1. Educación

INDAGAR Y PERSUADIR,… ¿CÓMO CONVENCERNOS Y CONVENCER?
Ana María Mántica, Ana Laura Carbó, Marcela Götte
[email protected], [email protected], [email protected]
Facultad de Humanidades y Ciencias. UNL. Argentina
Comunicación breve
Nivel medio
Pensamiento geométrico
Palabras claves: validar, indagar, persuadir, desigualdad triangular
En el trabajo se analiza lo realizado por los alumnos de primer año de una escuela
pública de Santa Fe al resolver una actividad cuyo objetivo es enunciar la desigualdad
triangular. Lo que se estudia es el tratamiento que los alumnos hacen con los objetos
geométricos y el uso de las formas del trabajo matemático que emplean para formular y
validar propiedades. Validar propiedades conlleva a indagar y persuadir, entendiendo
por indagar: proceso que un individuo emplea para eliminar sus propias dudas sobre la
veracidad de una información y por persuadir: proceso que un individuo emplea para
eliminar las dudas de otros sobre la veracidad de una información. Observamos que
estos alumnos para eliminar sus dudas y las dudas de otros sobre la veracidad de una
información se basan en lo que puede “verse” en un dibujo y no ven la necesidad de
encontrar otros elementos para argumentar.
I. Introducción
En la propuesta se plantean actividades, con el propósito que los alumnos enuncien la
propiedad triangular, teniendo en cuenta la importancia de presentar problemas donde se
realice un trabajo exploratorio previo y luego se elabore la conjetura. Consideramos que
la formulación de conjeturas pone en funcionamiento relaciones más complejas que la
prueba de una propiedad en la que se menciona la cuestión a demostrar, dado que en
muchos casos el alumno toma el enunciado como obvio.
La propuesta didáctica planteada tiene como antecedentes distintos trabajos realizados
por el grupo, Mántica, Carbó (2007), Mántica y Carbó (2009), Mántica y Carbó (2011).
Se lleva a cabo en un primer año de una escuela de la ciudad de Santa Fe en dos clases
de matemática consecutivas, una de tres y otra de dos horas cátedras. Nos parece
importante destacar algunas características del grupo, como por ejemplo que no están
familiarizados con propuestas en las que tienen que producir conceptos geométricos y
en las puestas en común tienen dificultades para escuchar e interpelar las afirmaciones
de los demás. Esto resulta de especial interés, dado que en este trabajo se pretende
analizar la producción de conjeturas y el modo de validar que tienen los alumnos.
Broitman e Itzcovich (2008; p. 41) consideran que “tanto en el momento de presentar
una demostración como en el de gestionar la producción de demostraciones en la clase
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por parte de los alumnos, surgen numerosos interrogantes producto de tener que
considerar las posibilidades de sus alumnos simultáneamente con una manera de
desplegar el conocimiento matemático en la clase que resulte satisfactoria desde el
punto de vista de sus propias exigencias de rigor”. Se trata de que los alumnos
expliquen por qué valen ciertas propiedades más allá de lo “visible”.
En el análisis se pretende ver cómo sostienen lo que afirman los alumnos y qué
consideran como necesario para aceptar la validez de lo que sus compañeros enuncian.
Consideramos esto prioritario dado que son las propiedades las que permiten determinar
el número de soluciones de la situación planteada.
II. Antecedentes consultados
En función del análisis que se pretende realizar explicitaremos lo estudiado por algunos
autores que abordan la temática de producir y validar relaciones.
Villella (2001) sostiene que, en la clase de geometría, habitualmente, “… el uso de la
demostración para justificar la validez de una propiedad, suele ser confundida por los
alumnos y también por algunos docentes, con la enunciación o la representación gráfica
de ejemplos que la verifican” (186). Consideramos que aprender geometría no consiste
únicamente en aprender definiciones, representaciones, clasificaciones de figuras y
construcciones, sino también en la forma de organizar la información para que, por
medio de la utilización de la lógica, pueda arribarse a la determinación de la verdad o
falsedad de las proposiciones analizadas. El autor sostiene que, aprender geometría en
la escuela secundaria es un proceso que busca caracterizar el espacio, mediante
propiedades formalmente validadas, a partir de la exploración del mismo.
