3_Series 1 a 5 2015-2 - División de Ciencias Básicas

FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
SERIE TEMA I
ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS MUESTRALES
Semestre: 2015-2
1. En la tabla se muestra la distribución de frecuencias de las medidas de resistencia a la fractura
en MPa, para barras de cerámica quemadas en un horno.
Clase
[81,83) [83,85) [85,87) [87,89) [89,91) [91,93) [93,95) [95,97) [97,99)
Frecuencia
6
7
17
30
43
28
22
13
3
a) Trazar un histograma y comentar las propiedades (medidas) más interesantes.
b) ¿Qué proporción de las observaciones son cuando menos 85? ¿Menores que 95?
c) Aproximadamente, ¿qué proporción de las mediciones fueron menores que 90?
2. Cuentan los estudiantes de un cierto curso que el profesor tiene por costumbre llegar tarde. Los
siguientes datos representan los minutos que ha llegado tarde o temprano en una muestra de
25 clases. Los números positivos representan las tardanzas y los negativos las llegadas
anticipadas.
16
12
12
0
50
20
-5
15
0
2
-40
-7
-5
3
4
10
15
-5
-5
55
12
-34
-5
0
15
Calcular la media, la moda, la mediana, el rango, la variancia y con ellos contestar las siguientes
preguntas:
a) Si los estudiantes quisieran reforzar su punto de que el profesor llega tarde, ¿qué medidas
utilizarían como evidencia?
1) mínima y mediana
2) máxima y media
3) promedio y desviación estándar
4) máxima y moda
b) Si el profesor quiere justificarse diciendo que no llega tarde, ¿qué medidas utilizaría como
evidencia?
1) mínima y mediana
2) máxima y media
3) promedio y desviación estándar
4) mínima y moda
c) Si un comité independiente quisiera presentar la evidencia más justa, ¿qué medidas utilizaría?
1) mínima y mediana
3) promedio y desviación estándar
d) La desviación estándar de esta muestra confirma:
1) las acusaciones de los estudiantes
2) la falta de puntualidad del profesor
2) máxima y media
4) rango y moda
3) la injusticia de la acusación de que el profesor llega tarde
4) la costumbre de llegar tarde del profesor
3. De la siguiente distribución de frecuencias, determinar la diferencia en el ingreso (en pesos) del
50% central de los encuestados.
Ingreso (pesos)
Hasta menos
Desde
de
12400
14300
14300
16200
16200
18100
18100
20000
20000
21900
21900
23800
23800
25700
25700
27600
f
1
3
1
6
7
3
5
1
4. Los datos que aparecen a continuación corresponden a los precios en el mercado de valores
de las acciones de Bancomer en los últimos 30 días. Completar la tabla asociada con dichos
datos.
Marcas de
clase
Frecuencias
Frecuencias
Frecuencias Frecuencias
Acumuladas
Relativas Acumuladas
relativas
0.033
8.79
0.167
8
0.500
9.18
0.200
8
5. La distribución de frecuencias relativas para la variación en la producción de petróleo crudo,
expresado en porcentaje, para una muestra de 30 países en Norteamérica, Sudamérica,
Europa y el Medio Oriente, se presenta en la siguiente tabla:
Límites
Fronteras
-45.1 - -35.0
-35.1 - -25.0
-25.1 - -15.0
-15.0 - -5.0
-5.1 - -4.9
5.0 - 14.9
15.0 - 24.9
25.0 - 34.9
35.0 - 44.9
-45.05 - -35.05
-35.05 - -25.05
-25.05 - -15.05
-15.05 - -5.05
-5.05 - -4.95
4.95 - 14.95
14.95 - 24.95
24.95 - 34.95
34.95 - 44.95
Marcas
de clase
-40.05
-30.05
-20.05
-10.05
-0.05
9.95
19.95
29.95
39.95
frecuencia
1
0
1
6
15
5
1
0
1
frecuencia
relativa
0.033
0
0.033
0.2
0.5
0.167
0.033
0
0.033
a) Calcular la media, la mediana y la moda.
b) Calcular la variancia, la desviación estándar y el coeficiente de variación.
c) Calcular el coeficiente de curtosis.
