1. Educación

´ MULTIPLE
´
INTEGRACION
APUNTES CON EJERCICIOS
Actualizado el 8 de enero de 2015
Fichero actualiz´andose para el presente curso
De momento ten´eis los Temas 0 y 1
Jos´e Juli´an Toledo Melero
Universitat de Val`encia
Departamento de An´alisis Matem´atico
´Indice general
Preliminares
1
Tema 0. La integral de Riemann 1–dimensional
0.1. La integral de Riemann
0.2. La integral impropia de Riemann
0.3. Ejercicios
3
3
6
7
La integral de Lebesgue en RN
11
Tema 1. Conjuntos nulos
1.1. Medida de un intervalo
1.2. Conjuntos nulos
1.3. Ejercicios
13
13
13
19
i
Preliminares
TEMA 0
La integral de Riemann 1–dimensional
Empezaremos recordando lo que aprendimos sobre la integral de Riemann y sobre
la integral impropia de Riemann.
0.1.
La integral de Riemann
Definici´
on 0.1.1. Dada una funci´on acotada f : [a, b] → R (f ∈ B([a, b])) y
una partici´on de [a, b], P (P ∈ P([a, b]), i.e., P = {t0 = a, t1 , . . . , tn−1 , tn = b}, con
ti−1 < ti , definimos
mi := ´ınf{f (x) : x ∈ [ti−1 , ti ]},
Mi := sup{f (x) : x ∈ [ti−1 , ti ]},
y llamamos sumas inferior y superior de Darboux-Riemann de f respecto de
P a
n
mi (ti − ti−1 ) (suma inferior),
S− (f, P ) :=
i=1
n
+
Mi (ti − ti−1 ) (suma superior).
S (f, P ) :=
i=1
Proposici´
on 0.1.2 (Propiedades).
1. Si P, Q ∈ P([a, b]) con P ⊂ Q (Q es una partici´on m´as fina que P ), entonces
m(b − a) ≤ S− (f, P ) ≤ S− (f, Q) ≤ S + (f, Q) ≤ S + (f, P ) ≤ M (b − a),
donde m := ´ınf [a,b] f y M = sup[a,b] f .
2. ∀P, Q ∈ P([a, b]),
S− (f, P ) ≤ S + (f, Q).
Basta considerar P, Q, P ∪ Q en la Propiedad 1.
As´ı se puede definir la integral inferior/superior de Riemann como:
Definici´
on 0.1.3.
b
f :=
sup
S− (f, P ),
(integral inferior),
S + (f, P ),
(integral superior).
P ∈P([a,b])
a
b
f :=
a
´ınf
P ∈P([a,b])
3
4
0. LA INTEGRAL DE RIEMANN 1–DIMENSIONAL
Y decimos que una funci´on acotada en [a, b], f , es integrable Riemann en [a, b],
f ∈ R([a, b]), si
b
b
b
f=
f.
f =:
a
a
a
Teorema 0.1.4 (Criterio de integrabilidad 1/3). f ∈ R([a, b]) sii dado
existe P ∈ P([a, b]) tal que
> 0,
S + (f, P ) − S− (f, P ) ≤ ,
sii dado n ∈ N, existe Pn ∈ P([a, b]) tal que
l´ım S + (f, Pn ) − S− (f, Pn ) = 0.
n
Ejemplo 0.1.5.
1. Si f ∈ C([a, b]) entonces f ∈ R([a, b]).
2. Si f ∈ B([a, b]) es mon´otona entonces f ∈ R([a, b]).
3. Si f, g ∈ R([a, b]) entonces f g ∈ R([a, b]) y
2
b
b
b
f2
≤
fg
a
a
g2.
a
4. Si f ∈ R([a, b]), m ≤ f ≤ M , y φ ∈ C([m, M ]), entonces φ ◦ f ∈ R([a, b]). En
particular, |f | ∈ R([a, b]), y
b
b
f ≤
|f |.
a
a
Si de φ s´olo pedimos que sea de R([a, b]), no necesariamente g ◦ f ∈ R([a, b]).
Teorema 0.1.6 (Primer Teorema de la Media). Sean f, g ∈ R([a, b]), f ≥ 0,
m ≤ g ≤ M . Entonces existe λ ∈ [m, M ] tal que:
b
b
fg = λ
a
f.
a
En particular, si g es continua,
b
b
f g = g(c)
f,
con c ∈ [a, b].
a
a
Teorema 0.1.7 (Teorema Fundamental del C´alculo).
1. Si f ∈ R([a, b]) entonces F (x) :=
[a, b].
x
a
f (t)dt define una funci´on continua en
2. Si f ∈ C([a, b]) entonces ∃F (x) = f (x) para todo x ∈ [a, b]; i.e., F es una
primitiva de f .
