Ecuación de Laplace. Introducción. Las ecuaciones

Ecuación de Laplace.
Introducción.
Las ecuaciones elípticas se obtienen, en general, cuando se estudian procesos
estacionarios. La ecuación de este tipo que aparece más frecuentemente es la
ecuación de Laplace, cuya expresión general es:
∆u = 0
donde ∆ representa el operador Laplaciano.
Por ejemplo, si se considera un campo térmico estacionario, puesto que,
como la ecuación de conducción del calor es
ut = ∆u
y, en este caso, la distribución de temperatura no varía con el tiempo, ésta
satisface la ecuación de Laplace.
Si se considera la presencia de fuentes de calor externas, se obtiene la
ecuación
∆u = A
donde A representa la densidad de las fuentes térmicas. La ecuación no homogénea
de Laplace se suele llamar ecuación de Poisson.
Otra clase de problemas en los que la ecuación de Laplace juega un papel
importante es el relacionado con los campos vectoriales que derivan de un potencial
(electro-magnético, gravitatorio, etc.). En estos casos, si en la región donde se
quiere obtener el potencial no hay fuentes de campo, éste verifica la ecuación de
Laplace. Si por el contrario, existe una cierta densidad de éstas, el potencial verifica
la correspondiente ecuación de Poisson.
Así pués la ecuación de Laplace describe siempre procesos estacionarios en
los que el tiempo no es una de las variables independientes. Esto significa, que el
tipo de problemas que se considera para esta ecuación no va a incluir condiciones
iniciales, lo que provocará que la estructura de las soluciones que encontraremos
sea distinta a la que presentan las ecuaciones de ondas y difusión tratadas en los
dos temas precedentes. Consideraremos solamente problemas definidos en un
cierto dominio Ω con ciertas condiciones de contorno dadas sobre su frontera que
podemos agrupar en tres clases:
Condiciones de Dirichlet: El problema de Dirichlet para la ecuación de
Laplace en un recinto, consiste en encontrar las soluciones que toman un valor
prefijado en la frontera:
u
=f
∂Ω
Condiciones de Neumann: El problema de Neumann para la ecuación de
Laplace en un recinto, es el de encontrar las soluciones tales que su derivada según
la normal exterior a la frontera toma un valor prefijado:
∂u
=f
∂n ∂Ω
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El problema de Robin para la ecuación de Laplace en un recinto, es de
carácter mixto, pues consiste en encontrar las soluciones que en la frontera
verifican:
∂u 