6. En el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire hasta que la cara superior sea sol, se
obtuvieron los siguientes datos para la variable aleatoria X, que representa el número de tiros
necesarios hasta que la cara superior sea sol
1
3
4
1
2
2
5
1
6
5
4
1
2
3
1
3
1
7
2
4
1
2
3
1
8
Con los datos presentados, obtenga la tabla de frecuencias relativas (fr), la tabla de frecuencias
relativas acumuladas y su valor esperado.
Resolución:
La tabla de frecuencias queda de la siguiente manera
x
1
2
3
4
5
6
7
8
f
8
5
4
3
2
1
1
1
fr
0.32
0.2
0.16
0.12
0.08
0.04
0.04
0.04
F
8
13
17
20
22
23
24
25
Fr
0.32
0.52
0.68
0.8
0.88
0.92
0.96
1
∑
x*fr
0.32
0.4
0.48
0.48
0.4
0.24
0.28
0.32
∑
1
=
xi f i
=
x i fri 2.92
n
=
i 1=
i 1
Con la información de la tabla el valor esperado
es X
=
7. Los diámetros en pulgadas de una muestra de 36 varillas de acero son los siguientes:
0.724
0.725
0.726
0.727
0.728
0.729
0.731
0.732
0.732
0.732
0.733
0.734
0.734
0.734
0.735
0.735
0.735
0.735
0.735
0.735
0.735
0.736
0.736
0.736
0.737
0.737
0.738
0.738
0.738
0.739
0.740
0.741
0.742
0.742
0.745
0.746
a) Hacer una tabla de distribución de frecuencias, que contenga: frecuencias, frecuencias
relativas, frecuencias acumuladas y frecuencias relativas acumuladas.
b) Dibujar las ojivas “mayor que” y “menor que” para las frecuencias acumuladas y las frecuencias
relativas acumuladas.
c) ¿Qué tipo de datos se están estudiando? Explique.
Resolución:
a) El numero de datos es n entonces n=36, entonces
en 6 clases.
36 =6.00 se recomienda que se dividan
R= 0.746-0.724=0.022, haciendo 0.022/6=0.0037 el ancho de clase se elige c=0.0040, igual para
todas las clases
Límites
Ancho
Frecuencia
Escritura
Reales
De Clase
De Clase
0.723-0.726
0.7225-0.7265
0.004
3
0.08
3
0.08
0.727-0.730
0.7265-0.7305
0.004
3
0.08
6
0.17
0.731-0.734
0.7305-0.7345
0.004
8
0.22
14
0.39
0.735-0.738
0.7345-0.7385
0.004
15
0.42
29
0.81
0.739-0.742
0.7385-0.7425
0.004
5
0.14
34
0.94
0.743-0.746
0.7425-0.7465
0.004
2
0.06
36
1.00
Total=36
total=1.0
Relativa
Acumulada
Rel. Acumulada
b) Ojivas “mayor que” y “menor que” para las frecuencias acumuladas y las frecuencias relativas
acumuladas.
8. De la ojiva mostrada a continuación, obtener su tabla de frecuencias, la media y varianza.
Ojiva
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.8
0.9
0.94
0.98
25
30
35
40
1
0.56
0.16
0
5
0.28
10
15
20
45
50
Resolución:
Tabla de frecuencias:
Frontera
inferior
5
Frontera
superior
10
Marca de
clase
7.5
Frecuencia
relativa
acumulada
0.16
Frecuencia
relativa
0.16
Frecuencia
absoluta
0.16
Frecuencia
acumulada
0.16
10
15
20
25
30
35
40
15
20
25
30
35
40
45
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
0.28
0.56
0.80
0.90
0.94
0.98
1.00
0.12
0.28
0.24
0.10
0.04
0.04
0.02
0.12
0.28
0.24
0.10
0.04
0.04
0.02
0.28
0.56
0.80
0.90
0.94
0.98
1.00
Media
La media aritmética no se puede obtener porque no se dispone de la colección de datos, se estimará a
través del concepto de media ponderada:
m
x = ∑ t i f i* = t1 f1* + t 2 f 2* +  + t m f m*
i =1
En donde t i es la marca de clase del intervalo i, f i * es la frecuencia relativa del intervalo i y m es el
número de intervalos o clases en la tabla de frecuencias.
