1. Educación

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
CALCULO II
Autores: Sara Arancibia C
Viviana Schiappacasse C
Universidad Diego Portales
CALCULO II
1
PROGRAMA
OBJETIVOS
•Comprender y aplicar los conceptos fundamentales
del Cálculo Integral y Series
•Usar el Cálculo Integral y Series como herramienta
en la resolución de problemas aplicados a
Ingeniería, Economía, Optimización y otras áreas.
•Implementar tecnología Educativa
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2
¿ Qué objetivos tiene el uso
de la tecnología educativa?
• Internalizar la conducta de comprobar y confrontar resultados
del software o la calculadora gráfica con los obtenidos por vía
manual
• Usar el Software o la calculadora gráfica y su poder de
programación como un instrumento intelectual y profesional
• Fomentar la actividad de traducción de un problema de tipo
algebraico a uno de tipo gráfico o numérico y viceversa, con el
objeto de hallar soluciones diferentes a un mismo problema
• Desarrollar una actitud crítica hacia los resultados que se obtienen
de la calculadora y/o Software y reafirmar el papel fundamental del
hombre como elemento racional frente a la automatización de la
máquina.
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3
CONTENIDOS
•Integral indefinida
•Integral Definida
•Ecuaciones Diferenciales
•Aplicaciones de la Integral Definida
•Integrales Impropias
•Sucesiones y Series
EVALUACION
Se contemplan controles parciales, trabajos de
laboratorio, informes y dos pruebas solemnes,
que en conjunto valen un 70% de la nota final, y
un examen que vale un 30%.
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4
BIBLIOGRAFIA
Texto guía
Apunte de Cálculo 2 , autores: Sara Arancibia y
Viviana Schiappacasse
Cálculo. Stewart James. Editorial Thomson
Texto guia complementario
Cálculo con Geometría Análitica, Edwards& Penney.
Editorial Prentice Hall
Texto complementario
Cálculo para administración, Economía y Ciencias
Sociales, Hoffmann & Bradley. Mc-Graw Hill
Guías laboratorios de Calculadora ClassPad 300 para
Cálculo 2
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5
Introducción
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6
¿Qué problema motiva
el concepto de integral?
El cálculo integral se basa en el concepto de la integral.
La definición de la integral es motivada por el problema de
definir y calcular el área de la región que se encuentra entre
la gráfica de una función de valores positivos f y el eje x en
un intervalo cerrado [a,b].
El área R de la región
de la figura esta´dada
por la integral de f de
a a b, denotada por
el símbolo
b
∫ f ( x)
a
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CALCULO II
7
Pero la integral, así como la derivada, es importante debido a
su aplicación a muchos problemas que aparentan tener poca
relación con dicha motivación original: problemas que implican
movimiento, velocidad, crecimiento de poblaciones, volumen,
longitud de arco, área de una superficie y centro de gravedad,
entre otros.
El teorema fundamental del cálculo proporciona una conexión
vital entre las operaciones de derivación e integración, la que
proporciona un método eficaz para calcular el valor de las
integrales. Veremos que en vez de encontrar la derivada de la
función f(x) , necesitamos determinar una nueva función F(x)
cuya derivada sea f(x): F ' ( x) = f ( x )
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8
Integral Indefinida
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9
Antiderivadas o primitivas y problemas con
condiciones iniciales
El lenguaje del cambio es el lenguaje natural para establecer las
leyes y principios científicos.
Por ejemplo la ley de enfriamiento de Newton dice que la razón
de cambio de la temperatura T de un cuerpo es proporcional a
la diferencia entre T y la temperatura del medio ambiente. Es
decir,
dT
= −k (T − A)
dt
Donde k es una constante positiva y A, que normalmente se
considera constante, es la temperatura ambiente.
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10
La ley de Torricelli dice que la razón de cambio del volumen V
de agua en un tanque que se vacía es proporcional a la raíz
cuadrada de la profundidad h del agua
dV
= −k h
dt
Los modelos matemáticos de las situaciones del mundo real
implican con frecuencia ecuaciones con derivadas de las
funciones desconocidas. Estas ecuaciones son ecuaciones
diferenciales.
El tipo más sencillo de una ecuación diferencial tiene la forma
dy
= f (x)
dx
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11
Donde f es una función dada (conocida) y la función y(x) es
desconocida.