Teorema 0.1.8 (Regla de Barrow). Si f ∈ R([a, b]) y F es una primitiva de f
entonces
b
f = F (b) − F (a).
a
0. LA INTEGRAL DE RIEMANN 1–DIMENSIONAL
5
Teorema 0.1.9 (Segundo Teorema de la Media). Sean f ∈ R([a, b]) y g ≤ 0
creciente. Entonces existe c ∈ [a, b] tal que:
b
b
f g = g(b)
a
f.
c
Criterio de Integrabilidad 2/3. Dada f ∈ B([a, b]), P = {t0 , t1 , . . . , tn } ∈ P([a, b]),
y Z = {z1 , z2 . . . , zn }, zi ∈ [ti−1 , ti ], llamaremos suma de Riemman de f relativa
aP yZa
n
f (zi )(ti − ti − 1).
S(f, P, Z) :=
i=1
Teorema 0.1.10. Sea f ∈ B([a, b]). f ∈ R([a, b]) sii existe I ∈ R tal que para
todo > 0 existe δ > 0 tal que:
para toda P ∈ P([a, b]) con ||P || := supi=1,...,n |ti − ti−1 | ≤ δ, existe una suma de
Riemann S(f, P, Z) tal que
|S(f, P, Z) − I| ≤ .
Adem´as, I =
b
a
f.
Corolario 0.1.11. Sea f ∈ R([a, b]) entonces
n
n
con ti − ti−1 =
b−a
,
n
b
f (ti−1 )(ti − ti−1 ) =
l´ım
f,
a
i=1
t0 = a.
Teorema 0.1.12 (Cambio de Variable).
1. Sea f ∈ R([a, b]) y sea g continua, derivable y estrictamente mon´otona en el
intervalo cerrado de extremos c y d, con g(c) = a, g(d) = b. Entonces
d
g(d)
f (g(x))g (x)dx.
f (t)dt =
g(c)
c
2. Sea f ∈ C([a, b]) y sea g continua y derivable en el intervalo cerrado de extremos
c y d, con g(c) = a, g(d) = b. Entonces
g(d)
d
f (t)dt =
g(c)
f (g(x))g (x)dx.
c
En el resultado anterior se usa el convenio de que
d
c
h=−
c
d
h.
Teorema 0.1.13 (Criterio de Integrabilidad de Lebesgue 3/3). Sea f ∈ B([a, b])
y sea D el conjunto de discontinuidades de f .
f ∈ R([a, b]) sii D es nulo.
La definici´on de nulo y la demostraci´on de este resultado se ver´an m´as adelante.
6
0. LA INTEGRAL DE RIEMANN 1–DIMENSIONAL
0.2.
La integral impropia de Riemann
Definici´
on 0.2.1. Sea f ∈ R([a, b]) ∀a ≤ b < b+ ∈]a, +∞]. Si
b+
b
∃ l´ım
b→b+
f
f :=
a
a
decimos que f es integrable Riemann en sentido impropio en [a, b+ [ ([a, +∞[ si b+ =
b
+∞) y que el valor de su suma es a + f .
Esta definici´on coincide con la integrabilidad Riemann (en el caso en que b+ sea
finito) si f ∈ R([a, b+ ]). Los casos interesantes son cuando b+ = +∞ o f no es
acotada en b+ .
Si f es integrable Riemann en sentido impropio en [a, b+ [ tambi´en escribiremos
f ∈ R([a, b+ [).
1
e I = [1, +∞) , se tiene que f es
x2
una funci´on integrable en cualquier subintervalo L = [u, v] ⊂ I ya que es continua y
Ejemplo 0.2.2 (Ejemplo 7.1). Si f (x) =
v
1
1
dx
=
l´
ım
−
v→+∞
x2
x
l´ım
v→+∞
1
+∞ 1
dx
x2
1
De manera que existe
v
= l´ım −
v→+∞
1
1 1
−
= 1.
v 1
( o es convergente) y vale 1,
+∞
1
1
dx = 1.
x2
1
e I = (0, 1], se tiene que f es una
x2
funci´on integrable en cualquier subintervalo L = [u, v] ⊂ I ya que es continua y
Ejemplo 0.2.3 (Ejemplo 7.2). Si f (x) =
1
l´ım+
u→0
u
que no existe, esto es, ∃
1
1
dx = l´ım+ −
2
u→0
x
x
1
u
= l´ım+ −
u→0
1 1
−
1 u
1 1
dx.
0 x2
Teorema 0.2.4. Sea f ∈ R([a, b]) ∀a ≤ b < b+ ∈]a, +∞].
b
|f | ≤ M ∀b entonces f, |f | ∈ R([a, b+ [).
Si
a
En particular, si 0 ≤ f ≤ g, f, g ∈ R([a, b]) ∀a ≤ b < b+ ∈]a, +∞], y si
g ∈ R([a, b+ [), entonces f ∈ R([a, b+ [) .
