1. Educación

El trabajo matemático en la escuela
El tipo de trabajo que se realice en la escuela influirá fuertemente en la relación que cada
persona construya con la matemática, de él dependerá que alguien se sienta capaz o no de aprenderla.
Aprender qué hacer pero no para qué hacerlo ni en qué circunstancia resulta insuficiente en el
momento en que se trata de usar los conocimientos para resolver situaciones diferentes de aquellas en
las que se aprendieron. Así mismo trabajar sólo resolviendo problemas sin explicar o fundamentar
“matemáticamente” también es insuficiente.
Cómo se hace matemática en el aula define, al mismo tiempo, qué matemática se hace y “para
qué” y “y para quiénes” se la enseña.
¿Qué matemática se
hace?
¿Para qué se enseña?
¿Cómo se hace
matemática en el aula?
¿Para quiénes se
enseña?
Se debe intentar que los alumnos entren en el juego matemático, es decir que produzcan
conocimientos nuevos para ellos frente a los problemas y debatan paravalidarlos. Luego con la
intervención del maestro los reconocerán como conocimientos que forman parte de la matemática.
Desde este enfoque
¿Qué requiere saber
matemática?
Requiere dominar los conocimientos de esta disciplina para utilizarlos como instrumentos en la
resolución de problemas; para definirlos y reconocerlos como objetos de la cultura.
Es necesario diseñar actividades que den lugar a diferentes tipos de tareas, que prioricen:
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


La resolución
La comunicación oral y escrita
La justificación
La formulación de preguntas
Selección de problemas
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Al seleccionar problemas se realiza un recorte entre muchos posibles respecto de una colección
más amplia cuyo estudio demandará varios años de escolaridad. Cuando se precisan los criterios de
recorte se da lugar a la explicitación del propósito particular que orienta un nivel, un ciclo, un año, una
unidad de trabajo.
Es importante tener en cuenta que deben incluirse también aquellos problemas que permitan
analizar los límites de la noción en estudio, problemas en los que la noción estudiada no funciona como
instrumento de resolución.
“Un concepto no puede ser reducido a su definición, al menos si se está interesado en su
aprendizaje y enseñanza. A través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver es
como un concepto adquiere sentido para el niño”(Vergnaud)
Los documentos curriculares plantean como actividad principal de la clase de matemática la
resolución de problemas y la reflexión sobre la misma.
¿Qué prácticas docentes favorecen esta actividad?
La elección de problemas desafiantes pero adecuados a los conocimientos de los alumnos
Una particular gestión de la clase.
Algunos criterios a tener en cuenta al elegir los problemas
 La posibilidad de dominar una noción matemática con suficiente nivel de generalidad como
para poder utilizarla en distintas situaciones dependerá de que la variedad de problemas considerados
al estudiarla sea representativa de la diversidad de contextos de uso, de significados y de
representaciones asociados a la noción.
 La noción que se quiere enseñar surja como una “herramienta necesaria” para resolver el
problema y no como una definición que hay que aplicar. La presentación de la información no debe
fomentar ideas estereotipadas acerca de los modos de resolución.
 Cada actividad constituye un problema matemático en la medida que involucra un enigma, un
desafío a sus conocimientos matemáticos.
 Para atender a la heterogeneidad respecto de sus conocimientos iniciales y dar a todos la
posibilidad de construir una solución es necesario plantear buenas preguntas, confiar en que todos
pueden responderlas de algún modo, admitir diferentes procedimientos y, luego, trabajar con los
conocimientos que surjan para avanzar hacia los que se quiere enseñar por medio del planteo de nuevas
preguntas.
 No implica dejar de lado instancias tendientes a la consolidación de lo que se está
aprendiendo.

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En relación a los contextos
LOS CONTEXTOS
INTRAMATEMÁTICOS
EXTRAMATEMÁTICOS
Resolver cuentas es un trabajo en ese contexto que puede
apuntar a afianzar el dominio de una técnica o constituirse
en un buen problema. Para que se convierta en problema es
necesario que la actividad planteada sobre las cuentas
permita que se establezcan “nuevas relaciones” o se
descubran “nuevos conceptos” y no se trate sólo de
ejercitar “una sucesión fija de pasos”.
