1. Educación

Ejercicios Matem´aticas I
Profr. Fausto Cervantes Ortiz
Conjuntos
4. Sea U el conjunto de los n´
umeros reales.
Sean A = [−3, 1), B = [−1, 2] y C =
(0, ∞) Encontrar los conjuntos indicados:
1. Definir por extensi´
on los siguientes conjuntos
a) A ∪ B
a) A={x|x es un d´ıgito en el n´
umero
352 646}
b) A ∩ B
c) A − B
b) B={x|x es una letra de la palabra
´
HIPOPOTAMO}
d ) BC ∩ A
c) C={x|x es un vocal en la palabra
´
MURCIELAGO}
e) A ∩ C
d ) D={x|x es una consonante labial}
g) B C ∩ C
f) A−C
2. Sea U el conjunto de las letras del alfabeto
latino. Sean A = {x|x es una consonante},
B = {x|x es una letra vocal} y C = { c,
a , r, l, o, s }. Encontrar los conjuntos
indicados:
5. Representar en diagramas de Venn las siguientes relaciones entre conjuntos
a) A ∪ B ∪ C
b) A ∩ B ∩ C
a) A ∪ B
c) A ∩ B ∩ C C
b) A ∩ B
d ) AC ∩ B ∩ C
c) B ∩ C
e) AC ∩ B C ∩ C C
d) A − C
f ) (A ∪ B)C ∩ C
e) B C ∩ C
g) A ∪ (B ∩ C)C
h) (A ∪ B ∪ C)C
3. Sea U el conjunto de los n´
umeros enteros.
Sean A = {x|x es un n´
umero par}, B =
{x|x es un m´
ultiplo de 3 } y C = {x|x es
un m´
ultiplo de 5}. Encontrar los conjuntos indicados (escribirlos preferentemente
por comprensi´
on):
6. Encontrar los conjuntos que se piden, dada la figura siguiente
a) A ∪ B
b) A ∩ B
a) A ∪ B
c) A ∩ (B ∪ C)
b) A ∩ B
d ) (B ∩ C)C
c) A − B
e) (B ∪ C)C
d ) BC ∩ A
f ) AC
1
f´ısica. Una encuesta a los alumnos de segundo muestra que: 60 ya tomaron matem´aticas, 45 ya tomaron f´ısica, 20 ya tomaron ambos cursos. Encontrar el n´
umero
de alumnos que han tomado:
a) S´olo uno de los dos cursos
b) Al menos uno de los dos cursos
c) Ninguno de los dos cursos
10. Un estudio de las opiniones de 10 economistas mostr´o que, debido a que se espera
una subida en los precios del petr´oleo durante los pr´oximos 12 meses
7 redujeron su estimaci´on de la tasa de
inflaci´on
g) (A ∩ B) ∩ C C
h) (A ∪ B ∪ C)C
8 aumentaron su estimaci´on de la tasa de
crecimiento del PIB
7. Supongamos que se entrevista a 50 estudiantes para ver si han estudiado ingl´es o
franc´es, encontr´
andose que 20 estudiaron
franc´es, 25 estudiaron ingl´es y 5 estudiaron ambos. Encontrar el n´
umero de estudiantes que:
2 redujeron su estimaci´on de la tasa de inflaci´on pero no aumentaron su estimaci´on
de la tasa de crecimiento del PIB
¿Cu´antos economistas redujeron su estimaci´on de la tasa de inflaci´on y aumentaron su estimaci´on de la tasa de crecimiento del PIB?
a) Estudiaron s´
olo ingl´es
11. Una encuesta a 300 lectores de peri´odicos
arroj´o los siguientes resultados
b) No estudiaron franc´es
c) Estudiaron ingl´es o franc´es
122 se suscriben a La Jornada
d ) No estudiaron ninguno de los dos lenguajes
150 se suscriben a Reforma
62 se suscriben a El Universal
38 se suscriben a La Jornada y a Reforma
8. Supongamos que #U = 70, #A = 30,
#B = 45, #(A ∩ B) = 10. Encontrar:
28 se suscriben a El Universal y a Reforma
a) #(A ∪ B)
b) #AC
20 se suscriben a La Jornada y a El Universal
c) #B C
16 est´an suscritos a los tres peri´odicos
d ) #(AC ∩ B C )
a) ¿Cu´antos no est´an suscritos a ninguno
de estos tres peri´odicos?
a) ¿Cu´antos est´an suscritos a s´olo uno de
estos peri´odicos?
