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MECANICA CLASICA II —— Tarea 1: Dinámica de un sistema de partículas.
12:52 pm, Oct 21, 2014
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE FISICA
TAREA # 1
MECANICA CLASICA II
DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
Prof. Terenzio Soldovieri C.
URL: http://www.cmc.org.ve/tsweb
e-mails: tsoldovieri@luz.edu.ve; tsoldovieri@fec.luz.edu.ve; tsoldovi@hotmail.com
(contacto messenger)
Skype: tsoldovi Facebook: Terenzio Soldovieri Twitter: @tsoldovieri BBPin: 293DBBC9
Texto guía: Soldovieri,T. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed.
(preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Disponible en
www.cmc.org.ve/tsweb
Ultima actualización: 21/10/2014.
Indicaciones:
Resuelva cada uno de los siguientes planteamientos marcados con plasmando en su hoja todos y cada uno de los cálculos realizados, es decir, NO REALICE
CALCULOS “DIRECTOS”. El resto de los problemas queda como ejercitación y no
deben ser anexados en la tarea a entregar. Puede usar tablas de integrales, pero
especificando en cada caso la integral utilizada.
La tarea debe ser entregada en hojas tipo examen, a lápiz y sin carpeta. No tiene
que anexar la presente hoja ni reescribirla en su tarea. La tarea y el examen son
inseparables, es decir, de faltar uno de los dos, la calificación total será cero.
Establezca, en los casos que sea necesario, los sistemas de referencia y los diagramas de cuerpo libre. La ausencia de éstos tendrá como consecuencia la
anulación de la solución del problema correspondiente.
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Todos los sistemas de coordenadas a usar deben tener el eje < apuntando hacia
el Este y el = hacia el Norte.
Puntuación: 10 puntos, los cuales serán sumados al evaluativo del capítulo 1.
Entrega: El día fijado para el examen del capítulo 1. Sin prórroga.
1. Encuentre el centro de masa de una concha semi-esférica homogénea de densidad , de radio interno 7# y radio externo 7 . Posicione el origen del sistema de
coordenadas en el centro
de la base, de manera tal que ésta quede contenida en
*
* el plano <=. Resp.: " * * /(1 .
2. Encuentre el centro de masa de una barra homogénea de densidad , longitud *
y masa , para un referecial cuyo origen está en su extremo izquierdo y dispuesta
de tal manera que toda ella esté sobre el eje < del mismo. Resp.: " *(
// .
3. Tres partículas puntuales se encuentran en un cierto instante en los vértices de un
triángulo. Las masas, posiciones y velocidades de las partículas son, en el SI,
7 # 5 : # &+
2 5# 0 (2
(
3
(
3
(2
Las tres partículas están conectadas por resortes con la misma constante 4 &
y longitud natural nula (No hay fuerzas externas actuando sobre el sistema). Para el
instante indicado:
a) Determinar la aceleración de cada partícula. Resp.:
+ (2 (
3 +&
+ (2 (
3 +&
(
(
+ 2 3 +&
b) Calcular la posición, cantidad de movimiento, velocidad y aceleración del centro de masa. Resp.:
( (
" 23 5
6 (2 (
3 0 &+
( ( &
& 2 3 +
+ &
+
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c) Posiciones y velocidades de cada una
masa. Resp.:
7 (2 (
3 5
(
(
7 2 3 5
7 (2 (
3 5
de las partículas respecto del centro de
: (2 (
3 &+
(
(
: 2 3 &+
: (2 (
3 &
+
d) Calcular el momento angular del sistema respecto al origen y respecto al centro
de masa. Resp.: (
4 0 &+ ; (
4 0 &+ .
e) Hallar la energía cinética del sistema respecto al origen y respecto al centro de
masa. Resp.: $ ; $ .
4. Un sistema que está formado por tres partículas de masas 5 0, 5 0 y
5 0 se ve sometido a la acción de una única fuerza externa conservativa
. La cantidad de movimiento total del sistema con respecto a
(origen de un
3,
sistema de referencia inercial) en función del tiempo viene dada por 6 9(2 9(
en 058 .
a) ¿Se conserva la energía total del sistema?. Expresar la velocidad y el vector posición del centro de masa del sistema en función del tiempo, suponiendo que su
posición inicial es " ( (2 (
3 para 9 ,
expresado
) en 5.