Marca de
clase
Frecuencia
relativa
tifi*
7.5
0.16
1.2
12.5
0.12
1.5
17.5
0.28
4.9
22.5
0.24
5.4
27.5
0.10
2.75
32.5
0.04
1.3
37.5
0.04
1.5
42.5
0.02
0.85
Suma=
19.4
Por lo tanto la media es aproximadamente: x = 19.4
Para calcular la varianza, se usa:
Marca de
clase
Frecuencia
relativa
tifi*
7.5
0.16
1.2
9
12.5
0.12
1.5
18.75
17.5
0.28
4.9
85.75
22.5
0.24
5.4
121.5
27.5
0.1
2.75
75.63
32.5
0.04
1.3
42.25
37.5
0.04
1.5
56.25
42.5
0.02
0.85
36.13
445.25
Suma=
(
s 2 = t i2 f i* − t i f i*
)
2
19.4
= 445.25 − (19.4 ) = 68.89
2
2
ti fi*
Entonces:
s = s2 =
Desviación estándar, que es la raíz de la varianza:
68.89 = 8.3
9. Considere la siguiente tabla de distribución de frecuencias
Límites
4.5 - 9.4
9.5 -14.4
14.5 - 19.4
19.5 - 24.4
24.5 - 29.4
4
Determinar sus parámetros: media, mediana, moda, desviación estándar, sesgo.
Frecuencia
2
3
6
5
10. A partir de una muestra de la capacidad de contenedores de agua, para uso de una obra de
ingeniería, se generó el siguiente polígono de frecuencias, obtenga lo que se pide en los
siguientes incisos.
a)
b)
c)
d)
Obtenga la tabla de frecuencias completa.
Calcule la media.
Calcule la varianza
Calcule la desviación estándar
Resolución:
10
20
30
40
50
60
70
80
90
INTERVALO
FECUENCIA MARCA DE CLASE F_ACUMULADA F_RELATIVA F_REL_ACUM
≤ X < 20
121
15
121
0.0989
0.0989
≤ X < 30
165
25
286
0.1349
0.2339
≤ X < 40
184
35
470
0.1504
0.3843
≤ X < 50
173
45
643
0.1415
0.5258
≤ X < 60
142
55
785
0.1161
0.6419
≤ X < 70
120
65
905
0.0981
0.7400
≤ X < 80
118
75
1023
0.0965
0.8365
≤ X < 90
110
85
1133
0.0899
0.9264
≤ X ≤ 100
90
95
1223
0.0736
1.0000
1223
TOTAL
1

¯ =  ∑   = 51.12
=1

1 
 =1
∑  2 − ( ∑   )2
 2 = =1
−1
= 586.603
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
SERIE TEMA II
Semestre: 2015-2
FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
1. Una fundidora produce piezas de hierro fundido para uso en las transmisiones automáticas de
camiones. Son dos las dimensiones cruciales de dicha pieza, A y B. Supóngase que si la pieza
cumple con la especificación de la dimensión A, existe una probabilidad de 0.98 de que también
cumpla con la dimensión B. Además, existe 0.95 de probabilidad de que cumpla con la
especificación de la dimensión A y 0.97 de que lo haga con la dimensión B. Se selecciona
aleatoriamente e inspecciona una unidad de dicha pieza. ¿Cuál es la probabilidad de que cumpla
con las especificaciones de ambas dimensiones?