El proceso de determinar una función a partir de su derivada es
opuesto a la derivación y por ello se llama antiderivación. Si
podemos determinar una función y(x) cuya derivada sea f(x)
y`( x) = f ( x)
Entonces decimos que y(x) es una primitiva ( o antiderivada )
de f(x)
Definición: Antiderivada o primitiva
Una antiderivada o primitiva de una función f es una
función F tal queF `( x) = f ( x)
siempre y cuando f(x) esté definida.
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12
Algunas antiderivadas de f(x)=3x2
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13
Una sola función tiene muchas
primitivas, mientras que una función sólo
puede tener una derivada
Si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x)+C para
cualquier elección de la constante C
Teorema: La primitiva más general
Si F`(x)=f(x) en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada
primitiva G de f en I tiene la forma
G(x)=F(x)+C
donde C es una constante
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14
La colección de todas las primitivas de la función f(x) es
conocida como la integral indefinida de f con respecto a x y
se denota
∫ f ( x)dx
Con base en el teorema, escribimos
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
Por tanto
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
si y sólo si
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F`(x) = f(x)
15
Ejemplo:
3
∫ x dx =
1 4
x +C
4
∫ cos xdx = sen x + C
Recuerde que la operación de derivación es lineal, lo
que significa
D x [cF ( x)] = cF `( x)
[
donde c es una constante
]
D x F ( x) −+ G ( x) = F `( x) −+ G`( x)
En la notación de antiderivación, esto implica que
∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx
∫ [ f(x)
+
-
]
g(x) dx = ∫ f(x)dx +- ∫ g(x)dx
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16
Ejercicio: Determine
∫ (4 x + 5 x +
3
2
) dx
2
x
∫ (sen(4t) + cos(2t) )dt
Ejercicio: Verifique los siguientes resultados
1
sen kx + C
k
1
sen
kxdx
cos kx + C
=
−
∫
k
1
2
sec
kxdx
tankx + C
=
∫
k
1
2
csc
kxdx
cot kx + C
=
−
∫
k
∫ cos kxdx =
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17
Métodos de integración
¿Cómo reconocer cuál técnica
emplear para integrar ?
No se pueden dar reglas inalterables y efectivas
respecto a cuál método aplicar en determinado caso,
pero uno de los prerrequisitos para seleccionar una
estrategia es el conocimiento de las fórmulas básicas
de integración
Tabla de fórmulas de integración
x n +1
n
1. ∫ x dx =
+C
( n ≠ -1 )
n +1
3. ∫ e x dx = e x + C
5. ∫ sen xdx = - cos x + C
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1
2. ∫ dx = ln x + C
x
ax
x
4. ∫ a dx =
+C
ln a
6. ∫ cos xdx = sen x + C
18
Tabla de fórmulas de integración
7. ∫ sec 2 xdx = tanx + C
9. ∫ sec xtanxdx = sec x + C
8. ∫ csc 2 xdx = − cot x + C
11. ∫ sec xdx = ln secx + tanx + C
10.. ∫ csc x cot xdx = − csc x + C
12 ∫ csc xdx = ln cscx - cotx + C
13. ∫ tanxdx = ln secx + C
15. ∫ senhxdx = cosh + C
14. ∫ cot xdx = ln sen x + C
16. ∫ coshxdx = senh x + C
17. ∫
dx
1
−1  x 
tan
=
 +C
2
2
x +a
a
a
18. ∫
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 x
= sen −1   + C
a
a 2 − x2
dx
19
Métodos de integración
Desarrollaremos técnicas que nos permitirán emplear
las fórmulas básicas con objeto de llegar a integrales
indefinidas de funciones más complicadas
Integración por sustitución:
Si u=g(x) es una función diferenciable cuyo recorrido es un
intervalo I y f es continua en I,
∫ f ( g ( x)) g´(x)dx = ∫ f (u)du
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20
La regla de sustitución para integrar corresponde
a la regla de la cadena para diferenciar.
Debemos tener presente que si
u=g(x), entonces du=g´(x)dx
Ejercicio: Determine las siguientes integrales
2
+ 3x + 5)(2 x + 3)dx
9
(
x
∫
3 x4 +2
∫x e
∫
dx
3x + 6
2x + 8x + 3
2
dx
(lnx)2
∫ x dx
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21
?
