A tu parecer, ¿cómo son los radios marcados respecto de la tangente correspondiente? _______________________________________________ Entonces podemos probar la siguiente propiedad: ______________________________________________________________ Si es posible, utilice la computadora como recurso para el trazo de tangentes, secantes y rectas ex___________ teriores al círculo, aprovechando los programas por el punto de tangencia. disponibles. En el caso de QG y l, mide el ángulo. ¿Qué relación tienen entre sí QG Si una línea recta es tangente a un círculo, entonces la línea es y l? ________________________________________________________ ______________________________________________________________ En el siguiente espacio traza un círculo, marca el centro y denótalo por O. Luego traza un radio OT y una recta perpendicular a ese radio, que pase por el punto T. En la figura de la derecha, el dato que tenemos es: círculo en el punto ¿Qué queremos probar? Que _____________________ Para esto haremos una prueba in directa; es decir, supondremos que PQ ¿La recta que acabas de trazar es exterior, interior o bien tangente a Dibujemos ym PR a PR P y la recta es un radio, entonces or que es un punto interior del círculo. De esta manera, entonces una secante, lo cual es la circunferencia? _________________________________ Justifica tu respuesta. ________________________________________________ _________________________________________________________ T2 T1 O T3 T5 T4 En la figura se han trazado cinco rectas tangentes. Traza los radios OT1, OT2, OT3, OT4 y OT5. Con el transportador mide el ángulo formado por cada una de las tangentes y el radio correspondiente. ¿Qué puedes concluir? _____________________________________ _________________________________________________________ Esta propiedad que acabas de observar es general de las rectas tangentes: El ángulo entre la recta tangente y el radio correspondiente es de 90º. O 43 líneas del cíRculo, Ángulos y sectoRes ciRculaRes T Pliego 03.indd 43 7/4/08 13:58:50 Página 43 Los radios son perpendiculares a la tangente. La recta es tangente a la circunferencia porque sólo toca un punto de ella. QG⊥l T2 T1 O O T3 T T5 T4 Se puede concluir que todos los ángulos formados por la tangente y el radio son iguales y de 90°. © NuevoMéxico © NuevoMéxico Pida a los alumnos que recuerden cómo trazar una línea perpendicular con escuadras o con regla y compás. T2 T1 T3 O 51 Sugerencias didácticas Haga referencia a que los conceptos en matemá(inverso del teorema anterior): si una línea recta es ticas están muy relacionados con elpunto lenguaje cotiperpendicular a un radio en un de un círculo, entonces diano; es decir, cuando hablamos de dos círculos, llamamos externas a las tangentes que tocan espor perpen“fuera” ambas circunferencias. resulta ser En la figura se ha trazado la recta secante TM. Si el punto M se mueve hacia el punto T (sobre la circunferencia), observa qué pasa con la secante cuando el punto M coincida con el punto T. T M cualquiera sobre Explica. ____________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ Gracias a las observaciones que hemos hecho podemos concluir el siguiente teorema. Teorema: Una recta es tangente a una circunferencia si es perpendicular al radio determinado por el punto de tangencia. Además, también se cumple el inverso, es decir, que una recta que es perpendicular a un radio en un punto de la circunferencia resulta ser una recta tangente a la circunferencia. Pida a los alumnos que en la figura de la parte es la disinferior de la página intenten trazar una quinta , pero a su vez tangente a ambas circunferencias. La respuesta es al círculo. que no es posible. k es El sistema de poleas de las siguientes imágenes sugiere una relación de tangencia entre los dos círculos. ■ Concluya con ellos que para una circunferencia se pueden trazar una infinidad de tangentes, pero si se tienen dos circunferencias sólo es posible trazar cuatro rectas que sean tangentes a ambas. ¿Cómo caracterizarías una tangente común a dos círculos? __________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ Cuando se tienen dos círculos hay dos tangentes que son externas y dos que son internas. Indica cuáles son las tangentes internas: _________________________ Indica cuáles son las tangentes externas: _________________________ l m Q P n k 44 Al aproximarse M a T la secante se vuelve tangente. 