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TEMA: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
C-J-04
a) Al colgar una masa en el extremo de un muelle en posición vertical, éste se desplaza 5 cm; ¿de qué magnitudes
del sistema depende la relación entre dicho desplazamiento y la Aceleración de la gravedad? b) Calcule el
periodo de oscilación del sistema muelle-masa anterior si se deja oscilar en posición horizontal (sin rozamiento).
Dato: aceleración de la gravedad
g = 9,81 m/s2
Solución:
a) Al colgar una masa en el resorte aparece la fuerza peso que alarga el muelle. El equilibrio se alcanza cuando el peso
es igual a la fuerza recuperadora del muelle:
Peso = m.g , Fuerza recuperadora = k · x
m·g=k·x
x /g = m / k = 0'05 / 9'81 = 0'005 s2
La relación entre el desplazamiento y la ac. de la gravedad depende directamente de la masa e inversamente de la
constante elástica del muelle.
b) La aceleración del movimiento será:
a = F /m = - k · x / m, ecuación de un M.A.S. a = - w2 · x
siendo w = 2· / T = ( k / m )1/2
T = 2· · (m / k )1/2 = 2· · (0'005 )1/2 = 0'45 s
C-S-04
Una partícula oscila con movimiento armónico simple según el eje Y en torno al origen de coordenada,
originando una onda transversal que se propaga en el sentido del eje X con una velocidad de 20 m/s, una
amplitud de 0'02 m y una frecuencia de 10 Hz. Determinar:
a) El período y la longitud de onda
b) La expresión matemática de la onda, si en t=0 la partícula situada en el origen de coordenadas está en la
posición de máxima elongación positiva.
Solución:
El período es la inversa de la frecuencia: T = 1 / F = 1 / 10 = 0'1 s
La longitud de onda es el espacio recorrido en un período: = v . T = 20 . 0'1 = 2 m
Como: A = 0'02 m
w = 2.p.F = 2. .10 = 20.
k = 2. / = 2. /2 =
f = desfase
La ecuación de la onda será: y = A . sen ( w.t - k.x + f ) = 0'02. sen ( 20. .t - .x + f )
Al principio, t = 0, el punto del origen, x = 0, está en la posición de máxima elongación positiva, es decir y = 0'02, por
lo que:
0'02 = 0'02. sen ( 20. .0 - .0 + f )
sen f = 1
f = /2
La ecuación de la onda es: y = 0'02. sen ( 20. .t - .x + /2 ) = 0'02. cos ( 20. .t - .x )
C-S-05
Se tienen dos muelles de constantes elásticas k1 y k2 en cuyos extremos se
disponen dos masas m1 y m2 respectivamente, siendo m1 < m2 . Al oscilar, las
fuerzas que actúan sobre cada una de estas masas en función de la elongación
aparecen representadas en la figura. ¿ Cuál es el muelle de mayor constante
elástica ?. ¿ Cuál de estas masas tendrá mayor período de oscilación ?.
Solución:
En todo sistema elástico la fuerza es proporcional y opuesta a la deformación, F = - k · x , siendo la representación
gráfica de esta función un recta de pendiente negativa que pasa por el origen de coordenadas. Por tanto, según la gráfica,
es el muelle 1 el que posee mayor constante elástica: k1 > k2
La aceleración de la masa será a = F / m = - ( k / m ) · x La aceleración es proporcional y opuesta a la posición,
ecuación característica del movimiento armónico simple, y por tanto:
w2 = k / m
( 2. / T )2 = k / m
T = 2. . (m/k)
Para saber qué periodo es mayor se parte de uno de ellos y se cambian sus variables por las del otro :
T1 = 2. . (m1 / k1) < 2. . (m1 / k2) < 2. . (m2 / k2) = T2
T1 < T2
C-S-06
Una partícula que describe un movimiento armónico simple recorre una distancia de 16 cm en cada ciclo de su
movimiento Y su aceleración máxima es de 48 mls2• Calcule: a) la frecuencia y el periodo del movimiento; b) la
velocidad máxima de la partícula.
Si en cada vaiven recorre 16 cm, significa que 16 = 4.A, la amplitud del MAS es 4 cm = 0’04 m
Las ecuaciones del MAS son:
x = A . sen (w.t – )
v = A.w. cos (w.t – )
a = – A.w2. sen (w.t – ) = – w2 .x
La aceleración máxima se alcanza en los extremos: 48 = w2 . 0’04
w = 34’64 rad/s
w = 2. / T
T = 2. / w = 0’18 seg
F = 1 / T = 5’5 Hz
La velocidad máxima es Vmax = A . w = 1’39 m/s
C-J-07
Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una
superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine:
a) El período del movimiento y la constante elástica del muelle.
b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto.