Respuesta 0.931
2. Considérese un conjunto universal compuesto por los enteros del 1 al 10.
Sea A = {2,3, 4} , B = {3, 4,5} y C = {5,6,7} Por enumeración, listar los miembros de los
siguientes conjuntos.
a) A ∩ B
b) A ∪ B
c) A ∩ B
d) A ∩ (B ∩ C )
e) A ∩ (B ∪ C )
Resolución:
a) S = {1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10} A = {1,5,6,7,8,9,10}
A∩B =
{5}
b) A ∪ B =
{1,3,4,5,6,7,8,9,10}
c) B = {1,2,6,7,8,9,10}
A∩B =
{2,3, 4,5}
d) A ∩ (B ∩ C ) =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
e) A ∩ (B ∪ C ) =
{1,2,5,6,7,8,9,10}
3. Supóngase que S contiene cuatro puntos muestrales E1, E2, E3, y E4.
a) Establecer todos los eventos posibles de S (incluyendo el evento vacío).
n
n
 = 2 para calcular el número total de eventos de S.
i =1  
c) Sean A y B los eventos {E1, E2 , E3 } y {E2 , E 4 } respectivamente. Especificar los puntos muestrales
n
b) Utilizar el resultado
∑i
de los eventos siguientes:
A∪B
A∩B
A∩B
A∪B
Resolución:
a) φ,{E1} ,{E2 } ,{E3 } ,{E 4 } ,
{E1, E2} ,{E1, E3 } ,{E1, E4 } ,
{E2, E3 } ,{E2, E4 } ,{E3 , E4 } ,
{E1, E2, E3 } ,{E1, E2, E4 } ,
{E1, E3 , E4 } ,{E2, E3 , E4 } ,
S
 4  4  4  4  4
 0  1   2   3   4 
4
b)   +   +   +   +   =2 =16
c) A ∪ B =
{E1, E2, E3 , E4 }
A∩B =
{E2 }
A∩B =
φ
A∪B =
{E2, E4 }
4. Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas,
de las cuales sólo una es correcta,
a) ¿En cuántas formas diferentes puede un estudiante escoger una respuesta para cada
pregunta?
b) ¿En cuántas formas puede un estudiante contestar el examen, escogiendo una alternativa
para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas?
Respuesta: a) 1024, b) 243
5. Se va a seleccionar al azar, una delegación de deportistas de alto rendimiento para asistir a los
juegos olímpicos. La delegación está compuesta por 4 de 10 deportistas que constituyen a los
más destacados elementos de cierto deporte. Si en dicho grupo hay 2 mujeres ¿cuál es la
probabilidad de que ambas formen parte de la delegación?
Respuesta P(A)= 14 / 105
6. En una caja vienen envueltos 15 focos, 5 de los cuales están fundidos. Si se sacan al azar 3
focos ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos esté fundido?
Respuesta P(A)= 120 / 455
7. En una bolsa hay 10 globos blancos, 5 anaranjados y 5 azules. Si se extrae un globo al azar,
la probabilidad de que ocurra:
a) Sacar un globo blanco
b) Sl hacer una segunda extracción el globo sale blanco si se quitan los globos anaranjados para
esta segunda extracción.
10
10
9
Respuestas a) , b) � � � �
20
20
14
8. En un grupo de 50 profesores hay 30 casados, 15 hablan inglés y 10 son casados y hablan
inglés. Se elige al azar un profesor para representante ante el comité administrativo de la
escuela ¿cuál es la probabilidad de que el elegido sea casado y hable inglés?
1
Respuesta
3
9. En una encuesta realizada en México a 10 000 ciudadanos del sexo masculino se obtuvieron
los siguientes resultados:
NINGUNO
PRACTICA UN DEPORTE
POCO
REGULAR
TOTAL
EC
SEC
TOTAL
700
1300
2000
300
6600
6900
100
1000
1100
1100
8900
10000
EC = Enfermedades del corazón
SEC = Sin enfermedades del corazón
Determinar la probabilidad de que:
a) un hombre no realice ningún deporte.
b) tenga una enfermedad del corazón.
c) haga deporte regularmente y padezca del corazón.
d) no padezca del corazón considerando que hace no deporte.
e) padezca del corazón considerando que hace deporte regularmente.
Respuestas a) 0.20, b) 0.11, c) 0.01, d) 0.65 e) 0.09
10. Se requiere que todos los empleados de una base militar se sometan a pruebas de polígrafo,
con el objeto de reducir las pérdidas debidas a robo. Algunos empleados consideran que este
tipo de medidas son una violación a sus derechos. Al hacer un reportaje acerca de una base
militar en particular que emplea este procedimiento, el reportero hace notar que los detectores
de mentiras tienen una eficiencia que varía del 90 % al 99%. Para evaluar los riesgos que
corren las personas al someterse a una prueba con un detector de mentiras al suponer una
probabilidad de que un detector concluya que un empleado miente cuando en realidad dice la
verdad es de 0.05, y se supone también que las pruebas siempre serán independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina concluya que tres empleados mienten cuando en
realidad los tres dicen la verdad?
b) ¿Cuál es la probabilidad que la máquina concluya que al menos uno de los tres empleados
miente cuando todos dicen la verdad?