Resp.: Si se*conserva
(
&
,
ya que es conservativa; & 9 2 9(
(2 9 (
3 5.
3 +; " b) Determinar la fuerza externa y la aceleración
del centro
demasa del sistema
(
(
(
en función del tiempo. Resp.: 9 2 3 ; + 9 2 (
3 +& .
c) Si la energía cinética total del sistema medida en 9 8 con respecto a vale
, calcular la energía cinética orbital y la energía cinética interna del sistema
en ese mismo instante. Resp.: $(* & ; $#', .
Figura (1): Problema 5.
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5. Encuentre la posición del centro de masa de los cuerpos homogéneos planos, de
densidad , mostrados en la figura 1. Resp.: (a) " ,(
// 1(
/0 , (b) " 7(
/0 , (c)
" 1(
/0 .
6. Sean 7 # y : # el vector posición y velocidad, respectivamente, de la partícula 2ésima de un sistema de partículas con respecto a su centro de masa. Demostrar
que,
#
#
(a)
7 (b)
: 5
5
#
#
#
#
#
#
7. Una placa circular homogénea de radio 7 tiene un orificio circular cortado en ella
de radio * como muestra la figura 2. Hallar el centro de masa de la placa. Resp.:
" 7(
/0 .
Figura (2): Problema 7.
8. Encuentre la posición del centro de masa de un cono sólido homogéneo de densi
dad , de base con radio 7 + y altura 1 (ver figura 3). Resp.: " 1(
/1 .
Figura (3): Problema 8.
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9. Encuentre el centro de masa de un cono sólido homogéneo cuya base tiene un
diámetro + y altura 1 y un hemisferio sólido homogéneo
de radio +, de manera tal
" que ambas bases se tocan (ver figura 4). Resp.: " " /(1 .
Figura (4): Problema 9.
10. Encuentre la posición del centro de masa de un alambre homogéneo de densidad
, que substiende un arco circular de radio + como el mostrado en la figura 5. Resp.:
" /(/ .
Figura (5): Problema 10.
11. El centro de gravedad de un sistema de partículas es el punto en torno al cual
las fuerzas externas gravitacionales no ejercen torque. Para un campo gravitacional
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uniforme, mostrar que la posición del centro de gravedad " es idéntica a la
posición del centro de masa " . Ayuda: Establecer un sistema como el mostrado en
la figura 6, donde 7 # indica la posición de la 2-ésima partícula con respecto al
centro de gravedad.
Figura (6): Problema 11.
12. Considere dos partículas de masa 5. Las fuerzas sobre las partículas son ( /(/
y -( /(/ (- constante positiva). Si las partículas están inicialmente en reposo en
el origen, ¿cuál es la posición, velocidad y aceleración del centro de masa?. Resp.:
" &
-( 9 /(/ , : &
-( 9(
// , + &
-( /(/ .
13. Encontrar la posición del centro de masa de la lámina triangular mostrada en la
figura 7. El triángulo es rectángulo isósceles con cateto - y no es homogéneo, siendo
su densidad dada por < = 4 < = (4 constante positiva). Resp.: " /( /(
/
/
14. Encontrar la posición del centro de masa de la lámina mostrada en la figura 8. Su
densidad es < = 4< (4 constante positiva) Resp.: " /( .
/
15. Hallar la posición del centro de masa de la pirámide homogénea, de densidad ,
mostrada en la figura 9. Resp.: " /(/ /(0 /(1 .
16. Mostrar que la expresión,
%
#$
#$ #$
en verdad se anula para para un sistema de partículas si las fuerzas #$
obedecen la forma fuerte de la tercera ley de Newton.
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Figura (7): Problema 13.
Figura (8): Problema 14.
17. Se dispara un proyectil a un ángulo de ( con energía cinética inicial ( . El proyectil explota en el punto más alto de su trayectoria, dividiéndose en dos fragmentos,
liberándose una energía adicional ( . Un fragmento de masa 5 cae verticalmente
(ver figura 10). Todo ocurre en el plano <= y se conserva la energía.
a) ¿Cuál es la velocidad (magnitud y dirección) del primer
. fragmento de masa 5
& y del segundo fragmento de masa 5 ?. Resp.: : &&
, verticalmente
& & .