= f, donde h ∈ R
u + h ⋅

∂n  ∂ Ω

En este capítulo nos centraremos, esencialmente, en los problemas de
Dirichlet para las ecuaciones de Laplace y Poisson, aunque los métodos que se
utilizarán para su resolución serán también válidos para otras ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales en las que de nuevo el operador Laplaciano
juega un papel importante, como son, por ejemplo la ecuación de Schrödinger:
ih
h2
ut = −
∆u + Vu
2•π
8π2m
que es esencial en la descripción mecanocuántica de diferentes sistemas físicos y
en la ecuación de Helmotz:
∆u + λ u = 0
que aparece al separar variables en la ecuación de ondas y de difusión, cuando se
consideran dominios bidimensionales.
FUNCIONES
ARMÓNICAS:
PRINCIPIO
DE
ESTABILIDAD DEL PROBLEMA DE DIRICHLET.
MAXIMO.UNICIDAD
Y
Definición. Una función u se dice armónica en una región Ω si u ∈ C(2 )(Ω) y,
además verifica: ∆u = 0
Empezamos este apartado enunciando una propiedad de las funciones
armónicas que nos permitirá, posteriormente, establecer la unicidad y estabilidad
de la solución para el problema de Dirichlet:
∆u = 0
u
=f
∂Ω
Definición. Principio de máximo.
Sea u una función armónica en un dominio bidimensional acotado Ω que,
además, es continua en Ω = Ω ∪ ∂Ω . Entonces, u alcanza su valor máximo en ∂Ω .
Principio de mínimo.
Sea u una función armónica en un dominio bidimensional acotado Ω que
además es continua en Ω = Ω ∪ ∂Ω . Entonces, u alcanza su valor mínimo en ∂Ω .
Proposición. La solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en
un recinto bidimensional Ω, si existe, es única.
DEMOSTRACIÓN. Sean u1 yu2 dos soluciones del problema de Dirichlet. Se tendrá
entonces:
∆u1 = ∆u 2 = 0
u1
= u2
=f
∂Ω
∂Ω
Ahora bien, si u1 yu2 son armónicas en Ω también lo es la función w = u1 − u2
puesto que el operador Laplaciano es lineal. En estas condiciones, obviamente se
tiene w ∂ Ω = 0 , lo que nos permite afirmar, en virtud del principio del máximo y del
mínimo que w=0 en Ω y, por tanto:
u1 = u2
lo que establece la unicidad.
Proposición. La solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en
un recinto acotado bidimensional Ω, si existe, es estable.
DEMOSTRACIÓN: Sean v 1 y v 2 funciones armónicas en un recinto Ω y tales que:
v1
= f1
∂Ω
v2
∂Ω
= f2
Consideremos la función w = v1 − v2 que es también armónica en Ω y además
verifica:
w
= f1 − f2
∂Ω
Entonces, si consideramos la norma del supremo
f1 − f2 = xmáx
( , y )∈ ∂Ω f1(x, y) − f2(x, y)
según el principio del máximo y del mínimo se tendrá:
máx
mín
(x, y )∈Ω w(x, y) ≤ f1 − f2 ; ( x, y )∈ Ω w(x, y) ≥ − f1 − f2
es decir:
w(x, y) ≤ f1 − f2 ,(x, y) ∈ Ω
Por tanto:
v1(x, y) − v2(x, y) ≤ f1 − f2 ,(x, y) ∈ Ω
de donde sigue la estabilidad, pues ha quedado demostrado que pequeñas
variaciones en las condiciones, producen variaciones también pequeñas en la
solución.
Establecidos estos resultados sobre la unicidad y estabilidad de solución al
problema de Dirichlet, daremos a continuación una propiedad de las funciones
armónicas que se deduce de la proposición anterior y que nos será de gran utilidad
cuando en los apartados posteriores, se aborden cuestiones de convergencia
encaminadas a demostrar la existencia de esta solución.
Propiedad. Sea (un )n∈N una sucesión de funciones armónicas en un recinto Ω y
continuas en Ω . Sean fn (n ∈ N) , funciones tales que:
un
= fn
∂Ω
En estas condiciones, si
fn → f uniformemente en ∂Ω
entonces
un → u uniformemente en ∂Ω
DEMOSTRACIÓN. Por hipótesis f n → f uniformemente en ∂Ω. Por definición, esto
significa que:
Dado ε ∈ R + ,∃N ∈ Ntal que si n, m > N , fn − fm < ε
De la proposición de estabilidad, deducimos entonces que para n,m > N,
un − um < ε
luego la sucesión (un )n∈N es una sucesión de Cauchy y, por tanto, convergente.
ECUACIÓN DE LAPLACE EN UN CÍRCULO
Resolución mediante separación de variables.
Consideremos el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en un círculo de
centro el origen (lo que no resta generalidad a los resultado que se obtengan) y
radio a.La formulación matemática de este problema es:
∆u = 0;0 ≤ r < a;0 ≤ θ < 2 ⋅ π
u(a, θ) = f(θ)
donde es necesario añadir una condición de regularidad en el origen que está
contenido en el dominio que se considera; así pues:
lim u(r, θ) < ∞
r →0
Por otra parte, para utilizar el procedimiento de separación de variables es
necesario utilizar coordenadas polares, en las que el Laplaciano tiene por
expresión:
1
1
∆u = urr + ⋅ ur +
⋅ u θθ
2
r
r
Además, el uso de estas coordenadas exige que la solución verifique las condiciones
adicionales:
u(r,0) = u(r,2π)
u θ (r,0) = u θ (r,2π)
pues los valores θ = 0 y θ = 2·π corresponden a la misma parte del dominio que
estamos considerando (el intervalo [0,a] del eje de abscisas) y la solución debe ser
de clase C 2 en el círculo. Estas condiciones se denominan condiciones de
periodicidad.
Con todos estos datos, la formulación completa del problema de Dirichlet en
un círculo de radio a y centro el origen es:
∆u = 0;0 ≤ r < a;0 < θ < 2π
u(a, θ) = f(θ); lim u(r, θ) < ∞
r →0
u(r,0 ) = u(r,2 π) 
0 ≤ r < a
uθ (r,0 ) = uθ (r,2π )
Para resolver este problema utilizamos el procedimiento de separación de variables.
Suponiendo como solución u(r , θ ) = M(r ) ⋅ N(θ ) , sustituyendo en ∆u = 0 se obtiene
1
1
M′′ ⋅ N + ⋅ M′ ⋅ N +
⋅ M ⋅ N′′ = 0
r
r2
si dividimos por ella
M′′ 1 M′ 1 N′′
+ ⋅
+
⋅
=0
M r M r2 N
en definitiva
M′′
M′
N′′
r2 ⋅
+r ⋅
=−
= −λ
M
M
N
por lo que las funciones M(r) y N(θ) deben verificar las ecuaciones
r2 ⋅ M′′(r) + r ⋅ M′(r) + λ ⋅ M(r) = 0
N′′(θ) = λ ⋅ N(θ)
Como las condiciones de frontera para la variable r no son homogéneas, utilizamos
la función N(θ) para definir el problema de autovalores necesario. Se tiene:
u(r,0) = u(r,2π) ⇒ M(r) ⋅ [N(0) − N(2π)] = 0 ⇒ N(0) = N(2π)
u θ (r,0 ) = uθ (r,2 π) ⇒ M(r) ⋅ [N′(0) − N′(2π)] = 0 ⇒ N′(0) = N′(2 π)
y por tanto, N(θ) debe ser solución del problema de autovalores:
N′′(θ) = λ ⋅ N(θ)