A = 0’05 m y F = 3’3 Hz
T = 1/F = 0’303 s
F = - k.x ,,, F = m.a ,,, a = - w2.x
w = 2. .F = 20’73 rad/s
k = m.w2 = 2’5 . 20’732 = 1074’8 N/m
La ecuación del MAS es: x = 0’05 . sen (20’73.t + )
V = dx/dt = 0’05 . 20’73 . cos (20’73.t + ) = 1’04 . cos (20’73.t + )
Vmáx= 1’04 m/s
amáx = 21’49m/s2
a = dV/dt = – 1’04 . 20’73 . sen (20’73.t + ) = – 21’49 . cos (20’73.t + )
C-J-08
Un cuerpo de masa m está suspendido de un muelle de constante elástica k. Se tira verticalmente del cuerpo
desplazando éste una distancia X respecto de su posición de equilibrio, y se le deja oscilar libremente. Si en las
mismas condiciones del caso anterior el desplazamiento hubiese sido 2X, deduzca la relación que existe, en ambos
casos, entre: a) las velocidades máximas del cuerpo; b) las energías mecánicas del sistema oscilante.
Solución:
Las ecuaciones del M.A.S. serán:
y = X . sen (w.t + )
v = dy/dt = X . w . cos (w.t + )
a = dv/dt = - X . w2 . sen (w.t + )
w2 = k / m
vmax = X . w
Em = ½ . k . X2
Como es el mismo muelle la constante elástica k es la misma y como tiene la misma masa la
pulsación w será la misma en los dos casos.
Caso 1) La amplitud es X
vmax 1 = X . w
. X2
Caso 2) La amplitud es 2X
vmax 2 = 2X . w
Dividiendo se obtienen las relaciones pedidas:
vmax 1 / vmax 2 = (X.w) / (2X.w) = ½
Em 1 / Em 2 = (½ . k . X2) / (½ . k . (2X)2) = ¼
Em 1 = ½ . k
Em 2 = ½ . k . (2X)2
C-S-08 y C-S-09
Una partícula que realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud tarda 2 s en efectuar una
oscilación completa. Si en el instante t=0 su velocidad era nula y la elongación positiva, determine:
a) La expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo.
b) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s.
La elongación, x, velocidad y aceleración vienen dadas por las ecuaciones:
x = A . sen (w.t + )
,, v = dx/dt = A.w. cos (w.t + ) ,, a = dv/dt = - A.w2. sen (w.t + )
Conocido el período se calcula la pulsación: w = 2. / T = 2. / 2 = rad/s
Si cuando t = 0 la velocidad es nula:
0 = A.w. cos (w.0 + )
= /2 o
= - /2
para = - /2 en t = 0 , x = A . sen (w.0 – /2) = - A < 0 , solución no válida
para = /2 en t = 0 , x = A . sen (w.0 + /2) = A > 0 , solución correcta
Las ecuaciones quedan:
x = 0’1 . sen ( .t + /2)
v = 0’1 . . cos ( .t + /2)
a = - 0’1 . 2 . sen ( .t + /2)
Al cabo de 0’25 s :
v = 0’1 . . cos ( .0’25 + /2) = - 0’22 m/s a = - 0’1 . 2 . sen ( .0’25 + /2) = – 0’698 m/s2
P-J-02
Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es k = 10 N/mm. El muelle se
comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad. Determinar:
a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo, x = x(t)
b) Los módulos de la velocidad y aceleración de la masa en un punto situad a 2 cm de la posición de equilibrio.
c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria.
d) La energía mecánica del sistema oscilante.
Solución:
Al ser un muelle, se cumple la ley de Hock, es decir, la fuerza
recuperadora es proporcional y opuesta a la deformación:
F=-k.x
Aplicando la ley de Newton, F = m . a , se obtiene:
-k.x=m.a
a = - (k/m) . x
La aceleración es proporcional y opuesta a la posición; es un M.A.S. Si denominamos A a la amplitud del movimiento y
f al desfase, las ecuaciones del movimiento son:
x = A. sen (w.t - f)
v = A . w . cos (wt - f)
a = - A . w2 . sen (wt - f)
2
w = k/m
w = √ (10/2) = √ 5
Si empezamos a contar el tiempo cuando soltamos el resorte, extremo izquierdo, muelle comprimido 5 cm, el desfase
valdrá:
- 0'05 = 0'05 . sen (w.0 - f)
- 1 = - sen f
f = /2
a) La posición en función del tiempo será:
x = 0'05 . sen (√ 5 .t - /2)
b) La velocidad y aceleración, cuando x=2 cm ,serán:
0'02 = 0'05 . sen (√ 5 .to - /2)
sen (√ 5 .to - /2) = 0'4
cos (√ 5 .to - /2) = √ (1 - 0'42) = 0'917
v = 0'05. √ 5 . cos (√ 5 .to - /2) = 0'05. √ 5 . 0'917 = 0'1025 m/s
a = - 0'05 . 5 . sen (√ 5 .to - /2) = - 0'05 . 5 . 0'4 = - 0'1 m/s2
c) Si la masa se encuentra en un extremo la fuerza recuperadora será: F = - K . x
F = 10 . 0'05 = 0'5 N ,
hacia la izquierda en el extremo derecho, y hacia la derecha en el extremo izquierdo.