Si f ∈ R([a, b]) ∀a ≤ b < b+ ∈]a, +∞] y |f | ∈ R([a, b+ [), diremos que
converge absolutamente.
´ n. Pongamos que b+ = ∞ (otro caso es similar). Entonces
Demostracio
s
s
f ≤
r
|f | → 0 cuando r, s → +∞.
r
b+
a
f
0. LA INTEGRAL DE RIEMANN 1–DIMENSIONAL
7
El m´odulo en la parte derecha de la desigualdad anterior est´a puesto porque no
distingo la posici´on relativa de r y s.
+∞
sen x
dx converge (v´ease el Ejercicio 0.3.9), no converge
x
0
absolutamente, como veremos en el Ejemplo 0.3.10. As´ı pues, la convergencia de una
integral no implica su convergencia absoluta:
Si bien la integral
∃
∞ sin t
dt
t
1
< +∞ pero ∃
∞ sin t
t
1
dt = +∞.
Similarmente podemos dar los conceptos de integral impropia de Riemann para
funciones definidas en ] − ∞, a] o no acotadas inferiormente. Por otra parte, si f ∈
R([a, +∞[) ∩ R(] − ∞, a]) decimos que f ∈ R(] − ∞, +∞[) y que
+∞
a
+∞
f=
−∞
f+
−∞
f.
a
Si f ∈ R(] − ∞, +∞[) entonces
+∞
b
f = l´ım
b→+∞
−∞
f.
−b
Pero no al rev´es, puede existir
+∞
b
f,
f =: V P
l´ım
b→+∞
−∞
−b
que se denomina valor principal de
+∞
−∞
f , y que f ∈
/ R(] − ∞, +∞[).
As´ı como la integral de Riemann permite medir ´areas de porciones del plano
acotadas, la noci´on de integral impropia permite calcular ´areas de porciones del plano
que no son acotadas.
0.3.
Ejercicios
Pr´
actica 7
Ejercicio 0.3.1 (Ejercicio 7.1). Estudiar la convergencia o divergencia de las
siguientes integrales:
+∞
1
(a)
dx
x
1
+∞
e−|x| dx
(b)
−∞
1
1
dx
x
(c)
0
1
√
(d)
0
1
dx
1 − x2
8
0. LA INTEGRAL DE RIEMANN 1–DIMENSIONAL
+∞
2
xe−x dx
(e)
−∞
Ejercicio 0.3.2 (Ejercicio 7.2). Demostrar que para cada y > 0 se cumple
+∞
ye−x
2 y2
+∞
0
2
e−x dx.
dx =
0
+∞
Ejercicio 0.3.3 (Ejercicio 7.3). Demostrar que
a
dx
converge si, y s´olo si,
xp
p > 1 (se supone a > 0)
Ejercicio 0.3.4 (Ejercicio 7.4). Demostrar que si p > 0 se tienen los siguientes
hechos:
b
dx
(a)
es convergente si, y s´olo si, p < 1.
p
a (x − a)
b
(b)
a
dx
es convergente si, y s´olo si, p < 1.
(b − x)p
Con la ayuda del Ejercicio 0.3.3 se puede probar el siguiente resultado:
Teorema 0.3.5 (Criterios para funciones definidas en intervalos no acotados).
Sea f integrable en cada intervalo cerrado y acotado de I = [a, +∞), a > 0.
1. Si existen b ≥ a, α > 1 y K > 0 tales que |f (x)xα | < K ∀x > b, esto ocurre
en particular si
∃ l´ım f (x)xα ,
x→+∞
entonces
f (t)dt es absolutamente convergente.
I
2. Si existen b ≥ a, α ≤ 1 y K > 0 tales que f (x)xα > K ∀x > b, esto ocurre en
particular si
l´ım f (x)xα > 0,
x→+∞
entonces
f (t)dt diverge.
I
Y del Ejercicio 0.3.4 se deduce este otro:
Teorema 0.3.6 (Criterios para funciones no acotadas definidas en intervalos acotados). Sea f integrable en cada intervalo cerrado y acotado de I =]a, b].
1. Si existen α < 1 y K > 0 tales que |f (x)(x − a)α | < K ∀x ∈]a, b], en particular
esto ocurre si
f (x)
∃ l´ım+
,
1
x→a
entonces
I
(x−a)α
f (t)dt es absolutamente convergente.
0. LA INTEGRAL DE RIEMANN 1–DIMENSIONAL
9
2. Si existen α ≥ 1 y K > 0 tales que f (x)(x − a)α > K ∀x ∈]a, b], en particular
esto ocurre si
f (x)
l´ım+
= a ∈]0, +∞],
1
x→a
entonces
(x−a)α
f (t)dt no es convergente.
