1. Educación

XXIII C ON G R E S O N A C I O N A L
AMH
DE
H I D R Á U LI C A
AMH
PUERTO VALLARTA, JALISCO, MÉXICO, OCTUBRE 2014
COEFICIENTE DE PÉRDIDA DE ENERGÍA PARA EL DISEÑO DE CONTRACCIONES
BRUSCAS EN CANALES RECTANGULARES EN FLUJO SUBCRÍTICO
Ocampo Guerrero Nikte Norma, Maya Franco Alejandro y López Montes Alexis
Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México. Circuito Exterior S/N, Ciudad Universitaria,
Del. Coyoacán, México D.F., México. C.P. 04510
[email protected], [email protected], [email protected]
Por tanto, resulta
INTRODUCCIÓN
El análisis de la contracción brusca en el ancho de un canal
rectangular combinada con un escalón positivo, ambos en la
misma sección, se basa en la aplicación de los principios de
continuidad, energía y momentum, lo cual permite determinar
el tirante antes de la transición, así como la magnitud de la
pérdida de energía que se produce.
1 Pi
1
1
  b1  b2  yi2  b2  2 yi  z  z
Ci g 2
2
(3)
donde Ci es un coeficiente de corrección de la fuerza Pi ,
próximo a 1.
En la imagen 1 se muestran la geometría del canal, las
secciones 1 y 2 para la aplicación de los principios
mencionados y la intermedia i. Para ello se considera que:



El canal es rectangular y de pendiente cero o muy
pequeña, antes y después del escalón.
El flujo es subcrítico en toda la transición.
La fricción producida entre las secciones 1 y 2 es muy
pequeña y despreciable.
a) Vista en planta
APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DEL MOMENTUM
Sobre las dos caras laterales que se forman por el
estrechamiento y sobre la cara frontal del escalón de ascenso
en la sección i, se produce una fuerza Pi , debida a la presión
hidrostática resultante del tirante yi en las mismas, la cual es
el único componente de la fuerza
Pd
utilizada en la ecuación
del momentum
b) corte en elevación
   Q2

Pd   Q 2

 y'G 2 A2 cos   
 y'G1 A1cos  …(1)
  g A1

g  g A2
 

Es decir, la ecuación del momentum entre las secciones 1 y 2
se convierten en:
P
Q2
1
Q2
1
 b1 y12 
 b2 y 22  i
g b1 y1 2
g b2 y 2 2
g
(2)
c) sección i. Corte A-A’
Al considerar distribución hidrostática de la presión
con el tirante yi , la fuerza Pi es menor que la real y se
calcula en dos partes. La primera corresponde a las dos caras
laterales verticales que resultan de la reducción en el ancho
b1  b2  , desde la superficie libre al piso del canal; la
segunda corresponde a la cara vertical del escalón con ancho
b2 y altura z .
Imagen 1. Contracción brusca con escalón ascendente en
un canal rectangular.
El tirante yi es difícil de conocer si no se hacen experimentos
o se establece alguna hipótesis para valuarlo que se corrige
también por experimentos. Si se considera yi  y1 y se
sustituye Pi
se obtiene:
g
pasándola al lado izquierdo de la ecuación 2;
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Q2
1
1
1
  1  Ci  b1 y12  Ci b2 y12  Ci b2  2 y1  z  z 
g b1 y1 2
2
2

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2
Q
1
 b2 y 22
g b2 y 2
2
Al aceptar
2 b1 y1
b22 y23
que Ci  1 ,
(4)
1 Ci  0
y al multiplicar por
, se obtiene
2Q2
g b22 y 23
2
 y
b1 y1   y1 
z  z

  2 1 

 y
b2 y 2   y 2 
y 2  y 2
2


 Ci
 2Q

1
 g b2 y3
 2 2
2
2
2
2

y  
b 
y 2  b1 2
z 
2
F1  Ci  1     2    2  1  F12
y1  b2
y1 

 y1  
 b2 

La expresión 6 permite el cálculo inverso antes propuesto. Las
ecuaciones 5 y 6, proceden del mismo principio del
momentum, ecuación 2, pero la ecuación 6 puede no tener
solución, ya que el tirante decrece en la dirección en que se
efectúa el cálculo y el tirante en la sección 2 es mayor o igual
al tirante crítico de la misma sección 2, es decir, y2  yc 2 . El
coeficiente Ci corrige la suposición de que yi  y1 , así como
el efecto de las separaciones del flujo en las aristas marcadas
en la imagen 1.




 b1 y1

 b2 y 2

(cercano a 1) para el coeficiente de corrección de la fuerza P1 .
PÉRDIDA DE ENERGÍA
Q
b2 y2 g y2
y el desarrollo:
2
Conocidas las condiciones del flujo antes y después de la
contracción, la pérdida local se obtiene de la ecuación de la
energía, aplicada entre las secciones 1 y 2 en la forma
 y1 z 
y   y
z  z

