1. Educación

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014
Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
Matrices
Una matriz Am×n es una colecci´
on de n´
umeros
columnas


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


 ..
..
.. 
..
 .
.
.
. 
am1 am2 · · · amn
↓
↓
↓
c1 c2 · · · cn
ordenados en filas y
→ f1
→ f2
..
.
→ fm
Decimos que la dimensi´
on de A es m × n. Si m = n, decimos que A es
cuadrada; si m = n decimos que es rectangular.
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Matrices
Diagonal principal. Si A es una matriz cuadrada de dimensi´on n, los
elementos aii , i = 1, . . . , n forman la diagonal principal de la matriz; la
suma de estos elementos es la traza de la matriz.
Traspuesta de una matriz: es la matriz que se obtiene cuando
intercambiamos las filas y las columnas (PIZARRA)
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Matrices
Tipos especiales: (PIZARRA)
Matriz identidad.
Matriz diagonal.
Matrices triangulares (superior, inferior).
Matriz nula.
Matriz fila, matriz columna.
Matriz sim´etrica, hemisim´etrica (antisim´etrica).
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Matrices
Operaciones: (PIZARRA)
1. Suma. Propiedades:
Conmutativa.
Asociativa.
Elemento neutro: matriz nula.
Elemento inverso: opuesta de una matriz.
2. Multiplicaci´
on por un n´
umero. Propiedades:
λ · (A + B) = λ · A + β · B
(λ + µ) · A = λ · A + µ · A
λ · (µ · A) = (λ · µ) · A
1 · A = A.
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Matrices
Operaciones: (PIZARRA)
3. Multiplicaci´
on de dos matrices. Propiedades:
En general no es conmutativa.
Asociativa.
Elemento neutro para matrices cuadradas: matriz identidad.
Elemento inverso para algunas matrices cuadradas: matriz inversa.
(A · B)T = B T · AT .
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Matrices
Inversa de una matriz: dada una matriz cuadrada A, A−1 (su inversa)
es la matriz, si existe, que cumple
A · A−1 = A−1 · A = I
A−1 no siempre existe. Se puede caracterizar cu´ando existe
utilizando determinantes, o la noci´
on de rango.
(A−1 )T = (AT )−1 .
(A · B)−1 = B −1 · A−1
Dos opciones para calcularla: determinantes o el m´etodo de
Gauss-Jordan (lo veremos m´as adelante).
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Determinantes
Dada una matriz cuadrada A, el determinante de A, que
representamos por |A|, es un n´
umero que asociamos con A.
Decimos que |A| tiene orden n, si la dimensi´
on de A es n × n.
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Determinantes
|A| se define primero para orden 2 (PIZARRA). Los determinantes
de orden 3 se calculan desarrollando por una fila o columna,
reduciendo por tanto el c´alculo a orden 2. Por ejemplo, si A es 3 × 3,
desarrollando por la primera fila (aunque se puede elegir cualquier
otra fila, o cualquier columna), tenemos
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
= a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13
donde Aij representa el adjunto del elemento aij (es decir, el menor
complementario multiplicado por (−1)i+j ). En el caso de matrices
for 3 × 3, la Regla de Sarrus puede ser, tambi´en, u
´til. (PIZARRA).
Igualmente, los determinantes de orden 4 se calculan desarrollando
por una fila o columna, etc.
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Determinantes
Propiedades b´
asicas:
1. |A| = |At |
2. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces
|A · B| = |A| · |B|.
3. Si todos los elementos de una fila (o columna) tienen un factor
com´
un, dicho factor se puede extraer fuera del determinante.
4. Si intercambiamos dos filas (o dos columnas), el determinante
cambia de signo.
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Determinantes
Propiedades b´
asicas:
5. Si A tiene una fila o una columna de 0’s, entonces |A| = 0.
6. Si A tiene dos filas (o dos columnas) iguales o proporcionales,
entonces |A| = 0. Si hay una fila o columna que es combinaci´on
lineal de otras, el determinante tambi´en es cero.
7. El valor del determinante no cambia si a˜
nadimos a una fila (o
columna) una combinaci´
on lineal de otras filas (o columnas). Esta
propiedad es esencial para calcular el valor de un determinante
de manera eficiente.
C´alculo pr´actico de determinantes: PIZARRA
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Determinantes
C´alculo de la inversa de una matriz cuadrada A.
La inversa A−1 existe si y s´
olo si |A| = 0.
1
T
A−1 =
· Adj (A), donde Adj(A) es la matriz adjunta, es decir,
|A|
la matiz cuyo elemento i, j es el adjunto del elemento aij .
Alternativa: m´etodo de Gauss. (PIZARRA)
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Rango de una Matriz
Decimos que una fila r (an´alogamente, una columna) es una
combinaci´
on lineal de las filas ri1 , . . . , ris si existen n´
umeros
α1 , . . . , αs tales que
r = α1 · ri1 + · · · + αs · ris .
Los α1 , . . . , αs se llaman coeficientes de la combinaci´on lineal.
Decimos que ciertas filas (an´alogamente, columnas) son
linealmente independientes, si ninguna se puede obtener como
combinaci´
on lineal del resto. En caso contrario, decimos que son
linealmente dependientes.
Pregunta: C´
omo podemos reconocer f´
acilmente si dos filas (o dos
columnas) son linealmente dependientes?
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Rango de una Matriz
Definici´
on
El rango de una matriz A, rg(A), es el n´
umero de filas (o de columnas)
linealmente independientes de la matriz.
Definici´
on (equivalente) de rango, en t´
erminos de determinantes.
Se dice que un menor, en una matriz A, es cualquier determinante que
podamos obtener a partir de la matriz original, eliminando filas y/o
columnas. Se puede ver entonces que rg(A) es el m´aximo orden de los
menores no nulos de A. (PIZARRA)
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Rango de una Matriz
Observaciones/propiedades:
Decimos que una matriz A de orden n tiene rango completo (o que
es regular), si rg(A) = n. Esto sucede si y s´
olo si |A| = 0 (es decir,
si y s´
olo si A es invertible). Si A es cuadrada y no tiene rango
completo, se dice que es singular; una matriz singular no tiene
inversa.
El rango por filas coincide con el rango por columnas.
rg(A) = rg(AT ).
Si la dimensi´
on de A es m × n, entonces rg(A) ≤ min(m, n).
Al calcular el rango, estamos encontrando filas (o columnas)
independientes!
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Rango de una Matriz
Algunas reglas para calcular rg(A):
Una matriz tiene rango 0 si y s´
olo si todos sus elementos son 0.
una fila/columna de 0s no cuenta para el c´alculo de rangos.
Igualmente, una fila/columna que es m´
ultiplo de otra fila/columna,
o es combinaci´
on lineal de otras filas/columnas, no cuenta tampoco.
El rango no cambia si realizamos operaciones elementales por filas
en la matriz A (intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un
n´
umero, sumar a una fila una combinaci´
on lineal de otras filas);
an´alogamente por columnas.
El c´alculo pr´actico de rangos se puede realizar utilizando
determinantes, o el m´etodo de Gauss. (PIZARRA)
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Sistemas lineales: definiciones
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones del
tipo

