1. Educación

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ó
ñ
ón:
Con frecuencia encontramos que nuestros alumnos no saben qué algoritmo deben usar para
resolver una situación planteada. Nos preguntan si se trata de una suma, resta, división o multiplicación
observando nuestras reacciones para inferirlo.
Esto habla de que no han integrado bien el sentido de las operaciones y se sienten inseguros al
momento de utilizarlas. Por eso en reiteradas ocasiones dentro del ciclo escolar será oportuno volver
sobre esos conceptos y trabajarlo desde el planteamiento de situaciones problemáticas similares a aquello
que enfrente el niño en su vida cotidiana. En este tema trataremos justamente este aspecto.
De igual modo deberemos tener en cuenta que centrar la enseñanza de la Matemática en las
habilidades de resolución de problemas, puede aparejar el riesgo de perder de vista el elemento más
potente a considerar que es, sin duda, el de los conceptos matemáticos que se ponen en juego, el del
progreso en la adquisición del conocimiento matemático. Por eso debemos ser muy cuidadosos al
respecto.
Por esta razón los problemas que se planteen al inicio de secuencias de este tipo serán abordables
aún sin que el niño sepa usar el algoritmo, pero buscaremos la forma de que los niños tomen conciencia
de que las herramientas que suelen emplear no son las más económicas, no les permiten resolver
cualquier problema, dado que ellas son insuficientes, surgiendo así la necesidad de comprender y saber
utilizar los algoritmos convencionales. A modo de ejemplo: en general, cuando los niños se enfrentan a un
problema de repartir lo resuelven por restas sucesivas. En algún momento plantearemos una diferencia
muy grande entre el dividendo y el divisor para que su procedimiento les resulte antieconómico.
¿Cuál es el paso siguiente? Parecería que es la enseñanza del mecanismo convencional, pero hay
que tener cuidado en no provocar una ruptura entre lo que el niño sabe y moviliza cuando acepta el
desafío de enfrentarse al problema que se le plantea y el algoritmo convencional que le tenemos que
enseñar. Veamos entonces cómo lograr esto.
Pensar la enseñanza de la aritmética desde el sentido de las operaciones, supone tres niveles
de análisis:
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el del concepto como objeto,
-
el del problema como estrategia de aprendizaje y
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el de la articulación de la comprensión del problema y la elección del procedimiento adecuado para su
resolución.
Concepto como objeto:
Desde la aritmética los conceptos son tratados como objetos para poder trabajar con ellos; se trata
de un conjunto de situaciones que dan sentido al concepto (operaciones en este caso).
Al mismo tiempo, siempre habrá un conjunto de invariantes (objetos, propiedades y relaciones) que
sirven para analizar y dominar las situaciones recién mencionadas (es el caso de las propiedades de las
operaciones por ejemplo, que son estables, nunca cambian, y nos dan certeza al momento de utilizarlas
para resolver diversas situaciones).
El problema como estrategia de aprendizaje:
Podemos decir que se distinguen dos objetivos para la presentación de los problemas: planteo de
problemas para la construcción de un nuevo conocimiento y problemas que se plantean para la
resignificación de conocimientos en proceso de construcción.
No se trata de presentar problemas aislados sino
organizados en secuencias que promuevan avances en la
construcción de los conceptos matemáticos involucrados.
Régine Douady y Marie Jeanne Perrin señalan algunas de
las hipótesis sobre las cuales se apoyan para la construcción de
una secuencia de aprendizaje:

Los conceptos toman su sentido gracias a los problemas que permiten resolver. Cada nuevo problema
contribuye a enriquecer el concepto.

Un nuevo concepto se construye también situándose en relación a los conocimientos ya adquiridos, sea
para ampliarlos y generalizarlos, sea para cuestionarlos y construir otros nuevos mejor adaptados al
problema propuesto.