& & & & & hacia abajo; y : . El su, en la dirección & & & & &
períndice ./ indica que es después de la explosión.
b) ¿Cuánto vale la razón 5 5 cuando 5 es un máximo?. Resp.:
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&
&
.
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Figura (9): Problema 15.
Figura (10): Problema 17.
18. Demuestre que la magnitud " del vector de posición del centro de masa con
respecto al origen de un referencial arbitrario viene dado por,
3
2
%
%
2
1
5 # 7# 5# 5$ 7#$
"
#
#$
para un sistema de partículas.
19. Un conjunto de partículas de masas 5 , 5 , 5 , , 5 , que conforman un sistema
de partículas, están situadas en puntos cuyos vectores de posición con respecto a
+ +
un origen
de un referencial # son 7 7 7 respectivamente (ver figura
11).Como ya se sabe, la posición del centro de masa del conjunto de partículas se
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Figura (11): Problema 19.
define como el punto en el espacio cuyo vector de posición " viene dado por,
%
% 7 # , con 5# 5#
" #
#
Mostrar que si se usara un origen de un referencial # diferente para el mismo
sistema de partículas, la anterior definición situaría al centro de masa en el mismo
punto del espacio. Es decir,
% "
7#
5# #
20. Mostrar que para una sola partícula de masa constante 5 la ecuación de movimiento implica la siguiente ecuación diferencial para la energía cinética $ ,
$ :
mientras que si la masa varía con el tiempo la ecuación correspondiente es,
. 5$ 6
.9
21. Las partículas, en un sistema discreto dado, interactúan mediante fuerzas que
siguen la “forma fuerte” de la tercera ley de Newton. Dada la relación usual entre el
vector de posición 7 # de la 2-ésima partícula con respecto al origen del sistema
referencial usado y el vector de posición de la misma partícula 7 # con respecto a
la posición del centro de masa " ,
7#
7 # "
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y la fuerza total sobre la 2-ésima partícula,
%
/,
#',
6# #
#$
#
$ #$
mostrar que el torque total ,
%
7 #
6#
# , con # #
/,
0 , es dado por,
5# para una fuerza externa de la forma #
" /,
#
/,
donde /, es la fuerza externa total.
#
#
22. Si cada una de las partículas de un sistema discreto es atraída hacia un punto
fijo con una fuerza proporcional a su masa y a su distancia a dicho punto 45# 7#
(4 constante positiva), demostrar que el centro de masa se mueve como si fuera una
partícula del sistema. Supóngase que el agente que origina la fuerza de atracción
no pertenece al sistema y que las fuerzas internas presentes son despreciables.
23. Un sistema discreto está formado por partículas de igual masa 5 que delizan
sobre alambres paralelos lisos y se atraen unas a otras con fuerzas proporcionales al
producto de sus masas y a sus distancias 45# 5$ 7 #$ (4 constante positiva), que se
supone mucho mayor que cualquier fuerza externa que pueda existir. Supóngase,
además, que las correderas están en la dirección ( y considere dos de ellas, por
ejemplo, la 2-ésima y la 3-ésima (ver figura 12). En esta figura, #$ es el ángulo que
forma la línea de la fuerza con respecto al eje (.
a) Muestre que la aceleración de la 2-ésima partícula viene dada por,
< # 45
%
$ #$
<$ <# b) Muestre que la posición del centro de masa viene dada por,
<& %
<#
#
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Figura (12): Problema 23.
c) Ahora, combinando lo mostrado en (a) y (b), demostrar que las partículas oscilan
con igual frecuencia angular dada por,
45
donde se ha supuesto que el centro de masa está en reposo. La independencia
de 2 de esta cantidad es lo que indica que es igual para todas las partículas
del sistema.
24. Dos partículas de masa 5 se mueven, cada una, sobre las correderas lisas perpendiculares ( y ) (ver figura 13), atrayéndose con una fuerza proporcional a
su distancia 45# 7 # . Si inicialmente,
< 9 +, < 9 &(
= 9 +, = 9 a) Muestre que,
&(
49 49
4
49
= 9 + < 9 + b) Muestre que la ecuación cartesiana de la trayectoria del centro de masa del
sistema viene dada por,
& &(
<& =& <& (
=&
+4
4
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Figura (13): Problema 24.
que representa una elipse.
