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PUERTO VALLARTA, JALISCO, MÉXICO, OCTUBRE 2014
MODELOS DE TURBULENCIA EN MECÁNICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL
Ruiz Solorio Gerardo
Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México. Circuito Exterior S/N, Ciudad Universitaria,
Del. Coyoacán, México D.F., México. C.P. 04510
gerardrui@hotmail.com
~H/U
~Z/U
Escala de tiempo
Ilustración 1. Escala de turbulencia.
Rango disipativo
Fenómeno
Hidráulico
~W/U
Micro
Meso
Subrango
Inercial
Semanas
Macro
Subrango
Intermedio
Años
Turbulencia
Rango de grandes
vórtices
El flujo turbulento ha sido una fuente de fascinación por
siglos, el término 'turbulencia' parece haber sido utilizado
primero en referencia a los flujos de fluidos por Leonardo Da
Vinci, quien estudió el fenómeno extensivamente. Hoy en día,
la turbulencia se caracteriza con frecuencia como el último
gran problema no resuelto de la física clásica. Juega un papel
central en flujos de fluidos en la ingeniería. Su estudio
condujo al descubrimiento del primer atractor extraño de
Variabilidad
Intranual
Turbulencia
Variación
Hidrológica
Variabilidad
Multianual
En este trabajo se analiza los diferentes métodos de la
obtención de la turbulencia, sus ventajas y desventajas que se
tienen en los diversos problemas que se presentan en el campo
de la hidráulica. Esto es un intento de clarificar y tamaño de
los muchos niveles posibles para la predicción numérica del
flujo turbulento. Estos niveles todavía van desde una solución
de las ecuaciones de Navier-Stokes Reynolds-Averaged
(RANS) constante a una simulación numérica directa, con la
simulación de LES. Sin embargo estos últimos años han
añadido estrategias intermedias: DNS (Simulación Numérica
Directa), LES (Simulación de grandes vórtices), RANS
(Ecuaciones promediadas de Reynolds Navier-Stokes) y
Double-Averaged Equations (Ecuaciones doblemente
promediadas) que se pueden derivar para la conservación de la
masa, momentum, energía y esfuerzos cortantes turbulentos.
En la Ilustración 1, se muestra la variación de la turbulencia en
diferentes escalas. Los principales mecanismos físicos que
conducen a la turbulencia en las escalas más pequeñas se
presentan en términos de tensión y vorticidad, cantidades que
representan la tendencia del flujo en cualquier punto a
deformarse y a la rotación del fluido, respectivamente. Una
lección importante y reciente es que la vorticidad y el esfuerzo
no están distribuidos al azar en el flujo turbulento, sino más
bien se concentran en regiones coherentes, cada una de ellas
dominada por tipo de movimiento. El primer mecanismo que
se considera es el enrollado de vórtice debido a la
inestabilidad del cortante. Este proceso resulta en una
concentración de vorticidad cercana a la unidad, es decir un
vórtice de línea. Cuando un vórtice es estirado por el flujo
circundante, su rotación aumenta para conservar el momento
angular. La oposición de estos procesos en la viscosidad hace
que se disipe la vorticidad y los flujos se alejan de las regiones
fuertemente rotacionales.
Espectro
A primera vista el principal problema radica en las
limitaciones computacionales disponibles, y la aplicación de la
simulación numérica directa podría hacer las predicciones de
estos códigos de casi el 100% confiable. Esto podría ser
potencialmente alcanzado solamente en el caso cuando somos
capaces de determinar con precisión todas condiciones
iniciales y de frontera. Esto no es posible en sistemas de
ingeniería realistas. Por lo tanto, cualquier predicción de
códigos CFD siempre se espera que sean aproximadas,
(Hirsch, 2009). Debido a que muchos flujos son muy
complejos, ya que no sólo son turbulentos y altamente
tridimensionales, sino también tienen fronteras irregulares y
complejas, (Sparlat, 2000).
