1. Educación

Aprendiendo a emprender
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Los problemas forman parte de la vida cotidiana de las personas, por estar presentes en todas
las áreas del quehacer humano y por los efectos que esos problemas pueden ocasionar para el
desarrollo adecuado de nuestras actividades.
Existen problemas en el ámbito individual y en el colectivo, que presentan causas y
consecuencias determinadas en el área personal y en los grupos sociales; en contextos tan diversos
como el laboral, el educativo, el ambiental, el político o el religioso, por nombrar solo algunos; que es
necesario comprender y abordar permanentemente, porque ameritan de respuestas para su solución
en momentos individuales e históricos determinados.
Esas respuestas se ven influenciadas por aspectos como el conocimiento sobre los variables
relevantes del problema en el momento actual y su proyección hacia el futuro, la búsqueda de
alternativas para su posible solución, la utilización de estrategias o procedimientos adecuados y el
disponer de recursos personales y materiales para afrontarlos.
Así, cada ciencia o disciplina presenta problemas que le son propios ocupando un área
específica del saber humano, que estudiados desde sus orígenes para comprenderlos y resolverlos,
han permitido acumular una serie de conocimientos y estrategias de solución propias, en una
trayectoria que marca su avance en el transcurso del tiempo, transformándose en aportes que
pueden utilizarse para el logro del bienestar común.
Por otra parte existen autores que se han dedicado al estudio de la solución de problemas de
toda índole y en contextos variados, sobre su definición, su naturaleza, los factores que intervienen,
las estrategias o procedimientos que en forma general pueden ser aplicados y los mecanismos
mentales que utilizan las personas a la hora de analizarlos y resolverlos eficientemente.
Dos de estos autores son presentados a continuación, Cipriano Cruz (s/f) y Lisette Poggioli
(2009), en contenidos que abarcan distintos aspectos a considerar a la hora de abordar el tema de la
solución de problemas, como una competencia que puede construirse por medio de procesos de
enseñanza-aprendizaje idóneos e intencionales y que es considerada como esencial para todo
egresado de la educación superior en el mundo actual.
1 Aprendiendo a emprender
LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y SUS IMPLICACIONES DITÁCTICAS
(Prof. Cipriano, C. s/f. Departamento de Matemática Aplicada. Facultad de Ingeniería. Caracas.
Universidad Central de Venezuela.
Resumen
El propósito central de este trabajo es presentar una serie de argumentos que justifiquen la
necesidad de utilizar la solución de problemas como el principal agente motivador de las diferentes
actividades que se realicen en la enseñanza-aprendizaje de la matemática en cualquier nivel del
sistema educativo.
El trabajo se orienta a través de la presentación de respuestas a las siguientes preguntas:
(a)¿qué es un problema?, (b) variables intervienen en el proceso de solución de problemas, (c)¿es
posible mejorar las habilidades necesarias para resolver problemas, ¿(d) ¿Por qué debe darse
importancia a la solución de problemas en la enseñanza?, (e) ¿existen argumentos que demuestren
que se logra un mejor calidad educativa cuando se centran las actividades de en la solución de
problemas?, (f) ¿debe enseñarse a resolver problemas en un marco general o en los contextos
específicos en cada asignatura?. El trabajo se cierra con una serie de conclusiones y
recomendaciones en torno a la necesidad de repensar permanentemente la enseñanza de la
matemática e incorporar a la planificación de actividades docentes los resultados de investigaciones
recientes en el área de solución de problemas.
Palabras clave: educación matemática, solución de problemas, estrategias de solución de
problemas.
_________________________________________________________________________________
1. ¿Qué es un problema?
En el lenguaje cotidiano, especialmente en los últimos años, se ha popularizado el uso de la
palabra problema. Es fácilmente apreciable que las personas emiten expresiones tales como: "el
problema es que la quincena no me alcanza", "el problema es que hay que hacer demasiados
trámites", el problema es que se me olvidó la clave", "conseguir un cupo en la universidad es un
problema difícil u otras similares.
En contraste con las situaciones planteadas en los ejemplos anteriores hay acciones que los
individuos realizan cotidianamente sin que les signifique un problema: "ir de su hogar al trabajo" (a
menos que surjan serios imprevistos), "alimentarse" (si se dispone de los recursos de manera
inmediata), "obtener el producto de dos números naturales de un dígito" (si se recuerdan las "tablas
de multiplicar"), "encender y apagar la radio de su carro mientras conduce" (si tiene experiencia en
hacerlo), etc.
En ambos tipos de situaciones hay un individuo que realiza o le gustaría realizar un conjunto
de acciones que le permitan modificar una situación o estado (quincena insuficiente, muchos trámites,
clave olvidada, estar sin cupo, estar en el hogar, tener hambre, disponer de dos números,
radiorreceptor apagado) para llegar a otra situación o estado (quincena suficiente, menos trámites.
conocer la clave, tener un cupo, estar en el trabajo, no tener hambre, conocer el producto,
radiorreceptor encendido), eliminando las dificultades propias de la situación.
¿Qué hace entonces que en los ejemplos del primer párrafo la gente diga que tiene un
"problema" y en las situaciones del segundo párrafo tal categoría no se mencione?
Pareciera que la diferencia esencial estriba en la siguiente razón: al usar la palabra problema
se quiere señalar que hay "verdaderas dificultades", se requieren acciones, respuestas o decisiones
2 Aprendiendo a emprender
para las cuales hay que deliberar pues las acciones reflejas, instintivas, automatizadas por la práctica
o la costumbre, no son suficientes para obtener el cambio de estado.
Estas consideraciones permiten dar una definición constructivista del concepto de problema
(Newell y Simon, 1972). Un individuo está ante un problema cuando reconoce: (a) un estado inicial,
(b) un estado final o meta, (c) un conjunto de restricciones o condiciones que deben cumplirse, y, (d)
un conjunto de acciones, transformaciones u operaciones que es permitido realizar para ir del estado
inicial al estado final (ver Figura N°1).
Transformaciones, operadores o acciones
ESTADO FINAL O META
ESTADO INICIAL
Condiciones o restricciones
Figura N° 1
La aceptación de esta forma de estructurar el concepto de problema ayuda a conseguir
precisión en las situaciones que se abordan y, en consecuencia, ser más eficiente en el proceso de
búsqueda de soluciones. Se ilustrará esta afirmación con algunos ejemplos: si se quiere estructurar
como un problema la situación "la quincena no me alcanza", cabe preguntarse:
¿Cuál es el estado inicial? (¿cuánto recibo?, ¿cuánto gasto?, etc.),
¿Cuál es la meta? (¿qué significa que la quincena me alcance? ¿cuánto más se necesitaría?,
¿cómo se podría conseguir? etc.)
¿Cuáles son las condiciones y/o restricciones? (¿qué impide obtener aumentos?, ¿qué impide
obtener complementos?, ¿Qué impide intentar cambiar de ocupación?, etc.).
¿Qué acciones son realizables? (¿puede solicitarse un aumento?, ¿pueden generarse
ingresos adicionales?, ¿pueden eliminarse gastos superfluos? etc.).
Si la situación es que “hay que hacer demasiados trámites", podría estructurarse buscando
respuestas a preguntas del siguiente tipo:
¿Cuáles son exactamente todos los trámites que deben hacerse? (estado inicial).
¿Cuáles son los que se estiman verdaderamente imprescindibles y justificables?, ¿cómo
verificar que están todos los trámites hechos?, ¿es posible eliminar o evitar algunos trámites?, ¿es
posible conseguir quien haga algunos o todos los trámites? (posibles estados finales),
¿Qué sucede si algunos de los trámites no se realizan?, ¿dónde, cuándo y qué costos
significan los trámites? (condiciones o restricciones),
¿Cómo se realizan los trámites?, ¿es posible obtener gestores que realicen los trámites?