7/4/08 13:58:56 Página 45 Actividades Una tangente común a los dos círculos es una recta que toca sólo un punto de cada circunferencia. 1.a) El ángulo XBO mide 90°. Es así porque la recta t es tangente a la circunferencia. Entre el radio o el diámetro y una recta tangente siempre hay un ángulo de 90°. b) BX es tangente al círculo porque sólo lo toca en un punto. c) OC⊥k; k� ∙ t. Las tangentes internas son l y k. Las tangentes externas son m y n. 2.Dos círculos con: a) U na única tangente en común. b) Dos únicas tangentes exteriores comunes. 52 © NuevoMéxico Página 44 Pliego 03.indd 44 © NuevoMéxico Soluciones líneas del cíRculo, ángulos y sectoRes ciRculaRes aCtiVidades 1. Para contestar los siguientes ejercicios, usa la figura de la derecha donde t es tangente al círculo en el punto B. Justifica tus respuestas. a) ¿Cuánto mide el ángulo XBO? Explica. ____________________ _____________________________________________________________ A C B O _____________________________________________________________ X Enfatice la propiedad: Dos o más rectas perpendiculares a otra son paralelas entre sí. _____________________________________________________________ b) ¿Por qué BX es tangente al círculo? ________________________ t _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ c) Si se traza una línea recta k que corte únicamente al círculo en el punto C, ¿cómo son OC y k? ¿Cómo son k y t? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ 2. En los siguientes ejercicios realiza en tu cuaderno la ilustración de dos círculos con las condiciones que se piden a continuación. a) Con una única tangente común. b) Con dos únicas tangentes exteriores comunes. c) Con dos tangentes exteriores comunes y una tangente interna común. d) Sin tangentes comunes. e) Con una única tangente exterior común. 3. Prueba que l y k son paralelas, usa la figura de la derecha en donde AB es un diámetro, l y k son tangentes al círculo en A y B. l _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ A k P B _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ líneas del cíRculo, ángulos y sectoRes ciRculaRes Pliego 03.indd 45 c) Dos tangentes exteriores comunes y una tangente interna común. d) Sin tangentes comunes. 45 7/4/08 13:58:58 e) Una única tangente exterior común. 3. l⊥AB; por lo tanto, el ángulo de inclinación de l respecto a AB es 90º. k ⊥AB; por lo tanto, el ángulo de inclinación de k respecto a AB es 90º. Por lo tanto l� ∙ k, ya que tienen la misma inclinación respecto a la recta AB. © NuevoMéxico © NuevoMéxico Reafirme el concepto de paralelas como dos rectas que no se cortan en el plano cartesiano, pero incluya también la definición de paralelas de acuerdo con su inclinación: dos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación (pendiente) y esa es la razón por la cual no se cortan. 53 Sugerencias didácticas Responde en tu cuaderno. Para el problema 5, utilice la siguiente demostración: a)AB = PQ 1) AP = BQ Dato del problema. 2) AB ∙ PQMantienen la misma distancia en dos puntos (en A y en B mantienen la distancia AP y BQ, respectivamente, pero por el punto 1 son iguales). 3) AP ∙ BQSon radios perpendiculares a la misma tangente, por lo que son paralelas entre sí. 4) ABQPEs un paralelogramo por tener sus lados opuestos en 2) y en 3). 5) AB = PQlos lados opuestos de un paralelogramo son iguales. 4. Usa el diagrama de la izquierda para contestar las preguntas que a continuación aparecen. AC es tangente al círculo, AB es un diámetro; BQ es una secante que se intersecta a AC en C. Q a) Si BC 13 y si AC 5, calcula AB. C A b) Si BC 16 y si AC 12, calcula AB. c) Si BC 6qi 2 y si AC 6, calcula AB. 5. Utiliza la figura en la cual AB es tangente externa común. A B B Q P a) Si AP BQ, prueba que AB PQ. b) Si AB PQ, prueba que AP BQ. 6. En la figura de la izquierda QA y QB son tangentes al círculo. Calcula las longitudes de QA y de QB. Puedes usar el teorema de Pitágoras. A ¿Qué observas? _____________________________________________ Q 13 ___________________________________________________________ P La propiedad anterior se puede enunciar como: las tangentes desde un punto exterior a un círculo tienen la misma longitud. 