Itzcovich (2005) afirma que, “…las situaciones que se propongan a los alumnos con la
finalidad de indagar, identificar o reconocer propiedades de las figuras deben impactar
en procesos intelectuales que permitan hacer explícitas las características y propiedades
de los objetos geométricos, más allá de los dibujos que utilicen para representar dichas
figuras” (18). De este modo, entendemos la importancia de que tanto el docente como
los alumnos tengan en cuenta la utilidad de la construcción de una figura para explorar
sus propiedades, aunque no para realizar generalizaciones a otras distintas a ella.
Una cuestión importante a tener en cuenta, es que el trabajo en geometría es un ida y
vuelta constante entre el texto y el dibujo, lo que puede facilitar, en algunos casos su
comprensión, o dificultarla si no se es capaz de interpretar a dicho dibujo como un
representante de una clase ignorando las características particulares del mismo.
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Berthelot y Salin (1993/94) denominan “espacio - geométrico” a los conocimientos
surgidos del saber geométrico y puestos en juego en la resolución de ciertos problemas
del espacio. Los problemas espaciales cuya finalidad concierne al espacio sensible
pueden referirse a la realización de acciones o de comunicaciones, a propósito de
acciones o de comprobaciones, es decir que el modo de determinar la validez de los
resultados no necesita respetar las reglas del trabajo geométrico y en su mayoría son de
naturaleza empírica. Los problemas de geometría ponen en interacción a un sujeto
matemático con un medio que ya no es el espacio sensible y sus objetos, sino un
espacio conceptualizado, la validez de sus declaraciones ya no es establecida
empíricamente, sino que se apoya en razonamientos que obedecen a las reglas del
debate matemático por lo que precisarán para su adquisición de un marco institucional
con intencionalidad didáctica.
Para un profesor de matemática lo importante son los conocimientos del espacio
geométrico es decir, la teoría independientemente de la forma. “Para el profesor el
rectángulo es un concepto, para el alumno un dibujo. La diferencia es fundamental”
(Berté 2000,116). El rectángulo se puede representar con un dibujo, con una soga, con
papel, etc. pero estas representaciones no son un rectángulo.
Schwarz y Hershkowitz (1999) sostienen que en geometría se utilizan ejemplos
prototípicos. Consideran que los prototipos son los miembros de una categoría que
tienen un conjunto de características más altamente correlacionadas con las
características de otros miembros. Estos investigadores demostraron que los ejemplos
prototípicos son usados como “puntos de referencia cognitivos” para la formación y el
juicio que concierne a miembros de otros ejemplos en la categoría. Se hace un uso
asimétrico de la distancia entre el prototipo y otros ejemplos de la categoría, esto es, el
ejemplo es juzgado de acuerdo a su distancia al prototipo. Su uso puede ser tanto
beneficioso como ir en detrimento dependiendo de si los prototipos son usados como
marco de referencia para el juicio de otros ejemplos.
III. Análisis de la implementación de la actividad
El objetivo de un trabajo cuya la finalidad es la validación a partir de la construcción es
que los alumnos estén en presencia de una tarea exploratoria, de ensayos y errores, de
ajustes, de explicar lo que ocurre y de poder dar respuestas a las preguntas planteadas.
Consideramos que debe dejarse claro que una construcción no permite enunciar una
propiedad general sino que admite avanzar en la búsqueda de argumentos que validan
estas afirmaciones, “…la determinación de la unicidad, existencia o infinitud de
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construcciones requiere de la explicitación de relaciones entre datos mediante ciertas
propiedades que exceden las experiencias de dibujar” (Itzcovich, 2005: 32).