I
Ejercicio 0.3.7 (Ejercicio 7.5). Hallar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales:
+∞
dx
(a)
2
−∞ 1 + x
+∞
(b)
1
+∞
(c)
dx
x4 + x2 + 1
dx
(x + 1)(x + 2)
0
+∞
(d)
2
∞
(e)
1 + 6 sen 2x
dx
x2 + 3x3
x cos x dx (H: hacer partes)
0
∞
sen x
√ dx
x
(f )
0
∞
sen(x2 ) dx
(g)
0
∞
(h)
0
+∞
cos x
dx
x2
x sen(x4 ) dx
(i)
0
∞
sen2
(j)
1
1
dx
x
1
1
dx
x
0
∞
1
(k)
dx cuando q > 1 (H: integrar directamente)
x logq x
2
Ejercicio 0.3.8 (Ejercicio 7.6). Estudiar la integrabilidad (impropia) de la funci´on definida por f (x) = xp exp(−xq ) con p, q > 0 en el intervalo [0, +∞[.
(j)
sen2
Ejercicio 0.3.9 (Ejercicio 7.7). Demostrar:
sen x
tiene integral impropia absolutamente convergente
(a) Si p > 1, entonces
xp
en [1, +∞[.
(b) Si p = 1, entonces
sen x
tiene integral impropia convergente en [0, +∞[.
x
10
0. LA INTEGRAL DE RIEMANN 1–DIMENSIONAL
(H: integrar por partes en (b). ¡Deducir de esto un resultado m´as general!)
+∞
Ejemplo 0.3.10 (Ejemplo 7.3). Veamos sin embargo que, aunque 0 senx x es
+∞ sen x
convergente, la integral 0
no converge. En efecto, para cada k ∈ N, que
x
kπ
|
(k−1)π
de donde
1
sen x
|dx ≥
x
kπ
kπ
|
0
kπ
|sen x|dx =
(k−1)π
2
kπ
sen x
2
1
1
|dx ≥ (1 + + ... + ).
x
π
2
k
Luego de la no acotaci´on de la sucesi´on
+∞
sen x
integral
dx.
x
0
kπ sen x
| x |dx
0
se deduce la divergencia de la
Sea f ∈ R([x, x ]) para todo x, x ∈ R, x < x , se llama valor principal de
f (t)dt al siguiente valor:
+∞
−∞
x
+∞
f (t)dt.
f (t)dt := l´ım
VP
−∞
x→+∞
−x
El valor principal de una integral puede existir sin que por ello la integral de la
funci´on sea convergente:
1+x
Ejemplo 0.3.11 (Ejemplo 7.4). Como l´ımx→±∞ 1+x
2 x = 1, aplicando el Teore+∞
1+x
dx. Sin embargo, s´ı que existe el
ma 0.3.5, no existe la integral impropia
2
−∞ 1 + x
valor principal porque
t
l´ım
t→+∞
−t
1+x
1
dx = l´ım arctan x + log(1 + x2 )
2
t→+∞
1+x
2
t
−t
= l´ım 2 arctan t = π.
t→+∞
+∞
Ejercicio 0.3.12 (Ejercicio 7.8). Demostrar que si
f (x)dx es convergente,
−∞
entonces coincide con su valor principal.
Ejercicio 0.3.13 (Ejercicio 7.9). Estudiar la convergencia o divergencia de las
siguientes integrales.
1
1
sen x
dx
(a)
dx,
(b)
dx,
2
x
0
0 x −1
1
1
sen x12
dx
√
(c)
dx,
(d)
dx,
3
2
x
0 (sen x)
0
1
(e)
0
x arctan x
√
dx.
1 − x2
La integral de Lebesgue en RN
Daremos una integral que permite integrar m´as funciones que la integral de Riemann, y que generaliza a ´esta, la integral de Lebesgue. Esta nueva integral trata
simult´aneamente funciones acotadas y no acotadas y permite integrar en conjuntos
m´as generales que intervalos. Adem´as es mejor integral para teoremas de convergencia. Y la daremos en RN con N ≥ 1 cualquiera.
En la integral de Riemann hemos dividido el intervalo de integraci´on en un n´
umero
finito de subintervalos para definir unas sumas inferiores y superiores que convergen
a la integral. Aqu´ı, como veremos, la idea es diferente.
Mantendremos la idea de que la integral debe interpretarse como el a´rea que encierra la gr´afica de la funci´on por encima del eje OX para funciones no negativas.
Adem´as querremos que la integral sea lineal. El objetivo es definir la integral primero para una clase sencilla de funciones e ir extendiendo la definici´on a una clase
larga de funciones pidiendo que la linealidad se satisfaga. La extensi´on la haremos
considerando sucesiones crecientes y decrecientes.