(acciones u operadores).
3 Aprendiendo a emprender
Bajo esta nueva perspectiva hay tres tipos de situaciones:
(1) Los ejercicios de rutina, que el individuo realiza con sus actos reflejos, sus instintos o la
aplicación rutinaria de un algoritmo previamente aprendido,
(2) Las situaciones problemáticas, en las cuales no están dadas las metas o condiciones u
operadores, y
(3) Los problemas, en los cuales el individuo es capaz de identificar los cuatro elementos de la
estructura (estado inicial, estado final, condiciones y acciones u operadores) y necesita deliberar o
desarrollar eventualmente algunas heurísticas, para pasar del estado inicial al estado final.
Un algoritmo es un procedimiento tal que en un número finito de pasos, descritos por un
conjunto específico de instrucciones se llega de un estado inicial a un estado final. Un algoritmo
puede o no contener decisiones. Pero si las hay, se conoce de antemano el resultado de cada
decisión. Una situación es un ejercicio de rutina cuando la persona dispone de un algoritmo para
encontrar la meta. Lo algorítmico está ligado a la repetición mecánica de instrucciones.
Un procedimiento heurístico, en cambio, proviene de la creatividad y, a priori, no garantiza la
obtención del resultado deseado. Lo heurístico se asocia con el arte de inventar, de investigar. De
generar resultados en ambientes parcialmente estructurados o novedosos.
Resolver un problema (estructurado) es, en este contexto, disponer y aplicar tanto
procedimientos algorítmicos como heurísticos para convertir el estado inicial en estado final,
respetando condiciones y restricciones.
2 ¿Qué variables intervienen en el proceso de solución de problemas?
Si, como se ha dicho, un problema existe para un sujeto, las variables intervinientes en el
proceso de solución dependen del individuo y de la naturaleza del problema.
Las variables del individuo pueden clasificarse en las tres categorías siguientes: (a) afectivas,
(b) cognoscitivas, y, (c) estratégicas (ver figura N° 2).
Variables del individuo en solución de problemas
AFECTIVAS
COGNOSCITIVAS
ESTRATÉGICAS
Figura N° 2
Las variables afectivas, hacen referencia al interés, la motivación (tanto intrínseca como
extrínseca), la necesidad de reconocimiento y las relaciones interpersonales. Cada individuo se
4 Aprendiendo a emprender
desempeña bajo condiciones de conflicto entre sus percepciones personales y las de su grupo,
manifestando sentimientos contradictorios (seguridad-inseguridad, interés-apatía, aceptaciónrechazo, tranquilidad-ansiedad, éxito-fracaso) que le conducen a la adopción de actitudes favorables
o desfavorables hacia la búsqueda de caminos para enfrentar problemas. Estas actitudes dependen
tanto de los estímulos que provea el ambiente de la tarea como de las auto percepciones del sujeto
(Cruz, 1992).
Las variables cognoscitivas, comprenden el conocimiento de base que posee el sujeto que
enfrenta el problema, su estructura, la organización y el almacenamiento que le ha conferido en su
mente, así como también la disponibilidad de este conocimiento para el instante en que necesite
identificar, interpretar e intentar modificar una situación con contenido matemático.
En pocas palabras, el dominio del conocimiento matemático supone la capacidad de dar
respuesta a las dos preguntas siguientes: ¿qué información matemática relevante posee el individuo
en relación con la situación en estudio? y ¿cómo recupera y usa dicha información el individuo en el
instante en que la necesita? Shoenfeld (1992) considera que estas dos preguntas son independientes
pues dice que una cosa es saber que hay en una biblioteca (ello se encuentra en el catálogo de la
misma) y otra diferente es buscar una información especifica (pues ello se relaciona con la
categorización de los materiales de la biblioteca según unos criterios técnicos establecidos.
La estructura del conocimiento matemático puede verse como una trilogía (Cruz, 1989)
compuesta de conceptos (intuitivos o formales), relaciones (axiomas, teoremas, reglas, convenios,...)
y procedimientos (de cómputo, descriptivos, explicativos o de modelación), luego frente a cada
situación-problema la pregunta que cabe es ¿dispone el individuo de todos los elementos
estructurales necesarios para su correcta identificación y la posible generación de algoritmos que le
permitan resolverla?
Las variables estratégicas, pueden ubicarse en el terreno de los procesos heurísticos que
los individuos ponen en ejecución (muchas veces en forma inconsciente) cuando están resolviendo
problemas. Las discusiones sobre el rol de las estrategias en la solución de problemas matemáticos
probablemente comenzaron con la aparición de la obra de Polya (1945), que ha sido citado (y seguirá
siéndolo) en todos los ámbitos en los que se discutan los procesos (reales o supuestos) mediante los
cuales los individuos resuelven problemas (Educación Matemática, Psicología, Inteligencia Artificial,
Informática, Computación, Formación gerencial, Educación, etc.).
La importancia de las variables estratégicas en solución de problemas tiene diferentes matices
en los estudiosos del tema. Hay algunos que suponen que ellas están implícitas en el grado de
experiencia de los buenos resolvedores de problemas y se inclinan hacia el estudio y diseño de
posibles sistemas expertos, otros, otros advierten que existen estrategias generales que son
aplicables a todas las áreas del conocimiento y, en cambio, hay los que sostienen que las estrategias
son específicas de cada área. Para efectos de esta presentación, las variables estratégicas más
importantes que intervienen en el proceso de solución de problemas, se consideran clasificadas en
cuatro categorías:
(a) Los procesos generales del pensamiento o herramientas del intelecto: análisis,
comparación e inferencia.
(b) Las estrategias generales de búsqueda de soluciones: estructuración, representación,
ensayo y error, establecimiento de sub-metas, reducción del espacio del problema, análisis de
medios-fines, trabajar hacia atrás y búsqueda de semejanzas y analogías, y
(c) Los momentos metacognitivos: planificación, supervisión y evaluación.
El proceso de análisis, se activa cuando la persona enfrenta una situación que quiere
entender y busca respuestas a preguntas tales como las siguientes: ¿cómo se puede dividir este
5 Aprendiendo a emprender
todo?, ¿Cuáles son las partes?, ¿qué relaciones hay entre las partes?, ¿qué relaciones hay entre las
partes y el todo? (análisis estructural), ¿cuáles son las etapas?, ¿cuáles son las fases?, ¿qué es lo
que cambia?, (análisis operacional), ¿a qué categoría pertenece lo que se está analizando?, ¿de qué
genero es? (análisis de clasificación), ¿para qué existe lo que se está analizando?, ¿cuál es su
función, ¿para qué sirve? (análisis funcional).
Este proceso general de pensamiento se encuentra en las diversas fases de abordaje de un
problema, desde su comprensión, pasando por la estructuración y búsqueda de soluciones, hasta el
alcance de la meta (Figura N° 3).
Los cuatro tipos de análisis
DE CLASIFICACIÓN
ESTRUCTURAL
ANÁLISIS
OPERACIONAL
FUNCIONAL
Figura N° 3
El proceso de comparación, aparece cuando se tienen dos o más objetos, situaciones,
eventos o acontecimientos y el individuo se pregunta: ¿cuáles son las semejanzas? ¿Cuáles son las
diferencias?
