1. Educación

C´omo obtener curvas con formas predeterminadas a partir de
circunferencias
M.J. de la Puente*
1 de diciembre de 2009
Una mirada atenta a nuestro alrededor nos revela que vivimos en un mundo poblado de curvas. En
los fen´
omenos naturales aparecen curvas de distinta ´ındole: se forman circunferencias conc´entricas al
arrojar una piedra a una masa de agua en calma,
las ´
orbitas planetarias son elipses y las caracolas
son espirales. El arco iris, de delicados colores, es
otro ejemplo fascinante de arco de curva. Vemos
curvas en la ciudad: un chorro de agua que surge
con una cierta inclinaci´
on describe una par´
abola,
una cadena o un cable que cuelga de dos puntos
colocados a la misma altura dibuja una catenaria,
el reflector sobre el borde de una rueda de bicicleta
describe una cicloide, el espir´
ografo no traza espirales sino hermosas trocoides (por lo que, m´as bien,
deber´ıa llamarse trocoid´
ografo). En la ciencias f´ısica nos topamos con m´
as curvas: la braquist´
ocrona
(o curva de descenso m´
as r´
apido), la taut´
ocrona (o
curva en la que el tiempo de ca´ıda a su punto m´as
bajo no depende del punto inicial), las curvas de
los problemas predador–presa, etc. Tambi´en abundan las curvas en las ciencias sociales. En este caso
se trata de las gr´
aficas de las distribuciones de las
variables aleatorias, siendo la campana de Gauss 1
la m´
as habitual. No nos debe extra˜
nar la ubicuidad
de las curvas pues, como dec´ıa Galileo2 , “el Universo est´
a escrito en lenguaje matem´
atico, siendo
las letras tri´
angulos, circunferencias y otras figuras
geom´etricas . . .”
El atractivo de ciertas curvas hace que sean usadas como marcas, en publicidad: tres elipses tan-
Figura 1: Coordenadas cartesianas del punto P .
Figura 2: Circunferencia x2 + y 2 − 1 = 0.
gentes en Toyota y una en Hyundai, una par´abola en Thyssen o tres circunferencias secantes en
Krupp. Por otro lado, hacemos uso pr´actico de algunas curvas, por sus propiedades. As´ı, la manguera de un extintor de incendios o una cinta cassette
est´an enrolladas en espiral y el perfil de un tornillo,
un solenoide o un cable antiguo de tel´efono tienen
forma de h´elice.
Sin duda alguna, la circunferencia es, tras la recta, la curva m´as elemental. Bastan un punto, llamado centro, y una cantidad positiva, llamada radio,
para describirla. Sabemos que la circunferencia C de
centro O y radio uno es el conjunto de los puntos
P del plano que distan de O una unidad.
Si dotamos al plano de un sistema cartesiano3 de
coordenadas, ver figura ??, y hacemos que O coincida con el origen de coordenadas (0, 0), entonces C
ser´a el conjunto de los puntos P (x, y) que satisfacen la igualdad x2 + y 2 = 1, ver figura ??. Elevando ambos miembros de la igualdad al cuadrado
y pasando todos los t´erminos al primer miembro,
obtenemos una condici´on equivalente
x2 + y 2 − 1 = 0.
(1)
Como las coordenadas (x, y) de los puntos de C
satisfacen la relaci´on algebraica (??), diremos que
la circunferencia es una curva algebraica. No debemos creer que todas las curvas mencionadas m´
as
arriba son algebraicas: por ejemplo, la cicloide, la
* Departamento
de Algebra, Facultad de Matem´
aticas,
Universidad Complutense, 28040–Madrid. Con el apoyo del
proyecto UCM 910444.
1 Carl Friedrich Gauss (1877–1855). Matem´
atico y f´ısico
alem´
an, de vast´ısima, profunda y muy influyente obra.
2 Galileo Galilei (1564–1642). Cient´
ıfico italiano que formul´
o la ley de ca´ıda de los cuerpos, construy´
o el primer
telescopio y defendi´
o la teor´ıa helioc´
entrica.
3 Ren´
e Descartes (1596–1650). Fil´
osofo franc´
es, a quien
debemos la idea de aplicar el a
´lgebra a la geometr´ıa.
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