25. Supóngase que las fuerzas internas de un sistema de partículas se pueden
obtener de un potencial de la forma (fuerzas conservativas),
%#$ 7#$ %$# 7$# donde,
7#$ 7$# <# <$ =# =$ ># >$ es la distancia entre la 2-ésima y la 3-ésima partícula del sistema. Demostrar que el
trabajo total ' #', realizado por las fuerzas internas viene dado por,
'
#',
%
#', %
#$ . 7 $ .%#$
#$ #$
#$ #$
#',
donde #$ es la fuerza interna sobre la partícula 2-ésima debida a la partícula
3-ésima.
26. El torque total sobre un sistema de partículas con respecto al origen
de un sistema de coordenadas # viene, como ya se sabe, dado por,
%
#
/,
7# #
/,
donde 7 # es la posición de la 2-ésima partícula respecto a # y #
es la fuerza
externa aplicada sobre dicha partícula. Establecer un nuevo sistema de coordena das # de origen cuya posición respecto de
sea dada por 7 ( y donde 7#
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sea la posición de la 2-ésima partícula respecto a # , como se presenta en la figura
14. Mostrar que el torque total sobre mismo sistema de partículas con respecto a #
/, es el mismo si
, es decir, que el torque resultante tiene el mismo valor
#
#
en cualquier sistema de coordenadas.
Figura (14): Problema 26.
27. Determinar la posición del centro de masa de un cascarón hemisférico homogéneo, de densidad y de radio ". Colóquese el origen del sistema de coordenadas
en el centro de su base. Resp.: " /(1 .
28. Determinar la posición del centro de masa de la placa triangular homogénea y
de densidad mostrada en la figura 15. Resp.: " , , /(/ 1(
/0 .
Figura (15): Problema 28.
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29. Encuéntrese la posición del centro de masa de una barra de longitud * de densidad no uniforme, cuya gráfica de muestra en la figura 16. Escoja un referencial
de tal forma que el origen coincida con el
extremo izquierdo de la barra y la barra
esté contenida en el eje <. Resp.: " *(
// .
Figura (16): Problema 29.
30. Encontrar la velocidad del centro de masa de los cuerpos, de masas 5 5 y
5 5, mostrados en la figura 17 justo en el instante en que ambos se encuentran
a la misma distancia con respecto al origen
del sistema referencial. El sistema
parte del reposo, la cuerda tiene longitud * constante con masa despreciable
. y se
desprecia el diámetro de la polea. No existe fricción alguna. Resp.: & 01(
/0 .
Figura (17): Problema 30.
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31. Una partícula de masa 5 se encuentra a una altura 1 verticalmente sobre otra
partícula de masa 5 . En 9 se lanzan, a la vez, la partícula 5 horizontalmente ha
cia < con una velocidad inicial : ( :( /(/ y la partícula 5 se lanza verticalmente
hacia arriba con una velocidad inicial : ( :( /(0 (ver figura 18). Determinar la
aceleración, velocidad y trayectoria del centro de masa. Calcular también el tiempo que transcurre para que el centro de masa llegue al nivel en el que partió 5 .
&
&
&
&
/(0 ,
:
/
(
:
09
/
(
,
"
:
9(
/
1
:
9
09
Resp.: " 0(
/0 , & &
(
/
(
0
(
/
(
.
-
<& &
<& &
1, 9 ! 5 :( 5 :( 05 1 .
=& 0 &
& -
-
Figura (18): Problema 31.
32. La posición " del centro de gravedad puede ser encontrada mediante,
&
7 0 7 .5
" 0 7 " Muestre que esta expresión se reduce a la de la posición " del centro de masa
cuando se considera una intensidad de campo gravitacional 0 constante.
33. Sea una cadena inextensible homogénea, de dendisdad y longitud *, apoyada sobre una circunferencia vertical de radio como se muestra en la figura 19.
Muestre que la posición de su centro de masa respecto al centro de la circunferencia viene dado por,
" /(/ /(0
*
*
34. Para el paralelogramo articulado mostrado en la figura 20 cuyo lado gira con
una velocidad angular constante , hallar: (a) la posición del centro de masa y
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Figura (19): Problema 33.