Las personas usan el proceso de comparación para: clasificar (determinar categorías posibles
a las cuales pertenecen o no los objetos en estudio) generalizar (poner en categorías más amplias
ciertas situaciones) particularizar (poner en categorías más restringidas ciertas situaciones) relacionar
(vincular mediante algunas reglas o principios), controlar procesos o resultados (determinar que
diferencias hay entre lo que se tiene y lo que se quería), evaluar (emitir juicios acerca de ciertos
acontecimientos, usando un conjunto de criterios) crear (generar nuevas realidades, eventos,
acontecimientos, objetos diferentes a lo conocido hasta cierto momento) y “analogizar" (establecer
relaciones entre relaciones)
El proceso de comparación ayuda tanto en el reconocimiento de los elementos claves del
problema en su asociación a los conocimientos previos de los sujetos, como en la búsqueda de
experiencias procedimentales anteriores que hayan resultado exitosas en la búsqueda de soluciones
(Figura 4).
6 Aprendiendo a emprender
COMPARACIÓN
SEMEJANZAS
¿Cuáles son las?
DIFERENCIAS
Figura N° 4
El proceso de inferencia, está presente cuando a partir de una cierta información
(antecedente) y usando como mediador la intuición, la inducción o la deducción, se obtiene un nuevo
hecho (consecuente).
La importancia del proceso de inferencia en la solución de problemas radica, esencialmente
en la utilización que haga el individuo para la obtención de nueva información que lo acerque a la
meta (Figura N° 5).
INFERENCIA
Causa
Propuesta inicial
INTUICIÓN
INDUCCIÓN
Efecto
Conclusión
Tesis
Hipótesis
DEDUCCIÓN
Figura N° 5
7 Aprendiendo a emprender
Por otra parte las investigaciones han ayudado a identificar un cierto conjunto de estrategias
generales de búsqueda para resolver problemas tales como las que se ofrecen en el siguiente dibujo
(Figura N° 6).
HEURÍSTICAS MÁS FRECUENTES PARA RESOLVER PROBLEMAS
Buscar sub‐
metas
Estructurar
Analizar medios y fines
Buscar semejanzas y analogías
Representar
Ensayar y errar
Trabajar hacia atrás
Reducir el espacio del problema
Figura N° 6
(a) La estructura de un problema, es un esquema que ayuda a la comprensión del mismo y
significa la identificación de sus cuatro partes esenciales:
● Estado inicial
● Estado final
● Restricciones o condiciones
● Transformaciones, acciones u operadores
(b) La representación, de un problema es la síntesis de él (en lo posible sus cuatro partes),
mediante dibujos, esquemas, tablas, escenificación de la situación u otras modalidades.
(c) La estrategia de ensayo y error, consiste en la realización de intentos sucesivos en busca
de la meta y la detección y corrección sistemática de Ios posibles errores que se cometan.
(d) Reducir el espacio del problema, significa trabajar sólo con una parte del problema, no
considerando su estructura total sino algunas de sus partes o sólo cierta información de algunas de
sus partes.
(e) Trabajar hacia atrás, es ir desde la meta hacia el estado inicial, pero verificando si los
pasos que se dan son reversibles.
(f) La búsqueda de semejanzas y analogías, se produce cuando se piensa en el parecido que
tiene el problema que se aborda con otro ya resuelto, considerando no sólo su estructura sino
también las estrategias que se usaron para resolver el problema conocido.
8 Aprendiendo a emprender
(g) El análisis de medios y fines resulta de la búsqueda de respuestas a preguntas tales como:
¿de qué se dispone?, ¿qué se desea alcanzar?, ¿de qué manera ayudan las condiciones?, u otras de
naturaleza similar.
(h) La estrategia buscar sub metas, significa alcanzar algunas etapas intermedias en el
camino que, eventualmente, conduce a la meta.
Los momentos metacognitivos, sobre los cuales no hay acuerdo universal entre los
investigadores, tanto en su manejo consciente por parte de los expertos, como la posibilidad de
estudiarlos sistemáticamente desde el punto de vista psicológico, tienen que ver con el pensar como
se hacen determinadas acciones durante el proceso de solución de problemas, con el inicio de la
tarea, durante el camino que se recorre hacia la meta y la llegada a la meta. Los componentes de la
metacognición se presentan en el siguiente cuadro (tomado de Ríos, 1999, pág. 95).
Planificación
Supervisión
Evaluación
▸Determinar la efectividad
de las estrategias de
solución.
▸Establecer la correspondencia
entre el objetivo propuesto y los
resultados alcanzados.
▸Comprender y definir el
problema.
▸Descubrir errores.
▸Decidir sobre la mejor solución
▸Precisar reglas y condiciones.
▸Reorientar las acciones.
▸Apreciar la validez y pertinencia
de las estrategias aplicadas.
▸Anticipar las consecuencias
de las acciones.
▸Definir un plan de acción.
Las acciones descritas en el cuadro anterior, evidentemente no son linealmente secuenciales,
ellas aparecen a alta velocidad en la mente de quien está resolviendo un problema y, para
determinados investigadores pueden clasificarse de manera diferente.
Estas cuestiones no son vitales, lo realmente interesante es que los esfuerzos por trasmitir la
experiencia procedimental al resolver problemas han generado numerosos intentos de definir
conjuntos de acciones que deben tomarse en cuenta para obtener éxito en la gran tarea de llegar a la
meta. Estos conjuntos de acciones, o fases en la solución se identifican como protocolos y, en la
educación matemática se han sistematizado desde Poincaré en 1908, hasta nuestros días (ver al
respecto, Puente y cols., 1989, cap. 6, pág. 240 y Schoenfeld. 1983).
Las variables asociadas a la naturaleza del problema también han sido estudiadas por
numerosos investigadores, estableciéndose varias categorizaciones. Por ejemplo Perales (1993,
citado por Serres, 2.000), clasifica los problemas de acuerdo a:
(a) El campo de conocimiento aplicado, en los cuales se ubican los que se usan en la
enseñanza (en donde lo importante no es la meta sino la forma de llegar a ella) y los cotidianos (en
donde la meta suele ser desconocida).
(b) El tipo de tarea involucrada (cualitativa cuantitativa).
(c) La naturaleza del enunciado y características del proceso de solución (abierto-cerrado).
Rimoldi (1984, citado por Requena, 2.000, pág. 29) sostiene que todo problema adscrito a un
área del conocimiento está constituido por tres niveles:
(a) El sistema simbólico o lenguaje, que contiene el conjunto de elementos del mismo que son
susceptibles de ser percibidos por el individuo y que son, en consecuencia, portadores de sentido.
9 Aprendiendo a emprender
(b) El significado o contenido, que es el conjunto de referentes del lenguaje u objetos sobre los
cuales se define el problema.
(c) La estructura lógica o conceptual, que es el conjunto organizado de conceptos y relaciones
que caracterizan el área temática del problema, conjunto que está expresado por el lenguaje y
poseído por el contenido.
La preocupación de algunos investigadores se ha centrado en el uso de la estructura lógica
como: variable independiente que determinado las habilidades del sujeto, obteniéndose
clasificaciones tales como:
a) El grado de estructuración del problema, es decir, problemas mal o bien definidos (Puente,
1989).
(b) La semejanza de la estructura, llevando a problemas de transformaciones, de ordenación,
de inducción de estructuras, sociales (varios autores; citados por Requena, 2000).
3. ¿Es posible mejorar las habilidades necesarias para resolver problemas?
Una pregunta de esta naturaleza debe responderse a la (luz de las experiencias. Hay que
caracterizar, en un determinado contexto y nivel del sistema educativo, cuáles son las habilidades
que se consideran necesarias para resolver los problemas matemáticos de ese contexto y previstos
en el diseño del currículo, cuáles de ellas están presentes en un grupo de estudiantes y en que grado
de desarrollo se encuentran. Luego el grupo debe someterse a un programa de entrenamiento y,
finalmente, debe evaluarse la apropiación de nuevas habilidades o el aumento de los niveles de
aquellas que inicialmente estaban presentes.