9. En una escuela los alumnos deben tomar
un curso de matem´
aticas y un curso de
2
12. Se realiz´
o una encuesta a una muestra
representativa de 500 usuarios del Metrob´
us, los cuales afirman que el servicio
es malo en determinadas l´ıneas. La encuesta arroja los siguientes resultados:
11.
12.
l´ınea 3: 295 quejas
2a4
7b5
6
13.
(x3 )6
x(x3 )
14.
(x2 )3 (x3 )2
(x3 )4
l´ınea 1: 329 quejas
l´ınea 2: 186 quejas
x9
x5
Evaluar las siguientes expresiones
l´ıneas 1 y 2: 83 quejas
√
25
√
2. 4 81
√
3. 7 −128
√
4. 0,04
1.
l´ıneas 1 y 3: 217 quejas
l´ıneas 2 y 3: 63 quejas
Establecer las siguientes cantidades:
Quejas en las 3 l´ıneas
Quejas en l´ınea 1, pero no en l´ınea 3
Quejas en l´ınea 2, pero no en l´ınea 1
5.
q
6.
q
Quejas en l´ınea 3, pero no en l´ınea 2
Quejas en l´ınea 1 ´
o 3, pero no en l´ınea 2
4
1
16
8
− 27
3
7. (49)1/2
Quejas en l´ınea 1, pero no en l´ıneas 2 ´o 3
8. (64)1/3
N´
umeros reales
9. 93/2
Simplificar y expresar todas las respuestas
en t´erminos de exponentes positivos
10. (9)−5/2
11. (32)−2/5
1. (23 )(22 )
2. x6 x9
12. (0,09)−1/2
3. w4 w8
13.
1
32
14.
− 64
27
4. z 3 zz 2
5.
x3 x5
y9 y5
8.
1.
(a3 )7
(b4 )5
x2
y3
2.
5
3.
9. (2x2 y 3 )3
10.
2/3
Simplificar las expresiones
1
6. (x 2 )4
7.
4/5
w2 s
y2
4.
3 2
5.
3
√
50
√
3
54
√
3
2x3
√
4x
√
16x4
6.
q
4
5. 3w−3/5 − (3w)−3/5
x
16
√
√
√
7. 2 8 − 5 27 + 3 128
8.
q
6. [(x−4 )1/5 ]1/6
Racionalizar los denominadores
3
13
9. (9z 4 )1/2
1.
√6
5
10. (16y 8 )3/4
2.
3
√
4
8
3.
√4
2x
4.
√y
2y
5.
1
√
3
3x
6.
√2
3 3 y2
11.
27t3
8
12.
256
x12
2/3
−3/4
Escribir en t´erminos de exponentes positivos
y quitar radicales
a5 b−3
c2
p
5
7.
x2 y 3 z −10
m−2 m−7
8.
x + y −1
9.
(3t)−2
10.
z)−4
(3 −
√
5
5x2
√
√12
3
√
√18
2
√
5
2
√
4 2
a b
√
2
√
3
3
Simplificar usando exponentes positivos y
racionalizando el denominador
(x3 y −3 )−3
√
√
x− y
1. 2x2 y −3 x4
2.
u−2 v −6 w3
vw−5
3.
3
u5/2 v 1/2
√
243
√
3
p
4
x2 xy −2 z 3
√
4 −3 −2 5 −4
a b a b
4. {[(3a3 )2 ]−5 }−2
Escribir las formas exponenciales usando radicales
1. (2a − b + c)2/3
5.
20
(2−2 x1/2 y −2 )3
6.
√
s5
√
5 2
s
p
3
p
3
2. (ab2 c3 )3/4
x2 yz 3
√
8. ( 4 3)8
3. x−4/5
9. 32 (32)−2/5 )
7.
p
4. 2x1/2 − (2y)1/2
xy 2
10. ( 5 x2 y)2/5
4
11. (2x−1 y 2 )2
12.
14. 2 − [3 + 4(s − 3)]
3√
√
3y 4x
15. 2{3[3(x2 + 2) − 2(x2 − 5)]}
√ p 2 3p 2
x x y xy
√
14. 75k 4
16. 4{3(t + 5) − t[1 − (t + 1)]}
13.
17. −5{4x2 (2x + 2) − [x2 − (5 − 2x)]}
15.
