1. No category

10/26/14 Covarianza entre parientes
(Resemblance between relatives)
Ing. Agr. Nicolás Frioni
[email protected]
Facultad de Agronomía
Montevideo 2014
Covarianza ?
z 
"   Wikipedia….
"   En probabilidad y estadística, la covarianza es un valor
que indica el grado de variación conjunta de dos
variables aleatorias.
"   Es el dato básico para determinar si existe una
dependencia entre ambas variables y además es el dato
necesario para estimar otros parámetros básicos, como
el coeficiente de correlación lineal o la recta de
regresión.
z 
Concepto previo.
"   Parentesco aditivo (aXY):
"   Es la proporción esperada de genes en común,
idénticos por ascendencia entre 2 individuos
X e Y.
1 10/26/14 z 
Parecido entre parientes
"   La clase pasada estuvimos de acuerdo…lo parientes se
parecen.
Cómo usamos la información de parientes?
"   La variación es la clave del mejoramiento
genético.
"   Dentro del modelo básico
"   VP= VA + VD + VI + VEc + VE
"   VA es producida por diferencias en el valor de
cría de los animales. No lo podemos observar!
"   Cómo calculamos la VA ?
z 
Parecido (covarianza) entre parientes
"   Vimos como se descompone el modelo básico.
"   VP= VA + VD + VI + VEc + VE
"   Pero también se puede descomponer en:
2
2
σ P2 = σ entre
_ familias + σ dentro _ de _ familias
2 10/26/14 Solución = el parecido entre parientes
z 
"   Animales parientes comparten una proporción de sus genes
(proporción que estimamos en el práctico la semana pasada).
"   Estimar la covarianza entre estos grupos de animales nos
permite calcular la Varianza Aditiva (VA).
Y
X
Covarianza padre - hijo
z 
PADRE (X)
X1X2
MADRE
M1M2
HIJO (Y)
X1M1
X1M2
X2M1
X2M2
MADRE
M1M2
"
Chance de obtener en el hijo:
"
Un mismo GEN: 4 en 8 = ½ = aXY
"
Un mismo GENOTIPO: 0 en 4 = 0 = dXY
Covarianza medio hermanos
z 
"
"
PADRE
P1P2
MADRE
M3M4
X
Y
P1M1
P2M1
P1M2
P2M2
P1M3
P1M4
P2M3
P2M4
Elijamos una combinación (“animal X”)
Chance de obtener en animal Y:
"
"
Un mismo GEN: 2 en 8 = ¼ =aXY
Un mismo GENOTIPO: 0 en 4= 0 = dXY
3 10/26/14 Covarianza hermanos enteros
z 
PADRE
P1P2
X
Y
P1M1
P2M1
P1M2
P2M2
P1M1
P2M1
P1M2
P2M2
Elijamos una combinación (“animal X”)
Chance de obtener en animal Y:
z 
z 
Un mismo GEN: 4 en 8 = ½ =aXY
Un mismo GENOTIPO: 1 en 4= ¼ = dXY
z 
z 
z 
Casos particulares más usados
"
Cov (P,H) = ½ VA
"
Cov (½H) = ¼ VA
"
Cov (HE) = ½ VA + ¼ VD + VEc
"
Pero... Me falta un valor numérico para la covarianza entre
parientes
"
¿Cómo medirlo?
Observaciones reales
Análisis estadístico de la varianza entre y dentro de familias.
"
"
Variación familiar
z 
-­‐5
MADRE
M1M2
-­‐4
-­‐3
-­‐5
-­‐4
-­‐3
-­‐ 6 -­‐2
-­‐2
-­‐1 -­‐ 4
0
x1-­‐1
VP = VA + VD+ VI +VE
-­‐ 12 -­‐ 6
2
4
0 -­‐ 3
0
x2 X
-­‐ 2
4 2
5
40
x13
2
6
4
6
2
3
4
5
σ2P = σ2dentro + σ2entre
4 10/26/14 Relación entre varianzas
z 
σ2P=Varianza total
Familias
σ2dentro
σ2entre
z 
Relación entre varianzas observadas
Ejemplo: 9 animales, 3 grupos (familias; Valor de las observaciones: 1, 2 o 3)
“Justicia total”
Valores
individuales
Promedios
de grupos
z 
“Al azar”
“Similitud total”
a
b
c
a
b
c
a
b
c
1
1
1
2
2
1
1
2
3
2
2
2
3
1
3
1
2
3
3
3
3
1
2
3
1
2
3
2
2
2
2.0
1.7
2.3
1
2
3
Conclusiones
"   A mayor varianza dentro de familias, menor
varianza entre familias.
"   A menor varianza dentro de familias, mayor
varianza entre familias =
"   Mayor semejanza entre parientes
5 10/26/14 z 
Algunos modelos básicos
Media poblacional
Modelo clásico de
una vía:
residuo
yij = µ + ai + eij
Producción de leche
Padre
(aleatorio)
Padre
Madre (No incluida en el
modelo)
)
(
Hija =observación)
z 
Algunos modelos básicos
Si la madre tiene varios hijos (p. ej. Cerdos): modelo anidado
yijk = µ + ai + bij + eijk
Madre
(aleatorio)
Padre
(aleatorio)
Padre
Madre
Hijos (=observaciones)
z 
Anova
yij = µ + si + eij
Prod. Leche vaca j, hija
del toro i
Residuo de la vaca j
Padre
(aleatorio)
Fuente de Grados de Suma de Cuadrados
variación
libertad
cuadrados
medios
Entre toros
S-1
B-C
SCs/S-1
Dentro de
toros
N-S
A-B
SCe/N-S
A = ∑∑ yij2
i
j
⎛
⎞
⎜⎜ ∑ yij ⎟⎟
j
⎠
B = ∑ ⎝
ni
i
E(CM)
σ2
e+
kσ2s
σ2 e
2
⎛
⎞
⎜⎜ ∑∑ yij ⎟⎟
i
j
⎠
C = ⎝
N
2
6 10/26/14 z 
Recuerden:
COVARIANZA = PARECIDO
VARIANZA = DIFERENCIA
Conclusiones:
Similitud dentro de grupos ≡ distinción entre grupos
Covarianza dentro de familias ≡ Varianza entre familias
2
Cov( 1 H ) = σ entre
= σ 2padre
2
2
2
2
Cov( HE) = σ entre
= σ padre
+ σ madre
z 
Procedimiento práctico (esquema)
Material con observaciones biológicas
Descripción estadística con un modelo
Estimación estadística
Resultados en forma de estimación de
efectos y varianzas, de acuerdo al modelo
Modelo genético
Estructura de parentesco
Determinación de las relaciones entre
componentes estadísticos y genéticos
Transformación de términos
estadísticos a genéticos
Resultado en forma de parámetros y
efectos genéticos
Gracias!
7 10/26/14 z 
Bibliografía
"   Cardellino, R. Rovira, J., 1987. Mejoramiento Genético Animal.
Editorial Hemisferio Sur, Montevideo Uruguay. (cap 4.).
"   Falconer, D. S., 1967. Introduction to Quantitative Genetics.
Editorial Oliver and Boyd Ltd, Glasgow Great Britain.
8