5 B 7. Usa la siguiente figura donde UR y ST son tangentes internas comunes. Calcula las longitudes de ST y de UR. Para el inciso b) se puede hacer la demostración de manera análoga. S U 13 Q 5 W 5 P 3 T R ¿Qué observas? _____________________________________________ ___________________________________________________________ Esta propiedad que acabas de observar se puede enunciar diciendo que la longitud de tangentes internas a dos círculos son iguales. 46 Soluciones líneas del cíRculo, Ángulos y sectoRes ciRculaRes Pliego 03.indd 46 7/4/08 13:59:01 Página 46 4.a) AB = 12 b) AB = 10.58 c) AB = 6 5.a) Si AP = BQ, entonces se trata de un rectángulo, por lo tanto sus lados opuestos son paralelos, entonces AB = PQ. b) Si AB = PQ, entonces también se trata de un rectángulo, por lo tanto sus lados opuestos son paralelos, entonces AP = BQ. 6.QA = QB = 12 WT = 52 − 32 = 4 RW = SW tangentes a una circunferencia desde el mismo punto exterior WU = TW tangentes a una circunferencia desde el mismo punto exterior SW = 12 WU = 4 RU = RW + WU = 12 + 4 = 16 ST = SW + WT = 12 + 4 = 16 54 © NuevoMéxico RW = 132 − 52 = 12 © NuevoMéxico 7.ST y RU son iguales. Usando el teorema de Pitágoras: Cápsula Para cada punto de la circunferencia existe una tangente, que es perpendicular al radio determinado por ese punto, y por lo tanto, la tangente es única. la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a ese segmento y que pasa por su punto medio. Esto permite construir sólo con regla y compás la tangente a una circunferencia: sea M un punto cualquiera de la circunferencia, entonces traza la semirrecta OM, que resulta ser el radio, prolóngala hacia el exterior del círculo, y con el compás traza N de manera que OM sea igual a MN, M resulta ser el punto medio de ON. Ahora traza la mediatriz de ON, que por definición es perpendicular a ON en el punto medio M, de modo que ésta es tangente a la circunferencia en el punto de tangencia M. ■ Pida a los alumnos que tracen dos círculos que sean tangentes interiores 2. y dos que sean tangentes exteriores, ello fortalece la competencia de manejo de técnicas para poder lograrlo. 1. O N M Explica qué harías con las escuadras para construir en el punto M la tangente al círculo y luego trázala. ■ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ O ■ Indica si PT es tangente al círculo en el punto T o si no lo es y explica tu respuesta. M a) _________________________________________________________ T ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ O 60º 30º P ______________________________________________________________ b) __________________________________________________________ ______________________________________________________________ T ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ O 50º 30º P 47 líneas del cíRculo, Ángulos y sectoRes ciRculaRes Pliego 03.indd 47 7/4/08 13:59:03 Página 47 Construcción de la tangente Para construir una tangente con las escuadras haríamos lo siguiente: 1. Trazar el radio OM y colocar un cateto de la escuadra sobre el radio, como se indica. 2. Colocar la hipotenusa de la otra escuadra junto a la hipotenusa de la primera, como se muestra. 3. Deslizar la primera escuadra hasta que el segundo cateto toque a M y trazar la tangente. M © NuevoMéxico © NuevoMéxico ConstruCCión de la tangente Mencione que no sólo existen las rectas tangentes; cuando dos círculos se tocan en un solo punto se dice que los círculos son tangentes, y de ellos se desprenden muchas propiedadesM que se estudian M en geometría analítica. 1. a) En la primera figura PT sí es tangente al círculo en el punto T, pues el ángulo OTP es de 90°, esto se deduce porque la suma de los ángulos interiores de un triángulo debe ser 180°. b) E n la segunda no lo es, debido a que el mismo ángulo OTP mide ahora 100°. M M 2. 