Respuestas a) 0.000125, b) 0.143
11. En una editorial al terminar una edición de cierta obra, un supervisor selecciona aquellos libros
que deben sujetarse a una inspección completa; el 10% de todos los artículos producidos
tienen errores (defectuosos), 60% de los artículos que son sometidos a inspección completa
son defectuosos y 20% de los artículos fueron sometidos a inspección completa sabiendo que
no tienen errores.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los artículos pasen por una inspección completa?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya pasado por una inspección completa dado que no tenía
defectos?
Respuestas: a) 0.24, b) 0.25
12. Un alumno contesta una pregunta que ofrece cuatro soluciones posibles en un examen de
opción múltiple. Supóngase que la probabilidad de que el alumno conozca la respuesta
correcta es 0.8 y la probabilidad de que tenga que contestar al azar es de 0.2. Supóngase
además que la probabilidad de seleccionar la respuesta correcta al azar es 0.25. Si el alumno
contesta correctamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que efectivamente conozca la
respuesta correcta?
Respuesta 0.9412
13. Una empresa comercializadora de artículos electrónicos está considerando comercializar un
nuevo modelo de televisor. En el pasado, el 40% de los equipos de televisión que la empresa
lanzó al mercado tuvieron éxito y el 60% no fueron exitosos. Antes de lanzar al mercado el
equipo de televisión, el departamento de investigación de mercados realiza un extenso estudio
y entrega un reporte, ya sea favorable o desfavorable. En el pasado, el 80% de los equipos de
televisión exitosos habían recibido un reporte de investigación favorable y el 30% de los
equipos de televisión no exitosos habían recibido un reporte de investigación favorable. Para
los nuevos modelos de B. televisión bajo consideración, el departamento de investigación de
mercado ha entregado un reporte favorable. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo de
televisión tenga éxito en el mercado?
Respuesta 0.64
14. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La
probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad
de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya
habido ningún incidente?
Respuesta 0.157
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
SERIE TEMA III
VARIABLES ALEATORIAS
Semestre: 2015-2
1. El administrador de una empresa ha notado que la cantidad de inasistencias mensuales
promedio de los trabajadores es una variable aleatoria con la siguiente distribución de
probabilidad.
x
P(X=x)
0
0.2
1
0.4
2
0.3
3
0.1
Sea X la cantidad promedio de faltas de los trabajadores de la empresa.
a) Obtenga la función de distribución acumulada.
b) Si a la empresa le cuesta
12 X + 10
pesos cada vez que un trabajador falta, calcule el
costo esperado.
Respuesta b) $166.00
2. Sea
(x
k
( ) ) la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X tal que
, p xk
X=x
-1
p(x)
5
Obtener la función para la variable Y, si:
a)
0
8
1
11
2
14
=
Y 3x + 8
b)=
Y
3x2 + 2
3. Dada la función de distribución acumulada
 0
0.1

=
F ( x ) 0.3
0.6

 1
si
x < −2
si − 2 ≤ x < 0
si 0 ≤ x < 2
si
si
2≤x<3
x≥3
a) Calcule P(X > 1.5)
b) Calcule P(X > 1.5 | X < 2.5)
Respuesta a) 0.7, b) 0.5
4. La producción de artículos domésticos por día en una cierta fábrica es de 12 aparatos, de los
cuales hay dos defectuosos. Se elige una muestra de 3 aparatos. Determine la función de
probabilidad para la cantidad de aparatos defectuosos en la muestra.