N(0) = N(2 π)
N′(0) = N′(2 π)
que es un problema regular periódico. Las soluciones de este problema son:
N0 (θ) = 1

(1)
2
Nn (θ) = cos(n ⋅ θ )λn = −n , n ∈ N + {0}
(2)
Nn (θ) = sin(n ⋅ θ )
Nótese que en este caso, solamente el autovalor nulo tiene asociada una única
autofunción, mientras que para los restantes existen dos. Esta es una de las
características que diferencian los problemas regulares de Sturm-Liouville de los
periódicos.
Encontrados los autovalores y las autofunciones, proseguimos con el método
de separación de variables. Sustituyendo los valores de λ n = − n 2 en la ecuación
satisfecha por M(r) se obtiene la colección de ecuaciones ordinarias:
∀n ∈ N + {0},r 2M′n′ (r) + rM′n (r) − n2 Mn (r) = 0
La solución general de la ecuación correspondiente a n=0 se obtiene de forma
inmediata integrando dos veces consecutivas y es:
M0(r) = C0 + D0 ln r
mientras que las restantes para n∈N son ecuaciones de Euler que tiene por solució:
∀n ∈ N,M n (r) = Cnr n + D nr − n
donde se ha escrito M n indicando que hay una solución para cada uno de los
valores de n ∈ N .
Entonces es claro que cada uno de los productos:
(C 0 + D 0 ln r ), Enrn + Fnr − n ⋅ sin(n ⋅ θ ), Cnr n + Dnr −n ⋅ cos(n ⋅ θ)
es solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales y además verifica las
condiciones de periodicidad. Construimos ahora la solución mediante la serie
formal:
(
)
1
u(r, θ) = ⋅ (C 0 + D 0 ln r ) +
2
(
)
∞
∑ (Cnr n + Dnr −n ) ⋅ cos(n ⋅ θ) +
n =1
∞
+
(Enr n + Fnr −n ) ⋅ sin(n ⋅ θ)
∑
n =1
donde las constantes arbitrarias Cn , Dn, En, Fn (n ∈ N) se determinan a partir de las
condiciones de contorno de la siguiente forma:
D 0 = 0

lim u(r, θ) < ∞ ⇒ Dn = 0,n ∈ N
r →0
F = 0,n ∈ N
 n
C
u(a, θ) = f(θ) = 0 +
2
∞
Cn a
∑
n=1
n
⋅ cos(n ⋅ θ ) +
∞
En an ⋅ sin(n ⋅ θ ) ⇒
∑
n=1