Las habilidades pueden ser de tipo general, tales como: las necesarias para activar las
herramientas del intelecto (análisis, comparación e inferencia, o algunas más difíciles de caracterizar
como la creatividad), las que se requieren para actuar meta-cognitivamente (planificar, supervisar,
evaluar), las indispensables para utilizar simultáneamente varias de las estrategias (estructuración,
ensayo y error, representación, búsqueda de semejanzas y analogías, establecimiento de sub-metas,
reducción del espacio-problema, trabajo hacia atrás y análisis de medios-fin) o las de nivel intermedio
tales como: las necesarias para activar la comprensión lectora, la codificación de los elementos
claves que caracterizan el problema, la activación de los esquemas necesarios para ubicarse en el
área de contenidos y el reconocimiento de la estructura de contenidos necesaria para abordar el
problema (trabajando sólo con los elementos significativos y eliminando aquellos que son
irrelevantes), o las más específicas requeridas para el procesamiento de la información directamente
vinculada al problema (habilidades para calcular sin errores, describir en términos matemáticos,
explicar las relaciones vinculantes y operar sobre un modelo establecido).
La mayoría de las experiencias que se han dedicado a evaluar el desarrollo de habilidades a
través de las actividades de aula centradas en solución de problemas corresponden a tesis de grado.
A nivel nacional, y a modo de ejemplo, pueden reportarse los siguientes trabajos: Cruz (1988),
en un reporte de los trabajos realizados en la Facultad de Ingeniería en Talleres de entrenamiento
para resolver problemas, señala que los estudiantes manifiestan sentir cambios positivo en su jornada
habitual de estudiar y ello les ayuda a darse cuenta de sus recursos individuales; permitiéndoles
aprobar las materias, (Cruz (1989), en un estudio experimental con estudiantes de la materia Análisis
Matemático I en la Facultad de Ingeniería de Universidad Central de Venezuela, demostró que el
aprendizaje de esta materia comparativamente mejor cuando la enseñanza se centra en el uso de
organizadores avanzados y solución de problemas,
10 Aprendiendo a emprender
Figuera (1994), a través de un estudio experimental con estudiantes del primer año de la
especialidad de Ciencias de un Liceo del estado Monagas, probó que la creatividad puede ser
desarrollada a través de la técnica (uso del protocolo de Polya) de solución de problemas
matemáticos, Cruz (1994), a través de un estudio de caso interpretativo evaluativo con “estudiantes
del Curso Introductorio de la Facultad de Ingeniería, concluyó que el uso combinado de estrategias
metacognitivas ayudan a alcanzar el mejoramiento de las habilidades y destrezas para comprender y
aplicar los conocimientos matemáticos involucrados en una situación problema,
4. ¿Por qué debe darse importancia a la solución de problemas en la enseñanza?
Las razones que pueden esgrimirse son de naturaleza variada, ellas pueden clasificarse en
tres grandes categorías:
(a) La que se refiere al uso de los problemas como vehículos al servicio de otros propósitos
del currículo.
(b) La que hace mención a la solución de problemas como una conducta en si misma.
(c) La que identifica la solución de problemas como un arte (Shoenfeld, 1992).
La primera de estas razones da origen a cinco roles a la solución de problemas, a saber:
(1) Como una justificación para enseñar matemática,
(2) Para motivar la presentación de variados temas del currículo
(3) Como un entretenimiento,
(4) Como un medio parea desarrollar nuevas habilidades.
(5) Como una práctica para consolidar aprendizajes.
La segunda da origen a la .concepción de que Ia solución de problemas hace posible el
desarrollo de una amplia variedad de habilidades que son útiles en diversas áreas del currículo.
La tercera da origen a la idea que la solución de problemas está en el corazón de la
matemática si no es la matemática misma (op. p. Pág 338).
Conclusiones y recomendaciones.
En la solución de problemas matemáticos intervienen procesos generales del intelecto
(análisis, comparación e inferencia), estrategias asociadas a la metacognición (planificación,
supervisión y evaluación) y estrategias especificas de búsqueda de soluciones (estructuración,
ensayo y error, representación, búsqueda de semejanzas y analogías, establecimiento de sub-metas,
reducción del espacio-problema, trabajo hacia atrás y análisis de medios-fin), por lo tanto, el
conductor del procesos de enseñanza-aprendizaje debe:
Tomar en cuenta esta situación en la planificación de la enseñanza, en el diseño de materiales
de apoyo a la docencia y en la conducción de las interacciones del aula.
Investigar bajo diferentes enfoques cuál(es) son las orientaciones del proceso de solución de
problemas que mejor se-adapten al contexto de las actividades de enseñanza.
La enseñanza centrada en procesos requiere de una reflexión previa, de una planificación
flexible, de unos materiales especialmente diseñados y de una serie de consideraciones sobre
11 Aprendiendo a emprender
evaluación que-van más allá de la clásica concepción del profesor o maestro como depositario del
conocimiento, por lo tanto el docente debe:
•
•
•
Tomar las previsiones necesarias para evitar posibles divagaciones o imprecisiones en
la conducción de las interacciones.
Cuidar los momentos estratégicos de interacciones en el aula cuando escucha, cuando
pregunta y cuando argumenta.
Aceptar las propuestas de que se generen en el grupo, canalizándolas hacia la
comprensión del rol de la educación matemática y el fortalecimiento de las
motivaciones y compromisos.
La valoración que debe darse a la solución de problemas va desde su concepción como
actividades complementarias al desarrollo del currículum hasta su apreciación como el corazón de la
matemática, en consecuencia el docente debe:
•
•
Comprender que la postura que adopte para una determinada ocasión puede cambiar
en otra, obteniendo diferentes esquemas de trabajo y tiempos distintos dedicados al
desarrollo de cada uno de ellos.
Tener especial cuidado en la selección de la naturaleza de los problemas que ilustren,
consoliden o abran posibilidades de extensión en el desarrollo de una determinada
área de contenidos.
Los procesos algorítmicos son buenas recetas para enfrentar determinadas situaciones, pero
los verdaderos problemas requieren de la generación de procesos heurísticos, en consecuencia el
docente debe abrir espacios de participación para que tos estudiantes:
•
•
Hay demasiadas evidencias reportadas por las investigaciones que demuestran que el
aprendizaje estratégico se va almacenando, con la práctica sistemática en la memoria a largo
plazo, luego el docente que decida centrar sus actividades de aula en la solución de
problemas debe:
Dedicar suficiente tiempo a destacar la práctica de las estrategias de solución de problemas.
•
Esperar un tiempo prudencial para esperar buenos resultados en el rendimiento estudiantil.
Bibliografía:
Newell, A. Y Simon, H. (1972). Human Problem Solving New Jersey: Prentice Hall.
Polya, G. (1945) Ed. 1957. How tos ove it.. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Puente, A Poggioli, l. y Navarro, A (eds.) (1989). Psicoloqía Coqnoscitiva. Desarrollo y Perspectivas.
Caracas: Mc Graw Hill.
Requena, M. (2.000). Resolución de problemas de las Olimpíadas Matemáticas Venezolanas.
Caracas: Universidad Católica Andrés Bello.
Ríos, P. (1999). La aventura de aprender. Caracas: Cognitus, C.A
12 Aprendiendo a emprender
Saladino, A Y Sequera M.E. (1991). Algunos protocolos para resolver problemas aplicados en la
enseñanza de análisis matemático I. Trabajo especial de grado. Facultad de Humanidades y
Educación. Universidad Central de Venezuela.
Schoenfeld, A y Hermann, D.(1982). Problem percepcition and knowledge structure in expert and
novice mathematical problem solvers. Journal of Experimental Psychology: Leanring, Memory, and
Cognition.Vol. 8 N° 5 (pp484-494).
Schoenfeld, A. (1983) Episodes and executive decisions in mathematical problem solving. Acquisition
of Mathematics concepts and Processes. New York: Academic Press.