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
=
∫
∫ f(x)dx ∫ g(x)dx
Ejercicio: muestre con un ejemplo que
la igualdad anterior no se cumple
La regla del producto establece que si f y g son
funciones diferenciables,
d
[ f ( x) g ( x)] = f ´(x) g ( x) + f ( x) g´(x)
dx
En la notación de las integrales indefinidas, esta ecuación se
convierte en
∫ [ f ´(x) g ( x) + f ( x) g´(x)]dx = f ( x) g ( x)
Es decir
∫ f ´(x) g ( x)dx + ∫ f ( x) g´(x)dx = f ( x) g ( x)
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22
Integración por partes
Reordenando la expresión anterior se tiene la fórmula de
integración por partes
∫ f ( x) g´(x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ´(x) g ( x)dx
Notación: Sean u=f(x) y v = g(x) entonces du=f´(x)dx y dv=g´(x) dx
así, según la regla de sustitución, la fórmula de integración por partes
se transforma en
∫ udv = uv − ∫ vdu
Ejercicio: Determine las siguientes integrales
∫ x x + 5dx
∫ x cos xdx
2x
x
e
∫ dx
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∫ ln xdx
2 x
x
∫ e dx
23
Integrales Trigonométricas
Las identidades trigonométricas nos servirán para integrar
ciertas combinaciones de funciones trigonométricas
Cómo evaluar ∫ sen x cos xdx
a) Si la potencia del coseno es impar
m
∫ sen x cos
m
2 k +1
n
(
)
k
xdx = ∫ sen x cos x cos xdx
m
(
2
)
k
= ∫ sen x 1 − sen x cos xdx
m
2
A continuación se sustituye u=senx
b) Si la potencia del seno es impar
(
)
k
2 k +1
n
2
n
sen
x
cos
xdx
=
sen
x
cos
x sen xdx
∫
∫
(
)
k
= ∫ 1 − cos 2 x cos n x sen xdx
A continuación se sustituye u=cosx
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24
Ejercicio: Determine
3
2
∫ sen x cos xdx
5
∫ cos xdx
C) Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez,
aplicamos las identidades del ángulo medio
sen 2 x =
1
(1 − cos 2 x)
2
cos 2 x =
1
(1 + cos 2 x)
2
A veces es útil emplear la identidad
senx cos x =
1
sen 2 x
2
Ejercicio: Determine
2
∫ sen 3 xdx
2
2
∫ sen x cos xdx
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25
Cómo evaluar
m
n
tan
x
sec
xdx
∫
a) Si la potencia de la secante es par
( ) sec xdx
x(1 + tan x ) sec xdx
m
2k
m
2
tan
x
sec
xdx
=
tan
x
sec
x
∫
∫
= ∫ tan m
k −1
2
2
k −1
2
A continuación se sustituye u=tanx
b) Si la potencia de la tangente es impar
( )
= ∫ (sec x − 1)
k
2 k +1
n
2
n −1
∫ tan x sec xdx = ∫ tan x sec x sec xtanxdx
2
k
sec n −1 x sec xtanxdx
A continuación se sustituye u=secx
3
2
Ejercicio: Determine ∫ tan x sec xdx
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6
sec
2xdx
∫
26
Obs: Si n es impar y m es par, todo el integrando se expresa
en términos de secx. Es posible que las potencias de secx
requieran integración por partes.
Ejercicio:
Pruebe que ∫ sec xdx = ln sec x + tanx + C
3
sec
xdx =
∫
1
(sec xtanx + ln secx + tanx ) + C
2
m
n
Obs: Integrales de la forma ∫ cot x csc xdx
se pueden
determinar con métodos semejantes, a causa de la identidad
1+cot2x=csc2x
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27
¿Y cómo calculamos las
integrales del tipo ∫ sen mx cos nxdx ?