1 2π
C
=
f(s)ds

0
π
0


a −n 2π
−n
⇒ Cn =
f(s) cos(ns )ds = a c n
π 0


a − n 2π
f(s) sin(ns )ds = a − n dn
 En =
π 0

Sustituyendo estos valores en la solución se obtiene finalmente la representación
formal de la solución al problema de que proporciona el método de separación de
variables:
∫
∫
∫
C
u(r, θ) = 0 +
2
∞
∑
n
r 
  ⋅ [c n cos(nθ ) + dn sin(nθ )]
 a
n=1
ECUACIÓN DE LAPLACE EN UN RECTÁNGULO.
El problema de Dirichlet para las funciones armónicas en un recángulo se
puede formular matemáticamente en la forma:
∆u = 0,0 < x < a;0 < y < b
u(0, y) = f1(y);u(a, y ) = f2 (y);0 < y < b
u(x ,0) = f3 (x );u(x, b ) = f4 (x);0 < x < a
Como en este problema ninguna de las condiciones de frontera es homogénea, para
abordar su resolución separando variables lo descomponemos en dos de modo que
cada uno de ellos posea condiciones homogéneas en una de las variables.
1.- Condiciones de forntera homogéneas en la variable x:
∆uI = 0,0 < x < a;0 < y < b
uI (0, y ) = 0;uI (a, y ) = 0;0 < y < b
uI (x ,0) = f3 (x );uI (x, b ) = f4 (x);0 < x < a
2.- Condiciones de frontera homogéneas en la variable y:
∆uII = 0,0 < x < a;0 < y < b
uII (0 , y ) = f1 (y);uII (a, y ) = f2 (y);0 < y < b
uII (x ,0 ) = 0;uII (x, b ) = 0;0 < x < a
Estos problemas se resuelven mediante separación de variables y, obtenida la
solución de ambos es claro que la suma es la solución del problema de partida.
Describiremos el procedimiento para uno de los casos. El otro se trata de
forma absolutamente equivalente.
Consideramos el problema 1. Suponiendo la solución en la forma
uI(x, y) = M(x ) • N(y )
para M(x) y N(y) se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales:
M′′(x) = −λM(x)
N′′(y) − λN(y) = 0
Exigiendo que M(x) verifique las condiciones de frontera homogéneas, esta función
debe ser solución del problema de Sturm-Liouville:
M′′(x) = −λM(x)
M(0) = M( a) = 0
Es decir:
 nπ

n2 π2
Mn (x) = sin
⋅ x ; λn =
,n ∈ N
 a

a2
Sustituyendo los valores de λ n en la ecuación que satisface N(y), resulta:
N′′(y) −
n2π2
a2
cuyas soluciones son:
N(y) = 0
 nπy 
 n πy 
Nn (y) = C n ⋅ cosh
 + D n ⋅ sinh

 a 
 a 
Los productos un (x, y) = Mn(x) • Nn (y),n ∈ N , son entonces soluciones de la ecuación
diferencial en derivadas parciales y además verifican las condiciones de contorno.
Suponemos entonces como solución formal:
uI (x, y ) =
∞
∑
∞
un (x, y ) =
n =1

 nπy 
 n πy  
 nπ

 Cn ⋅ cosh
 + Dn ⋅ sinh
  ⋅ sin
⋅ x
 a 
 a 
 a

n =1 
∑
Para determinar las constantes C n y D n , n ∈ N , imponemos las condiciones de
contorno en y:
u (x,0 ) = f3 (x ) =
I
u (x, b) = f4 (x) =
I
∞
 nπ 
2 a
n πs
C n ⋅ sin
⋅ x ⇒ C n =
f3 (s) ⋅ sin
⋅ ds = an(1 )
a 0
a
 a

