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Ajuste 1
I Ciclo, 2015
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AJUSTE 1
I ciclo, 2015
José Francisco Valverde Calderón
Email: [email protected]
Sitio web: www.jfvc.wordpress.com
Profesor:
José Francisco Valverde C
Ajuste 1
I Ciclo, 2015
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•Definición de geodesia (IAG): Geodesia es la disciplina que trata con
la medición y representación (geométrica, física y las variaciones
temporales) de la Tierra y los cuerpos celestes.
•Definición de geodesia (OSU): Geodesia es la ciencia de determinar
el tamaño y la forma de la Tierra (incluyendo variaciones temporales),
usando mediciones principalmente de distancias, tiempo y gravedad.
•Aplicaciones:
•Geofísica y geodinámica
•Variaciones en el nivel del mar
•Deformaciones de la corteza (movimientos de las placas tectónicas)
•Variaciones en las alturas de las capas de hielo,
•Variaciones en la rotación terrestre
•Estudios de la atmosfera
Profesor:
José Francisco Valverde C
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•Definición de topografía, según el libro “Topografía”, de Jack
McCormark, pag. 4: “La topografía es la ciencia que determina las
dimensiones y el contorno (o características tridimensionales) de la
superficie terrestre, a partir de la medición de distancias,
direcciones y elevaciones.
•Definición de Geomática, según la Universidad de Stuttgart, en
Alemania: La adquisición, análisis, gestión e interpretación de los
datos recogidos por del sistema "Tierra", su atmósfera y su
hidrosfera, y la multiplicidad de las interacciones en la actualidad
es un requisito esencial para el desarrollo económico sólido.
Profesor:
José Francisco Valverde C
Ajuste geodésico
Geodesia
Geométrica
Física
Aplicaciones
Satelital
Científicas
Prácticas
GNSS
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José Francisco Valverde C
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Concepto de Ajuste
•Del algebra lineal, cuando se tienen u-incógnitas,
incógnitas son necesarias necuaciones para determinar las u-incógnitas,
incógnitas de forma que con n = u,
se tiene una solución única al problema.
•
Sistema lineal de tres
ecuaciones con tres incógnitas
•Solución apoyado en el algebra de matrices:
2
1
3


A= 2
2
4
 −1 0.5 −1


 x1 
 
x =  x2 
 x3 
 
 −1
 
l = 2 
0
 
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Concepto de Ajuste
−1
−1
−1
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−1
Ax = l ; A A = I ; A Ax = A l → x = A l
•Solución del problema en Matlab
•Prueba
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Concepto de Ajuste
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•En los problemas a resolver por la geodesia y la topografía, se podría
pensar que para determinar las u incógnitas,
incógnitas es necesario únicamente
la medición de n = u observaciones
•Ejemplo: para la determinación de las coordenadas de un punto
desconocido, se requiere conocer el azimut y la distancia desde un
punto conocido al punto desconocido.
•Estas observaciones proveen el número necesario de ecuaciones
para estimar las u incógnitas,
incógnitas lo que produce una solución única
única,
considerando una configuración geométricamente adecuada
Enuevo = Econocido + sin t ⋅ d
N nuevo = N conocido + cos t ⋅ d
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Concepto de Ajuste
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•En la práctica*, n = u es inadecuado, debido a que un error
grosero** en una sola observación impide la solución del problema,
pues esta observación se debe descartar (n < u), produciendo un
sistema indeterminado (un sistema sin solución).
•*= se debe tener muy claro la aplicación que se le dará a las
observaciones y el trabajo que se esta realizando (no todos los
trabajos requieren ajustarse)
ajustarse)..
•**La determinación de errores groseros se hace apoyado en la
estadística matemática
•Se debe considerar que una solución única no se obtiene con
cualquier combinación de observaciones, estas deben ser
independientes
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•Las que las observaciones siempre están afectadas por errores
aleatorios, que impiden un cierre perfecto de las figuras
aleatorios
geométricas.
•Aunque se tenga superabundancia de observaciones, no se
satisfacen las condiciones geométricas de forma inequívoca a causa
de los errores aleatorios → aplicar un algoritmo de ajuste geodésico
geodésico..
•Ventajas del ajuste geodésico:
•Determinar la “mejor solución” al problema
•Determinación de una solución única
•Determinar el componente estocástico de las observaciones y las
incógnitas ajustadas.
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Concepto de Ajuste
•¿Porque aplicar un algoritmo de ajuste?
•Porque permite determinar
determinar, apoyado en la estadística matemática,
observaciones con errores groseros
•Por la presencia de errores aleatorios en las observaciones
•Porque en los trabajos topográficos y geodésicos se tienen mas
observaciones que las necesarias para una solución única.
•Al número de observaciones redundantes o superabundantes se les
llama grados de libertad (f) o redundancia (r) y en el caso de un ajuste
amarrado se calcula con la fórmula:
f=r=n-u
•n es el número de observaciones y u es el número de incógnitas
incógnitas..
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Concepto de Ajuste
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•Las inconsistencias generadas por los errores aleatorios (que
siempre están presentes) en las mediciones, puede ser resuelto con
el reemplazo de la observaciones dadas (L), por otro conjunto de
observaciones ajustadas ( Lˆ ) llamado mejores estimadores, de la
forma
( )
Lˆ = L + v = Φ Xˆ
Observaciones
ajustadas
Observaciones
efectuadas
Residuos
Incógnitas
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Concepto de Ajuste
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•Para escoger los residuos v, hay un problema: existe un infinito
número de posibles conjuntos de residuos que provean las
observaciones ajustadas y que se ajusten al modelo matemático.
•Existe un único conjunto de residuos que da la solución óptima,
aquel en que la suma de sus cuadrados es un mínimo, de forma que
se cumple con el principio de mínimos cuadrados de Gauss.
•El principio de mínimos cuadrados de Gauss se expresa de la
siguiente forma:
v Pv = min
T
•Es decir, que la suma de los cuadrados de los residuos que ajustan
el modelo, es un mínimo.
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Concepto de Ajuste
•El ajuste geodésico se puede efectuar con varias variantes:
•AJUSTE AMARRADO (Ajuste 1)
•AJUSTE LIBRE DE MINIMIZACIÓN TOTAL DE TRAZA (Ajuste 2)
•AJUSTE LIBRE DE MINIMIZACIÓN PARCIAL DE TRAZA (Ajuste 2)
•El ajuste geodésico trata con:
1. La descripción y el análisis de las mediciones.
2. Métodos de cálculo que toman en cuenta las incertidumbres de
las mediciones.
3. La descripción de la calidad de las mediciones y de los resultados
derivados de estas.
4. Guía para el diseño de redes geodésicas y definición de métodos
de trabajo “óptimos”.
Profesor:
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Concepto de Ajuste
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•El ajuste geodésico ayuda a dar respuesta a la siguientes preguntas:
1. Repetir una medición usualmente no provee el mismo valor. ¿Como
describir este fenómeno?
2. Los resultados de las mediciones pueden estar afectados por efecto
de errores groseros o sistemáticos. ¿Pueden estos errores ser
determinados? ¿Cómo? ¿Qué ocurre con nuestros resultados si no
“libramos” a los métodos de calculo de estos errores?
3. Figuras geométricas son medidas con observaciones redundantes
(por ejemplo, los tres ángulos de un triangulo). Estas observaciones
redundantes usualmente no obedecen las leyes matemáticas.
•Por ello, para cumplir las condiciones geométricas pre-establecidas,
Profesor:
es necesario efectuar ajustes.
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