La turbulencia resulta de la naturaleza no lineal de la
advección, que permite la interacción entre movimientos en
diferentes escalas espaciales. En consecuencia, una
perturbación inicial con una escala de longitud característica
determinada tiende a diseminarse a escalas progresivamente
más grandes y más pequeñas. Esta expansión del rango
espectral es limitada en gran escala por las fuerzas del cuerpo,
de las fronteras y en pequeñas escalas de la viscosidad. Si el
rango de escalas se vuelve lo suficientemente grande, el flujo
adopta una forma muy compleja cuyos detalles desafían la
predicción.
Frecuencia
En los últimos años, el desarrollo de la tecnología de
Mecánica de Fluidos Computacionales (CFD, Computational
Fluid Dynamics) y la potencia computacional ha traído
grandes avances en la investigación y aplicación de códigos
CFD en hidráulica, ingeniería de ríos, marítima, aerodinámica,
energía, irrigación y drenaje por mencionar algunas (Lorezini,
2012). El CFD se ha desarrollado significativamente en las
últimas décadas y tiene un papel muy importante en estudiar el
flujo de los fluidos. Uno de los retos más significativos,
particularmente para la ingeniería hidráulica, es el tratamiento
de la turbulencia.
Lorenz en 1963 y dio comienzo a la ciencia moderna de la
dinámica del caos. En las últimas décadas, ha ganado una gran
importancia en los estudios de dinámica ambiental, mezclado
de químicos y en la ingeniería hidráulica, tanto en forma
teórica como en estudios de laboratorio, obteniendo mejoras
en las técnicas experimentales y simulaciones por
computadora.
Velocidad
Introducción
 = (/)1/2
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La turbulencia puede visualizarse como un 'spaghetti'
libremente enredada de vórtices lineales que continuamente se
entrelazan unos a otros en formas complejas, ver Ilustración 2.
En un momento dado, se crean unos vórtices enrollados,
algunos están creciendo debido al estiramiento del vórtice, y
algunos están decayendo debido a la viscosidad. Muchos, sin
embargo, están en un estado de equilibrio aproximado entre
estos procesos y mantenga las características del flujo por la
formación de las estructuras coherentes. La mezcla no se logra
dentro de los vórtices, estas regiones son relativamente
estables, como el ojo de un huracán. En cambio, la mezcla
ocurre principalmente en las regiones de intensa tensión que
existe cuando están cercas dos vórtices que giran en el mismo
sentido. Es en estas regiones que el fluido se deforma para
producir gradientes amplificados y consecuencia sucede una
mezcla rápida.
Jones y Launder (1972) propusieron por primera vez su el
modelo k-e estándar, con Launder y Sharma (1974)
proporcionaron mejores constantes al modelo. La formulación
matemática de este modelo es:
(1)
(2)
(3)
(4)
donde los coeficientes son:
.
,
El segundo método más utilizado es el modelo ,
originalmente propuesto por Wilcox, (Wilcox 1988a, Wilcox
1988b, Wilcox 2007), que es:
(5)
(6)
(7)
(8)
donde los coeficientes son:
.
Ilustración 2. Estructuras coherentes en la turbulencia.
Aunque las estructuras esenciales de la turbulencia no son
complejas, se combinan en una desconcertante variedad de
tamaños y orientaciones de estructuras que hacen de un
análisis complejo. Debido a esto, la turbulencia se entiende
más provechosamente en términos estadísticos. Aunque el
enfoque estadístico impide una predicción detallada de la
evolución del flujo, da información del rango del transporte y
propiedades de mezclado, que son de primordial importancia
en la mayoría de las aplicaciones. El análisis estadístico se
centra en los diversos momentos del campo de flujo, definido
con respecto a alguna operación promedio. La media puede
tomarse sobre el espacio o tiempo, o un promedio del conjunto
asumiendo que se comienza con flujo en condiciones iniciales
similares. El análisis a menudo se simplifica usando tres
condiciones estándar, se asume que la las condiciones
estadísticas del flujo son: estacionario (invariante con respecto
a las traslaciones en el tiempo), homogéneo (invariante con
respecto a las traslaciones en el espacio) e isotrópico
(invariante con respecto a las rotaciones).