5. Se sabe que un grupo de 5 componentes contiene dos defectuosos. Un inspector prueba los
componentes uno por uno hasta encontrar los dos defectuosos. Una vez encontrado el
segundo defectuoso se concluye la prueba, pero se prueba el segundo defectuoso como
comprobación. Sea Y el número de pruebas necesarias hasta encontrar el segundo defectuoso.
Obtener la distribución de probabilidad para Y.
Respuesta 0.1, 0.2, 0.3, 0.4
6. Considere un sistema de agua que fluye a través de las válvulas A y B mostradas en el
diagrama. Las válvulas 1, 2, 3 y 4 funcionan independientemente y cada una se abre
correctamente mediante una señal con una probabilidad de 0.8. Obtener:
a) La distribución de probabilidad para el número de vías abiertas.
b) La varianza de la distribución del inciso anterior.
c) Calcule la probabilidad de que exactamente una vía esté abierta.
d) La distribución de probabilidad para el número de válvulas abiertas.
e) Calcule la probabilidad de que exactamente dos vías estén abiertas.
1
A
B
2
3
Respuestas a) 0.072, 0.416, 0.512, b) 0.3904, c) 0.416, e) 0.384
7. Suponga que X es una variable aleatoria que representa la vida en años de un cierto tipo de
tubo que tiene una función de densidad f(x).
 0

f ( x) =  a
 x 2
si
x < 10
si
x ≥ 10
a) Obtenga el valor de la constante a para que
b) Obtener el valor de k tal que
f ( x ) sea una fdp.
P( X < k) =
0.75
c) Obtener sus medidas de tendencia central.
d) Obtener sus medidas de dispersión.
8. Considere una variable aleatoria X continua, cuya función de probabilidad es:
k cos 2 x
f(x) = 
0
0 ≤ x < π4
otro caso
a) Calcule el valor de k para que f(x) sea una función densidad de probabilidad.
b) Calcule la media y la varianza.
c) Obtenga la función de distribución acumulada.
d) Determine la mediana.
e) Determine la moda.
Respuestas: b) 0.2854, 0.0354, d) 0.2618
9. Suponga que el error en la lectura del consumo de energía eléctrica en Kw/hora, es una
variable aleatoria continua X que tiene la función densidad de probabilidad:
 x2

f ( x) =  3
 0

si
−1 ≤ x < 2
otro caso
a) Verificar que es una función densidad de probabilidad.
b) Encuentre p(0≤x≤1)
c) Encuentre de manera analítica y gráfica la función de distribución acumulativa y utilícela para
evaluar P(0≤x≤1)
d) Determine el valor esperado de h(x) = 4x + 3
e) Encuentre la variancia de h(x) = 4x + 3
10. Se sabe que la cantidad semanal de tiempo, en segundos, que un empleado llega tarde a trabajar
es una variable aleatoria X con función de densidad:
() = �
3
(502 −  2 ) ;
50(104 )
0 ;
−50 ≤  ≤ 50
   
a) Determine el tiempo promedio semanal de retardo del empleado.
b) Determine la probabilidad de que el tiempo de retardo del empleado exceda su tiempo promedio
de retardo semanal.
Respuesta b) 0.5
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
SERIE TEMA IV
MODELOS PROBABILÍSTICOS COMUNES
Semestre: 2015-2
1. Un examen contiene 15 preguntas tipo falso-verdadero. El examen se aprueba si por lo menos
se contestan correctamente 13 preguntas.
Si un alumno contesta al azar el examen, ¿Cuál es la probabilidad de que lo apruebe?
Respuesta: 0.00369
2. Si en general 15 de cada 100 hijos de padres alcohólicos nacen con deficiencias físicas o
mentales…
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 10 nacimientos (de padres alcohólicos)
resulten por lo menos 2 casos de nacimientos de niños con deficiencias físicas o mentales?
b) De los siguientes 20 nacimientos (de padres alcohólicos) ¿cuántos se espera que no tengan
deficiencias físicas o mentales?
Respuesta: a) 0.4557
3. En un lote grande de artículos hay 3% defectuosos. Si se selecciona al azar un artículo uno
tras otro, hasta encontrar un defectuoso.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se deban inspeccionar más de 5 artículos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que inspeccionar entre 10 y 20 artículos inclusive,
para encontrar el primer defectuoso?
