1. Educación

ANALISIS FUNCIONAL
Tema 1: Medida de conjuntos en Rn .
La integral de Riemann y sus limitaciones. Contenido. Medida exterior. Medida
de Lebesgue. Propiedades.
Tema 2: Espacios de medida y funciones medibles
σ-´
algebras, medidas y espacios de medida: propiedades elementales y ejemplos.
Funciones medibles. Conjuntos de medida nula. Convergencia en medida. Teorema
de Egorov.
Tema 3: La integraci´
on y sus propiedades.
Integraci´
on de funciones simples. Integraci´
on de funciones positivas. Convergencia en media. Funciones integrables. Teoremas de convergencia para integrales.
Tema 4: Teorema de Fubini y cambio de variable.
Medida producto. Teoremas de Tonelli y Fubini. Cambio de variable. Diferenciaci´
on bajo el signo integral.
Tema 5: Espacios de Hilbert.
Producto escalar, desigualdad de Schwarz. Espacios de Hilbert: ejemplos. Ortogonalidad. Proyecciones. Funcionales lineales: teorema de representaci´
on. Sistemas ortonormales.
Tema 6: Espacios de Banach y espacios Lp .
Espacios normados y de Banach: ejemplos. Espacios Lp , desigualdades de H¨
older
y Minkowski. Operadores lineales: continuidad y acotaci´
on.
Tema 7: Teorema fundamental del c´
alculo en R.
Teorema de Vitali. Diferenciaci´
on de funciones mon´
otonas. Variaci´
on acotada.
Funciones absolutamente continuas.
Tema 8: Grandes teoremas del an´
alisis funcional.
Categor´ıa y teorema de Baire. Principio de acotaci´
on uniforme. Teoremas de la
aplicaci´
on abierta y de la gr´
afica cerrada. Teorema de Hahn-Banach. Aplicaciones.
2
BIBLIOGRAFIA
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J. Antonio Facenda Aguirre, Fc. Jos´
e Freniche Ib´
an
˜ ez, Integraci´
on de
funciones de varias variables. Pir´
amide.
´
EVALUACION
La evaluaci´
on se determinar´
a por medio de un examen final. Los estudiantes que
entregen el d´ıa del examen final las soluciones escritas de dos ex´
amenes de ediciones
anteriores y que obtengan una puntuaci´
on superior a 4,5 sobre 10 en dicho examen,
se les sumar´
a la cantidad de 0,5 puntos.