3. 55 M 3. Sugerencias didácticas ■ Pida que resuelvan el problema de la parrilla por equipos con la finalidad de que fortalezcan la competencia de argumentación y la de planteamiento y solución de problemas; después de revisar las diferentes soluciones, pida a los alumnos que las expongan. _____________________________________________________________ O _____________________________________________________________ T ¿Por qué punto pasa la tangente que acabas de construir? __________ P1 P2 Una parrilla sólida P3 El trazo para la solución del problema es: A B D C Además, en la fábrica se van a producir con el mismo radio más de una de estas rejas. ¿Serán de la misma forma y del mismo tamaño? n T ____________________________________________________________ d Para contestar estas preguntas, se dan las siguientes definiciones: m l P1 • Dos círculos son congruentes si tienen radios congruentes. • Una cuerda es un segmento cuyos extremos están sobre la circunferencia. • La cuerda más larga es un diámetro. P2 BC = ∙∙∙∙∙∙ BD2 − DC2 = ∙∙∙∙∙ 502 − 102 = 48.98 cm B O _____________________________________________________________ cuerdas C A En su fábrica, Pablo está diseñando unas rejas para parrillas y se le ha ocurrido modificar el diseño de al lado, insertando los soportes AD y BC. ■ Si cada uno de estos soportes se encuentra a 5 cm del centro, si son paralelos entre ellos y si son perpendiculares a las otras varillas, ¿qué tan largos deben ser los soportes? La circunferencia tiene 50 cm de diámetro. Cápsula D Construye la tangente al círculo en el punto T. Usa regla y compás para ordenar de mayor a menor los ángulos OTP1, OTP2, OTP3 e indica si conoces el valor de alguno de éstos. P3 Traza en la figura de la izquierda una cuerda cualquiera, denótala como AB. Luego, traza una recta p, que sea perpendicular a la cuerda y que pase por el centro O; asimismo, señala con C el punto de intersección de AB y p. Mide AC y CB con tu regla. ■ ¿Cuánto mide AC? ____________________ O ¿Cuánto mide CB? ____________________ ¿Cómo son estos segmentos? ____________________ Retomaremos esto al final de la página 49. 48 líneas del cíRculo, Ángulos y sectoRes ciRculaRes Pliego 03.indd 48 Soluciones 7/4/08 13:59:05 Si las rejas tienen el mismo radio y los soportes están a la misma distancia, entonces son del mismo tamaño. Página 48 O T AC mide 1.9 cm CB mide 1.9 cm Los segmentos son iguales. P1 P2 P3 De acuerdo con la figura, ∡OTP1 < ∡OTP2 < ∡OTP3 La tangente pasa por el punto P2. BC = ∙∙∙∙∙∙ BD2 − DC2 = ∙∙∙∙∙ 502 − 102 = 48.98 cm 56 © NuevoMéxico Los soportes deben ser de longitud AD, esta distancia se obtiene del teorema de Pitágoras. © NuevoMéxico Una parrilla sólida Por lo anterior debemos probar que esta propiedad siempre es cierta mediante un razonamiento matemático, que no dependa de ningún caso particular. Así pues, hagamos lo siguiente: P B Cuando una perpendicular a una cuerda pasa por el centro del círculo, divide a la cuerda en dos segmentos iguales. C A O Explíqueles que en la nueva solución al problema de la parrilla que se propone: • Tenemos una cuerda cualquiera que denotaremos por AB en un círcu lo de radio arbitrario con centro en O. • Tenemos una perpendicular a AB desde O, cuyo pie en AB es C. • Queremos probar que AC BC. PB es el radio que es igual a medio diámetro PM es la distancia del centro a un soporte MB es la mitad del soporte Para esto se usa el teorema de Pitágoras de la siguiente manera: Como OA OB por ser radios de la misma circunferencia, y puesto que el ángulo formado por la recta P y la cuerda AB es recto, los triángulos OBC y OAC son rectángulos. ¿Cuál es la hipotenusa del triángulo OBC? _______________________ ¿Cuál es la hipotenusa del triángulo OAC? _______________________ Aplica el teorema de Pitágoras al triángulo OBC: Cápsula PB2 − PM2 MB = ∙∙∙∙∙∙∙ el símbolo y significa “próximo a” o “aproximadamente igual a”. MB = ∙∙∙∙∙ 252 − 52 = 24.49 cm OB2 ______ _______ Ahora al OAC: OA2 ______ ______ Como OA OB, se tiene que _______ _______ _______ _______ De donde _____ _____ Cada soporte mide 2(24.49) = 48.98 Así que AC BC. Volviendo al problema de la parrilla, se tiene que el radio de ésta es de 25 cm (el diámetro es de 50 cm) y que cada soporte está a 5 cm del centro. Por tanto, si se usa la notación de la figura del margen, PB 25 y PM 5. A B De manera que al aplicar el teorema de Pitágoras se tiene que: P PB2 _______ _______ M _______ _______ MB2 MB2 _______ _______ 600 6 y _______ MB _______ 10qi D C Así, MB es aproximadamente 24.4 cm, y AD BC, es aproximada mente 48.8 cm. líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares Pliego 04.indd 49 49 30/4/08 12:03:42 Página 49 La hipotenusa del triángulo OBC es OB. La hipotenusa del triángulo AOC es OA. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OBC: OB2 = BC2 + OC2 Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OAC: OA2 = AC2 + OC2 Como OA = OB, se tiene que BC2 + OC2 = AC2 + OC2, de donde BC2 = AC2 En el problema de la parrilla, al aplicar el teorema de Pitágoras, se tiene que: PB2 = PM2 + MB2 © NuevoMéxico © NuevoMéxico Lo anterior es sólo la comprobación, en un caso particular, de que la cuerda es dividida en dos segmentos iguales cuando una perpendicular a ella pasa por el centro del círculo. Sin embargo, no podemos estar seguros de que esto sea siempre así; es decir, para absolutamente cual quier cuerda de cualquier círculo. Haga énfasis en que la propiedad que se ha demostrado en esta página se cumple para todas las cuerdas: 252 = 52 + MB2 MB2 = 625 − 25 = 600 MB = ∙∙∙ 600 = 10 ∙∙ 6 = 24.49 57 Sugerencias didácticas A 2. AB = AX + XB =2+9 = 11 3. Punto medio de AB es P 3 X 9 D N b) Si PX ⊥ AB, si PY ⊥ CD y si PY PX, entonces AB ______ II P O 1. En la figura I, si AB ⊥ CD, si AX 2, si BX 9, si CX 3 y si DX 6, encuentra el radio del círculo. Usa la propiedad de que las mediatrices de las cuerdas AB y DC pasan por el centro del círculo. a) Si PY ⊥ a CD, entonces CY ______ C X C 2. Usa la figura II y las propiedades que se indican para contestar las siguientes preguntas. B c) Si CD BA, si PX ⊥ AB y si PY ⊥ CD, entonces PX ______ A D 3. Si las vigas del soporte del hotel circular —que aparecen al inicio de la página 41— están a la misma distancia del centro, ¿qué puedes decir de las vigas? P Xx 5. Trace la mediatriz de DC; el punto donde se traza la mediatriz es N. B y Y B C Puntos, líneas, ángulos y hockey Los jugadores de hockey A, B, C, D y E están listos para anotar. ¿Qué jugador tiene el mayor ángulo de tiro a la portería XY? ■ Conecta los puntos A, B, C, D y E con los puntos extremos XY de la portería; con tu transportador mide cada ángulo y completa la tabla. 6. DC = DX + XC =6+3 =9 7. Punto medio de DC es N. 8. NC = 6 A 11 = 5.5 2 4. PB = Resuelve en tu cuaderno y justifica tu respuesta. 2 D 1. Trace la mediatriz de AB; el punto donde se traza la mediatriz es P. aCtiVidades I Explíqueles que para resolver el problema 1 pueden proceder con los siguientes trazos: A B Ángulo C X B 9 = 4.5 2 O C Y E ¿Qué jugador tiene el mayor ángulo de tiro? ___________________ Conecta el punto O con XY. ¿Cuánto mide =O? _______________ ¿Qué relación hay entre =XOY y =XAY? ___________________________________________________________ 50 líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares Pliego 04.indd 50 Soluciones D E D 9. NC = NX + XC 10. OP = NX = NC − XC = 4.5 − 3 = 1.5 (NC se calculó en 8; XC fue dato inicial). 11. Trace el triángulo rectángulo OBP (recuerde que OP es mediatriz de AB). 12. OB = ∙∙∙∙∙∙∙ OP2 + PB2 = ∙∙∙∙∙∙ 1.52 + 5.52 = 5.7 Medida A 30/4/08 12:03:45 Página 50 Actividades Todos tienen el mismo ángulo de tiro. El ángulo O = 30º ∡XAY es la mitad de ∡XOY 1. El radio mide 5.7 2.a) CY = YD b) AB = CD c) PX = PY 3.Las vigas son iguales. 