n =1
∑
∞
∫


 nπb 
 nπb 
 nπ 
 Cn ⋅ cosh
 + Dn ⋅ sinh
  ⋅ sin
⋅ x ⇒
∑
a 
a 
a





n =1
nπs
 nπb 
 nπb  2 a
(2 )
Cn ⋅ cosh
f4 (s) ⋅ sin
⋅ ds = an ⇒
 + D n ⋅ sinh
 =
a
 a 
 a  a 0
 nπb 
an(2 ) − an(1 ) ⋅ cosh

 a 
Dn =
 nπb 
sinh

 a 
Finalmente, sustituyendo estos coeficientes en la serie, se obtiene la solución
formal que el método de separación de variables proporciona para el problema 1,
cuya expresión es:


 nπb 

an(2 ) − an(1) ⋅ cosh

∞ 
a 
 nπy 
 nπy  
 nπ


(
1)

I
u (x, y ) =
⋅ sinh
⋅ x
  ⋅ sin
 an ⋅ cosh a  +
 n πb 
 a 
 a

n =1 
sinh


 a 


∫
∑
(V)
donde:
2 a
nπs
2 a
nπs
f3(s) ⋅ sin
⋅ ds ;
an(2) =
f4(s) ⋅ sin
⋅ ds
a 0
a
a 0
a
Las soluciones del problema en la variable y se han expresado en términos de los
senos y cosenos hiperbólicos en lugar de utilizar las correspondientes exponenciales
reales. Esto facilita, en general, la determinación de las constantes Cn y Dn como
se acaba de comprobar.
an(1) =
∫
∫
ECUACIÓN DE POISSON EN UN RECTÁNGULO.
Ahora, se considera el problema:
∆u = A(x, y),0 < x < a;0 < y < b
u(x,0) = f1(x);u(x, b) = f2 (x);0 < x < a
u(0, y ) = f3 (y);u(a, y ) = f4 (y);0 < y < b
Para resolverlo por separación de variables procedemos como en el apartado
anterior, considerando dos problemas:
1. Ecuación diferencial en derivadas parciales homogénea y condiciones
homogéneas en la variable y
∆uI = 0,0 < x < a;0 < y < b
uI (x ,0) = uI (x, b ) = 0;0 < x < a
uI (0, y ) = f3 (y );uI (a, y ) = f4 (y);0 < y < b
Este problema es del tipo del tratado en el apartado anterior.
2.- Ecuación diferencial en derivadas parciales no homogénea y condiciones
homogéneas en la variable x
∆uII = A(x, y),0 < x < a;0 < y < b
uII (x ,0) = f1 (x);uII (x, b ) = f2 (x);0 < x < a
uII (0 , y ) = uII (a, y ) = 0;0 < y < b
Obviamente, una vez resueltos estos dos problemas, la solución del problema
[18.20] de partida es: u ( x , y) = u I ( x, y ) + u II ( x, y )
Como ha quedado dicho, el problema 1 ya ha sido estudiado en el apartado
anterior. Consideramos, pues, el 2 que resolveremos en términos de las
autofunciones del correspondiente problema homogéneo:
  nπx 

sin
  a n∈N
Empezamos por representar uII(x, y ) mediante la serie formal:
∞
II
u (x, y) =
 n πx 
un (y ) ⋅ sin

∑
a 

n=1
A continuación desarrollamos en serie las funciones A(x, y), f1(x), f2(x) :
∞
A(x, y ) =
 n πx 
an (y) ⋅ sin