Schoenfeld, A (1992). Leaming to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense
making in Mathematics. Handbook of Research on Mathematics Teachinq and Leanring. Cap. 15 (pp
349). New York: Macmillan.
Serres, Y. (2.000). Una experiencia de solución de problemas matemáticos, con estudiantes del
Curso Introductorio de Ingeniería. Revista de Pedagogía. Vol XX. N° 60.Caracas: Escuela de
Educación, Facultad de Humanidades y Educación. UCV.
Serres, Y. (1999). Evaluación del proceso de solución de problemas matemáticos a nivel
preuniversitario y sus implicaciones en un diseño instruccional. Trabajo de ascenso. Facultad de
Ingeniería. Universidad Central de Venezuela.
13 Aprendiendo a emprender
NATURALEZA DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
¿QUÉ ES UN PROBLEMA?
(Tomado de Poggioli, L. 2009, Estrategias de resolución de problemas. Serie enseñando a aprender.
4ª ed., pp. 22, Caracas: Fundación Empresas Polar).
Un problema se define como una situación en la cual un individuo desea hacer algo, pero
desconoce el curso de la acción necesaria para lograr lo que quiere (Newell y Simon, 1972), o como
una situación en la cual un individuo actúa con el propósito de alcanzar una meta utilizando para ello
una estrategia en particular (Chi y Glaser, 1983) (Gráfico N°1)
Por su parte, Reys, Suydam y Lindquist (1995) señalaron que un problema implica una
situación en la cual una persona desea hacer algo y no sabe como obtenerlo de manera inmediata.
Esto implica que el individuo que trata de resolver el problema, no tiene los recursos o el
conocimiento para realizar la tarea, por lo que el problema debe ser resuelto utilizando diferentes
destrezas y estrategias.
¿Qué es un problema?
Un
problema
es una
situación
en la
cual un
individuo
desea hacer algo
actúa
para
alcanzar una
pero
curso de acción
meta
utilizando
una
para
estrategia
alcanzar la
meta
Gráfico 1
14 desconoce el
Aprendiendo a emprender
En el marco de la resolución de problemas cuando hacemos referencia a la "meta" o a
"alcanzar lo que se quiere o se desea", nos estamos refiriendo a lo que se aspira lograr, la solución.
La meta o solución está asociada con un estado inicial y la diferencia que existe entre ambos se
denomina "problema". Las actividades llevadas a cabo por los sujetos tienen por objeto operar sobre
el estado inicial para transformarlo en meta. De esta manera, se podría decir que los) problemas
tienen cuatro componentes: 1) las metas, 2) los datos, 3) las restricciones y 4) los métodos (Mayer,
1983).
Los componentes de un problema
Las metas o lo que se desea lograr
Los datos o elementos para analizar el problema
Componentes de un problema
Las restricciones o factores que limitan el logro de la solución
Las operaciones, o procedimientos para resolver el problema
Las metas, constituyen lo que se desea lograr en una situación determinada. En un problema
puede haber una o varias metas, las cuales pueden estar bien o mal definidas. En general, los
problemas de naturaleza matemática son situaciones problemas con metas bien definidas. En el
ejemplo: "Álvaro tiene 5 creyones. Javier le dio 8 creyones más. ¿Cuántos creyones tiene Álvaro en
total?", la meta está bien definida, consiste en saber cuántos creyones tiene Álvaro en total, después
que Javier le dio 8 creyones. Por el contrario los problemas de la vida real pueden tener metas no tan
claramente definidas.
Los datos, consisten en la información numérica o verbal disponible con que cuenta el
aprendiz para comenzar a analizar la situación problema. Al igual que las metas, los datos pueden ser
pocos o muchos, pueden estar bien o mal definidos o estar explícitos o implícitos en el enunciado del
problema. En el ejemplo anterior, los datos están bien definidos y son explícitos: 5 creyones y 8
creyones.
Las restricciones, son los factores que limitan la vía para llegar a la solución. De igual
manera, pueden estar bien o mal definidos y ser explícitos o implícitos. En el ejemplo anterior no hay
restricciones. Sin embargo, vamos a dar un ejemplo de lo que es una restricción.
Anita tiene una muñeca y quiere vestirla con pantalón y franela. Tiene cuatro pantalones de
color rojo, blanco, azul y negro, y tiene tres franelas de color verde, amarillo y rosado. Ella quiere
15 Aprendiendo a emprender
hacer diferentes combinaciones con todos los pantalones y las franelas verde y rosada ¿Cuántas
combinaciones diferentes puede hacer?
En el ejemplo anterior, la restricción consiste en que Anita sólo quiere utilizar dos de las tres
franelas, la verde y la rosada, en consecuencia, no todas las franelas van a ser consideradas para las
diferentes combinaciones que quiere hacer. Esto es una restricción.
Los métodos u operaciones, se refieren a los procedimientos utilizados para resolver el
'problema. En el caso del ejemplo referido a los creyones, la operación a realizar es una adición, por
lo tanto el solucionador deberá aplicar el algoritmo de la suma.
¿Qué es la resolución de problemas?
Según Dijkstra (1991), la resolución de problemas es un proceso cognoscitivo complejo que
involucra conocimiento almacenado en la memoria a corto y a largo plazo.
La resolución de problemas consiste en un conjunto de actividades mentales y conductuales,
a la vez que implica también factores de naturaleza cognoscitiva, afectiva y motivacional. Por
ejemplo, si en un problema dado debemos transformar mentalmente metros en centímetros, esta
actividad será de tipo cognoscitiva. Si se nos pregunta cuan seguros estamos que nuestra solución al
problema sea correcta, tal actividad sería de tipo afectiva, mientras que resolver el problema con
papel y lápiz, siguiendo un algoritmo hasta alcanzar su solución, podría servir para ilustrar una
actividad de tipo conductual. A pesar de que estos tres tipos de factores están involucrados en la
actividad de resolución de problemas, la investigación en el área ha centrado su atención,
básicamente, en los factores cognoscitivos involucrados en la resolución.
Según Andre (1986), el proceso de resolución de problemas puede describirse a partir de los
elementos considerados a continuación:
1) Una situación en la cual se quiere hacer algo, pero se desconocen los pasos precisos para
alcanzar lo que se desea.
2) Un conjunto de elementos que representan el conocimiento relacionado con el problema.
3) El análisis del problema, sus metas y datos por parte del solucionador del problema, con la
finalidad de formarse una representación del problema en su sistema de memoria.
4) La operación sobre la representación del problema por parte del solucionador, con la finalidad de
reducir las discrepancias ente los datos y las metas. La solución de un problema está constituida por
la secuencia de operaciones que pueden transformar los datos en metas.
5) la operación sobre los datos las metas permite que el solucionador utilice o pueda utilizar los
siguientes tipos de información:
•
•
•
•
Información almacenada en su memoria a largo plazo en forma de esquemas o producciones.
Procedimientos heurísticos.
Algoritmos
Relaciones con otras representaciones.
16 Aprendiendo a emprender
6) El proceso de operar sobre una representación inicial con el fin de encontrar una solución al
problema, se denomina búsqueda. Como parte del proceso de búsqueda de la solución, la
representación puede transformarse en otras representaciones.
7) La búsqueda continúa hasta que se encuentra una solución o el solucionador de problemas se da
por vencido.
Etapas de la resolución de problemas
Varios investigadores han analizado la actividad de resolución de problemas y señalan que tal
actividad es un proceso que involucra una serie de etapas. Desde principios de siglo se viene
investigando sobre las fases en la resolución de problemas. Es así como Wallas (1926) señala que
éstas incluyen las siguientes:
1) La preparación, es la fase en la cual el solucionador analiza el problema, intenta definirlo en forma
clara y recoge hechos e información relevante al problema.