Análisis de los modelos clásicos de
turbulencia
Los modelos clásicos de la turbulencia ampliamente
estudiados son:  y modelo Spalart–Allmaras (S-A).
El modelo  es el modelo de turbulencia más ampliamente
utilizado y está incorporado en la mayoría del software CFD.
,
Spalart y Allmaras (1992) propusieron un modelo de una
ecuación usado en flujos aerodinámicos, que resuelve la
ecuación de transporte para una viscosidad variable:
(9)
(10)
donde los coeficientes son:
,
,
,
y las relaciones auxiliares son:
(11)
(12)
(13)
Modelos de turbulencia
Dentro de los modelos de turbulencia se tiene una gran
diversidad, a continuación se enlistan algunos de esos métodos
utilizados para la modelación de la turbulencia:
Modelos RANS
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1.Modelos RANS para fluidos incompresibles
 Modelo Laminar: Modelado de la turbulencia para flujo
laminar
 : Modelo para flujo estándar para Re altos
 : Modelo para flujo estándar para Re altos
 SST: Modelo del tipo SST
 RNG: Modelo del grupo renormalizado RNG
 No lineal : Modelo no lineal del tipo 
 LienCubicKE: Modelo del tipo q-z
 Launder-Sharma : Modelo del tipo  para Re bajos
 LamBremhorst : Modelo del tipo  para Re bajos
 LienCubic Low Re: Modelo del tipo  para Re
bajos
 Lien Leschsiner Low Re: Modelo del tipo  para Re
bajos
 LRR: Modelo de Transporte de Esfuerzos de Reynolds
(RSTM) Launder-Reece-Rodi
 Launder Gibson RSTM: Modelo tipo RSTM que
considera reflexión en las paredes del dominio
 Realizable : Modelo del tipo 
 Sparlart-Allmaras: Modelo de longitud de mezcla de una
ecuación.
2. Modelos RANS para fluidos compresibles
 Laminar: Modelado de la turbulencia para flujo laminar
 : Modelo para flujo estándar
 : Modelo para flujo estándar para Re altos
 SST: Modelo del tipo SST
 RNG: Modelo del grupo renormalizado RNG
 LRR: Modelo de Launder-Reece-Rodi tipo (RSTM)
 Launder Gibson RSTM: Modelo tipo RSTM
 Realizable : Modelo del tipo 
 Sparlart-Allmaras: Modelo de longitud de mezcla de una
ecuación.
Modelos LES
1. Modelos LES para Turbulencia Isotrópica
 Smagorinsky
 Smagorinsky 2: Modelo con un filtro en 3D
 Dyn Smagorinsky: Modelo Smagorinsky dinámico
 Homogeneus Dyn Smagorinsky: Modelo dinámico y
homogéneo.