(b) su trayectoria. Las barras , , son homogéneas de igual densidad lineal
y las rótulas
y no cambian de posición. Resp.: (a) " * 9 /(/ * 9 /(0 ; (b) <& * =&
* que es una circunferencia de radio * con
centro en * .
Figura (20): Problema 34.
35. Muestre que las coordenadas del centro de masa del mecanismo mostrado en la
figura figura 21 vienen dadas por,
=&
; ;
; ; ;
*
7 9
; ; ; ; ; ; ; ;
* 9
; ; ; ; ;
7 9
; ; ; <& Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, 2014. República Bolivariana de Venezuela.
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Figura (21): Problema 35.
donde,
; es el peso de la manivela .
; es el peso de la biela .
; es el peso de la corredera .
7
*
Suponga que la manivela y la biela son homogéneas,.que la corredera puede ser
considerada puntual y que 7 *. Ayuda: desarróllese 9, con * , despreciándose los términos con potencias superiores a .
36. En la figura 22 se muestra un sistema cerrado que consiste en dos partículas de
masas 5 5 5 que se mueven sobre correderas lisas perpendiculares unidas
en el punto . Demuestre que si se atraen con una fuerza /(* y parten del
reposo desde cualquier posición, llegarán a la intersección al mismo tiempo.
Figura (22): Problema 36.
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37. Muéstrese la propiedad de agrupamiento del centro de masa para un sistema de
partículas contínuo de masa y densidad variable en general.
38. Muestre que la trayectoria del centro de masa del sistema mostrado en la figura
23 viene dada por la recta,
=& 5 5 *5 5 5 <& 5 5 5 5 5 5 La cuerda es indeformable, de masa despreciable y de longitud *.
Figura (23): Problema 38.
39. Considere la lámina semicircular homogénea < = + , < de densidad mostrada en la figura 24. Hallar la posición del centro de masa. Resp.: " +(
// .
Figura (24): Problema 39.
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40. Determinar la posición del centro de masa del cuerpo plano homogéneo de densidad mostrado en la figura 25, el cual está formado por la región comprendida
entre la parábola = < , la recta = y la recta < . Resp.: " /(/ /(0 .
Figura (25): Problema 40.
41. Determinar la posición del centro de masa del cuerpo plano homogéneo de densidad mostrado en la figura 26(a), el cual está formado por un rectángulo y un
cuarto de círculo. Resp.: " /(/ /(0 .
Figura (26): (a) Problema 41 y (b) problema 42.
42. Determinar la posición del centro de masa del cuerpo plano homogéneo de
densidad mostrado en la figura 26(b), el cual está formado por un rectángulo y
una porción de la parábola = < . Resp.: " /( /( .
/
0
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43. Una chapa homogénea de densidad tiene la forma correspondiente a un cuarto
de la superficie de la elipse de semiejes + y ,, como se muestra en la figura 27(a).
Encontrar la posición del centro de masa para el sistema de referencia indicado.
Resp.: " +(
// ,(
/0 .
Figura (27): (a) Problema 43 y (b) problema 44.
44. Determinar la posición del centro de masa del cuerpo plano homogéneo de densidad mostrado en la figura 27(b), el cual está formado por la región comprendi
da entre la recta = 5< 5 y la parábola = 4< 4 . Resp.: " +(
// ,(
/0 .
45. Resuelva el problema 44 empleando la propiedad de agrupamiento del centro
de masa, viendo el cuerpo formado por la región como el resultado de restarle
la región a la región (ver figura 28).
Figura (28): Problema 45.
46. Encontrar la posición del centro de masa del sector circular homogéneo de densi
dad que se muestra en la figura 29(a). Resp.: " (
// .
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Figura (29): (a) Problema 46 y (b) problema 47.
47. Determinar la posición del centro de masa de la papelera de base semicircular
sin tapa mostrada en la figura 29(b) y construida con una placa homogénea de
"
" densidad . Resp.: " "
"
/(/ "
"
/(1 .
48. Calcular la posición del centro de masa de la placa homogénea de densidad mostrada en la figura 30. Resp.: " ( /( .
/
/
0
Figura (30): Problema 48.