Un problema hace en general intervenir varios conceptos. Cada uno toma su sentido en las relaciones que
establece con los otros conceptos implicados en el problema.
En este enfoque la labor del docente consiste en organizar cuidadosamente las situaciones de
aprendizaje, de forma tal que estos constituyan avances cognitivos.
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De todas las posibles situaciones, el maestro seleccionará las que tengan sentido en el campo de
conocimientos de sus alumnos. Tendrá en cuenta sus conocimientos anteriores ya consolidados,
conocimientos en proceso de construcción, conocimientos que aún no han abordado.
Podrá entonces planificar secuencias didácticas, en las cuales la presentación de los
conocimientos para construir, resignificar y reorganizar conocimientos se constituyan como problemas
para sus alumnos.
LA GESTION DE LOS PROBLEMAS
La elección del problema dependerá de los propósitos ya definidos por el docente. Dichos
propósitos podrán ser:
Explorar los niveles de aproximación a un conocimiento dado, presentes en el grupo.
Promover la reorganización conceptual de conocimientos parcialmente construidos.
Para que algo sea una situación problemática para un chico o para un grupo, tiene que cumplir dos
requisitos fundamentales; el primero es tener sentido en el campo de conocimientos del chico; es decir, él
tiene que tener esquemas previos que ha construido, a partir de los cuales va a abordar y comprender el
nuevo problema. Por eso un problema siempre pone en acción los conocimientos anteriores y esa es una
manera nada aburrida ni repetitiva de volver sobre los conocimientos anteriores.
Para resignificar conocimientos aprendidos en otros contextos y con otro sentido y para
construir conocimiento nuevo, es necesario partir de las conceptualizaciones e hipótesis que los niños
tienen en relación con el contenido. Se propondrán situaciones que presenten obstáculos, que promuevan
conflictos, que puedan ser enfrentadas con el conocimiento previo pero que lo revelen insuficiente para
encontrar la solución más adecuada a la situación. Otro requisito para la situación problemática es que con
el conocimiento viejo no sea suficiente y que haya que construir uno nuevo; que el conocimiento viejo
conduzca a dar una primera solución al problema, pero esta solución no es la más satisfactoria,
económica, mejor o correcta, y entonces hay que construir otro conocimiento.
Etapas en la resolución de problemas;
Elección de las variables de la situación didáctica.
La consigna o forma de plantear el problema, es una variable
didáctica sobre la cual debemos reflexionar. No basta, dice Brousseau,
"comunicar" un problema al alumno, para que ese problema se
convierta en "su problema" y se sienta responsable de resolverlo. La
situación debe ser propuesta de manera tal que el alumno produzca sus
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conocimientos como "respuesta personal" y los haga funcionar por, exigencia de la situación de la cual se
ha apropiado, y no como respuesta a un deseo del maestro. En uno y otro caso la significación es
totalmente diferente. Un verdadero problema genera una necesidad, en relación con obligaciones que no
son arbitrarias ni didácticas.
Cuando el alumno se involucra en la solución del problema, ya no depende del maestro para
decidir si ha triunfado o fracasado en la tarea. Las actividades deben ser planteadas de tal manera que
permitan que sean los propios alumnos los que puedan obtener la información acerca de si lograron el
resultado que esperaban. Si enfrentan dificultades, la consulta al docente o a un compañero operará como
apoyo para seguir pensando. Se posibilitará que descubran sus errores y ellos mismos los corrijan,
avanzando en el trabajo a partir de la reorganización de sus conocimientos. Una misma tarea se constituye
o no en problema, según la consigna dada.
Aún cuando en el planteo del problema no aparecen situaciones de la vida cotidiana, ni del medio
social, puedo hablar de que estoy frente a un problema. Esto se debe a que no se trata de una situación
repetitiva ni de aplicación inmediata, sino que exige poner en juego ciertas propiedades y reflexionar sobre
ellas.
La elección de los materiales influye también en los razonamientos a realizar, las propiedades a
considerar, los conocimientos a construir. Por ejemplo, cuando nos proponemos la construcción de
propiedades geométricas como ser propiedades de las diagonales de los paralelogramos, no conviene
utilizar reglas o escuadras graduadas que hacen intervenir la variable medida que no es de interés en la
situación. Debemos definir previamente, dada la situación, cuáles son los que propiciarán los
conocimientos que se intenta poner en juego.
La organización de la clase también es muy importante. Los problemas podrán ser resueltos en
forma colectiva, mediante debate, en pequeño grupo, en parejas o en forma individual. Esta variable
dependerá de los objetivos definidos por el docente, de la situación del grupo, de la dificultad del planteo.