d) La energía mecánica será la suma de la energía cinética más la energía potencial del resorte:
Em =Ec + Ep = ½.m.v2 + ½.k.x2 = ½.m.v2 + ½.m.w2.x2
2
2
2
Em = ½.m.A .w .cos (w.t -p/2) + ½.m.w2.A2 .sen2(w.t -p/2) = ½.m.A2 .w2 = ½ . 2 . 0'052 . 5 = 0'0125 Julios, constante
P-J-03
Un bloque de 50 gramos, conectado a un muelle de constante elástica 35 N/m, oscila en una superficie horizontal
sin rozamientos con una amplitud de 4 cm. Cuando el bloque se encuentra a 1 cm de su posición de equilibrio,
calcular:
a) Fuerza sobre el bloque b) Aceleración del bloque
c) Energía potencial elástica
d) Velocidad del bloque
La fuerza es proporcional y opuesta a la deformación F = - k.x
A 1 cm de la posición de equilibrio la fuerza será F = 35.0'01 = 0'35 N
opuesta a la deformación
La aceleración será: a = F / m = 0'35 / 0'050 = 7 m / s2 en el sentido de la
fuerza
La energía potencial elástica es Ep = k . x2 / 2 = 0'35 . 0'012 / 2 = 0'0000175 julios
La energía total es constante e igual a la existente en un extremo (v=0)
m.v2 / 2 + k . x2 / 2 = k . A2 / 2 --> v = ( k.(A2 - x2) / m )1/2 = ( 0'35.(0'042 - 0'012) / 0'050 )1/2 = 0'102 m/s
P-J-06
Problema 2.- Una masa puntual de valor 150 g unida a un muelle horizontal de constante elástica k = 65 N/m
constituye un oscilador armónico simple. Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, determine:
'
a) La expresión de la velocidad de oscilación de la masa en función de la elongación. b) La energía potencial
elástica del sistema cuando la velocidad de oscilación es nula. c) La energía cinética del sistema cuando la
velocidad de oscilación es máxima.
d) La energía cinética y la energía potencial elástica del sistema cuando el módulo de la aceleración de la masa
es igual a 13 m/s2
P-J-07.Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección del eje Y, según la expresión:
y = 2 sen ( .t/4 + /2)
y en cm; t en s,
originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que dos
puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de radianes están separados una distancia mínima de
20 cm, determine:
a) La amplitud y la frecuencia de la onda armónica.
b) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.
c) La expresión matemática que representa la onda armónica.
d) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto material del eje X de
coordenada x=80 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t=20 s.
La ecuación de la onda será: y = 0’02. sen ( /4 . t – k.x + /2)
Si dos puntos x1 , x2 tienen una diferencia de fase de : ( /4 . t – k.x1 + /2) – ( /4 . t – k.x2 + /2) =
k.(x1 – x2)
=
k.0’2 =
k = / 0’2 = 5.
2. / = 5.
= 0’4 m
v = w / k = /4 / (5 ) = 1 / 20 = 0’05
m/s
La ecuación de la onda resulta ser: y = 0’02. sen ( /4 . t – 5 .x + /2)
La velocidad de un punto es: v = dy /dt = 0’02. /4 . cos ( /4 . t – 5 .x + /2)
Para un punto sito en x = 0’8 m
v = 0’02. /4 . cos ( /4 . t – 5 .0’8 + /2) = 0’005. . cos ( /4 . t – 7. /2)
Y cuando t=20 s
v = 0’005. . cos ( /4 . 20 – 7. /2) = 0’005. . cos (3. /2) = 0
P-J-09
Una partícula de 0,1 kg de masa se mueve en el eje X describiendo un movimiento armónico simple. La partícula
tiene velocidad cero en los puntos de coordenadas x = -10 cm y x = 10 cm y en el instante t = O se encuentra en
el punto de x = 10 cm. Si el periodo de las oscilaciones es de 1,5 s, determine:
La fuerza que actúa sobre la partícula en el instante inicial.
La energía mecánica de la partícula.
La velocidad máxima de la partícula.
La expresión matemática de la posición de la partícula en función del tiempo.
En todo MAS la velocidad es nula en los extremos por lo que A = 10 cm = 0’1 m
Si al principio, t=0, x=0’1 à 0’1 = 0’1. sen (w.0 +f) à f = /2
Si el período es 1’5 s à w = 2. / T = 4’19 rad/s
x = A · sen (w.t + f)
à x = 0’1 · sen (4’19.t + /2)
v = A · w · cos (w.t + f)
à v = 0’419 · cos (4’19.t + /2) à vmax = 0’419 m/s
a = – A · w2 · sen ( w.t + f) à a = 1’76 · sen (4’19.t + /2)
La fuerza inicial será :
F = m·a = - m·w2.x
à
Finicial = – 0’1 · 4’192 · 0’1 = – 0’176 N
La energía mecánica será:
E = ½ k · A2 = ½ · m·w2.A2 = ... = 0’0088 J
Al cabo de 0’25= 1/4 s
x = 0’1 · sen ( /4 + /2) = 0’07 m
v = 0’1 · · cos ( /4 + /2) = -0’22 m/s
a = - 0’1 · 2 · sen ( /4 + /2) = - 0’7 m/s2