Para todo ello, necesitamos primero introducir el concepto de conjunto nulo, pues
estos conjuntos juegan un papel esencial.
TEMA 1
Conjuntos nulos
Es bien conocido que el conjunto de los n´
umeros racionales Q es numerable,
aunque denso (topol´ogicamente) en R, y que R no es numerable. Vamos a ver ahora
que Q es nulo en el sentido de la medida.
Los conjuntos nulos juegan un papel especial en la integraci´on. Veremos que si a
una funci´on integrable le cambiamos los valores en un subconjunto de su dominio que
sea nulo, entonces la funci´on resultante tambi´en es integrable, y con integral igual a
la de la funci´on anterior. Deber´a ocurrir pues que R no es nulo.
1.1.
Medida de un intervalo
Definici´
on 1.1.1. Sean I i , i = 1, . . . , N intervalos de R, al conjunto
I = I1 × · · · × IN
se le llama intervalo en RN . Se dice que es abierto (cerrado) si todos los Ii son
abiertos (cerrados) sii es un conjunto abierto (cerrado). I es acotado sii todos los
I i son acotados. I se dice degenerado si al menos uno de los I i lo es. Se define su
longitud o medida como:
|I| := long(I 1 ) × · · · × long(I N ),
donde long(I i ) = bi − ai si I i es un intervalo de extremos ai ≤ bi . La longitud de un
intervalo es cero si el intervalo es degenerado, y es +∞ si el intervalo es no degenerado
y no acotado. Es evidente que si I, J son intervalos con I ⊂ J entonces |I| ≤ |J|.
Si ai < ∞ es uno de los extremos del intervalo I i , al conjunto de RN descrito por
{x ∈ RN : xi = ai }
(x = (x1 , x2 , . . . , xN ) representa un punto de RN ), se le llama hiperplano (N − 1)dimensional (o hiperplano) acotante de I (es un plano si estamos en dimensi´on 3,
es una recta si estamos en dimensi´on 2, un punto en dimensi´on 1); si este plano
interesecta con I, es una cara de I. Si dos hiperplanos acotantes de I se cruzan
(N ≥ 2), forman un hiperplano (N − 2)–dimensional acotante de I (si intersecta con
I, es una arista si estamos en dimensi´on 3, un v´ertice si estamos en dimensi´on 2), ...
1.2.
Conjuntos nulos
Definici´
on 1.2.1 (Conjunto nulo). Un conjunto S ⊂ RN se dice nulo si se puede
recubrir por una sucesi´on de intervalos abiertos cuya longitud total (formalmente
13
14
1. CONJUNTOS NULOS
hablando) es arbitrariamente peque˜
na, es decir, si dado
{In }n∈N , In intervalos abiertos, tal que
> 0 cualquiera, existe
∞
S⊂
In
n=1
y
∞
|In | ≤ .
n=1
Obviamente los intervalos ser´an acotados.
Ejemplo 1.2.2. El conjunto formado por un punto de R es un conjunto nulo.
En efecto: Sea x = (x1 , . . . , xN ) un punto cualquiera. Dado > 0, el intervalo
]x1 − , x1 + [× · · · ×]xN − , xN + [ recubre a {x}, y tiene medida (2 )N (que es
menor que si ´este es suficientemente peque˜
no).
Con esa demostraci´on basta ya que la suma de las medidas de la siguiente sucesi´on
de intervalos abiertos es menor que :
In =] − /2n+1 , /2n+1 [×]0, 1[N −1 .
Observar que con esta sucesi´on estamos probando que {0}×]0, 1[N −1 es nulo.
Es por tanto evidente que si dado > 0 cualquiera, existe {In }m
n=1 (1 ≤ m ≤ ∞),
In intervalos abiertos, tal que
m
S⊂
In
n=1
y
m
|In | ≤ ,
n=1
entonces S es nulo.
Ejemplo 1.2.3. 1. Si {In }m
n=1 , In intervalos abiertos, es un recubrimento de [0, 1]
entonces
m
|Ii | > 1.
n=1
2. [0, 1] no es nulo.
En efecto: Empecemos con 2. Si [0, 1] fuese nulo existir´ıa {In }n∈N , In intervalos
abiertos, tal que
∞
[0, 1] ⊂
In
n=1
y
∞
1
|In | ≤ .
2
n=1
1. CONJUNTOS NULOS
15
Ahora, por ser [0, 1] compacto, existe un subrecubrimiento finito,
m
[0, 1] ⊂
In .
n=1
Y por tanto, por 1.,
1
≥
2
∞
m
|In | ≥
n=1
|In | ≥ 1,
n=1
que es contradictorio.
Probemos ahora 1. Sea cada In =]an , bn [. Tenemos que 0 ∈ In1 para alg´
un n1 ∈
{1, 2, . . . , m}.