 Dyn Lagrangian: Modelo Lagranciano de viscosidad de
remolino, dos ecuaciones
 Scale Similarity
 Smagorinsky mexclado: Modelo de mezcla de la escala
Smagorinsky
 Dyn Mixed Smagorinsky: Modelo de mezcla dinámico
 One Eq Eddy: Modelo de la viscosidad de remolino de una
ecuación del tipo k
 One Eq Eddy: Modelo dinámico de la viscosidad de
remolino del tipo k
 Loc Dyn One Eq Eddy: Modelo dinámico localizado de
viscosidad de remolino de una ecuación tipo k
 Spect Eddy Viscosity: Modelo espectral de viscosidad de
remolino
 LRD Diff Stress: Modelo de esfuerzos diferenciales LRR
 Deardorff Diff Stress: Modelo de esfuerzos diferenciales
Dearddorff
 Sparlart-Allmaras
AMH
 Sparlart-Allmaras DDES: Modelo tipo DDES de
simulación de vórtices Sparlart Allmaras
 Sparlart-Allmaras IDDES: Modelo tipo IDDES mejorado
de Sparlart-Allmaras
2. Modelos LES para turbulencia anisotrópica
 Smagorinsky
 One Eq Eddy: Modelo de viscosidad de remolino de una
ecuación tipo k
 Dyn One Eq Eddy: Modelo dinámico de viscosidad de
remolino tipo k
 Low Re One Eq Eddy: Modelo de viscosidad de remolino
de una ecuación tipo k para Reynolds bajos
 Deardorff Diff Stress: Modelo de esfuerzos diferenciales
Dearddorff
 Sparlat-Allmaras
3. Modelos LES deltas
 PrandtlDelta
 cubeRootVolDelta
 maxDeltaxyz
 smoothDelta
4. Filtros LES
 Laplace Filter
 Simple Filter
 Anisotropic Filter
Modelo RANS
El modelo de turbulencia RANS (Ecuaciones promediadas de
Reynolds Navier-Stokes) se puede derivar las ecuaciones de
conservación de la masa, momentum, energía y esfuerzos
cortantes turbulentos, (Versteeg, 2007). Las ecuaciones
básicas utilizadas son:
Continuidad:
(14)
Momento:
(15)
Energía cinética turbulenta, k:
(16)
Disipación turbulenta, :
(17)
donde, t, tiempo; uj, componente de la velocidad; xi,
componente de las coordenadas; , densidad;  coeficiente
viscoso; P, presión; u, coeficiente de la viscosidad turbulenta,
, energía cinética turbulenta y , disipación turbulenta.
Las constantes empíricas;  = 1.0,  = 1.3, C = 1.44, C =
1.92 y la energía cinética turbulenta esta en términos de G con
la siguiente ecuación:
Continuidad:
(18)
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Los proveedores de CFD hacen más difícil la elección
ofreciendo en algunos casos más de 20 diferentes variantes de
solución de la turbulencia por medio de RANS, con apenas
alguna sugerencia respecto a que modelo deben usarse para
alguna aplicación. Esto no es una situación adecuada y,
paradójicamente, a pesar de la evidente necesidad de
innovación, parece no ser un gran incentivo para la
investigación fundamental un modelado RANS convencional.
Sólo unos pocos grupos el mundo seriamente participan en
investigación de RANS. Además, debido a la saturación y
anteriormente numerosas decepciones, las novedades se
encuentran hoy generalmente con desconfianza entre los
usuarios de CFD. Por el contrario, parece ser que mucho más
actividad está investigando nuevos enfoques, principalmente
en la academia, algunos aparentemente partiendo de las
estrategias tradicionales de RANS, entre estos nuevos
desarrollos podemos identificar los siguientes:
 Inestable RANS (U-RANS) implica una solución en el
tiempo en 3D para problemas inestables.
 Multiescala RANS (un punto y análisis espectral).
 Transitorio RANS (basado en una condicional o un
ensamblado de las ecuaciones de Navier-Stokes) con la
posibilidad de modificar el modelo RANS en sub-escalas
del movimiento, ver Hanjalic (2001) y Ha Minh (1993).
 VLES basado en T-RANS (modelo semi-determinista)
modelación de los vórtices coherentes y parcialmente un
promedio de las ecuaciones de Navier-Stokes, ver Farge
(2003) y Girimaji (2003).
 Híbrido RANS/LES con una acoplamiento de los dos
métodos y usando cada uno en la región donde
estratégicamente resuelve la turbulencia de manera más
sencilla, ver Spalart (2000) y Hanjalic (2004).
En la Ilustración 3 se ven las diferencias entre los métodos,
LES, Des y URANS, para el flujo que pasa por una esfera, con
un número de Reynolds, Re = 10,000, ver EAWAG (2012).
Ilustración 4. Configuración de fondo con vegetación.
Se forman fuerzas de arrastre viscosas que actúan dentro de
una capa de rugosidad que no se encuentra explícitamente en
los métodos RANS. Dado que el método RANS no toma en
cuenta lo anteriormente visto, usa un promedio en los
operadores, realiza una descomposición del Reynolds y
promedia las ecuaciones, lo que trae como consecuencia con
los siguientes pasos: comienza con las ecuaciones de NavierStokes, representa las variables instantáneas usando una
descomposición modificada del Reynolds y realiza un
promedio de manera similar al método RANS.