49. Encontrar la posición del centro de masas de la varilla no homoénea de longitud
mostrada en la figura 31(a), cuya densidad lineal varía con la longitud según la
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relación,
Resp.: " <
/(/ .
Figura (31): (a) Problema 49 y (b) problema 50.
50. Con un alambre de densidad constante se moldea una figura formada por dos
semicircunferencias de radios " y " como se muestra en la figura 31(b). Encontrar
la posición de su centro de masa. Resp.: " " " /(/ " " /(0
51. Determinar el centro de masa de la semiesfera de radio " mostrada en la figura
32(a) en la que la densidad en cada punto varía como,
4 < = > donde k es una constante positiva. Resp.: " "(
/1 .
Figura (32): (a) Problema 51 y (b) problema 52.
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52. Encontrar la posición del centro de masa del semicilindro mostrado en la figura
32(b) si su densidad es constante. Resp.: " "(
/0 (
/1 .
53. Se dispara un misil balístico. En un punto de su trayectoria y en el momento en
que su velocidad es : se fragmenta en pedazos, cada uno con de la masa
del mismo. Justo después de la fragmentación, uno de los fragmentos continúa
con una velocidad : igual a la mitad de la velocidad que tenía el misil en el
instante antes de fragmentarse y los fragmentos restantes adquieren velocidades
:y
: de igual magnitud pero perpendiculares entre sí. Encontrar las velocidades
de estos dos últimos fragmentos en función de la velocidad del misil justo antes de
su fragmentación. Resp.: : : :( .
54. Mostrar que para un sistema de dos partículas de masas 5 y 5 (ver figura 33)
se tiene que:
a) 7 &
7 y 7 , 7 , cuando se coloca el origen del sistema
7 & 7 & &
de referencia inercial escogido en el lugar donde está posicionado el centro de
masa. Aquí es la masa reducida del sistema de partículas.
b) el momento angular es,
" & 7 : donde 7 es el vector de posición de 5 con respecto a 5 y : es la velocidad relativa de 5 con respecto a 5 . Usense los resultados obtenidos en (a).
Figura (33): Problemas 54 y 58.
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MECANICA CLASICA II —— Tarea 1: Dinámica de un sistema de partículas.
55. Un sistema partículas de discreto está formado por partículas de masa unitaria
cuyas posiciones y velocidades son las siguientes:
7 /(/ /(0 : (
//
7 /(0 /(1 : /(0
7 /(1
: /(/ /(0 /(1
encontrar: (a) la posición del centro de masa, la velocidad del mismo y el momento lineal total del sistema, (b) la energía cinética total del sistema, (c) la energía
cinética del centro de masa y (d) el momento agular del sistema en torno al origen.
Resp.: (a) " (
// (
/0 (
/1 , & (
// (
/0 /(1 , 6 (
// (
/0 /(1 ; (b) $ ; (c)
$& ; (d) (
// /(0 (
/1 .
56. Mostrar que para un sistema de dos partículas de masas 5 y 5 la energía
cinética $ viene dada por,
$ & :
donde : es la velocidad relativa de la partícula 5 con respecto a la 5 y es la
masa reducida del sistema.
57. Encuentre la posición del centro de masa del cono homogéneo de densidad mostrado en la figura 34. Resp.: " 1(
/1 .
Figura (34): Problema 57.
58. Dos cuerpos de masas 5 y 5 se mueven bajo la acción de su gravitación
mutua (ver figura 33). Mostrar que las ecuaciones de movimiento para 7 , 7 y
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7 7 7 con respecto al centro de masa del sistema vienen dadas por,
5
/(*
5 5 7 5
(*
/
5 5 7
5 5 /(*
7
7 7
7 donde la prima indica que el vector tiene su origen en el centro de masa. Aquí /(* ,
son versores en la dirección de 7 , 7 y 7 respectivamente. Las anteriores
/(* y /(*
expresiones indican que la Ley de Gravitación se mantiene con respecto al centro
de masa pero modificada por factores de masa, lo que significa que las trayectorias
siguen siendo cónicas.
59. Encontrar la posición del centro de masa de la placa rectangular mostrada en
la figura 35 si su densidad viene dada por,
<=
+,
Resp.: " +(
// ,(
/0 .
Figura (35): Problema 59.
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