 a11 · x1 + a12 · x2 + · · · a1n · xn = b1


 a21 · x1 + a22 · x2 + · · · a2n · xn = b2
..
..
..

.
.
.



am1 · x1 + am2 · x2 + · · · amn · xn = bm
xi ’s: inc´
ognitas
aij ’s: coeficientes
bj ’s: t´erminos independientes
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Sistemas lineales: definiciones
El sistema se puede escribir en

a11 a12 · · ·
 a21 a22 · · ·

 ..
..
..
 .
.
.
am1 am2 · · ·
forma matricial
 
a1n
x1
 x2
a2n 
 
..  ·  ..
.   .
amn
xn
como:
 
 
 
=
 
b1
b2
..
.





bm
En forma abreviada,
A · x¯ = b¯
A: Matriz de coeficientes.
x¯: vector de inc´
ognitas.
¯ vector de t´erminos independientes.
b:
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Clasificaci´on de Sistemas Lineales
Clasificaci´
on de Sistemas Lineales: Un sistema lineal puede ser:
1
Compatible, si tiene soluci´
on. En este caso, puede ser:
Determinado, si tiene soluci´
on u
´nica.
Indeterminado, si tiene infinitas soluciones.
2
Incompatible, si no tiene soluci´
on.
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Clasificaci´on de Sistemas Lineales
Matriz ampliada:



B=

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
b1
b2
..
.
am1
am2
···
amn
bm





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Clasificaci´on de Sistemas Lineales
Teorema (Teorema de Rouch´e-Fr¨
obenius)
Sea A · x¯ = b¯ un sistema lineal de m ecuaciones con n inc´ognitas, y sea
B la matriz ampliada del sistema. El sistema es compatible si y s´olo si
rg(A) = rg(B); en este caso, el sistema es determinado si
rg(A) = rg(B) = n, y es indeterminado si rg(A) = rg(B) < n.
Si rg(A) = rg(B) = n, la diferencia n − rg(A) es el n´
umero de par´ametros
de los que depende la soluci´
on.
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Resoluci´on de sistemas lineales
Dos posibilidades:
1
M´
etodo de Cramer: utiliza determinantes y debe aplicarse sobre un
sistema de Cramer (es decir, un sistema donde la matriz de
coeficientes tenga rango completo).
2
M´
etodo de Gauss, y de Gauss-Jordan: no requiere calcular
determinantes, sino realizar u
´nicamente operaciones sobre
filas/columnas. Es el m´etodo que est´a implementado en los paquetes
de software matem´atico.
En ambos casos, PIZARRA
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Sistemas Lineales Homog´eneos
Sistemas lineales donde los t´erminos independientes son todos nulos:

a11 · x1 + a12 · x2 + · · · a1n · xn = 0



 a21 · x1 + a22 · x2 + · · · a2n · xn = 0
..
.. ..

.
. .



am1 · x1 + am2 · x2 + · · · amn · xn = 0
Siempre son compatibles (por qu´e?)
La pregunta interesante es si tienen o no otras soluciones, adem´as de
la soluci´
on trivial (en cuyo caso tienen infinitas!)
Esto sucede si y s´
olo si rg(A) < n.
Si A es cuadrada, esto es equivalente a |A| = 0.
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