Respuesta: b) 0.2154
4. Tres personas tiran monedas al aire y el disparejo paga el café. Si los tres resultado son
iguales las monedas se tiran nuevamente
a) Calcule la probabilidad de que se necesiten más de cuatro intentos para tener un perdedor que
pague el café.
b) ¿En qué intento se espera tener al perdedor?
Respuesta: a) 0.5951
5. Se supone que el 30% de los aspirantes para cierto trabajo industrial tienen entrenamiento
avanzado en programación. Se toma una muestra al azar del conjunto de aspirantes y se
entrevista uno tras otro. Si la empresa necesita tres aspirantes con un entrenamiento avanzado
en programación.
a) Determine la probabilidad de que se encuentre el tercer aspirante con un entrenamiento
avanzado en programación hasta la veinteava entrevista.
b) ¿Cuántos aspirantes se espera entrevistar hasta encontrar al tercero con entrenamiento
avanzado en programación?
Respuesta: a) 0.0107
6. En un lote de 13 componentes electrónicos para televisores, se encuentran 3 defectuosos. Una
persona compra 4 de tales componentes para reparar televisores. Calcule la probabilidad de
que el comprador regrese a reclamar por haber obtenido componentes defectuosos.
Respuesta: 0.7063
7. En el aeropuerto Benito Juárez de la ciudad de México debido a la gran afluencia de
pasajeros, sólo se revisa el 10% de éstos a la salida. Si de un grupo de 20 turistas, 12 tienen
compras muy por arriba de la cantidad permitida y se conserva el mismo 10% de revisiones
para las 20 personas. ¿cuál es la probabilidad de que las dos personas revisadas tengan que
pagar los impuestos correspondientes por exceso de compras permitidas por las autoridades
del aeropuerto?
Respuesta 0.34737
8. Si el número de coches que llegan a un estacionamiento en el centro del D. F. es de 8 por hora
¿cuál es la probabilidad de que en un periodo de 10 minutos lleguen al estacionamiento
a) Entre 3 y 6 autos inclusive.
b) Más de dos autos.
Respuesta: a) 0.1502, b) 0.1506
9. Según estadísticas en una colonia del D.F. se comenten en promedio 10 asaltos a
automovilistas al día. Si los asaltos son independientes.
a) Calcule la probabilidad de que en un día determinado se cometan más de 10 asaltos a
automovilistas.
b) Calcule la probabilidad de que en el transcurso de las 6 a las 12 horas de la mañana, no se
cometan asaltos a automovilistas
Respuesta: a) 0.4170 b) 0.0821
10. En pruebas de las distancias de frenado de automóviles; los vehículos que viajan a 50km/h al
ser aplicados los frenos, tienden a correr distancias que parecen estar distribuidas
uniformemente entre dos puntos a=10 m y b=50 m. Calcular la probabilidad de que uno de esos
automóviles, se detenga antes de 35 m.
11. Las ventas de combustible en una gasolinera tienen una media de 40000 litros por día y un
mínimo de 30000 litros por día. Suponiendo que una distribución uniforme es apropiada.
a) Determine las ventas máximas diarias
b) ¿Qué porcentaje de días las ventas excederán de 34000 litros?
Respuesta: b) 80%
12. Suponga que la llegada de los coches a una caseta de cobro de una autopista tiene un
promedio de 2 carros por minuto. Encuentre la probabilidad de que el revisor permanezca por
lo menos 20 segundos desocupado.
Respuesta: 0.5134
13. El periodo de vida de una estufa de cierta marca tiene un promedio de 6 años.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una estufa falle después del cuarto año?
b) ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía que deberá tener la estufa si se desea que a lo más el
20% de las estufas fallen antes de que expire la garantía?
Respuesta: a) 0.5134
14. En un aserradero se cortan árboles en trozos de 4 metros en promedio con una desviación
estándar de 0.23 metros.
a) Si se elige un lote de 500 trozos, ¿cuál será el número probable de éstos que superen la
longitud de 4.12 metros?
b) Si se eligen 9 trozos ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 4 tengan una longitud mayor
de 4.05 metros?