2) La incubación, es la fase en la cual el solucionador analiza el problema de manera inconsciente.
3) La inspiración, es la fase en la cual la solución al problema surge de manera inesperada.
4) La verificación, es la fase que involucra la revisión de la solución.
Otros autores (Andre, 1986; Hayes, 1981) señalan que las etapas en la resolución de
problemas sirven para enfatizar el pensamiento consciente y para aproximarse analíticamente a la
solución, así como también para ofrecer una descripción de las actividades mentales de la persona
que resuelve el problema. En tal sentido, Andre (1986) propone que las etapas en la resolución de
problemas son las especificadas en el cuadro 1:
Cuadro 1
Etapas en la resolución de problemas
1. Darse cuenta del problema, de que existe una discrepancia entre lo que se
desea y lo que se tiene.
2. Especificación del problema, se trabaja una descripción más precisa del
problema.
3. Análisis del problema, se analizan las partes del problema y se aísla la
información relevante.
4. Generación de la solución, se consideran varias alternativas posibles
5. Revisión de la solución, se evalúan las posibles soluciones.
6. Selección de la solución, se escoge aquella que tenga mayor probabilidad.
7. Instrumentación de la solución, se implementa la solución.
Es de hacer notar que las etapas se aplican usualmente a problemas aritméticos y
algebraicos, pero también pueden aplicarse a muchos otros tipos de problemas no necesariamente
relacionados con disciplinas académicas.
17 Aprendiendo a emprender
Por su parte, Polya (1965) señala que un problema puede resolverse correctamente si se
siguen los siguientes pasos.
•
•
•
•
•
Comprender el problema
Concebir un plan para llegar a la solución
Ejecutar el plan.
Verificar el procedimiento.
Comprobar los resultados
Schoenfeld (1985), a partir de los planteamientos de Polya (1965), se ha dedicado a proponer
actividades de resolución de problemas que se pueden llevar a cabo en el aula, con el fin de propiciar
situaciones semejantes a las condiciones que los matemáticos experimentan en el proceso de
desarrollo de resolución de problemas. Su modelo de resolución abarca los siguientes pasos:
Análisis, Exploración y Comprobación de la solución y puede aplicarse a problemas matemáticos y
algebraicos.
●
Análisis
1) Trazar un diagrama, si es posible.
2) Examinar casos particulares
3) Probar a simplificar el problema
●
Exploración
1) Examinar problemas esencialmente equivalentes: sustituir las condiciones por otras
equivalentes, recombinar los elementos del problema de modo diferente, replantear el
problema.
2) Examinar problemas ligeramente modificados: establecer sub-metas, descomponer el
problema en casos y analizar caso por caso.
3) Examinar problemas ampliamente modificados; construir problemas análogos con menos
variables, mantener fijas todas las variables menos una para determinar qué efectos tiene
esa variable, tratar de sacar partido de problemas afines que tengan parecido en su forma,
en sus datos o en sus conclusiones.
● Comprobación
de la solución obtenida
1) Verificar la solución obtenida siguiendo criterios específicos: utilización de todos los datos
pertinentes, uso de estimaciones o predicciones.}
2) Verificar la solución obtenida siguiendo criterios generales: examinar la posibilidad de obtener
la solución por otro método, reducir la solución a resultados conocidos.
A partir de as etapas propuestas por Polya (1965), Jones (2003) sugirió que este modelo se
puede resumir en los siguientes pasos:
●
Observar: Comprender el problema
●
Planificar: Diseñar un plan
● Resolver:
Llevar a cabo el plan
18 Aprendiendo a emprender
● Evaluar:
Repasar el procedimiento con la finalidad de examinar la solución obtenida.
En síntesis, como puede observarse, desde principios de este siglo, diferentes autores han
propuesto pasos, fases o etapas a cumplir para poder resolver problemas con éxito. Este aspecto es
importante ya que permite, de antemano, planificar los pasos a seguir en la resolución de un
problema, ejecutar esos pasos, y posteriormente, supervisar el proceso de resolución y comprobar la
solución o resultado.
REPRESENTACIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS.
Un aspecto importante a considerar en el proceso de resolución de problemas es la
representación. Esta consiste en la transformación de la información presentada a una forma más
fácil de almacenar en el sistema de la memoria, e incluye la identificación de las metas y los datos. La
representación también ha sido denominada espacio del problema para referirse a las
representaciones mentales de los individuos acerca de su estructura y de los hechos, conceptos y
relaciones del mismo.
A continuación se presenta un ejemplo para ilustrar cómo se puede representar un problema
en la memoria:
Un autobús parte de la parada en la mañana. Se detiene en la primera parada y recoge 5
personas. Sigue hasta la próxima parada y allí suben 6 personas. Continúa hasta la
siguiente parada y suben 4 personas. En la próxima parada, suben 5 personas y se bajan 3.
En la siguiente, suben 5 personas y se bajan 4 en la parada siguiente suben 6 personas y se
baja 1. La próxima vez, suben 3 personas y se bajan 2. La vez siguiente, se bajan 2
personas y no se sube nadie. En la siguiente parada nadie espera por el autobús, de
manera tal que este no se detiene. En la próxima parada, suben 10 personas y se bajan 3.
En la siguiente suben 3 personas y se bajan 6. Finalmente el autobús llega al terminal.
¿Cuántas paradas hay en la ruta del autobús? (Tomado de Andre, 1986, p, 177)
La tendencia más común es que la mayoría de los estudiantes puedan decir cuántas personas
llegan a la parada final, cuántas subieron o cuánta bajaron, pero muy pocos están en capacidad de
indicar cuántas paradas hay en la ruta del autobús debido a que seleccionaron la información
numérica como datos importantes y la representaron internamente en la forma de operaciones
aritméticas.
En términos de los procesos involucrados en la resolución de problemas, esto sucede porque
la meta del problema no estaba bien definida a pesar de que había datos numéricos explícitos
precisos. El énfasis sobre el número de personas que suben y bajan del autobús hace posible que los
estudiantes piensen que tienen que hacer algo con esos datos y, en tal sentido, construyen una meta
la cual se representa como el logro de una cantidad total. Esta decisión conduce a los estudiantes a
19 Aprendiendo a emprender
seleccionar cierta información como relevante (número de personas que suben y bajan del autobús) e
ignorar otra (número de paradas del autobús).
Kintsch y Greeno (1985) señalan que una estrategia adecuada para resolver problemas
consiste en traducir cada oración del enunciado del problema a una representación mental interna y,
luego, organizar la información relevante en una representación mental coherente de la situación
descrita en dicho enunciado. En este sentido, se puede señalar que las representaciones mentales,
adecuadas o inadecuadas, utilizadas por los individuos para resolver problemas, pueden facilitar o
inhibir la solución.
Diferencias en las representaciones de expertos y novatos
En la literatura sobre la resolución de problemas se pueden distinguir dos tendencias: una que
enfatiza el proceso de resolución y otra que resalta el conocimiento base del individuo que resuelve el
problema, particularmente la organización de ese conocimiento. En este sentido, podría señalarse
que ha habido un cambio en el foco de interés en esta área, el cual ha pasado del análisis de las
estrategias generales más o menos independientes de un dominio del conocimiento -como es el caso
de los pasos sugeridos por Polya (1965)- al conocimiento base referido al área en la cual el individuo
resuelve el problema, como por ejemplo, el conocimiento de la matemática, de la física o de la
química, necesario para resolver problemas en estas disciplinas.
Resolver problemas en áreas o dominios específicos requiere, por lo tanto, del conocimiento
de la disciplina involucrada. Sin embargo, se ha puesto en evidencia que la sola presencia del
conocimiento almacenado en el sistema de memoria, no implica necesariamente que éste va a estar
disponible en el momento de resolver el problema.