Incluye los de la vida cotidiana, los ligados a la información
que aparece en los medios de comunicación y los de otras
disciplinas.
Los contextos tienen que ser significativos para los alumnos,
es decir implicar un desafío que puedan resolver en el marco
de sus posibilidades cognitivas y sus experiencias sociales y
culturales previas.
Al elegir los contextos es importante revisar que las preguntas
tengan sentido en sí mismas que aludan a problemas reales o
verosímiles. Lo que se pregunta debe tener sentido.
Tres chicos pensaron el cálculo 420 x 39 de las
siguientes formas:
Leé el siguiente mapa de ruta y después contestá a las
preguntas
420 x 40 - 420
420 x 13 x 3
42 x 4 x 100 – 420
Sin hacer los cálculos respondé:
¿S
e obtiene el mismo resultado en los tres casos?
¿C
ómo lo pensó cada uno?
¿Q
ué propiedad permite a cada uno plantear el cálculo
de esa forma?
- Qué distancia hay entre Bariloche y Calafate?
- Si Gabi arregla para encontrarse con un amigo en la estación
de servicio que queda a la mitad del camino entre Bariloche y
Esquel ¿cuántos km tiene que hacer desde Bs As para
encontrarse con su amigo?
EL JUEGO
Habilita a que los alumnos hagan matemática ya que los invita a elaborar estrategias propias, discutan con sus pares,
expliquen sus ideas, den razones de sus procedimientos y resultados, confronten sus producciones con las de otros y
acepten críticas y otros puntos de vista.
Es importante que luego del juego se realicen partidas simuladas y otras intramatemáticas para descontextualizar el
juego y arribar a conclusiones matemáticas
El docente como mediador
Desde un enfoque constructivista, hace mucho ya que no se piensa el lugar del maestro como el
de alguien que sólo “acompaña los descubrimientos de los niños”.
Reflexionemos….
¿Cómo es esa intervención que plantea al alumno un problema para que
“resuelva por sí mismo”?
¿Qué recaudos tener al presentar el problema a los alumnos?
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¿Cómointervenir de forma de no resolver por el alumno,pero sí darle pistas para que entreen la tarea de
resolver?
¿Qué dificultades pueden aparecer en la gestión del momentoen que se quiere hacer circular en la clase el
conocimiento producido en cada grupo,comparar las distintas resoluciones y formular una síntesis
significativa para todos losalumnos y adecuada en términos del saber al que apuntó la clase?
Veamos algunas estrategias intentan dar respuesta a preguntas que formulan los maestros.

¿Qué alternativas se pueden pensar para plantear la consigna?
Una cuestión central al presentar el problema es que los alumnos “entren” en él y se “hagan
cargo” de su resolución.
Una alternativa es que cada alumno lea la consigna de manera individual y luego el docente
pregunte si alguien no entendió. A partir de la cantidad de dudas que surjan, verá si es necesario
explicarla para todos, o reunir solamente a los que no la entendieron, mientras los otros empiezan a
trabajar. Si hay muchos que no entendieron, se podría pedir a un alumno que explicara en qué consiste
la actividad, con la aclaración de que no hay que decir “cómo se resuelve”, sino contar “qué dice el
enunciado”.
Lo fundamental al dar la consigna, es que el maestro no dé pistas de “lo que conviene hacer”,
para no validar ningún procedimiento en voz alta.
En cambio, sí podrán plantear reglas del trabajo en el aula, como “cada uno piense cómo
resolver, recuerden que hay distintas formas de hacerlo”, o “anoten en las hojas para que después
entendamos cómo lo pensaron.”
Así, estas reglas irán formando parte del nuevo contrato didáctico, en el que el alumno esperará
que el docente le presente situaciones que pueda resolver solo y luego tenga que “explicar cómo lo hizo
y por qué”, sabiendo que cada solución, errónea o no, será de igual valor para el maestro cuando el foco
esté puesto en que todos produzcan soluciones.
Si se trata de un juego, el docente puede presentarlo con una explicación general a la clase y
jugando con un alumno para que todos observen cómo se hace.