El análisis previo a la implementación puede verse en Mantica, Carbó (2009). Los
enunciados de las actividades se encuentran en el anexo.
Análisis de las respuestas de los alumnos:
Respecto del problema 1, el primer inconveniente que se presenta es el de trabajar con
regla no graduada. Los alumnos desconocen el uso de esta expresión, considerando el
uso de la regla como imprescindible para medir. La docente gestiona la clase de modo
que los alumnos adopten el compás como instrumento de medición de segmentos.
En general los grupos consideran que con los segmentos dados pueden construirse más
de un triángulo. Tres grupos de cinco afirman que se pueden construir dos, los
triángulos construidos son isósceles tomando uno de los segmentos dados como el lado
desigual y el otro segmento como cada uno de los lados iguales, presentándose de este
modo la figura prototípica de triángulo como sostienen Schwarz y Hershkowitz (1999)
En un grupo, uno de los integrantes afirma que puede construir tres porque toma dos
triángulos iguales pero en distinta posición. Un grupo dice que “se pueden construir
muchos triángulos porque se pueden poner de muchas maneras distintas”. Como
sostienen Berthelot y Salin (1993/94) un problema geométrico debe poner a los alumnos
en interacción con los objetos del espacio matemático, en este caso la validez de sus
declaraciones es establecida empíricamente, no logran trabajar en el espacio geométrico,
lo hacen en el espacio sensible.
Otro grupo afirma que se pueden construir 24 triángulos. Diálogo
Matías: Puse que se pueden construir 24, porque siempre la línea más larga la pones así y la más corta
la vas poniendo así y la vas corriendo así hasta que ya no podés …Se interrumpe la clase y la profesora
retoma la idea
P: Si utilizo el mayor en primer lugar ¿qué hago con el menor?
Matías: Lo pones para allá y después lo vas poniendo así (coloca el lado de mayor longitud en forma
horizontal y desplazando la regla como si fuera el brazo de un compás, indica las posibles posiciones que
puede tomar el tercer vértice)
P: el decía, puedo ir haciendo esto (desplaza la regla), Entonces, ¿cuántos triángulos vos dirías que se
podrían armar?. M: 24
P: El dice 24, porque todo dependía de ¿cómo ubicaba esto? Matías, cuántas veces lo ubicaste así. M: 24
Después que todos los grupos presentan lo realizado, la profesora retoma lo expuesto
P: Escuchando todas las respuestas, ¿qué piensan ahora? ¿Cuántos triángulos creen que se podrían
construir?
Los alumnos responden todos juntos:“uno, dos, veinticuatro, infinitos…..”
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P: Estamos en la discusión de cuantos triángulos se podrían construir, ustedes dicen dos, infinitos y
Matías dice 24. P: Escuchemos a Juan
Juan: Como dijo Matías, si vos empezás desde acá (indicando uno de los extremos del segmento
graficado) podes hacer infinitos triángulos, porque no vas a terminar más (desplaza la regla), podes
seguir así y vas a tener diferentes triángulos. ¿No es cierto?
Si bien los alumnos pueden establecer conjeturas y formular propiedades a partir de la
actividad planteada, no logran encontrar otro modo de validar su afirmación que no sea
a partir del dibujo. La “demostración” es simplemente una constatación empírica, como
sostiene Itzcovich (2005) “se apoyan en una cierta “manipulación” del triángulo de
manera tal de obtener el resultado esperado. Este modo de proceder trae aparejada la
posibilidad de que el resultado obtenido sea “una casualidad” (45). A partir de esto la
docente junto con la clase concluye que con los dos segmentos dados pueden
construirse infinitos triángulos.
Respecto al problema 2, observamos que los cinco grupos sostienen que es posible
construir los triángulos para los casos a y b, pero no en el caso c.