(ab−3 c)8
(a−1 c2 )−3
18. −{−3[2a+2b−2]+5[2a+3b]−a[2(b+5)]}
16.
p
3
19. (x + 4)(x + 5)
17.
(x2 )3
x4
18.
p
19.
7(49)
÷
h
x3
(x3 )2
20. (u + 2)(u + 5)
i2
21. (w + 2)(w − 5)
(−6)(−6)
22. (z − 7)(z − 3)
−2
− 8s2s3
23. (2x + 3)(5x + 2)
√
20. (a5 b−3 c)3
21.
(3x3 y 2
22. √
÷
24. (t − 5)(2t + 7)
2y 2 z −3 )4
25. (x + 2y)2
1
−2
√2x
16x3
2
26. (2x − 1)2
27. (x − 5)2
√
√
28. ( x − 1)(2 x + 5)
√
29. ( 3x + 5)2
√
√
30. ( y − 3)( y + 3)
Realizar las operaciones indicadas y simplificar
1. (8x − 4y + 2) + (3x + 2y − 5)
2. (6x2 − 10xy + 2) + (2z − xy + 4)
3. 8t2 − 6s2 ) + (4s2 − 2t2 + 6)
√
√
√
√
4. ( x + 2 x) + ( x + 3 x)
√
√
√
√
5. ( a + 2 3b) − ( c − 3 3b)
31. (2s − 1)(2s + 1)
6. (3a + 7b − 9) − (5a + 9b + 21)
√
7. (6x2 − 10xy + 2) − (2z − xy + 4)
√
√
√
√
8. x + 2 x) − ( x + 3 x)
√
√
√
√
9. ( x + 2y) − ( x + 3z)
34. (x + 1)(x2 + x + 3)
32. (z 2 − 3w)(z 2 + 3w)
33. (x2 − 3)(x + 4)
35. (x2 − 4)(3x2 + 2x − 1)
36. (3y − 2)(4y 3 + 2y 2 − 3y)
37. x{2(x + 5)(x − 7) + 4[2x(x − 6)]}
10. 4(2z − w) − 3(w − 2z)
38. [(2z + 1)(2z − 1)](4z 2 + 1)
11. 3(3x + 3y − 7) − 3(8x − 2y + 2)
39. (x + y + 2)(3x + 2y − 4)
12. (u − 3v) + (−5u − 4v) + (u − 3)
40. (x2 + x + 1)2
13. 5(x2 − y 2 ) + x(y − 3x) − 4y(2x + 7y)
41. (2a + 3)3
5
42. (3y − 2)3
12. x2 + 2x − 24
43. (2x − 3)3
13. a2 + 12a + 35
44. (x + 2y)3
14. 4t2 − 9s2
45.
z 2 −18z
z
15. x2 + 6x + 9
46.
2x3 −7x+4
x
16. y 2 − 15y + 50
47.
6x5 +4x3 −1
2x2
48.
(3y−4)−(9y+5)
3y
49.
(x2
+ 5x − 3) ÷ (x + 5)
50.
(x2
− 5x + 4) ÷ (x − 4)
51.
(3x3
52.
(x4
53.
x3
−
+
17. 5x2 + 25x + 30
2x2
2x2
18. 3t2 + 12t − 15
19. 3x2 − 3
20. 9y 2 − 18y + 8
21. 6y 2 + 13y + 2
+ x − 3) ÷ (x + 2)
22. 4x2 − x − 3
+ 1) ÷ (x − 1)
23. 12s3 + 10s2 − 8s
÷ (x + 2)
24. 9z 2 + 30z + 25
54. (6x2 + 8x + 1) ÷ (2x + 3)
55.
(3x2
56.
(z 3
25. u13/5 v − 4u3/5 v 3
− 4x + 3) ÷ (3x + 2)
+
z2
+ z) ÷
(z 2
26. 9x4/7 − 1
− z + 1)
27. 2x3 + 2x2 − 12x
Factorizar completamente
28. x2 y 2 − 4xy + 4
1. 2ax + 2b
29. (4x + 2)2
2. 6y 2 − 4y
30. 2x2 (2x − 4x2 )2
3. 10xy + 5xz
31. x3 y 2 − 14x2 y + 49x
4. 3x2 y − 9x3 y 3
32. (5x2 + 2x) + (10x + 4)
5. 8a3 bc − 12ab3 cd + 4b4 c2 d2
33. (x3 − 4x) + (8 − 2x2
6. 6u3 v 3 + 18u2 vw4 − 12u2 v 3
34. (x2 − 1) + (x2 − x − 2)
7. z 2 − 49
35. (y 4 + 8y 3 + 16y 2 ) − (y 2 + 8y + 16)
8. x2 − x − 6
36. x3 y − 4xy + z 2 x2 − 4z 2
9. p2 + 4p + 3
37. b3 + 64
10. s2 − 6s + 8
38. x3 − 1
11. 16x2 − 9
39. x6 − 1
6
6.