Para evaluar las integrales
∫ sen mx cos nxdx
∫ sen mx sen nxdx
∫ cos mx cos nxdx
se emplean las identidades correspondientes
a)
b)
c)
1
[sen( A − B) + sen( A + B)]
2
1
senAsenB = [cos( A − B ) − cos( A + B)]
2
1
cosAcosB = [cos( A − B ) + cos( A + B)]
2
senAcosB =
Ejercicio: Determine ∫ sen 5 x sen 2 xdx
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∫ cos 3x cos 4 xdx
28
Sustitución trigonométrica
A menudo es efectivo el método de sustitución trigonométrica al
trabajar con integrales que contienen en sus integrandos ciertas
expresiones algebraicas tales como
a2 − x2
a2 + x2
x2 − a2
En general, podemos efectuar una sustitución de la forma x=g(t)
aplicando la regla de sustitución al revés. Para simplificar nuestras
operaciones, supondremos que g tiene una función inversa; esto es,
que es biyectiva. En este caso, si reemplazamos u por x y x con t en
la regla de sustitución, llegamos a
∫ f(x)dx = ∫ f(g(t))g´(t)dt
A este tipo de cambio se le llama sustitución inversa
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29
Para calcular ∫ ∫ a a−2 x− xdx2 dx
¿Qué sustitución aplicamos?
2
2
Podemos aplicar la sustitución inversa
x=asenθ, siempre que restrinjamos θ al
intervalo [-π/2, π/2]
Expresión
a2 − x2
Sustitución
π
π
x = asenθ
- ≤θ ≤
2
2
Identidad
1 - sen 2θ = cos 2 θ
π
π
≤θ ≤
2
2
a2 + x2
x = atanθ
-
x2 − a2
x = asec
0 ≤θ <
π
2
1 + tan 2θ = sec 2 θ
o π ≤θ <
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3π
2
sec 2 θ − 1 = tan 2θ
30
Obs: En cada caso, se impone la restricción sobre θ para asegurar
que la función que define a la sustitución sea biyectiva
Ejercicio: Determine las siguientes integrales
∫
x3
1− x
2
dx,
donde x < 1
1
∫ (4 x 2 + 9) 2 dx
x 2 − 25
dx
∫
x
x = senθ
x=
x >5
3
tanθ
2
x = 5secθ
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31
Integrales que contienen polinomios cuadráticos
Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una
potencia negativa de un polinomio cuadrático ax2+bx+c se
pueden simplificar mediante el proceso de completar el
cuadrado.
Por ejemplo x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1) 2 + 1
y por tanto, con la sustitución u=x+1, du=dx, se obtiene
1
1
−1
−1
dx
=
∫ 2
∫ 2 du = tan u + C = tan ( x + 1) + C
x + 2x + 2
u +1
En general, el objetivo es convertir
ax2+bx+c en una suma o en una diferencia
2+ 2
o a 2 -u 2
de cuadrados u − a
para que se pueda usar el método de
sustitución trigonométrica
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32
Integración de Funciones Racionales mediante
Fracciones Parciales
¿Cómo integrar una
función racional?
Expresándola como una suma de fracciones más
simples, llamadas fracciones parciales
Consideremos la función racional f(x) = P(x)
Q(x)
Es posible expresar f como una suma de fracciones más sencillas,
siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. Esa
función racional se llama propia.
Si f es impropia; esto es, si grad(P)≥grad(Q), debemos dividir Q
entre P hasta obtener un residuo tal que f(x) = P(x) = S ( x) + R(x)
Q(x)
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Q(x)
33
El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia
R(x)/Q(x) como una suma de fracciones parciales, de la forma
A
( ax + b)i
o bien
Ax + B
(ax 2 + bx + c) j
Caso I: El denominador. Q(x), es un producto de
factores lineales distintos.
Esto significa que podemos escribir
Q ( x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 )...........( ak x + bk )
En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el teorema
de las fracciones parciales establece que existen constantes,
A1, A2 , ..... Ak tales que
Ak
A1
A2
R( x)
=
+
+ .......... + .
Q( x) (a1 x + b1 ) (a 2 x + b2 )
( a k x + bk )
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CALCULO II
34
Ejercicio: Determine
4x 2 − 3 x − 4
dx
∫ 3 2
x + x − 2x
5
∫ (2 x + 1)( x − 2)dx
dx
∫ 2
(x − 4)
Caso II: Q(x) es un producto de factores lineales,
algunos de los cuales se repiten
Considere que el primer factor lineal (a1 x + b1 ) se repite r
r
veces; esto es, en la factorización de Q(x) se obtiene (a1 x + b1 )
Entonces, en lugar del término único A1 /(a1 x + b1 )
emplearíamos
A1
A2
Ar
+
+
..........
+
.