En el caso b) manipulando la regla construyen el triángulo sin tener los datos adecuados
para poder hacerlo, tal como afirman Olaizola Arizmendi y Santos Trigos (2004) “para
hacer la construcción utilizan sólo la regla, lo que les lleva a concluir que es importante
saber colocar la regla para lograr la construcción” (17). Lo que los autores denominan
también “teoría del acomodamiento”.
Respecto del c) un grupo afirma: “Los dos segmentos más pequeños no se unen porque
el segmento mayor mide mucho. No siempre se logra que los segmentos se unan”. Otro
grupo afirma: “veníamos utilizando de base el segmento más largo pero concluimos que
no nos iba a servir, porque ni siquiera uniendo los otros dos juntos podemos llegar a la
medida. Entonces utilizamos el segundo segmento como
base, intentamos unir pero concluimos que no llega”. Otro
grupo realiza lo que se presenta en la figura, en este caso
consideramos que se genera un conflicto entre la intuición
y la racionalidad, como afirman Olaizola Arismendi y
Santos Trigo (2004), la experiencia debe ser cuestionada,
pero eso implica ir contra la intuición y dirimir un posible conflicto entre lo que se
experimenta y una cierta racionalidad. El grupo logra dibujar el triángulo aún teniendo
lados inadecuados para construirlo y afirma que ésta no es posible. Se evidencian
importantes obstáculos que deben superar los estudiantes, “desde un punto de vista
racional, la imposibilidad de la construcción del triángulo y al mismo tiempo, la
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posibilidad de lograrlo mediante su teoría del acomodamiento” (19). En general dibujan
el segmento mayor paralelo a los bordes de la hoja y lo consideran como base.
En la clase siguiente se retoma lo trabajado en la anterior, recordando que dados dos
segmentos pueden construirse infinitos triángulos, y dados tres segmentos no siempre
puede construirse un triangulo, dependiendo de las medidas. Es importante mencionar
que en ningún momento se hace referencia a que en el caso b) del problema 2 no es
posible construir el triángulo. A continuación la profesora les solicita que formen
grupos, en esta clase quedan conformados seis grupos. Se espera que al finalizar esta
actividad el docente institucionalice la desigualdad triangular
Respecto al problema 3, observamos que durante el trabajo en grupo un alumno dice:
“si tomo base tres no se puede construir, porque tienen que sumar un poquito más los
otros dos, pero si tomo base dos si se puede” (lo dibuja) el docente le pregunta qué pasa
en el último caso si da vuelta la hoja y le queda el “tres” como base, el alumno no
considera la pregunta del docente, y continúa su trabajo.
En la puesta en común se observa que: para el caso a1 solo un grupo
no puede construirlo y lo justifica haciendo el dibujo que se muestra
a la derecha. En otro grupo no se logra un acuerdo respecto de este
punto, algunos integrantes sostienen que puede construirse y otros que no.
El triángulo del caso a2 pueden construirlo todos los grupos. Para su justificación
algunos utilizan solo regla, y otros regla y compás.
En el caso a3 sólo un grupo afirma que no es posible
construirlo y dibuja el segmento de 8 cm y luego dos
arcos de circunferencia de radio 4 cm con centro en los
extremos del segmento, pero sí puede construir el a1.
Todos los grupos concluyen que el a4 no se puede construir, sólo un grupo, de seis,
considera que el gráfico no es suficiente para justificarlo y expresa: “porque, siempre
entre los dos segmentos más cortos tienen que medir un poquito más que el segmento
más largo”. El alumno a partir de la enunciación de la propiedad obtenida a través de un
ejemplo le da una validez general.