En años recientes, los investigadores en el área de la resolución de problemas han examinado
la ejecución de individuos en tareas que requieren muchas horas de aprendizaje y de experiencia.
Los estudios sobre la experticia han focalizado su interés en el examen de las diferencias
experto/novato en diferentes áreas del conocimiento.
Desde los inicios de la década de los ochenta, Chi, Feltovich y Glaser (1981) y Chi, Glaser y
Rees (1982), realizaron algunos estudios con el fin de examinar el comportamiento de los individuos
expertos y novatos cuando resuelven problemas de física. Al resumir los diversos experimentos de
sus estudios, estos autores concluyen que las diferencias que caracterizan a los expertos y los
novatos cuando resuelven problemas de física son las siguientes:
1) Las estructuras cognoscitivas (esquemas) de los expertos se basan en principios físicos
(por ejemplo, el principio de la conservación de la energía y la segunda ley de Newton), mientras que
las de los novatos se basan el objetos (por ejemplo, planos inclinados) y en constructor (por ejemplo,
fricción, gravedad).
2) Los contenidos de los esquemas de los expertos y los novatos no difieren significativamente
en información, sin embargo, las estructuras de los novatos carecen de relaciones importantes que
constituyen la base de las soluciones. En los expertos existen vínculos entre la representación del
problema y los principios físicos que constituyen la base para resolverlo, mientras que en los novatos
estos vínculos no existen.
20 Aprendiendo a emprender
3) Las estructuras cognoscitivas de los expertos están ordenadas jerárquicamente, de arriba
hacia abajo, con los conceptos más generales e inclusores en la parte superior del nivel de
abstracción, mientras que en los novatos, los diferentes niveles del conocimiento no están bien
integrados y no hay acceso fácil de un nivel a otro.
Los resultados de los estudios realizados conducen a pensar que existen altos niveles de
competencia en términos de la interacción entre la estructura de conocimiento del sujeto y sus
habilidades de procesamiento, y señalan que las relaciones entre la estructura del conocimiento base
y los procesos en la resolución de problemas están mediadas por la calidad de su representación
(Gagné y Glaser, 1987).
Como se planteó, los resultados de los estudios que han examinado las diferencias entre los
expertos y los novatos cuando resuelven problemas, han evidenciado que los primeros poseen más
conocimiento específico que los novatos y que su conocimiento está organizado de manera más
coherente, alrededor de un conjunto de ideas claves.
Además del conocimiento específico Yekovich, Thompson y Walker (1991) expresaron que
“los expertos y los novatos también difieren en la manera como representan mentalmente los
problemas”. Los novatos representan aspectos superficiales del problema, mientras que los expertos
representan el significado del problema. Finalmente los expertos y los novatos evidencian diferencias
estratégicas en la resolución de problemas. Por ejemplo, los expertos tienden a utilizar un enfoque
basado en esquemas para resolver los problemas en dominios bien definidos trabajando hacia
adelante. Los novatos, por su parte, buscan el procedimiento para lograr la solución y trabajan hacia
atrás (Poggioli, 2009, p.22).
Las estrategias de resolución de problemas
Las estrategias para resolver problemas se refieren a las operaciones mentales utilizadas por
los estudiantes para pensar sobre la representación de las metas y los datos, con el fin de
transformarlos en metas y obtener una solución. Las estrategias para la resolución de problemas
incluyen los métodos heurísticos, los algoritmos y los procesos de pensamiento divergente.
Métodos heurísticos
Los métodos heurísticos son estrategias generales de resolución, reglas de decisión utilizadas
por los solucionadores de problemas, basadas en la experiencia previa con problemas similares.
Estas estrategias indican las vías o posibles enfoques a seguir para alcanzar una solución.
De acuerdo con Monereo y otros (1995) los procedimientos heurísticos son: "acciones que
comportan un cierto grado de variabilidad y su ejecución no garantiza la consecución de un resultado
óptimo como, por ejemplo, reducir el espacio de un problema complejo a la identificación de sus
principales elementos" (p.20). Mientras que Duhalde y González (1997) señalan que un heurística es
"un procedimiento que ofrece la posibilidad de seleccionar estrategias que nos acercan a una
solución" (p.106).
Los métodos heurísticos pueden variar en el grado de generalidad. Algunos son muy
generales y se pueden aplicar a una gran variedad de dominios, otros pueden ser más específicos y
se limitan a un área particular del conocimiento. La mayoría de los programas de entrenamiento en
21 Aprendiendo a emprender
solución de problemas enfatizan procesos heurísticos generales como los planteados por Polya
(1965) o Hayes (1981).
Los métodos heurísticos específicos están relacionados con el conocimiento de un área
particular. Este incluye estructuras cognoscitivas más amplias para reconocer los problemas,
algoritmos más complejos y una gran variedad de procesos heurísticos específicos.
Chi y colaboradores (1981, 1982), señalan que entre el conocimiento que tienen los expertos
solucionadores de problemas están los "esquemas de problemas". Estos consisten en conocimiento
estrechamente relacionado con un tipo de problema en particular y que contiene:
Conocimiento declarativo: principios, fórmulas y conceptos.
Conocimiento procedimental: conocimiento acerca de las acciones necesarias para resolver
un tipo de problema en particular.
Conocimiento estratégico: conocimiento que permite, al individuo solucionador del
problema, decidir sobre las etapas o fase que deben seguir en el proceso de solución.
Diversos investigadores han estudiado el tipo de conocimiento involucrado en la resolución de
un problema, encontrándose que los resultados apoyan la noción de que la eficiencia en la resolución
de problemas está relacionada con el conocimiento específico del área en cuestión (Mayer, 1992;
Stenberg, 1987). En este sentido, estos autores coinciden en señalar que los tipos de conocimiento
necesarios para resolver problemas incluyen:
Conocimiento declarativo: por ejemplo, saber que un kilómetro tiene mil metros
Conocimiento lingüístico: conocimiento de palabras, frases, oraciones.
Conocimiento semántico: dominio del área relevante al problema, por ejemplo, saber que si
Álvaro tiene 5 bolívares más que Javier, esto implica que Javier tiene menos bolívares que
Álvaro.
Conocimiento esquemático: conocimiento de los tipos de problema.
Conocimiento procedimental: conocimiento del o de los algoritmos necesarios para resolver
el problema.
Conocimiento estratégico: conocimiento de los tipos de conocimiento y de los
procedimientos heurísticos.
22 Aprendiendo a emprender
Tipos de conocimiento requeridos para resolver un problema según Stenberg (1987)
Paso
Tipos de conocimiento
Representación del
problema
Traducción
Declarativo
Integración
Procedimental
Solución del
problema
Tipos de conocimiento
Planificación
Estratégico
Ejecución
Algorítmico
Lingüístico
Ejemplos
Javier tiene 3 bolívares mas que
Álvaro significa: J=A+3
Un fuerte equivale a 5 bolívares
Problema de comparación,
consistente en dos subunidades y
una supra unidad
El objetivo es sumar 3+5
Procedimientos para contar
Entre los procedimientos heurísticos generales se pueden mencionar los siguientes:
•
Trabajar en sentido inverso (working backwards). Este procedimiento implica comenzar a
resolver el problema a partir de la meta o metas y tratar de transformarlas en datos, yendo de
la meta al principio. El procedimiento heurístico es utilizado en geometría para probar algunos
teoremas; se parte del teorema y se trabaja hacia los postulados. Es útil cuando el estadometa del problema está claro y el inicial no.
