1. Ciencia

An´
alisis de se˜
nales en geof´ısica
22 de octubre de 2014
Trabajo Pr´
actico No 10
Filtros inversos y deconvoluci´
on
1) Dada la secuencia peri´
odica a = (+2, −1, +1, +3), calcule su inversa exacta a−1
n haciendo uso
de la transformada discreta de Fourier. Compruebe mediante un c´odigo en GNU-OCTAVE que
la inversa obtenida es exacta seg´
un la convoluci´on circular, es decir: an ∗ a−1
n = (1, 0, 0, 0).
2) Dada una secuencia an queremos hallar un filtro de longitud finita fn tal que al convolucionarlo con an se obtenga la salida deseada dn , es decir:
an ∗ fn = dn
Utilizando notaci´
on matricial tendremos: Af = d, donde A es la matriz de convoluci´on de
an . Si imponemos la condici´
on de que fn sea un filtro ´optimo en el sentido de los cuadrados
m´ınimos: ||Af − d||22 = m´ınimo, resulta:
f = AT A
−1
AT d
En general fn se conoce como filtro Wiener, filtro conformador o shaping filter. En particular,
cuando la salida deseada es un impulso unitario, se habla de deconvoluci´on impulsiva (spike
deconvolution) o filtro inverso Wiener.
a) Calcule la inversa de la secuencia de fase m´ınima a = (1, 0.6) y tr´
unquela en una longitud
de cuatro muestras. Luego calcule el filtro inverso Wiener de igual longitud a la del filtro
inverso truncado.
b) Convolucione la secuencia de fase m´ınima original con el filtro inverso truncado y con el
filtro inverso Wiener. Calcule el error medio cuadr´atico del resultado de ambas convoluciones. ¿Cu´
al de los dos errores medios cuadr´aticos es menor? Explique brevemente por
qu´e.
Utilice el c´
odigo GNU-OCTAVE filtro-wiener.m provisto en la p´agina web de la materia para
controlar el resultado.
3) A partir de los dipolos de fase m´ınima (1, 0.2), (1, −0.4), y (1, 0.6) y de sus respectivos dipolos equivalentes de fase m´
axima (0.2, 1), (−0.4, 1) y (0.6, 1) se pueden generar ond´ıculas
equivalentes de fase m´ınima, lineal (mixta) y m´axima. Analice el c´odigo ond-equiv.m en
el cual se convolucionan estos dipolos de forma adecuada para generar ond´ıculas equivalentes de tama˜
no 7 y se grafican los correspondientes espectros de amplitud, de fase, y las
autocorrelaciones. Interprete los gr´aficos.
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4) En el c´odigo dcon-ond-equiv.m se calcula el filtro inverso Wiener de longitud 15 de las
ond´ıculas equivalentes de fase m´ınima, mixta (lineal) y m´axima de longitud 7 generadas
igual que en el ejercicio anterior. El c´odigo permite elegir la posici´on del impulso unitario de
la salida deseada cambiando la variable delay para que la salida sea de fase m´ınima, lineal
(mixta) o m´
axima. Una vez hallado el filtro, se convolucionan las ond´ıculas con su filtro
inverso Wiener obtenido (deconvoluci´
on). Para una salida deseada dada por un impulso
unitario con un 1 en la primera muestra, ¿en qu´e caso el resultado es el esperado? Repita
la deconvoluci´
on de las tres ond´ıculas equivalentes, pero ahora coloque primero el 1 en la
muestra central de la salida deseada del filtro primero y luego en la u
´ltima muestra. ¿En qu´e
casos el resultado es el esperado? Interprete y describa los resultados.
5) En el c´
odigo add-freq-zeros.m se genera una ond´ıcula de fase m´ınima y se la agregan
ceros a partir de la convoluci´
on con dipolos cuyos ceros se encuentran pr´oximos al c´ırculo
unitario |Z| = 1. De esta manera se obtiene una nueva ond´ıcula con valores cercanos a 0 en el
espectro de amplitud y que tendr´
a su matriz de autocorrelaci´on mal condicionada. Grafique
la ond´ıcula sin y con ceros, y sus espectros de amplitud. Calcule el filtro inverso Wiener de
longitud 15 de cada una de ellas. Convolucione las ond´ıculas con el filtro inverso Wiener
obtenido. Analice los resultados.