Respuesta: b) 0.255
|
15. Suponga que un sistema constituido por 100 componentes, cada uno de los cuales tienen una
confiabilidad del 80%. Si estos componentes funcionan independientemente unos de otros, y el
sistema completo funciona correctamente cuando al menos 75 componentes funcionan.
Calcule la probabilidad de que el sistema completo funcione correctamente.
Respuesta: 0.9162
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
SERIE TEMA V
VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS
Semestre: 2015-2
1. En un sistema electrónico operan conjuntamente dos componentes de dos tipos
diferentes, tipo I y tipo II. La función de densidad conjunta está dada por
(
f x1 , x 2
)
( x1 + x 2 )
1
−
2

=  8 x1 e

0

si
x1 > 0 , x 2 > 0
otro caso
a) Obtener las funciones de densidad marginal y determine si las variables son
independientes.
b) Obtener el valor esperado para cada variable.
c) Obtener el valor esperado
(
E X1 X2
d) Calcule la covarianza.
e) Calcule
(
)
P X1 > 1| X2 > 1
y
)
(
)
P X1 > 1 , X2 > 1
Respuestas c) 8, e) 0.9098, 0.5518
2. Supóngase que dos amigos tienen una cita para verse entre las 6:00 y 6:30 de la tarde
en un restaurante del centro de la ciudad de México y se ponen de acuerdo en que
ninguno esperará al otro más de diez minutos. Suponiendo que los tiempos de llegada
de los amigos X y Y son independientes y tienen una distribución uniforme:
a) Determine la función de densidad conjunta.
b) Obtenga el valor esperado de cada una de las variables.
c) Calcule el valor esperado de XY.
d) Determine la probabilidad de que se encuentren.
Respuesta b) 15 minutos y 15 minutos.
3. Un restaurant de comida rápida funciona mediante dos sistemas de venta, uno desde
una ventanilla para automóviles y otro para personas que llegan a pie al lugar. El
tiempo en ser atendido es una variable aleatoria que depende del sistema con el que
fue atendido de acuerdo a la siguiente función de densidad conjunta
(
f x1 , x 2
)
(
( )
k x + x

1
2
=

0
2
)
si 0 ≤ x1 ≤1, 0 ≤ x 2 ≤ 1
otro caso
a) Determine el valor de k para que la función sea efectivamente una función de densidad.
b) Obtenga las funciones de densidad marginal y determine si son independientes.
Escriba sus conclusiones.
c) Calcule el valor esperado de cada una de las variables. Describa qué indican los
valores obtenidos.
d) Obtenga el valor esperado de X 1 X 2
e) Calcule el valor del coeficiente de correlación. Describa qué significa el valor.
f) Calcule P X 1 ≤ 0.25, X 2 ≥ 0.25
(
)
Respuestas a) 1.2, c) 0.6 y 0.6, e) - 0.01
4. Sean X y Y variables aleatorias con las distribuciones siguientes:
X
10
20
Y
-4
7
10
P(X)
0.6
0.4
P(Y)
0.2
0.3
0.5
a) Encuentre la distribución conjunta de X y Y.
b) Calcule el promedio conjunto de X y Y.
c) ¿Existe algún tipo de relación entre las variables?, fundamente su respuesta.
Respuesta b) 88.2
5. En un automóvil de seis cilindros se colocan al azar cuatro bujías marca A y dos marca
B, meses después el automóvil requiere cambio de bujías.
Sea X la variable aleatoria asociada a la primera bujía extraída de la cual tomara el
valor de uno si la bujía es marca A y dos si es marca B. Asimismo, sea Y la variable
aleatoria asociada a la segunda bujía extraída la cual tomará valores en la misma
forma que la variable aleatoria X.
Obtenga:
a) La distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X e Y, f X ,Y ( x, y ) .
b) Las distribuciones marginales f X ( x ) y fY ( y )
c) La media y la varianza de cada una de las variables aleatorias.
d) La distribución de probabilidad condicional de X dado que Y=2.
e) La distribución de probabilidad condicional de Y dado que X=1.
f) La covarianza y el coeficiente de correlación.
Respuestas c) 1.33, 0.22 f) – 0.04, - 0.20