•
Subir la cuesta (hill climbing) Este procedimiento consiste en avanzar desde el estado actual
a otro que esté más cerca del objetivo, de modo que la persona que resuelve el problema, al
encontrarse en un estado determinado, evalúa el nuevo estado en el que estará después de
cada posible movimiento, pudiendo elegir aquel que lo acerque más al objetivo. Este tipo de
procedimiento es muy utilizado por los jugadores de ajedrez.
•
Análisis de medios-fin (means-ends analysis). Este procedimiento permite al que resuelve el
problema trabajar en un objetivo a la vez. Consiste en descomponer el problema en sub
metas, escoger una para trabajar, y solucionarlas una a una hasta completar la tarea
eliminando los obstáculos que le impiden llegar al estado final. Según Mayer (1983), el que
resuelve el problema debe hacerse las siguientes preguntas: ¿Cuál es mi meta?, ¿qué
obstáculos tengo en mi camino?, ¿de qué dispongo para superar los obstáculos? En el
estudio de Larkin, McDermott, Simon y Simon (1980), se encontró que los estudiantes de un
curso introductorio de física utilizaban el análisis medios-fin para resolver problemas, mientras
que los físicos más expertos utilizaban otro procedimiento que evitaba la creación de muchas
metas.
Los algoritmos
Los algoritmos son procedimientos específicos que señalan paso a paso la solución de un
problema y que garantizan el logro de una solución siempre y cuando sean relevantes para el
problema.
Monereo y otros (1995) señalan que un procedimiento algorítmico es una sucesión de
acciones que hay que realizar, completamente prefijada y su correcta ejecución lleva a una solución
segura del problema como, por ejemplo, realizar una raíz cuadrada o coser un botón (p. 20).
23 Aprendiendo a emprender
Por otra parte, Duhalde y González (1997) señalan que un algoritmo es una prescripción
efectuada paso a paso para alcanzar un objetivo particular. El algoritmo garantiza la obtención de lo
que nos proponemos (p.l06).
De esta manera, el algoritmo se diferencia del heurístico en que este último constituye sólo
"una buena apuesta", ya que ofrece una probabilidad razonable de acercamos a una solución. Por lo
tanto, es aceptable que se utilicen los procedimientos heurísticos en vez de los algorítmicos cuando
no conocemos la solución de un problema.
Los procesos de pensamiento divergente
Los procesos de pensamiento divergente permiten la generación de enfoques alternativos a la
solución de un problema y están relacionados, principalmente, con la fase de inspiración y con la
creatividad. La adquisición de habilidades para resolver problemas ha sido considerada como el
aprendizaje de sistemas de producción que involucran tanto el conocimiento declarativo como el
procedimental. Existen diversos procedimientos que pueden facilitar o inhibir la adquisición de
habilidades para resolver problemas, entre los cuales se pueden mencionar:
•
•
•
•
•
•
Ofrecer representaciones metafóricas.
Permitir la verbalización durante la solución del problema
Ofrecer ejemplos
Ofrecer descripciones verbales
Trabajar en grupo
Utilizar auto-explicaciones
24 Aprendiendo a emprender
FACTORES QUE AFECTAN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Desde la perspectiva del enfoque cognoscitivo, se han revisado los factores que influyen en el
proceso de resolución de problemas. Existen algunas categorías que permiten agrupar estos factores
en: relacionados con los procesos, dependientes del sujeto y ambientales.
a) Factores relacionados con los procesos.
Los procesos mentales desarrollados por los individuos, mientras resuelven un problema, han
sido objeto de estudio por parte de investigadores del paradigma cognoscitivo. Por ejemplo, la mayor
parte de las investigaciones en el área de la matemática, directa o indirectamente, tienen por objeto
analizar y generar modelos que reflejen los procesos subyacentes a la ejecución de los sujetos.
Dentro de este marco se encuentran los trabajos de Suples y Groen, quienes desde 1967 se
han dedicado a explorar cómo los niños resuelven problemas de suma con números menores de
diez. Estos autores han examinado varios modelos y, a partir de sus trabajos, se han estudiado
muchos otros procesos aritméticos, como la sustracción, la multiplicación, la división, las operaciones
con fracciones. Tales modelos se han extendido para intentar explicar otros procesos.
En el análisis de los procesos involucrados en la resolución de problemas, es la aritmética
mental (análisis cronométrico) la técnica que mejor información ha generado. En esencia, esta técnica
consiste en medir el tiempo requerido por un sujeto para dar respuesta a un problema. Se parte del
supuesto de que este tiempo está en función de los procesos cognoscitivos involucrados para
resolver el problema.
El estudio de Groen y Parkman (1972) ilustra, de alguna manera, este tipo de análisis. En su
estudio, estos autores presentaron a niños de primer grado problemas de adición y les pidieron emitir
la respuesta en el tiempo más breve posible. Los autores comprobaron que los datos obtenidos se
ajustaban, en primer lugar, al algoritmo simple de la suma, el cual consiste en tomar el valor del
sumando mayor e ir añadiendo hacia arriba el número de veces que indica el sumando menor, por
ejemplo, 4+2=6, el niño cuenta 4,5,6 y, en segundo lugar, al algoritmo de contar a partir de 1,
comenzando desde el primer sumando, así 1 y 5 es 6 porque el niño cuenta 1,2,3,4,5,6. Los
resultados también indicaron que las estrategias de conteo que se desarrollan antes de la
escolaridad, juegan un papel importante en la determinación de los procedimientos utilizados en la
escuela y los métodos que los niños emplean no son necesariamente los mismos que se les enseñan
a través de la instrucción.
b) Factores dependientes del sujeto.
Clásicamente, se ha considerado que las características de los individuos tienen un papel
importante en el éxito o fracaso en la resolución de problemas. Algunos factores son el conocimiento
y la experiencia previa, la habilidad en la lectura, la perseverancia, las habilidades de tipo espacial, la
edad y el sexo.
En la actualidad, existe una tendencia orientada hacia la construcción de modelos que
representan las diferencias entre los solucionadores de problemas eficientes e ineficientes o las
diferencias en la ejecución de la tarea por expertos y novatos, a las cuales se hizo referencia en el
capítulo anterior. Los individuos expertos poseen mayor información que los novatos, lo cual facilita la
representación del problema en términos de esquemas, estructuras, procedimientos y métodos
25 Aprendiendo a emprender
heurísticos. Las representaciones abstractas habilitan a los expertos para enfrentar con mayor
eficiencia los problemas.
c) Factores ambientales.
Existe un gran número de factores externos que pueden afectar la ejecución en la resolución
de problemas. Sin embargo, la comunidad de educadores en el área de la matemática está de
acuerdo en concentrar su esfuerzo es factores relacionados con la instrucción para desarrollar
estrategias expertas de pensamiento, para enseñar el uso de herramientas especificas de
pensamiento y para entrenar en el uso de reglas generales y especificas de naturaleza heurística.
Las estrategias expertas de pensamiento pueden ser utilizadas independientemente del tipo y
de naturaleza del problema y se orientan hacia el desarrollo de un pensamiento original, divergente y
de actitudes positivas hacia la resolución de problemas.
Las herramientas específicas de pensamiento son estrategias que tienden a equipar al sujeto
que resuelve el problema, con un conjunto de habilidades que supuestamente intervienen
favorablemente, aunque su eficiencia no ha sido consistentemente comprobada.
Los métodos instruccionales diseñados para el entrenamiento en estrategias heurísticas
generales o específicas han sido propuestos por Polya (1965). Entre las estrategias heurísticas
específicas están: simplificar el problema, trabajar en sentido inverso, etc.; sin embargo, este tipo de
estrategia es útil sólo en casos muy particulares. Las estrategias heurísticas generales, como ya
señalamos anteriormente, se pueden utilizar en un amplio rango de problemas, siendo las principales
el análisis de medios -fin, la planificación y la organización de la información.
26