x2 +2x
3x2 −18x+24
7.
x2
8
x
4
43. p(1 + r) + p(1 + r)r
8.
3x2
7x
x
14
44. (x − 3i)(3x + 5i) − (3x + 5i)(x + 2i)
9.
2m
n2
6m
n3
40. 27 + 8x3
41. (x + 3)3 (x − 1) + (x + 3)2 (x − 1)2
42. (a + 5)3 (a + 1)2 + (a + 5)2 (a + 1)3
45. x4 − 16
10.
46. 81x4 − y 4
c+d
c
c−d
2c
4x
3
47. y 8 − 1
11.
t4
12.
4x
13.
−9x3
48.
−4
49. x4 + 4x2 − 5
50. x4 − 10x2 + 9
+y
14.
52. 4x3 − 6x2 − 4x
15.
51.
x4 y
−
2x2 y
Simplificar
16.
1.
a2 −9
a2 −3a
2.
x2 −3x−10
x2 −4
3.
x2 −9x+20
x2 +x−20
4.
3x2 −27x+24
2x3 −16x2 +14x
5.
6x2 +x−2
2x2 +3x−2
6.
12x2 −19x+4
6x2 −17x+12
y2
y−3
2.
t2 −9
t2 +3t
·
t2
t2 −6t+9
3.
ax−b
x−c
·
c−x
ax+b
4.
x2 −y 2
x+y
5.
2x−y
x2 −2x−8
·
x2 +2xy+y 2
y−x
÷
x2 −1
x2 +5x+4
7
x
3
−12y 4
y
4
x−3
x2 −7x+12
x−4
x2 +6x+9
x
x+3
17.
18.
x2 −x−6
x2 −9
x2 −4
2
x +2x−3
19.
x2 +7x+10
x2 +6x+5
x2 −2x−8
x2 −3x−4
20.
(x+3)2
4x−3
7x+21
9−16x2
21.
4x2 −9
x2 +3x−4
2x−3
1−x2
22.
6x2 y+7xy−3y
xy−x+5y−5
x3 y+4x2 y
xy−x+4y−4
23.
x2
x+3
+
5x+6
x+3
24.
2
x+2
+
x
x+2
25.
2
t
1
3t
−1
y+2
·
3
2x
10x3
x2 −1
5x
x+1
Realizar las operaciones y simplificar
1.
2x
+
÷
x2 −x−6
x2 −4x+4
26.
9
x3
1
x2
4.
x3
x3 −1
5.
−
27. 1 −
28.
4
s+4
29.
4
2x−1
30.
x+1
x−1
31.
1
x2 −2x−3
32.
+s
+
6.
x
x+3
x−1
x+1
−
+
4
2x2 −7x−4
1
x2 −9
−
33.
4
x−1
34.
2x−3
2x2 +11x−6
−3+
5−4x−x2
−
3x+1
3x2 +16x−12
+
1
3x−2
35. (1 + x−1 )2
36. (x−1 + y −1 )2
37. (x−1 − y)−1
38. (a + b−1 )2
39.
7+ x1
5
40.
x+3
x
x− x9
41.
1
3− 2x
x
x+ x+2
42.
x−1
1
− x+2
x2 +5x+6
x−7
3+ 3
Realizar las operaciones sin racionalizar el
denominador
1.
3
√
3
x+h
−
2.
√aa
5+a
+
3
√
3x
√1
a
Simplificar y racionalizar el denominador
1.
1√
2+ 3
2.
1√
1− 2
√
√ 2√
3− 6
3.
7.
3√
t+ 7
8.
√x−3
x−1
9.
5√
2+ 3
10.
√4
x+2
x
2x2 −9x+4
−3x2
8
√ 5√
6+ 7
√
2
√2 √
2− 3
√
5
√2 √
3− 7
+
·
√4
x−1
x2
3