58 Medida A 15° B 15° C 15° D 15° E 15° © NuevoMéxico Ángulo © NuevoMéxico Puntos, líneas, ángulos y hockey Mide los ángulos x, y en las siguientes figuras: Solicite que el transportador de los alumnos sea lo más pequeño posible, transparente, que tenga el centro bien marcado (con una ⊥), que se noten el cero y el 180 y, de preferencia, que no sea de 360º. y y x x y y x x Lleve su transportador y escuadras para pizarrón para ejemplificar la medida de los ángulos. ¿Qué relación hay entre =x y =y? ______________________________ ____________________________________________________________ En el semicírculo de la derecha, el segmento XY es un diámetro; conecta cada uno de los puntos marcados con los extremos XY, mide cada ángulo con vértice en el semicírculo y completa la tabla. ■ C A B C D Mencione que el ángulo formado por una tangente y una secante también se llama semiinscrito. D E B Ángulo A E Medida X Explica una nueva forma de construir un ángulo recto usando úni camente regla y compás. ■ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ Y Cápsula un ángulo inscrito tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son las dos secantes a la misma o uno es secante y el otro es tangente. ____________________________________________________________ Justificaciones en ángulos inscritos y centrales En la figura del margen se muestra el principio de un diseño en el que el ángulo con color rojo tiene su vértice sobre la circunferencia. Este tipo de ángulos se llaman ángulos inscritos. Un ángulo inscrito tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son secantes a la misma. 51 líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares Pliego 04.indd 51 30/4/08 12:03:47 Página 51 Ángulo x 50º 60º 60º 50º Ángulo y 25º 30º 30º 25º ∡x es el doble de ∡y. © NuevoMéxico © NuevoMéxico ■ Recuerde a los alumnos la posición del transportador para medir correctamente el ángulo. Ángulo A B C D E Medida 90º 90º 90º 90º 90º Un ángulo recto se puede construir usando regla y compás con el siguiente procedimiento: • Dibujar un círculo. • Trazar el diámetro. • Unir los extremos del diámetro con un punto de la circunferencia. 59 Sugerencias didácticas Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de la circun ferencia. En las siguientes figuras hay ejemplos de ángulos centrales. Cápsula Pida a los alumnos que realicen los ejercicios en equipos, y cuando terminen solicite a algunos que argumenten frente al grupo las razones de sus respuestas. X R Divida al grupo en dos equipos e indíqueles que pasen al pizarrón en parejas (un miembro de cada equipo). Pídales que dibujen ángulos inscritos, semiinscritos, centrales, diámetros, radios, tangentes, etc., según les vaya indicando. Por cada acierto obtendrán un punto y el equipo que logre hacer más puntos ganará. S arco RS del ángulo central X. La relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central, como se veri ficó en la sección anterior, es la medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del ángulo central correspondiente. Indica cuáles son ángulos inscritos: Indica cuales son ángulos centrales: ¿Podrías dibujar un ángulo central que tenga un lado tangente a la cir cunferencia? ________ Explica. ________________________________ ___________________________________________________________ ¿Y un ángulo inscrito que tenga un lado tangente a la circunferencia? ____________ Explica. _______________________________________ ___________________________________________________________ En las siguientes figuras marca con azul el arco interceptado por el ángulo inscrito y con rojo el arco interceptado por el ángulo central. 52 Soluciones A B C D E F líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares Pliego 04.indd 52 30/4/08 12:03:49 Página 52 Ángulos inscritos son el primero, el segundo y el quinto. Ángulos centrales son los primeros tres. No se puede dibujar un ángulo central que tenga un lado tangente a la circunferencia porque el vértice está en el centro. Sí se puede dibujar un ángulo inscrito que tenga un lado tangente a la circunferencia. Esto es posible porque uno de los vértices toca un solo punto de la circunferencia. 60 © NuevoMéxico © NuevoMéxico En el inciso B, C, E y F los arcos son iguales. En el inciso A el arco rojo es parte del arco azul, y en el D sí están diferenciados.
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