Si 1 < bn1 hemos terminado pues
[0, 1] ⊂]an1 , bn1 [,
y por tanto
1 = |[0, 1]| < |In1 |.
En caso contrario, existe n2 ∈ {1, 2, . . . , m} con bn1 ∈ In2 . Esto implica que
[an1 , an2 ] ⊂ [an1 , bn1 ].
Si 1 < bn2 , hemos terminado, pues entonces
[an2 , 1] ⊂ [an2 , bn2 ],
y por tanto
1 < 1 − an1 = |[an1 , an2 ]| + |[an2 , 1]| ≤ |In1 | + |In2 |.
En caso contrario, existe n3 ∈ {1, 2, . . . , m} con bn2 ∈ In3 . Ahora tenemos que
[an1 , an2 ] ⊂ [an1 , bn1 ],
[an2 , an3 ] ⊂ [an2 , bn2 ].
Si 1 < bn3 , hemos terminado, pues entonces
[an3 , 1] ⊂ [an3 , bn3 ],
y por tanto
1 < 1 − an1 = |[an1 , an2 ]| + |[an2 , an3 ]| + |[an3 , 1]| ≤ |In1 | + |In2 | + |In3 |.
En caso contrario repetimos el proceso y esto ocurre como mucho m veces, concluyendo similarmente.
Observar tambi´en, que acabamos probando que existen n1 , n2 , . . . , nk tales que:
[1.2.1]
[0, an2 ] ⊂ [an1 , bn1 ],
[an2 , an3 ] ⊂ [an2 , bn2 ],
...
[ank , 1] ⊂ [ank , bnk ].
16
1. CONJUNTOS NULOS
Observar que llegando a [1.2.1] hemos probado un poco m´as de lo que enunciamos.
Y esto se puede usar para probar que [0, 1]N no es nulo en RN (N ≥ 2).
Ejercicio 1.2.4. Probar que N × N es numerable dando una funci´on inyectiva
expl´ıcita de N × N sobre N.
Proposici´
on 1.2.5 (Propiedades).
1. Si A es nulo y B ⊂ A entonces B es nulo.
2. La uni´on numerable de nulos es un conjunto nulo.
3. Un conjunto numerable es nulo (por ejemplo Q).
´ n. La propiedad 1. es evidente. Por otra parte la 3. se deduce de
Demostracio
la 2. ya que un punto forma un conjunto nulo. Por otra parte la prueba de 2. es la
siguiente: Sea {Sk } una sucesi´on de conjuntos nulos y S = ∪k Sk . Sea > 0 fijo. Para
cada k ∈ N, Sk es nulo, luego existe {Ik,j }j una sucesi´on de intervalos tal que
Sk ⊂
Ik,j
j
con
|Ik,j | ≤
j
2k
.
Sea An := {Ik,j : k + j = n}, n = 2, 3, . . . . Entonces
S⊂
I
I∈A2
I
I
I∈A3
...,
I∈A4
(est´a recubierto por tanto por una cantidad numerable de intervalos abiertos) y se
tiene que, para todo l ≥ 2,
l
l
|I| ≤
n=2 I∈An
l−1 l−1
|Ik,j | ≤
n=2 k+j=n
l−1
|Ik,j | ≤
k=1 j=1
k=1
2k
≤ ,
de donde se deduce que S es nulo.
Ejemplo 1.2.6. El conjunto ternario de Cantor es un conjunto nulo, no numerable, en R.
Este conjunto se forma del siguiente modo. Tomemos el intervalo
I0 = [0, 1].
Y formemos el conjunto siguiente, dividimos en tres intervalos iguales el intervalo
anterior, el de en medio abierto, y lo quitamos:
1
2
I1 := 0,
∪ ,1
3
3
y procedemos de la misma forma con cada uno de los intervalos que queda, formando
as´ı
1
2 3
6 7
8
I2 := 0, 2 ∪ 2 , 2
∪
,
∪
,1 .
3
3 3
32 32
32
1. CONJUNTOS NULOS
Procediendo as´ı definimos
17
∞
C :=
Ii
i=0
que se conoce como conjunto ternario de Cantor.
Observar que cada Ii est´a formado por 2i intervalos, cada uno de ellos de longitud 31i ; con lo que la suma de las medidas de los intervalos que forman Ii es
2i
,
3i
cantidad que converge a 0 cuando i → +∞. Por tanto C, que est´a contenido en cada
Ii , es nulo.
Probar como ejercicio que no es numerable.
Ejercicio 1.2.7. Los hiperplanos son conjuntos nulos.
Ejercicio 1.2.8.
1. Un intervalo I es degenerado sii es nulo.
2. En la definici´on de conjunto nulo podemos quitar la exigencia de que los intervalos que recubran al conjunto sean abiertos.