En estos casos, no es necesario terminar la partida, ya que una vez entendida la dinámica del
juego, es posible reconocer “quién gana”. Si el juego es simple, es conveniente plantear la lectura del
instructivo y que comiencen a jugar. Cuando se trata de un juego ya conocido, pero con un cambio del
material o de las reglas, el docente puede solamente señalar estas diferencias.
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
¿Qué alternativas se podrían plantear para la organización del grupo?
La forma de organizar el grupo se vincula con la decisión didáctica respecto de las interacciones
que se pretenden establecer y cómo maximizar los intercambios entre de cada alumno con el “medio”, el
problema y sus pares.
La interacción con los pares favorece la confrontación y el intercambio entre diferentes
perspectivas, diferentes formas de interpretar el problema, y la comunicación de procedimientos y
resultados entre los integrantes. En este intercambio es importante tener en cuenta que las primeras
respuestas de unos alumnos pueden funcionar como punto de apoyo para otros, es decir, que algunos
niños tengan en cuenta el problema y también las primeras respuestas dadas por sus compañeros. De
esta manera, se fomenta la descentración y la coordinación de distintos puntos de vista. El trabajo en
pequeños grupos ofrece mayores posibilidades de interacción, ya que en ese interjuego, a partir de
errores y sucesivas reconstrucciones, se arriba a mejores resultados.
Cabe destacar que en el trabajo grupal a veces los alumnos pueden asumir diferentes roles. Por
ejemplo, mientras algunos participan de un juego, otro es el encargado de registrar las respuestas, o bien
de “cantar” mientras otros marcan en sus tableros. Se trata de reconocer que, en cada rol se realiza una
actividad matemática diferente, y, por lo tanto, convendrá ir alternando los roles entre los integrantes de
los equipos.
Si bien a veces los grupos se forman espontáneamente, en ciertas ocasiones la decisión debe ser
tomada por el maestro. Los grupos más heterogéneos pueden ser fértiles, por ejemplo, para que
aparezcan variados procedimientos.
Otro tema a pensar es el de la cantidad de niños por grupo. Si bien no se trata de dar normas
generales -pues el criterio para decidir depende de cada situación-, es importante que cada alumno no
tenga que esperar mucho para intervenir, porque esto da lugar a la desconexión con la tarea.

¿Cómo seleccionar los materiales necesarios para la realización de la propuesta, qué
uso darles y cómo repartirlos?
En el caso de que sea necesario, se aconseja utilizar un material que complemente el enunciado.
La selección del material no será un tema menor, pues determinará los conocimientos que se pondrán
en juego en los procedimientos que realizarán los alumnos. La elección de utilizar o no materiales como
parte del problema y, en caso de que se decida utilizarlos, sus características, dan lugar al empleo de
diferentes conocimientos. Y, por ello, también a diferentes aprendizajes. Esto constituye una variable
didáctica del problema.
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La producción de soluciones, la validación
Una vez iniciada la clase, ¿Qué papel jugarán los alumnos, el docente y los materiales?, ¿Qué
interacciones se pueden producir a propósito del conocimiento en juego?, ¿Qué características de la
situación y de su gestión en el aula posibilitan estas interacciones? ¿Cómo sostener desde el maestro la
“devolución” durante la resolución?
 ¿Qué tipo de intervenciones en la producción de soluciones?
Según venimos planteando, la intención es que los alumnos produzcan soluciones propias; no se
trata de que busquen una respuesta para atender al deseo del docente, como una obligación impuesta
arbitrariamente desde afuera. Se trata de que “entren en el juego”, vivencien la situación y se involucren
en una búsqueda propia de una solución que a ellos les parezca adecuada. Una vez involucrados, podrán
iniciar una resolución y controlar si han llegado a una conclusión que responde la pregunta planteada.
Mientras los alumnos están enfrentando estas situaciones -desarrollando verdadera “actividad
matemática”-, son diversas las posibles intervenciones de los docentes. Esto nos lleva a pensar: ¿qué
hace el docente mientras circula? Puede releer y explicar el enunciado a un chico o grupo de chicos que
no hayan comenzado la tarea o se hayan detenido, para aclararles las dudas. Si algunos están
“bloqueados”, puede sugerirles cómo empezar a hacer algo, por ejemplo, animándolos a realizar un
dibujo o recordándoles lo realizado en alguna actividad anterior relacionada con esa.