La descomposición del Reynolds modificado se hace la
siguiente forma:
(19)
(20)
donde:
, promedio doble de la velocidad en el espacio y
tiempo;
, forma inducida de la componente de la
velocidad;
, fluctuación de la componente de la
velocidad.
La ecuación de momento con DANS es, donde
promedio en el espacio o tiempo:
puede ser un
(21)
La ecuación de advección y difusión queda:
(22)
En la Tabla 1 se presenta un comparativo de las diferentes
variables.
U-RANS
Tabla 1. Comparación de algunos parámetros entre RANS y
DANS.
Variable
Método
RANS
Componente
velocidad media
DANS
de
Intensidad turbulenta
Ilustración 3. Flujo que pasa por una esfera.
Asimetría
Modelo DAM
Kurtosis
El modelo de turbulencia DAM (Double-Averaging
Methodology) es una modificación al método RANS que hace
un doble promedio y también se le conoce como DANS
(Double Averaging Navier Stokes). En las aplicaciones de la
Ingeniería Hidráulica se tienen parámetros de la rugosidad
espacial, con el método RANS sólo toma en cuenta las
propiedades de flujo en forma local, por lo cual existe un
desajuste en la escala, ver Ilustración 4, como ejemplo de una
configuración de fondo con vegetación.
Esfuerzo de Reynolds
Las principales ventajas de un enfoque de doble promedio
son: mejora significativamente la escala entre los parámetros
de flujo y rugosidad, las fuerzas de arrastre son más fáciles de
evaluar, las variables se pueden escalar de forma más sencilla
y mejores definiciones de los parámetros hidráulicos. Sus
aplicaciones del método DANS son: en el desarrollo de
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modelos numéricos más complejos; en el diseño de
experimentos numéricos, campo y laboratorio; análisis de
datos y su interpretación y finalmente en la integración de los
efectos de pequeña escala dentro de problemas a gran escala.
Conclusiones
AMH
International Journal of Heat and Mass Transfer, 15, 301–
314, 1972.
LAUNDER, B.E. y SHARMA, B.I., Application of the
energy-dissipation model of turbulence to the calculation of
flow near a spinning disc. Letters in Heat and Mass Transfer,
1 (2), 131–138, 1974.
Podemos concluir que los códigos CFD no pueden usarse
como herramientas exclusivas para la investigación en
ingeniería. Sin embargo, pueden, ser útiles en esta
investigación si se utiliza junto con otras herramientas de
análisis de flujo. Necesitamos tener una idea clara acerca de
las propiedades generales del flujo antes de aplicar un código
CFD y es necesario contar con todos los detalles del flujo. El
vínculo entre códigos CFD y otras herramientas utilizadas
para el análisis de los flujos es todavía una línea de
investigación con un amplio campo. Recientemente, una
nueva dirección en el desarrollo de código CFD, basado en la
aplicación directa de nuevas soluciones analíticas en estos
códigos.
LOREZINI, G., CONTI, A. y DE WRACHIEN, D.G.
Computational Fluid Dynamics (CFD) picture of water droplet
evaporation in air. Irrigation Drainage System Engineering 1,
pp. 1-12, 2012.
Agradecimientos
WILCOX, D.C., Formulation of the k-w turbulence model
revisited. AIAA Paper 2007–1408, 2007.
El autor expresa agradecimiento a la Facultad de Ingeniería de
la Universidad Nacional Autónoma de México y al Swiss
Federal Institute of Aquatic Research and Technology
EAWAG por los conocimientos adquiridos durante el Gerhard
Jirka Summer School 2012.
WILCOX, D.C., Reassessment of the scale determining
equation for advanced turbulence models. AIAA Journal, 26,
1299–1310, 1988a.
Referencias
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Environmental Fluid Mechanics, EAWAG, Swiss Federal
Institute of Aquatic Research and Technology, 11-20 junio
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