Consideramos oportuno distinguir los procedimientos de formulación de conjeturas y
constatación empírica, en cuanto el segundo implica la generalización o formalización
de un resultado a partir de mediciones realizadas en casos particulares. Como plantea
Itzcovich (2005), “Este modo de proceder trae aparejada la posibilidad de que el
resultado obtenido sea “una casualidad” (…) no hay nada que haga suponer que el
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resultado no hubiese podido ser otro. No se recurre a ninguna propiedad geométrica que
dé cuenta de la necesariedad del resultado obtenido, ni hay certeza geométrica de que
pudiera provenir de concatenar propiedades que permiten inferir tal resultado (45–46).
La docente señala que en las construcciones todos los grupos comenzaron dibujando el
lado de mayor longitud y plantea si no es posible comenzar con otro, algunos alumnos
dicen que sí pero señalan que el triángulo está rotado, es decir que los alumnos trabajan
en el espacio sensible, Salin (2004) señala que una característica de la enseñanza del
espacio y la geometría es “la de subestimar la dificultad en la adquisición de los
conocimientos espaciales, y dejar al alumno la responsabilidad de establecer las
relaciones adecuadas entre el espacio y los conceptos que se le enseñan”. (51).
Luego la docente retoma lo trabajado y hace notar a los alumnos que algunas veces
puede construirse un triángulo, dados tres segmentos y otras no.
P:¿Qué pasó con a1? ¿Por qué algunos grupos pudieron construirlo y otros no?.
A: …
P: Si uso la propiedad ¿Qué pasa?
A: Los otros dos tienen que sumar más que un lado.
P: Si pongo tres…
A: No se puede porque no suman más.
P: Si tomo 2…
A: Sí se puede porque suman más.
P: Definimos que se tiene que cumplir para cada lado.
Tal como afirma Villela (2001) en muchos casos la validez de una propiedad suele ser
tomada por alumnos y docentes simplemente a partir de su enunciación o la
representación gráfica de algunos ejemplos que la verifican, sin tener en cuenta que “la
“verdad matemática” de un enunciado se produce cuando ha sido deducido o
demostrado a partir de axiomas” (183).
IV. Algunas reflexiones
Podemos decir que los alumnos para indagar y para persuadir a otros sobre la validez de
una afirmación utilizan sólo un dibujo. Muy pocos utilizan otros argumentos, como el
enunciado de alguna relación entre los datos, lo que daría la impresión de que van más
allá de un dibujo. Esto hace suponer que los esquemas de demostración, como lo
denominan Sowder y Harel (1998), que utilizan estos alumnos para eliminar sus dudas
y las dudas de otros sobre la veracidad de una información se basan en lo que puede
“verse” en un dibujo. Los alumnos no ven la necesidad de encontrar otros elementos
para argumentar pero tampoco se ven estimulados por el docente para que esto sea así.
Es importante que el docente intervenga en los proceso de validación de los alumnos de
modo que logren “…desarrollar habilidades cognitivas tales como comparar, resumir,
observar, clasificar, interpretar, formular críticas, buscar suposiciones, imaginar, reunir
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y organizar datos, formular hipótesis, ubicarse en un dominio de ejecución y en un
ámbito de conocimientos propios de la geometría dentro del entramado de la
matemática y en función del currículum escolar…” (Itzcovich, 2005: 187).
Respecto de lo que representa un concepto geométrico para los alumnos y para el
docente Berte (2000), debe trabajarse de modo que se ayude al alumno a considerar al
concepto geométrico no sólo como un dibujo.
Puede verse en lo trabajado que los alumnos sostienen sus afirmaciones empíricamente,
no ven la necesidad de utilizar las “reglas del debate matemático”, es decir que trabajan
en lo que Berthelot y Salin (1993/94) denominan espacio sensible. Al enunciar la
propiedad el alumno se queda con la idea del dibujo particular realizado considerando
solo que un lado debe ser mayor que la suma de los otros dos.