6) La matriz de correlaci´
on AT A de la expresi´on del filtro Wiener suele ser una matriz mal
condicionada, es decir, existen valores propios que son ceros o pr´oximos a cero, que produce
inestabilidad num´erica en la inversi´on. Esto puede ser evitado definiendo una nueva funci´
on
objetivo a minimizar:
J = ||Af − δ ||2 2 + µ ||f ||2 2 ,
donde hemos agregado un t´ermino de regularizaci´
on. Imponiendo la condici´on:
dJ
= 0,
df
obtenemos una nueva expresi´
on para el filtro inverso Wiener:
f = AT A + µI
−1
AT δ.
Con valores peque˜
nos de µ se logra mayor resoluci´on pero menor estabilidad. Por el contrario,
con valores grandes de µ se tendr´
a menor resoluci´on pero mayor estabilidad. Existe entonces
una situaci´
on de compromiso entre resoluci´on y estabilidad. Cuando el operador de deconvoluci´on es inestable, peque˜
nas perturbaciones en la entrada provocan grandes variaciones en
la salida. Es decir, si la entrada estuviera solamente formada por ruido, ´este ser´a amplificado
en la salida por el operador inestable, lo que representa un efecto indeseable. Habitualmente
el par´ametro de compromiso (trade-off ) µ se define en funci´on del coeficiente de correlaci´
on
a lag cero R0 de la matriz de autocorrelaci´on AT A,
µ=
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R0
× P,
100
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donde P es el porcentaje de preblanqueo. Para elegir P y as´ı determinar µ, se prueba con
distintos porcentajes de preblanqueo hasta lograr un resultado satisfactorio. Considere la
ond´ıcula de fase m´ınima del ejercicio anterior con ceros pr´oximos al c´ırculo unidad. Sume
una peque˜
na cantidad de ruido blanco a la ond´ıcula antes de deconvolucionarla. Calcule el
filtro inverso Wiener de longitud similar a la de la ond´ıcula. Observe que la existencia de
ceros en las altas frecuencias y la presencia de ruido aleatorio generan un nivel de ruido
inaceptable en la ond´ıcula deconvolucionada. Pruebe deconvolucionar con distintos valores
de preblanqueo hasta alcanzar un nivel de ruido aceptable en la ond´ıcula deconvolucionada en
detrimento de la resoluci´
on. Grafique en tiempo y en frecuencia la ond´ıcula, el filtro inverso
Wiener, y la ond´ıcula deconvolucionada, es decir, la convoluci´on de la ond´ıcula y el filtro
inverso. Describa c´
omo se comparan los diferentes gr´aficos.
Nota: utilice el c´
odigo GNU-OCTAVE bad-cond-dcon.m provisto en la p´agina web de la materia.
7) Genere una secuencia aleatoria de longitud igual a 4 veces la longitud de la ond´ıcula en el
archivo wavelet y con un nivel de ruido de un 20 % del m´aximo de la ond´ıcula. S´
umele a
esta secuencia aleatoria la ond´ıcula retardada en un n´
umero cualquiera de muestras. Luego
correlacione esta u
´ltima secuencia con la ond´ıcula. ¿Puede detectar en el resultado de la
correlaci´
on el retardo de la ond´ıcula? Explique el resultado obtenido. ¿Hasta qu´e nivel de
ruido esta correlaci´
on permite determinar con precisi´on el retardo de la ond´ıcula?
Nota: utilice el c´
odigo GNU-OCTAVE filtro-correlador.m provisto en la p´agina web de la
materia.
Preguntas claves
I) ¿Cu´ando dos ond´ıculas son equivalentes? ¿Qu´e es una ond´ıcula de fase m´ınima equivalente?
¿Qu´e es una ond´ıcula de fase cero equivalente?
II) ¿Qu´e es un shaping filter ?
III) ¿A qu´e se le llama deconvoluci´
on spiking?
IV) ¿Cu´al es la fase de un operador de deconvoluci´on spiking cuando la salida deseada es un
impulso a lag cero? ¿Qu´e sucede cuando la fase de la ond´ıcula que se busca deconvolucionar
no es m´ınima?
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