   1    2 1 


, se obtiene
y
y
y
y
y2  y2
2
2
 2
 2 
2

 y
y1 
z  
b
  2 2 F22
2 F22  1  Ci  1 


y2
y2 
b1
 y2


(5)
la transición, y2  yc ,  F2  1  es el límite para que se
mantenga régimen subcrítico en toda ella.
Cuando se conocen las condiciones del flujo aguas arriba de la
transición y se desea calcular y2 se sigue un desarrollo
similar que empieza aceptando Ci  1 , después se multiplica
2
2 y2
y se obtiene:
b2 y2
b1 Q 2 y 2
y
y
 Ci 2  Ci 2
2
3
b2 g b1 y1 y1
y1
y1
b
 2  1
 b2
2

y
Q2

  2

2 3
 g b1 y1
 y1




V12 
V 2
 z  y2  2 
2 g 
2 g 
hC  y1 
La ecuación 5 permite el cálculo de y1 en términos de y2 , F2
y la geometría de la contracción. Cuando no cambia el ancho
b
del canal pero existe escalón, es suficiente hacer 2  1 y
b1
cuando hay cambio en el ancho pero no existe escalón, basta
z
 0 . El caso extremo de flujo crítico aguas abajo de
hacer
y2
la ecuación 4 por
(6)
Los resultados de los experimentos de Domínguez (1974)
mostraron congruencia con los que se obtienen de las
ecuaciones 5 o 6, llegando a concluir el valor Ci  0.95
Con el número de Froude en la sección 2, F2 
2
Siendo F1 el número de Froude antes de la transición, resulta
(7)
La pérdida de energía en la contracción y, en general, en
cualquier transición, suele expresarse mediante la ecuación
conocida de Hinds, que es
V 2  V 2 
1 
hC  kC  2


2g


(8)
donde k C es coeficientes de pérdida que debe obtenerse
experimentalmente al medir las variables características del
flujo antes y después de la transición.
Ocampo (2006) obtuvo una expresión con parámetros
adimensional para valuar k C a partir del análisis del
momentum.
kC 
y1 F 22

y2
2
2
2
  z
F 22
 
  y 1 2
  2
2
2
y 2   b2  
  
y1   b1  

 y 2   b2

 
 y  b
 1  1
F 22
2
 
1  
 





(9)
También se llega a obtener la pérdida con expresión
convencional

z  z
2



y1  y1

hC  K C
V2 2
2g
(10)
3
donde K C es un coeficientes de pérdida obtenido también
experimentalmente al medir las variables características del
flujo antes y después de la transición.
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La ecuación 10 se utiliza en la ecuación de la energía cuando
no es posible aplicar el principio del momentum por la
dificultad de determinar las fuerzas sobre las paredes y fondo
de la transición. Si esta ecuación es para un coeficiente de
pérdida afectado únicamente por la carga de velocidad aguas
abajo de la contracción, que es la forma de valuar la pérdida
por contracción brusca en conductos cerrados, es
perfectamente aplicable a canales abiertos.
Al igualar las ecuaciones 8 y 10 y despejar K C y sustituyendo
la ecuación 9 se obtiene:

1
K C  k c 1 
  y1 y 2 2

 b2

b
 1




2



[10]
Imagen 2b). Variación del coeficiente K C con relación al
número de Froude y b2 / b1  0.75 .
Para obtener la variación del coeficiente
K C se propusieron
valores de b2 b1 y z y2 fijos, se fue variando F 2 en el
intervalo subcrítico y se obtuvieron y1 y2 con la ecuación 5
para Ci =0.95 y K C con la ecuación 10.
La imagen 2 muestra diagramas que relacionan las variables
 z b2
,
, F2 y kC .
y 2 b1
La serie de imágenes 2a) b), c), d) y 2e), muestran la variación
del coeficiente K C con relación al número de Froude para
diferentes relaciones de ancho b2 / b1  0.5 y de altura de
escalón  z / y 2
Imagen 2a). Variación del coeficiente K C con relación al
número de Froude b2 / b1  0.5 .
Imagen 2c). Variación del coeficiente K C con relación al
número de Froude b2 / b1  0.8 .
Imagen 2d). Variación del coeficiente K C con relación al
número de Froude b2 / b1  0.9 .
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abajo de la transición así como la magnitud de la pérdida de
energía que se produce por la conversión de la velocidad.
Los resultados del coeficiente de pérdida de energía
correspondiente se han presentado en diagramas
adimensionales para facilitar su aplicación.
REFERENCIAS
DOMÍNGUEZ F. J., Hidráulica, Facultad de Ciencias Físicas
y Matemáticas, Universidad de Chile, Editorial Universitaria,
Cuarta Edición, 1974, 740pp
SOTELO A. G., Hidráulica de canales, Facultad de Ingeniería
UNAM, México, 2002. 836pp.
Imagen 2e). Variación del coeficiente K C con relación al
número de Froude b2 / b1  1.0 .
En la imagen 3 se presenta un diagrama adimensional que
muestra la variación de la relación de tirantes y1/y2 para con
relación al número de Froude para diferentes relaciones de
b2 / b1 y para diferentes relaciones  z / y2 lo que resulta de
gran ayuda cuando se desea diseñar este tipo de transiciones
en canales.
Imagen 3. Variación de los tirantes y1/y2 con relación al
número de Froude para diferentes relaciones de b2 / b1 y
 z / y2 .
En la imagen 3, para cada uno de los grupos de curvas z/y2,
la variación de b2/b1 es desde 0.5 para la curva superior, hasta
1 para la curva inferior.
CONCLUSIONES
Se ha presentado un coeficiente de pérdida por contracción en
una reducción brusca combinada con escalón positivo,
afectado sólo por la carga de velocidad aguas abajo de este
tipo de transición en flujo subcrítico.
El tratamiento teórico se basó en la aplicación de los
principios de continuidad, energía y momentum, los cuales
permitieron determinar la relación de tirantes aguas arriba y
OCAMPO G. N., Transiciones a superficie libre en régimen
subcrítico, Tesis, Programa de Maestría de la Universidad
Nacional Autónoma de México, México, 2005.
OCAMPO G. N., Análisis de la contracción brusca en un
canal rectangular mediante la aplicación de los principios del
momentum y energía. Memorias del XIX Congreso Nacional
de Hidráulica Cuernavaca Morelos, México, 2006