Es igualmente importante la etapa de resolución. Los alumnos con la forma de organización
elegida: seleccionan los datos; eligen las operaciones o acciones a realizar; buscan soluciones personales
por distintas vías; llegan a un resultado; reconocen si el resultado es verosímil.
Luego vendrá la puesta en común donde, con la coordinación del docente, los alumnos
comunican a los compañeros los caminos seguidos. Se analizan grupalmente los distintos caminos
propuestos y se discute sobre cuáles son los más útiles y económicos. La gestión de la puesta en común
es un momento crucial en el proceso de enseñanza.
Hemos afirmado que un problema es tal, cuando el alumno lo puede enfrentar con los
conocimientos que posee, pero éstos no son suficientes o no funcionan en la forma esperada y esto lo
lleva a buscar alternativas de solución generando sus propias estrategias. Esa concepción deberá ser
profundizada.
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Finalizada la puesta en común, corresponde la institucionalización de los conocimientos por parte
del docente y la formalización de los mismos en el nivel adecuado al grupo. Se institucionaliza el sentido aspectos semánticos- y se les da nombre y expresión matemática -aspectos sintácticos-. El docente
analiza qué operaciones se usaron, qué reglas o propiedades se pusieron en juego, revisa el proceso, lo
socializa, ayuda a reconocer el contenido matemático y a expresarlo en el lenguaje matemático. La
mediación del docente posibilitará a cada alumno avanzar desde su punto de partida, para construir
conceptos cada vez más ajustados a la naturaleza del conocimiento matemático.
PLANIFICAR BUENAS SITUACIONES DIDACTICAS
Plantear buenas situaciones didácticas, que cumplan con las condiciones desarrolladas, es el
desafío que queda planteado a los maestros. No se nos oculta que es una tarea compleja.
Los variados contextos de uso de la matemática llevan muchas veces a la fragmentación de los
conocimientos para "integrarlos" en proyectos o unidades didácticas como aporte para la solución de
problemas que provienen del medio social. Si se quiere evitar esa fragmentación, se corre el riesgo de
planificar secuencias cerradas donde la Matemática funcione como un cuerpo de conocimiento ajeno a los
usos culturales.
Es difícil obtener estas buenas situaciones didácticas de manera no planeada, a partir de los
sucesos espontáneos que se dan enel desarrollo de proyectos integradores, pues se corre el riesgo de
obtener efectos no deseados: situaciones pobres, mal aprovechadas o la aparición de problemas
demasiado complejos para poder ser tratados.
El sentido de las operaciones:
En esta línea de razonamiento, las corrientes que estudian el sistema didáctico han incorporado en
las aulas una visión antropológica (Ives Chevallard, J. Gascón, M. Bosch), sosteniendo que las
experiencias del alumno con el objeto de conocimiento, con la organización matemática y didáctica,
explican más las dificultades generadas por esta enseñanza que las propias del alumno (cognitivas).
Desde esta visión también explican estas dificultades las restricciones institucionales que se imponen al
alumno y al docente.
A modo de ejemplo…
Con los niños podríamos trabajar haciéndolos pensar sobre preguntas como estas que usamos
aquí para ejemplificar el caso de la división que tantas dificultades presentan los niños en ella: “Cuando se
divide un número entre otro, por ejemplo: 280:10=28, el resultado o cociente, ¿qué parte es del número a
dividir o dividendo?”, “¿Conoces alguna otra cuenta que pueda resolver lo mismo que la división? Explica
tanto si respondes "Sí" como si respondes "No", “¿Conoces alguna cuenta que sea opuesta o contraria a
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la división? ¿Cuál? ¿Por qué?”, “¿Qué es para ti "DIVIDIR"?” Explícalo con tus palabras” y “¿Consideras
que sabes "DIVIDIR"? Si no es así, ¿dónde piensas que está tu dificultad?”.
El objetivo principal de estas situaciones es averiguar en qué medida los niños relacionan
diferentes modelos de división que los ayuden a resolver algunas de las diversas situaciones que involucra
el concepto de dividir y que la escuela debe tener como cometido ENSEÑAR.
En cuanto al cuestionario que utilizamos de ejemplo: con la primera pregunta apuntamos a la idea
de poder vislumbrar si los niños conceptualizan la función que cumple la división en cuanto al resultado,
hablando de la división exacta en este caso. En otros términos, cuál es la transformación que se opera en
el cociente en el acto de dividir. En la segunda y en la tercera pregunta pretendemos visualizar cuáles son
las relaciones internas entre los algoritmos, es decir, si en el aprendizaje de los algoritmos los niños han
podido establecer las relaciones de dependencia entre los algoritmos y el sistema de numeración o si, por
el contrario, piensan a este algoritmo como desvinculado de los que conocen. En la cuarta pregunta
apuntamos a cuál es la idea que los niños se han ido formando a lo largo de su escolaridad acerca de este