∑
a 

n =1
∞
f1 (x) =
 nπx 
bn ⋅ sin

∑
a 

n=1
∞
f2 (x) =
donde
 nπx 
cn ⋅ sin

∑
a 

n =1
∀n ∈ N,an (y) =
∀n ∈ N,bn =
2 a
 nπs 
⋅ A(s, y) ⋅ sin
 ⋅ ds
a 0
 a 
∫
a
2
 nπs 
• f1 (s) ⋅ sin
 ⋅ ds
a
0
 a 
∫
2 a
 nπs 
⋅ f2 (s) ⋅ sin
 ⋅ ds
a 0
 a 
Sustituyendo en la ecuación diferencial en derivadas parciales las funciones u II y A
por sus correspondientes series, se deduce que las funciones un(y)(n ∈ N) , verifican
la colección de ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas:
∀n ∈ N,cn =
∀n ∈ N,u′n′ (y) −
∫
n2 π2
⋅ un (y) = an (y)
a2
Imponiendo ahora que u II satisfaga las condiciones de frontera en y, se tiene:
∞
II
u (x,0) = f1 (x) =
 nπx 
un (0) ⋅ sin
 ⇒ ∀n ∈ N,un (0) = bn
∑
a 

n=1
∞
II
u (x, b) = f2 (x) =
 n πx 
un (b) ⋅ sin
 ⇒ ∀ n ∈ N,un (b) = cn
∑
a 

n=1
Puesto que las ecuaciones son de coeficientes constantes, obtendremos su solución
general mediante cualquiera de los procedimientos expuestos en el tema 7. De esta
solución general podremos extraer la solución particular que nos interesa,
imponiendo las condiciones de contorno. Sustituyendo éstas en la serie
encontraremos la solución buscada.
PROBLEMA DE NEUMANN EN UN CÍRCULO
Recuérdese que la expresión
∂T
∂n
significa
r v
n • ∇T
Sea un círculo de radio unidad en cuyo interior está definida una función armónica (
∆T = 0) y que cumple la condición de contorno
∂T
= f(θ)
∂r
para r = 1, siendo la función f(θ) uniforme.
La ecuación de Laplace en coordenadas polares es:
∂ 2T
1 ∂T
1 ∂2 T
⋅
+
⋅
=0
r ∂r r 2 ∂θ 2
∂r 2
que se verifica para 0 ≤ r < 1. Aplicando la técnica de separación de variables, se
define que
T = h(r)·g(θ)
Por tanto
h′′ 1 h′ 1 g′′
+ ⋅ +
⋅
=0
h r h r2 g
o lo que es lo mismo
+
r
Como
2
⋅
h′′
h′
g′′
+r ⋅
=−
=λ
h
h
g
T(r,θ) = T(r,θ + 2·π),
entonces
g(0) = g(2·π)
y también se verificará que
g'(0) = g'(2·π)
Por tanto
g" + λ·g = 0
y con las condiciones expuestas se ha de cumplir que
λ = n2
con n ∈ N + 0
por consiguiente
g(θ) = A cos(n·θ) + B sin(n·θ)
Por otro lado,
r 2 ⋅ h′′ + r ⋅ h′ − n2 ⋅ h = 0
que es una ecuación de Euler. Convenientemente integrada
h(r) = C ⋅ r n + D ⋅ r − n
como en r→ 0 debe estar acotada, entonces D = 0. Así,
h(r) = C ⋅ rn
Luego
∞
T(r, θ) =
{A n ⋅ r n ⋅ cos(n ⋅ θ) + Bn ⋅ r n ⋅ sin(n ⋅ θ)} + A 0
∑
n =1
imponiendo la condición de Neumann
∂T
=
∂r
cuando r = 1
∞
n ⋅ r n −1 ⋅ {A n ⋅ cos(n ⋅ θ ) + B n ⋅ sin(n ⋅ θ )}
∑
n=1
∞
f(θ) =
n{A n ⋅ cos(n ⋅ θ ) + B n ⋅ sin(n ⋅ θ )}
∑
n =1
que es el desarrollo en serie de Fourier de la función f(θ). Sin embargo ha de
observarse que esta función ha de ser tal que su desarrollo en serie de Fourier no
debe tener término de la forma
A0
2
o lo que es lo mismo ha de verificar que
π
∫− π f(θ) ⋅ dθ