Asimismo el docente buscará animar a los alumnos a preguntarse ¿Cómo pensaron su respuesta?
¿Pueden asegurar que es adecuada? ¿Por qué? ¿Qué razones pueden ofrecer? Se trata de que cada
alumno, o cada grupo si han trabajado con esa organización, pueda pensar y explicitar argumentos que
apoyen su trabajo.
El debate sobre las producciones y las conclusiones matemáticas
 ¿Qué preguntas podrían orientar el análisis de las producciones?
La descripción y explicitación de lo sucedido durante la resolución permite hacer circular los
conocimientos en forma pública en la clase, identificar los conocimientos utilizados y vincularlos con
otros anteriores, y relacionar el conocimiento de esas producciones con los se esperaba ver aparecer,
aquellos a los que apuntó la clase: los objetos de enseñanza.
La puesta en común implica también la organización y conducción de un debate. Es tal vez este
momento el más difícil para el docente. Se trata de crear un espacio de intercambio donde además de la
explicitar lo producido habrá que discutir sobre su validez para obtener conclusiones a propósito de lo
realizado avanzando hacia la descontextualización del contenido.
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 ¿Cuáles serían, en general, “buenas intervenciones del docente”? y ¿Qué actitud
debería asumir para organizar el intercambio?
En principio, podemos decir que buenas intervenciones serían aquellas que ayudaran a hacer
explícito lo implícito y a establecer relaciones entre las diversas producciones.
Por ejemplo, ¿Cómo creen que pensó?, ¿Por qué creen que…?,¿Dónde encuentran… en ese
procedimiento?
La organización del intercambio debe procurar el debate entre diferentes puntos de vista de los
alumnos, dar lugar a que expliquen cómo lo pensaron, a que pregunten a otro cómo lo hizo o por qué lo
hizo de tal modo. Debe, además promover el diálogo entre ellos, de manera que dirijan la explicación a
sus compañeros y no solo a sí mismo, y que no consideren el error como ausencia de conocimiento. Es
conveniente que el docente no valore los procedimientos en términos de mejor o peor.
Con relación a los alumnos, podemos esperar que se involucren en la discusión, expliciten cómo
pensaron y avancen en la necesidad de validar lo producido, que se preocupen por hacerse entender y
convencer a sus interlocutores y no solo al docente, que no sientan la necesidad de esconder el error por
temor a las posibles burlas de sus compañeros.
 ¿Cómo y por qué arribar a conclusiones y a una sistematización de los conocimientos?
(Institucionalizaciones)
Realizar esta síntesis no es una tarea sencilla. En algunos casos, el docente propone a la clase una
conclusión que implica un “salto” respecto de los conocimientos que muchos alumnos utilizaron en sus
resoluciones. Esto no les permite establecer relaciones entre lo trabajado y lo nuevo.
Realizar una síntesis y registrarla, preguntar para obtener sistematizaciones, son oportunidades
de dejar establecido en la clase, qué conocimientos se han aprendido, con cuál representación, bajo qué
formulación, cómo se relacionan entre sí. Es una manera de indicar, de dejar establecido que ellos
pueden ser reutilizados.
No se trata de pensar en la institucionalización como un momento que ocurre al final de la clase,
sino como aquellas instancias en las que el docente se refiere al saber culturalmente reconocido (a los
objetos matemáticos tal como se conocen en la ciencia), en el que el conocimiento pasa a ser “aquello
que habrá que recordar afuturo”. Podrán hacerse institucionalizaciones parciales, o bien -si la resolución
llevó más tiempo que el esperado- podrá plantearse al comienzo de la clase siguiente. Esos nuevos
conocimientos, considerados “oficiales” por parte de ese grupo de alumnos, se convertirán en
conocimientos de base para nuevas situaciones.
BIBLIOGRAFÍA: Graciela Chemello, Mónica Agrasar, Silvia Chara y AnalíaCrippa (Equipo Áreas curriculares
del Ministerio de Educación) Clases varias, ciclo formativo Plan Matemática para Todos (2012-2013)
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