concepto. En la quinta pregunta intentamos poder visualizar el grado de conciencia de los niños de las
dificultades que presentan.
De este modo nuestros alumnos acceden a argumentar desde la matemática. Los alumnos
argumentan desde sus dificultades, que las sienten como confusión cuando no resuelven acertadamente.
Cuando lo hacen, no encuentran una argumentación que se relacione con la disciplina, enuncian en su
lugar respuestas tautológicas como "dividir es dividir"; "porque es así"; o como para salir del paso,
involucran a otras operaciones "dividir es sumar".
Por otra parte, muchas veces observamos que saben realizar el algoritmo tradicional de una cifra
en forma mecánica, pero eso por sí solo no aporta a la resolución de problemas. Al no existir el
conocimiento profundo del sistema de numeración, muchas veces se omite el valor posicional de la cifra,
conocimiento de vital importancia para entender el sistema de numeración y que está ligado a la resolución
de los diferentes algoritmos.
Algunos puntos para la reflexión de los docentes.
1. La importancia de la transposición didáctica de los conocimientos y la necesaria vigilancia
epistemológica del conocimiento a enseñar. Esto supone una lectura atenta acerca del conocimiento
matemático a enseñar.
2. Los aportes de la Psicología Social acerca del trabajo grupal y el valor asignado a la discusión entre
alumnos de conceptualizaciones próximas. El establecer las reglas del debate como forma de trabajo,
donde la autoridad del docente que detenta el saber no sea la que defina la legitimidad de la construcción
de las conceptualizaciones de carácter provisorio que los alumnos van desarrollando.
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3. La permanente constatación de los conceptos que los alumnos van elaborando, de forma de partir
siempre de sus representaciones como insumo necesario para pensar situaciones de avance.
Posible secuencia de actividades con la división:
Con respecto a una 'secuencia de actividades posibles' a proponer a los alumnos, un punto de
partida interesante es el cuestionar el aparente dominio que ellos tienen del algoritmo sobre el que
estemos trabajando, por ejemplo la división.
Resignificar cuestionando "los porqués" se puede realizar de esa forma, de qué conocimientos "echan
mano" cuando lo resuelven, donde es muy probable que surja
entre otros el conocimiento de las tablas de multiplicar.
Planteos que habiliten a averiguar de qué otra formase puede
resolver, sin realizar el algoritmo conocido -con qué otros
algoritmos se pueden obtener iguales resultados-. ¿Qué "otras
cuentas" involucra el algoritmo de la división (para seguir con
el mismo ejemplo), cómo se puede predecir el número de
cifras sin "realizar la cuenta"? ¿Qué mirar para saber si estamos frente a una división exacta o frente a
una división entera? ¿Qué relaciones tiene este algoritmo con los ya conocidos? ¿Cómo se puede
convertir una división en varias cuentas? ¿Qué relación hay en la realidad entre el cociente -en tanto
número- y el "reparto" referido a la realidad?
Analizar en un algoritmo convencional de la división entre una cifra en los restos sucesivos, puesto que
allí el número cambia de categoría, es decir que si el divisor y el cociente están expresados en unidades,
en los restos los números pasan a tener valor de los órdenes superiores al realizar las restas, hecho este
que no es visible para el alumno.
Los aspectos enunciados anteriormente, referidos a una 'secuencia de enseñanza', deben ser
permanentemente ajustados a las conceptualizaciones que los alumnos vayan elaborando, efectuando un
"monitoreo" constante para asegurar avances de los alumnos. Así podemos enfatizar la coherencia entre
los objetivos de la enseñanza y el aprendizaje, que los niños realmente efectúan. De modo que es
fundamental instaurar en las aulas un "hacer matemático", similar a la del matemático, con ensayos y
errores, realizando conjeturas, confrontando procedimientos, validando e invalidando los mismos por los
mejores encontrados, todos estos aspectos estrechamente vinculados con un hacer reflexivo y con una
gestión democrática del conocimiento.
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La Escuela en tanto trasmisora del patrimonio cultural de la humanidad y por ser el ámbito natural
donde se deben gestar estos conocimientos, se constituye en un lugar privilegiado.
El docente como profesional crítico y reflexivo, tal como lo plantea nuestro programa, tiene a su
cargo la tarea de problematizar los saberes y de ayudar a sus alumnos a acceder al conocimiento en
forma activa, con implicancia y desde el lugar de un saber significativo que podrá ser trasladado a la vida
cotidiana.
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
BALACHEFF Nicolás y [ABORDE, Colette (1998): 'Lenguaje simbólico y pruebas en la enseñanza de las
matemáticas: un enfoque sociocognitivo" en Gabriel Mugny y Juan Pérez: Psicología social del desarrollo cognitivo.
Barcelona: Ed, Antrophos, 1 edición.