Nota 1.2.9 (Medida de un conjunto nulo). Si S es un conjunto nulo, suele escribirse |S| = 0, y se dice que S tiene medida cero; siendo esta definici´on acorde con la
medida para un intervalo. Trataremos de no hablar de medidas de conjuntos que no
sean intervalos hasta que definamos la medida de un conjunto en general.
La definici´on de conjunto nulo normalmente no es operativa a la hora de identificar a dichos conjuntos. Intuitivamente, una curva es un conjunto nulo en R2 o una
superficie es nulo en R3 . Ve´amoslo.
Proposici´
on 1.2.10. Sea I un intervalo de RN y f : I → R continua, entonces
su gr´afica es un conjunto nulo en RN +1 . Lo mismo pasa con la gr´afica de f si va a
parar a RM
´ n. Podemos suponer sin p´erdida de generalidad que I es compacto
Demostracio
I = [a1 , b1 ] × · · · × [aN , bN ]
(ya que todo intervalo se puede escribir como una uni´on numerable de intervalos
compactos). As´ı pues tenemos una funci´on continua sobre un compacto, luego es
uniformemente continua. Sea > 0 fijo. Por la continuidad uniforme de f , existe
δ > 0 tal que
x − y ≤ δ, x, y ∈ I ⇒ |f (x) − f (y)| < .
Sea m ∈ N tal que
Dividamos cada intervalo [ai , bi ] en m partes iguales y formemos una divisi´on de
I en mN intervalos compactos formados por dichas particiones:
mN
˜N
Ij , Ij = [˜
a1j , ˜b1j ] × · · · × [˜
aN
j , bj ],
I=
j=1
18
1. CONJUNTOS NULOS
˜ij =
con ˜bij − a
bi −ai
m
para todo i, j.
Sea ahora
N
˜N
˜N
a1j , . . . , a
˜N
a1j , . . . , a
aN
Sj := [˜
a1j , ˜b1j ] × · · · × [˜
j ) − , f (˜
j , bj ] × [f (˜
j ) + ], j = 1, . . . m .
N
Se tiene que G(f ) ⊂ m
j=1 Sj para m suficientemente grande: sea (x, f (x)), x ∈ I,
entonces x ∈ Ij para alg´
un j, luego,
˜1
˜N
x − (˜
a1j , . . . , a
˜N
a1j , . . . , a
˜N
j ) ≤ (bj , . . . , bj ) − (˜
j ) =
N
i
i=1 (b
− ai )2
m
1/2
≤ δ,
si m es suficientemente grande, y por tanto
˜N
|f (x) − f (˜
a1j , . . . , a
j )| < .
Veamos ahora cu´anto suma
mN
mN
|Sj | =
j=1
j=1
mN
j=1
|Sj |:
b 1 − a1
b N − aN
(b1 − a1 ) · · · (bN − aN )
× ··· ×
× 2 = mN
2 =
m
m
mN
= (b1 − a1 ) · · · (bN − aN )2 .
Lo que implica que G(f ) es nulo
Definici´
on 1.2.11 (Casi por todas partes). Diremos que una propiedad se verifica
casi por todas partes (c.p.p.) si se verifica en todo punto o salvo los puntos de un
conjunto nulo (¡podemos considerar al conjunto vac´ıo como nulo!). Tambi´en diremos
cosas como casi para todo (c.p.t.) x ∈ A, que quiere decir para todos los puntos de A
salvo un nulo.
Ejemplo 1.2.12 (Ejemplo 9.13). Vamos a probar que si f1 (x) = g1 (x) c.p.p. y
f2 (x) = g2 (x) c.p.p., entonces f1 (x) + f2 (x) = g1 (x) + g2 (x) c.p.p.
En efecto: como f1 (x) = g1 (x) c.p.p., existe A1 conjunto nulo tal que si x ∈
/ A1 ,
entonces f1 (x) = g1 (x). An´alogamente existe un conjunto nulo A2 tal que si x ∈
/ A2 ,
entonces f2 (x) = g2 (x). Sea A = A1 ∪A2 , que es un conjunto nulo. Si x ∈
/ A, entonces
f1 (x) = g1 (x) y f2 (x) = g2 (x) con lo cual f1 (x) + f2 (x) = g1 (x) + g2 (x); es decir,
f1 (x) + f2 (x) = g1 (x) + g2 (x) c.p.p.
Ejemplo 1.2.13. La funci´on caracter´ıstica de los n´
umeros racionales es nula c.p.p.
Ejercicio 1.2.14.
1. Sea H = {x ∈ RN : xi = a}, a ∈ R, un hiperplano. Sean H + = {x ∈ RN : xi >
a} y H − = {x ∈ RN : xi < a}.