(a1 x + b1 ) (a1 x + b1 ) 2
(a1 x + b1 ) r
Por ejemplo: 2 x 3 + x − 2
x 2 ( x − 1) 3
=
A B
C
D
E
+ 2 +
+
+
x x
( x − 1) ( x − 1) 2 ( x − 1) 3
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35
Ejercicio: Determine
x 2 − 4x − 1
dx
∫
x( x − 1) 3
x 2 + 3x − 4
dx
∫
(2 x − 1) 2 (2 x + 3)
x3 − x2
dx
∫
( x − 6)(5 x + 3) 3
Caso III: Q(x) contiene factores cuadráticos irreducibles,
ninguno de los cuales se repite
Si Q(x) tiene el factor ax2+bx+c, en donde b2-4ac<0,
entonces la expresión R(x)/Q(x) tendrá un término de la
forma
Ax + B
ax 2 + bx + c
Por ejemplo:
x
A
Bx + C Dx + E
+ 2
=
+
2
2
2
( x − 2)( x + 1)( x + 4) x − 2 x + 1
x +4
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36
D
ax 2 + bx + c
Obs: El término
el cuadrado y con la fórmula
se puede integrar completando
1
dx
 x
arctan
=
 +c
∫ 2
x + a2 a
a
Ejercicio: Determine
x2 − 2
dx
∫ 2
x( x + 2)
dx
∫ 6 3
x −x
x 3 − 4x 2 + 2
dx
∫ 2
2
( x + 1)( x + 2)
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37
Caso IV: Q(x) contiene un factor cuadrático irreducible
repetido
Si en Q(x) aparece el factor (ax + bx + c) en donde b2-4ac<0
Ax + B
entonces, en lugar de la fracción parcial única
ax 2 + bx + c
se tiene la suma
2
A1 x + B1
A2 x + B2
+
ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c
(
)
2
+ .... +
r
(ax
Ar x + Br
2
+ bx + c
)
r
En la descomposición en fracciones parciales de R(x)/Q(x). Cada uno
de los términos de la expresión anterior se puede integrar
completando el cuadrado y con una sustitución tangente
Ejercicio: Determine
1 - 3x + 2x 2 − x 3
∫ x( x 2 + 1) 2 dx
x4 + x2 +1
∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 4) 2 dx
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CALCULO II
38
Expresiones Racionales en senx y cosx
Existe una sustitución que hace posible la integración de todas
las expresiones racionales en senx y cosx
Teorema:Si f(x) es una expresión racional en senx y cosx, la
sustitución
1
u = tan x
2
transforma la integral
o 2arctanu = x
∫ f ( x)dx
en la integral de una función racional de u
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CALCULO II
39
Demostración:
Sea
2arctanu = x,
Y obsérvese que
2
1+ u
2
du = dx
1
u = tan x
2
1+ u2
u
X/2
1
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CALCULO II
40
∫
f ( x)dx = 2
∫
f (2arctanu)
1+ u
2
du
Supongamos ahora que f(x) es racional en sen y cos.
Para probar el teorema necesitamos demostrar que
f(2 arctan u ) es racional en u, lo que puede hacerse
demostrando que sen(2 arctan u) y cos( 2 arctan u)
son racionales en u. Esto se deduce directamente:
sen(2arctanu ) = sen x = 2 sen

= 2


1
1
x cos x
2
2

u
1


1 + u 2  1 + u 2




 u 
= 2

2
1+ u 
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CALCULO II
41
1
1
x − sen 2 x
2
2
1
u2
=
−
2
1+ u
1+ u 2
1− u 2
=
1+ u 2
cos(2arctanu ) = cos x = cos 2
Se ha deducido que la sustitución 2 arctan u=x
Conduce a las siguientes fórmulas
sen( 2arctanu ) =
2u
1+ u
2
cos(2arctanu ) =
1− u 2
1+ u 2
Ejercicio: Hallar
dx
∫ 1 + 2 cos x
secx
∫ 2tanx + secx - 1 dx
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dx
∫ 1 - senx
42
Sustituciones para racionalización
Algunas funciones se pueden transformar en funciones racionales
por medio de sustituciones adecuadas, y con ello integrar mediante
los métodos anteriores. En particular, cuando un integrando
n g(x)
contiene una expresión de la forma
puede ser
ventajoso emplear la sustitución u = n g(x)
Ejercicio: Determine
∫
1
1+ x
3
dx
x
∫ x + 1dx
∫
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1
x x +1
dx
43