BROUSSEAU, Cuy (1986): "Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques" en Recherches en
Didactique des Mathématics, Vol 7, Nº 2, pp. 33-115. Grenoble: La Pensée Sauvage.

BROUSSEAU, Cuy (1993): Contrato Didáctico. Grenoble: Publicaciones de IREM-Grenoble.

CARRAHER, Terezinha y otros (1991): En la vida diez, en la escuela cero. Sn Pablo: Ed. Siglo XXI, 1 edición.

D'AMORE, Bruno (1997): Problemas. Pedagogía y Psicología de la matemática en la actividad de resolución de
problemas. Madrid: Editorial Síntesis.

DEVELAY, Michel (comp.) (1995): Saberes escolares y didácticas de las disciplinas. París: Ed. ESF editeur.

ESPINOZA, Lorena (2000): "Organizaciones matemáticas y didácticas en torno al objeto de 'límite de función': Una
propuesta metodológica para el análisis". Artículo-resumen de la tesis doctoral de la autora realizada en la
Universidad Autónoma de Barcelona y publicado en la revista "Enseñanza de las Ciencias".

FERREIRO, Emilia (1990): "El cálculo escolar y el cálculo con dinero en situación inflacionaria" (cap. VI) en Emilia
Ferreiro: Proceso de alfabetización. La alfabetización en proceso. México: Centro Editor de América Latina, 51
edición.

GASCÓN, Josep (2001): "Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las prácticas docentes" en
Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (RELIME), Vol 4, N 2, pp. 129-159.

KAMI 1, Constance (1995): Reinventando la aritmética II. Madrid: Ed. Aprendizaje Visor, 1 a edición. LERNER, Delia
(1992): La matemática en la escuela. Aquí y ahora. Buenos Aires: Ed Aique, 1 edición.

PARRA, Cecilia y SAIZ, Irma (comps.) (1994): Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires: Ed.
Paidós Educador; 1 edición.

RODRÍGUEZ, Beatriz y SILVA, Alicia (1993): "[a operación ¿elaboración de un concepto o adquisición de un
algoritmo?" en Revista Educación Hoy Nº 6 (1993) y N9 13 (1994). Montevideo: Editorial Rosgal.

RODRÍGUEZ RAVA, Beatriz y SILVA PALUMBO, Alicia Ounio 1996): "El contexto y los conceptos en la construcción
de las operaciones matemáticas" en Revista QUEHACER EDUCATIVO Nº 20. Montevideo: FUM-TER

SADOVSKY, Patricia (1995): "Pensar la matemática en la escuela" en Margarita Poggi (comp.): Apuntes y aportes
para la gestión curricular. Buenos Aires: Ed. Kapelusz.
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