Sea I un intervalo y supongamos que H corta a I. Probar que I + = I ∩ H + ,
I − = I ∩ H − e I 0 = I ∩ H son intervalos (alguno puede ser el conjunto vac´ıo), que
I = I+ ∪ I0 ∪ I−
(interesecci´on disjunta),
y que
|I| = |I + | + |I 0 | + |I − |,
1. CONJUNTOS NULOS
19
donde la medida del conjunto vac´ıo, si es el caso, es 0 (|∅| = 0).
on disjunta de un intervalo acotado I generada a partir
2. Sea {In }m
n=1 una partici´
de hiperplanos. Probar que
m
|I| =
|In |.
n=1
(Ayuda: Es f´acil probarlo por inducci´on sobre el num´ero de intervalos de la partici´on gracias a la parte 1.)
1.3.
Ejercicios
Pr´
actica 8
Es importante observar que el concepto de conjunto nulo depende de la dimensi´on
del espacio RN . Por ejemplo, como consecuencia de los ejercicios 1.3.3, 1.3.4 y 1.3.5
se sigue que toda recta en R2 es un conjunto nulo.
Los primeros ejercicios deber´ıan hacerse sin usar el resultado 1.2.10.
Ejemplo 1.3.1 (Ejemplo 8.1). Sea A un conjunto nulo de R2 . Veamos que el
conjunto definido por B = {(x, y) ∈ R2 : (y, x) ∈ A} tambi´en es nulo.
En efecto: Por ser A nulo, dado > 0, existe una sucesi´on de intervalos abiertos
∞
acotados In × Jn , n ∈ N, que cumple A ⊂ ∞
n=1 |In × Jn | < .
n=1 In × Jn y
Luego para cada > 0, existe una sucesi´on de intervalos abiertos acotados Jn × In ,
n ∈ N, que verifica B ⊂ ∞
n=1 Jn × In y
∞
∞
|In × Jn | < .
|Jn × In | =
n=1
n=1
2
Por tanto, B es un conjunto nulo de R .
Ejercicio 1.3.2 (Ejercicio 8.1). Demostrar que Q es nulo en R y que R \ Q
no es nulo.
Ejercicio 1.3.3 (Ejercicio 8.2). Demostrar que si A es nulo en Rn y a ∈ Rn ,
entonces el conjunto a + A = {a + x ∈ Rn : x ∈ A} es nulo.
Ejercicio 1.3.4 (Ejercicio 8.3). (a) Sea α > 0 y consideremos el conjunto
{0} × [−α, α] = {(0, y) ∈ R2 : y ∈ [−α, α]}. Demostrar que, para cada n ∈ N, se
cumple {0} × [−α, α] ⊂] − 1/n, 1/n[×] − 2α, 2α[ y deducir que {0} × [−α, α] es
un conjunto nulo en R2 .
(b) Probar que no existe ninguna colecci´on finita de rect´angulos acotados que
recubra el eje de ordenadas.
(c) Demostrar que el eje de ordenadas es nulo en R2 .
Ejercicio 1.3.5 (Ejercicio 8.4). Sea c ∈ R y consideremos la recta r =
{(x, cx) ∈ R2 : x ∈ R}.
20
1. CONJUNTOS NULOS
(a) Demostrar que, para cada n ∈ N, el conjunto rn = {(x, cx) ∈ R2 : x ∈
[−n, n]} es nulo en R2 .
(b) Demostrar que r es nulo.
Ejercicio 1.3.6 (Ejercicio 8.5). ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos son nulos
en R2 ?
(a) Q × Q
(b) Q × R
(c) R × Q
(d) (R \ Q) × Q
(e) R × (R \ Q)
(f ) (R \ Q) × (R \ Q)
Ejercicio 1.3.7 (Ejercicio 8.6). Demostrar que las fronteras de los siguientes
conjuntos son conjuntos nulos en R2 :
(a) [−1, 1] × [0, 1].
(b) {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}.
(c) {(x, y) : x2 ≤ y ≤ 1}.
(d) {(x, y) ∈ R2 :
(e) {(x, y) ∈ R2 :
π
≤ x ≤ 5π
, cos x ≤ y ≤ sen x}.
4
4
−1
1
≤ y ≤ |x|
, x ∈ R\{0}}.
|x|
Ejercicio 1.3.8 (Ejercicio 8.7). Probar que el conjunto A = {(2 + sen y, y) : y ∈
R} es nulo.
Ejercicio 1.3.9 (Ejercicio 8.8). Si {fn }, {gn } son dos sucesiones tales que fn =
gn c.p.p. para cada n y si l´ımn f = f c.p.p. y l´ımn gn = g c.p.p., probar que entonces
f = g c.p.p.
Ejercicio 1.3.10 (Ejercicio 8.9). Si para cada n ∈ N, la propiedad Pn (x) es
cierta c.p.p., demostrar que entonces Pn (x) es cierta para todo n ∈ N, c.p.p.