Para que los alumnos se involucren en el trabajo de producción de demostraciones es
necesario que se apropien de ciertos recursos y técnicas que son propios de los procesos
de demostración en geometría. “Las técnicas van apareciendo en la medida en que
constituyen recursos posibles para enfrentar los problemas. […]La reflexión sobre las
demostraciones realizadas generará condiciones para que los alumnos vayan elaborando
su propia “caja de herramientas” y vayan enriqueciendo sus posibilidades de ganar
autonomía frente a la producción de demostraciones” (Itzcovich, 2005, p. 50).
V. BIBLIOGRAFIA
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ƒ Berthelot, R. y Salin, M-H (1993/94). La enseñanza de la geometría en la escuela Primaria. Grand N,
53, Grenoble. Traducido para el PTFD por Capdeville, Varela y Willsch 1994.
ƒ Broitman,C y Itzcovich, H. (2008I. La geometría como medio para “entrar en la racionalidad”. Una
secuencia para la enseñanza de triángulos en la escuela primaria. 12(ntes). Enseñar Matemática. Nivel
Inicial y Primario, 4, 55 - 85.
ƒ Itzcovich, H. (2005). Iniciación al estudio didáctico de la Geometría. De las construcciones a las
demostraciones. Buenos Aires: Libros del Zorzal.
ƒ Mántica, A. y Carbó, A. (2007). ¿Qué papel juegan las construcciones en el aprendizaje de los
conceptos geométricos? Actas del IENEM. Tandil
ƒ Mantica, A. Carbó,A. (2009) III REPEM “ Una propuesta para trabajar congruencia de triángulos en la
Escuela Secundaria, priorizando la validación” Publicado en Actas.
ƒ Mántica, A. y Carbó, A. (2011). Definiciones y propiedades de cuadriláteros en futuros docentes de
nivel inicial. Un estudio de casos. En La geometría en el triángulo de las bermudas. Reflexiones y aportes
para recuperarla en el aula. Pp. 67-86. Sta Fe: Ediciones UNL.
ƒ Olaizola Arismendi, I. y Santos Trigo, L (2004). Hacia una redefinición de la cultura matemática en el
salón de clases: argumentando la inexistencia de soluciones. Educación Matemática. 16 (001), 5-27.
ƒ Salin, M. (2004). La enseñanza del espacio y la geometría en la enseñanza elemental. En Números,
formas y volúmenes en el entorno del niño. Chamorro, M. Editora. 37-80. Colección Aulas de verano.
Edita Secretaria General y Técnica. Ministerio de Educación y Técnica. Madrid.
ƒ Schwarz, B. y Hershkowitz, R. (1999). Prototypes: brakes or levers in learning the function concept?
The role of computer tools. Journal for Research in Mathematics Education, 30(4), 362-389.
ƒ Sowder, L. y Harel, G. (1998). Types of Student’s justifications. The mathematics teacher. 91(8), 670676.
ƒ Villella, J. (2001). Uno, dos, tres… Geometría otra vez. De la intuición al conocimiento formal en la
EGB. Buenos Aires: AIQUE.
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Anexo
Problema 1:
a) Dados estos dos segmentos, usando la regla no graduada y el compás, construí un
triángulo:
b) Construí otro triángulo distinto al anterior con esos mismos dos lados.
c) ¿Cuántos triángulos diferentes se puede construir? ¿Por qué?
Problema 2:
a) Construí, si es posible, un triángulo que tenga estos segmentos como lados. Usá
el compás y la regla no graduada.
b) Construí, si es posible, un triángulo que tenga estos dos segmentos como lados.
Usá el compás y la regla no graduada.
c) Construí, si es posible, un triángulo que tenga estos segmentos como lados. Usá
el compás y la regla no graduada.
Problema 3:
a) A continuación se proponen medidas de segmentos. Decidan en cada caso si con ellas
se puede o no construir un triángulo.
a1) 3 cm, 2 cm, 1 cm; a2) 8 cm, 12 cm, 5 cm; a3) 8 cm, 4 cm, 4 cm: a4) 7 cm, 1cm, 2 cm.
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