t) =
∂ut
∂ct (t)
∂ut
∂ct (t+1)
• Esta condicion implica tangencia entre la restriccion
presupuestaria y las curvas de indiferencia
• En el óptimo, la tasa a la cual los agentes sustituyen bienes
intertemporalmente, tiene que ser igual a la tasa a la cual el
mercado sustituye bienes intertemporalmente
• Entonces ct (t) = χt (r(t), ωt (t), ωt (t + 1))
Decisiones de Consumo
Ahorro agregado
• Los ahorros individuales son
st (r(t)) = ωt (t) − χt (r(t), ωt (t), ωt (t + 1))
• Podemos sumarlos para obtener los ahorros agregados
St (r(t)) = N (t) × ωt (t) − N (t) × χt (r(t), ωt (t), ωt (t + 1))
Equilibrio Competitivo
• Un equilibrio competitivo es un conjunto de precios y cantidades
que satisfacen las siguientes condiciones
1
Las cantidades que son relevantes para un agente en particular,
maximizan la utilidad de ese individuo en el conjunto de todas las
cantidades disponibles dados los precios y las dotaciones
2
Las cantidades vacian los mercados para todos los periodos t
• Por que es importante definir el equilibrio?
Equilibrio Competitivo
• El unico precio que nos importa por ahora es el del consumo
intertemporal r(t), las dotaciones tambien estan dadas
• El comportamiento de optimizacion se expresa en terminos de
ahorro o prestamos
• Los precios de equilibrio son aquellos que hacen que la oferta y
la demanda se igualen en cada mercado (esto quiere decir que
los mercados se vacien)
• Sólo tenemos 2 mercados, prestamos y bienes
• Equilibrio en el mercado de bienes implica
N (t) × ct (t) + N (t − 1) × ct−1 (t) = Y(t) = N (t) × ωt (t) + N (t − 1) × ωt−1 (t)
Equilibrio Competitivo
• Ahora, veamos quien comercia con quien
• Los viejos y los jovenes no tienen razon para comerciar en un
periodo dado, ellos tienen el mismo bien
• No comerciaran intertemporalmente
• Solo el comercio potencial entre jovenes del mismo periodo
• Sumemos las restricciones de presupuesto de los miembros de
una generacion
N (t) × ct (t) = N (t) × ωt (t) + N (t) × l(t)
• Todos los prestamos ocurren entre jovenes, entonces N (t) × l(t) = 0
• Si todos los jovenes son iguales, eso quiere decir que l(t) = 0! No hay
prestamos en equilibrio!
Equilibrio Competitivo
• Then
N (t) × ct (t) = N (t) × ωt (t)
• que implica que
N (t) × χt (r(t), ωt (t), ωt (t + 1)) = N (t) × ωt (t)
• Recuerde que
St (r(t)) = N (t) × ωt (t) − N (t) × χt (r(t), ωt (t), ωt (t + 1)) = 0
• Si todos son iguales, no hay intercambio en equilibrio
• Las tasas de interes se tienen que ajustar de forma tal que los
agentes quieran consumir sus dotaciones!
Modelo de generaciones superpuestas
Highlights
• Restriccion presupuestaria intertemporal y valor presente
• Que determina los deseos de ahorro e inversion?
• Si los agentes no tienen forma de ahorrar pero tienen acceso al
mercado, los precios se tienen que acomodar para que los
individuos esten felices con sus opciones
• Si todos son iguales, el ahorro agregado es 0 asi como tambien el
ahorro individual
• Introducir dinero, puede ampliar las opciones de los agentes
Modelo de generaciones superpuestas
References (Mandatory)
• Champ, B., Freeman, S., Haslag, J., 2011. Modeling monetary
economies. Cambridge University Press. (Ch1 - Ch15)
• Wallace and McCandless, 1992. Introduction to Dynamics
Macroeconomic Theory. Harvard University Press. (Ch2)